CC BY
25
удк 517:531
О.А. Васильева
НИУМГСУ
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ГОДУНОВА — СУЛТАНГАЗИНА. ПЕРИОДИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ
Рассмотрена описываемая системой уравнений Годунова — Султангазина одномерная модельная система кинетической теории газов, состоящих из одноатомных молекул, имеющих конечное число скоростей. Для периодических начальных условий проведено численное исследование задачи Коши для кинетической системы уравнений Годунова — Султангазина. Приведены и обсуждаются результаты численного исследования.
Ключевые слова: кинетическая теория газов, система Годунова — Султангазина, уравнение Больцмана, конечно-разностная схема, стабилизация решения
в данной работе было проведено численное исследование решений задачи коши для системы уравнений Годунова — Султангазина. Подобно системе уравнений Карлемана система уравнений Годунова — Султангазина является модельной системой кинетической теории газов, рассматривающей газ как совокупность большого числа хаотически движущихся частиц, взаимодействующих друг с другом [1—13]. Исследование свойств модельных задач позволяет не только выявлять общие закономерности, но и изучать на более простых моделях кинетическую теорию газов [14].
В общем случае газ, состоящий из одноатомных молекул (частиц), имеющих конечное число скоростей, описывается дискретным кинетическим уравнением Больцмана [1—3]. Изучаемая система является одномерной по пространственным переменным и описывает газ, состоящий из трех типов одноатомных молекул (частиц). Два типа частиц имеют равные по модулю и противоположно направленные скорости. Третий тип частиц имеет нулевую скорость. взаимодействие (столкновение) двух частиц первого и второго типов переводит их в две частицы третьего типа. Взаимодействие двух частиц третьего типа приводит к возникновению одной частицы первого типа и одной частицы второго типа [2].
Исследуемая система является квазилинейной системой уравнений. В общем случае не существует ее аналитического решения. Это объясняет важность численного исследования системы уравнений Годунова — Султангазина.
Обозначим плотности частиц первого и второго типов через u(t, x) и w(t, x), соответственно, плотность частиц третьего типа через v(t, x). В этих обозначениях задача Коши для системы уравнений Годунова — Султангазина имеет вид:
ы1 + их = е-1 (у2 - ищ) ? > О, V, = -2е-1 (у2 - ищ),
-1 (у2 - ищ),
-оо < х < +оо;
щ -
с начальными условиями
и (0, х) = и0 (х), V(0, х) = V0 (х), w(0,х) = w0 (х), (2)
где е << 1 — постоянный коэффициент, пропорциональный числу Кнуд-сена. Вероятность взаимодействия частиц первых двух типов пропорциональна ыу, вероятность взаимодействия частиц третьего типа пропорциональна уу [2].
Рассмотрим случай периодических начальных условий с периодом Т = 1. В начальный момент времени (^ = 0) ы(^ х), w(t, х) являются невозмущенными и не отклоняются от состояния равновесия, ы0(х) = 1, w0(x) = 1, а у(^ х) в начальный момент времени имеет гармоническое возмущение от положения равновесия у0(х) = 1 + 0,Ып(2лх). Для численного исследования задачи (1)—(2) применяется явная конечно-разностная схема первого порядка точности с периодическими граничными условиями. На рис. 1 приведены начальные условия (2) для исследуемой задачи.
Рис. 1. Начальные условия задачи (1)—(2) w0(x), и°(х) и у0(х)
На рис. 2 приведены результаты численного исследования решения задачи ы(?, х), у(?, х), w(t, х) для значений времени t = 0,0625, t3 = 0,125, t = = 0,25, t5 = 0,5, t = 1, t7 = 2, соответственно. В начальный период времени 0 < t < ( происходит быстрое перераспределение частиц между группами, «перекачка энергии» возмущения у(^ х) (отклонения от состояния равновесия) и возникает отклонение от состояния равновесия ы(^ х) и w(t, х). При t > 0 ы(^ х) совпадает по форме с w(t, х), между ы(^ х) и w(t, х) имеется фазовый сдвиг ф(е, 0 (рис. 2).
Рис. 2 (начало'). Профили решения задачи ^(г, х), и(г, х) и V(г, х) для различных значений г: а — г = 0,0625; б — г = 0,125; в — г = 0,25
а
б
в
Рис. 2 (окончание). Профили решения задачи х), и(/, х) и у(/, х) для различных значений Р. г — г = 0,5; д — г = 1; е — г = 2
На рис. 2, а приведены профили решения задачи (1)—(2) для значения времени t = 0,0625, для которого максимумы отклонений плотностей от положения равновесия для всех трех групп практически совпадают. Затем при
д
е
t > 0,0625 (см. рис. 2, б—е) максимумы отклонений от положения равновесия для w(t, x) и u(t, x) превышают максимум отклонения от положения равновесия v(t, x). На рис. 2, в—е можно видеть взаимную «перекачку энергии» между w(t, x), u(t, x) и v(t, x).
На рис. 3 приведено изменение максимумов модулей отклонений функций u(t, x), v(t, x) от состояния равновесия Du(t) = max\u(t,x) - l|, Dv(t) =
0<x<11 1
= max |v(t, x) -1 в зависимости от времени t. При 0 < t < t* происходит быстрое
0<x<11 1
увеличение максимума отклонения Du(t) и такое же быстрое уменьшение максимума отклонения Dv(t) вплоть до их совпадения. При t > t максимумы модуля отклонения от состояния равновесия удовлетворяют неравенству Dv(t) < Du(t) = Dw(t) и немонотонно, в отличие от решения системы Карлема-на, стремятся к нулю при t ^ ж. Изучение частот колебаний Dv(t) [15—17] представляет предмет исследования следующей статьи.
Рис. 3. Зависимость от времени t максимумов модулей отклонений решения от состояния равновесия Du(t) и Dv(t)
На рис. 4 приведены зависимости от времени t максимумов модулей отклонений от положения равновесия для различных значений параметра е при 0 < t < €. Кривые Du1 и Dv1 ссоответствуют значению е = 0,01, кривые Du2 и Dv2 — значению е = 0,05, кривые Du3 и Dv3 — значению е = 0,1. Время «перекачки энергии» (время выхода на равные максимумы модулей отклонения функций от положения равновесия) уменьшается с уменьшением параметра задачи е.
При ^ > ¿*(е) максимум модуля отклонения решения задачи от состояния равновесия стремится к нулю (см. рис. 3). Решение задачи (1)—(2) стремится к состоянию равновесия при ^ ^ ю, что согласуется с теоретическими результатами. При уменьшении параметра задачи е время «стабилизации» решения или время выхода на состояние, близкое к состоянию равновесия (максимумы отклонений от положения равновесия меньше 5, |Du(t)| < 5, |Dv(t)| < 5), увеличивается. На рис. 5 кривые Т2, Т4 соответствуют значениям 5 0,005, 0,001, соответственно. Значения отклонения от состояния равновесия составляют 5 и 1 % от начального возмущения. Полученные зависимости позволят прово-
дить количественные сравнения результатов аналогично [18, 19]. Сравнивая полученные результаты, можно сделать вывод о том, что время «стабилизации» решения системы уравнений Годунова — Султангазина превышает время «стабилизации» решения системы Карлемана [11, 12, 20].
Рис. 4. Зависимости максимумов модулей отклонений для различных е
Рис. 5. Зависимость времени «стабилизации» решения
Вывод. Проведено численное исследование задачи Коши для системы уравнений годунова — Султангазина с периодическими начальными условиями. Приведены и обсуждаются результаты численного исследования зависимости величины времени «обмена энергией» и зависимости времени стабилизации решения для различных значений параметра модели, проведено сравнение полученных численных результатов с результатами, полученными для системы уравнений Карлемана. Результаты численного исследования согласуются с теоретическими результатами.
Библиографический список
1. Больцман Л. Избранные труды. М. : Наука, 1984. 590 с.
2. Годунов С.К., Султангазин У.М. О дискретных моделях кинетического уравнения Больцмана // УМН. 1974. Т. XXVI. № 3 (159). С. 3—51.
3. Радкевич Е.В. О дискретных кинетических уравнениях // Доклады Академии наук. 2012. Т. 447. № 4. С. 369.
4. Radkevich E.V. The existence of global solutions to the Cauchy problem for discrete kinetic equations // Journal of Mathematical Science. 2012. Vol. 181. No. 2. Pp. 232—280.
5. Radkevich E.V. the existence of global solutions to the Cauchy problem for discrete kinetic equations // Journal of Mathematical Science. 2012. Vol. 181. No. 5. Pp. 701—750.
6. Radkevich E.V., Vasil'eva O.A., Dukhnovskii S.A. Local equilibrium of the Carleman equation // Journal of Mathematical Science. 2015. Vol. 207. No. 2. Pp. 296—323.
7. Радкевич Е.В. О поведении на больших временах решений задачи Коши для двумерного кинетического уравнения // Современная математика. фундаментальные направления. 2013. Т. 47. С. 108—139.
8. Radkevich E.V. the existence of global solutions to the Cauchy problem for discrete kinetic equations (non-periodic case) // Journal of Mathematical Science. 2012. Vol. 184. No. 4. Pp. 524—556.
9. Аджиев С.З., Амосов С.А., Веденяпин В.В. Одномерные дискретные модели кинетических уравнений для смесей // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. Т. 44. № 3. С. 553—555.
10. Aristov V.V. Direct methods for solving the Boltzmann equation and study of nonequilibrium flows. Fluid Mechanics and its Applications. Kluwer Academic Publishing, 2001. vol. 60. 312 p.
11. Vasil'eva O. Some results of numerical investigation of the Carleman system // Procedia Engineering 24th. «XXIV R-S-P Seminar — Theoretical Foundation of Civil Engineering, TFoCE 2015». 2015. Vol. 111. Pp. 834—838.
12. Васильева О.А. Численное исследование системы уравнений Карлемана // Вестник МГСУ 2015. № 6. С. 7—15.
13. Радкевич Е.В. Математические вопросы неравновесных процессов. Новосибирск : Изд-во Т. Рожковской. 2007. 300 с.
14. Медведева Н.А. Важность индивидуального подхода при обучении высшей математике в техническом вузе // Строительство: наука и образование. 2015. № 4. Ст. 1. Режим доступа: http//nso-journal.ru.
15. Бобылева Т.Н. Определение резонансных частот осесимметричных колебаний упругого изотропного шара с использованием уравнений движения трехмерной теории упругости // Вестник МГСУ 2015. № 7. С. 25—32.
16. Бобылева Т.Н. Определение резонансных частот осесимметричных колебаний полого шара на основе уравнений движения Ламе // Естественные и технические науки. 2015. № 3 (81). С. 46—49.
17. Бобылева Т.Н. Распространение осесимметричных электроупругих волн в круговых пьезоэлектрических цилиндрах с осевой поляризацией // Вестник МГСУ 2010. № 4—3. С. 16—20.
18. Фриштер Л.Ю. Оценки решения однородной плоской задачи теории упругости в окрестности нерегулярной точки границы // Вестник МГСУ 2012. № 2. С. 20—24.
19. Фриштер Л.Ю. Анализ напряженно-деформируемого состояния в вершине прямоугольного клина // Вестник МГСУ 2014. № 5. С. 57—62.
20. Васильева О.А. Численное исследование дискретных кинетических уравнений // Математика. Компьютер. Образование : тр. XXIII Междунар. конф. 2016. Вып. 23. С. 192.
Поступила в редакцию в январе 2016 г.
Об авторе: Васильева Ольга Александровна — кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, vasiljeva.ovas@yandex.ru.
Для цитирования: Васильева О.А. Численное исследование системы уравнений Годунова — Султангазина. Периодический случай // Вестник МГСУ 2016. № 4. С. 27—35.
ВЕСТНИК 4/2Q16
O.A. Vasil'eva
NUMERICAL SOLUTION OF THE GODUNOV—SULTANGAZIN SYSTEM OF EQUATIONS. PERIODIC CASE
The Cauchy problem of the Godunov — Sultangazin system of equations with periodic initial conditions is considered in the article. The Godunov — Sultangazin system of equations is a model problem of the kinetic theory of gases. It is a discrete kinetic model of one-dimensional gas consisting of identical monatomic molecules. The molecules can have one of three speeds. So, there are three groups of molecules. The molecules of the first two groups have the speeds equal in values and opposite in directions. The molecules of the third group have zero speed. The considered mathematical model has a number of properties of Boltzmann equation. This system of the equations is a quasi-linear system of partial differential equations. There is no analytic solution for this problem in the general case. So, numerical investigation of the Cauchy problem of the Godunov — Sultangazin system is very important.
The finite-difference method of the first order is used for numerical investigation of the Cauchy problem of the Godunov — Sultangazin system of equations.
The paper presents and discusses the results of numerical investigation of the Cauchy problem for the studied system solution with periodic initial condition. The dependence of the time of stabilization of the Cauchy problem solution of Godunov — Sultangazin system of equations from the decreasing parameter of system are obtained. The paper presents the dependence of time of energy exchange from the decreasing parameter.
The solution stabilization to the equilibrium state is obtained. The stabilization time of Godunov — Sultangazin system solution is compared to the stabilization time of Car-leman system solution in periodic case. The results of numerical investigation are in good agreement with the theoretical results obtained previously.
Key words: kinetic gas theory, Godunov — Sultangazin system, Boltzmann equation, finite-difference method, solution stabilization
References
1. Boltzmann L. Izbrannye trudy [Selected Works]. Moscow, Nauka Publ., 1984, 590 p. (In Russian)
2. Godunov S.K., Sultangazin U.M. O diskretnykh modelyakh kineticheskogo uravneniya Bol'tsmana [On Discreet Models of Kinetic Boltzmann Equation]. UMN [Success of Mathematical Sciences]. 1974, vol. XXVI, no. 3 (159), pp. 3—51. (In Russian)
3. Radkevich E.V. O diskretnykh kineticheskikh uravneniyakh [On Discreet Kinetic Equations]. Doklady Akademii nauk [Reports of the Academy of Sciences]. 2012, vol. 447, no. 4, p. 369. (In Russian)
4. Radkevich E.V. The Existence of Global Solutions to the Cauchy Problem for Discrete Kinetic Equations. Journal of Mathematical Science. 2012, vol. 181, no. 2, pp. 232—280. DOI: http://dx.doi.org/10.1007/s10958-012-0683-9.
5. Radkevich E.V. The Existence of Global Solutions to the Cauchy Problem for Discrete Kinetic Equations II. Journal of Mathematical Science. 2012, vol. 181, no. 5, pp. 701—750. DOI: http://dx.doi.org/10.1007/s10958-012-0711-9.
6. Radkevich E.V., Vasil'eva O.A., Dukhnovskii S.A. Local Equilibrium of the Carleman Equation. Journal of Mathematical Science. 2015, vol. 207, no. 2, pp. 296—323. DOI: http:// dx.doi.org/10.1007/s10958-015-2373-x.
7. Radkevich E.V. O povedenii na bol'shikh vremenakh resheniy zadachi Koshi dlya dvumernogo kineticheskogo uravneniya [On the Behavior of Cauchy Problem Solutions at Large Times for Two-Dimensional Kinetic Equation]. Sovremennaya matematika. Fundamental'nye napravleniya [Modern Mathematics. Fundamental Directions]. 2013, vol. 47, pp. 108—139. (In Russian)
8. Radkevich E.V. The Existence of Global Solutions to the Cauchy Problem for Discrete Kinetic Equations (Non-Periodic Case). Journal of Mathematical Science. 2012, vol. 184, no. 4, pp. 524—556. DOI: http://dx.doi.org/10.1007/s10958-012-0879-z.
9. Adzhiev S.Z., Amosov S.A., Vedenyapin V.V. Odnomernye diskretnye modeli ki-neticheskikh uravneniy dlya smesey [One-Dimensional Discrete Models of Kinetic Equations for Mixes]. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Computational Mathematics and Mathematical Physics]. 2004, vol. 44, no. 3, pp. 553—555. (In Russian)
10. Aristov V.V. Direct Methods for Solving the Boltzmann Equation and Study of Non-equilibrium Flows. Fluid Mechanics and its Applications. Kluwer Academic Publishing, 2001, vol. 60, 312 p. DOI: http://dx.doi.org/10.1007/978-94-010-0866-2.
11. Vasil'eva O. Some Results of Numerical Investigation of the Carleman System. Procedia Engineering 24th. "XXIV R-S-P Seminar — Theoretical Foundation of Civil Engineering, TFo-CE 2015". 2015, vol. 111, pp. 834—838. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/j.proeng.2015.07.154.
12. Vasil'eva O.A. Chislennoe issledovanie sistemy uravneniy Karlemana [Numerical Investigation of the Carleman System]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 6, pp. 7—15. (In Russian)
13. Radkevich E.V. Matematicheskie voprosy neravnovesnykh protsessov [Mathematical Problems of Nonequilibrium Processes]. Novosibirsk, T. Rozhkovskaya Publ., 2007, 300 p. (In Russian)
14. Medvedeva N.A. Vazhnost' individual'nogo podkhoda pri obuchenii vysshey matema-tike v tekhnicheskom vuze [The Importance of Individual Approach in Teaching Higher Mathematics at Technical Universities]. Stroitel'stvo: nauka i obrazovanie [Construction: Science and Education]. 2015, no. 4. Paper 1. Available at: http://nso-journal.ru. (In Russian)
15. Bobyleva T.N. Opredelenie rezonansnykh chastot osesimmetrichnykh kolebaniy pologo shara s ispol'zovaniem uravneniy dvizheniya trekhmernoy teorii uprugosti [Determination of Resonant Frequencies of Axisymmetric Oscillations of a Hollow Ball Using of the Equations of Motion of Three-Dimensional Elasticity Theory]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 7, pp. 25—32. (In Russian)
16. Bobyleva T.N. Opredelenie rezonansnykh chastot osesimmetrichnykh kolebaniy uprugogo izotropnogo pologo shara na osnove uravneniy dvizheniya Lame [Determination of Resonant Frequencies of Axisymmetric Vibrations of Elastic Isotropic Hollow Ball on the Basis of Lame Motion Equation]. Estestvennye i tekhnicheskie nauki [Natural and Technical Sciences]. 2015, no. 3 (81), pp. 46—49. (In Russian)
17. Bobyleva T.N. Rasprostranenie osesimmetrichnykh elektrouprugikh voln v krugovykh p'ezokeramicheskikh tsilindrakh s osevoy polyarizatsiey [Propagation of Axisymmetric Elec-troelastic Waves in a Circular Piezoceramic Cylinders with Axial Polarization]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2010, no. 4—3, pp. 16—20. (In Russian)
18. Frishter L.Yu. Otsenki resheniya odnorodnoy ploskoy zadachi teorii uprugo-sti v okrestnosti neregulyarnoy tochki granitsy [Evaluations of the Solution to the Homogeneous Two-Dimensional Problem of the Theory of Elasticity in the Vicinity of an Irregular Point of the Border]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 2, pp. 20—24. (In Russian)
19. Frishter L.Yu. Analiz napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya v vershine pryamougol'nogo klina [Analysis of Stress-strain State on Top of a Rectangular Wedge]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 5, pp. 57—62. (In Russian)
20. Vasil'eva O.A. Chislennoe issledovanie diskretnykh kineticheskikh uravneniy [Numerical Investigation of Discrete Kinetic Equations]. Matematika. Komp'yuter. Obrazovanie : trudy XXIII Mezhdunarodnoy konferentsii [Mathematics. Computer. Education : Works of the 23rd International Conference]. 2016, no. 23, 192 p. (In Russian)
About the author: Vasil'eva Ol'ga Aleksandrovna — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Higher Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU), 26 Yaro-slavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; vasiljeva.ovas@yandex.ru.
For citation: Vasil'eva O.A. Chislennoe issledovanie sistemy uravneniy Godunova — Sultangazina. Periodicheskiy sluchay [Numerical Solution of the Godunov — Sultangazin System of Equations. Periodic Case]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2016, no. 4, pp. 27—35. (In Russian)
