Численное исследование краевой задачидля системы уравнений Карлемана Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

о.А. Басильева

НИУМГСУ

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ КАРЛЕМАНА

Аннотация. Рассмотрена краевая задача для кинетической системы уравнений Карлемана. Численно исследована краевая задача, начальные условия для которой являются возмущенными неотрицательными стационарными решениями краевой задачи для системы уравнений Карлемана. Проведен анализ полученных численных результатов, в частности, исследованы зависимость от времени максимума отклонения решения задачи от стационарного решения, зависимость от времени полной энергии возмущения положения равновесия, проведено сравнение времени стабилизации решения со временем стабилизации решения задачи Коши для случая периодических начальных условий.

Ключевые слова: система Карлемана, краевая задача, стабилизация решения DOI: 10.22227/1997-0935.2016.12.23-33

Универсальность методов теории дифференциальных уравнений в частных производных позволяет использовать одно и то же дифференциальное уравнение (систему дифференциальных уравнений) для математического моделирования различных технологических процессов, являющихся динамичными системами. Одной из таких систем является система уравнений Карлемана. При различных значениях коэффициента в, стоящего при нелинейных членах системы, она может применяться для описания задач акустики (в = 0), задач кинетической теории газов (в >> 1) [1-17]. При в Ф 0 система является нелинейной и не имеет в общем случае аналитического решения [18], этим объясняется выбор численных методов исследования задачи. Применение численных методов позволяет провести сравнение полученных результатов с экспериментальными данными, как это сделано в [19].

Рассмотрим краевую задачу для системы уравнений Карлемана с постоянным коэффициентом в = в-1 Ф 0:

u, +ux = s-1 (2 - и2),i>0, 0<jc<1,

(1)

wt - wx = s-1 (2 - w2 с начальными условиями

u It=0 = u0 (x), w It=0 = w0 (x) (2)

и согласованными граничными условиями

u(t, 0) = Uo(t), w(t, 1) = w,(t), Uo(0) = u0(0), w,(0) = w0(1). (3)

Одним из важных свойств задачи (1)-(3) является устойчивость ее стационарных решений us(x), ws(x) (положений равновесия). Для любого значения параметра в > 0 и любой неотрицательной константы c u(t, x) = c и w(t, x) = c будут стационарными решениями задачи (1)-(3) при следующих начальных и краевых условиях:

ВЕСТНИК 12/2016

u0(x) = c, w0(x) = c, u (t) = c, wx(t) = c.

Рассмотрим задачу (1)-(3) с возмущенными начальными условиями u0(x) = c, w0(x) = c + asin(2nx), (4)

и согласованными краевыми условиями

Uo(t) = c, wo(t) = c, (5)

для которых выполняются следующие равенства: i i Ju0(x)dx = c, Jw°(x)dx = c.

о 0

Исследуем зависимость от времени отклонения решения задачи от стационарного решения. В качестве характеристик отклонения возмущенного решения u(t, x), w(t, x) от положения равновесия us(x), ws(x) используем максимумы модулей отклонений функций u(t, x), w(t, x) от положения равновесия

Du(t) = max u(t, x) - us (x), Dw(t) = max\w(t, x) - ws (t) в момент времени t, энер-

0< x<1 I I 0< x<1 I I

гии возмущений стационарных решений us(x), ws(x)

/1 \1 /1 \i

I2dxjs ew(t) = |j(w(t,x)-ws(x))2dx

и полную энергию возмущения

i

E (t) = ( e\ (t) + e\ (t))2.

Пусть начально-краевые условия задачи (1)-(3) имеют вид (4), (5), где с — положительная константа, с = 1 > 0 и а = 0,1.

На рис. 1 приведены результаты численного исследования решения задачи и(^ х), w(t, х) для значений времени 0,02 (кривые и и I = 0,1 (кривые и w2), соответственно. В начальный период времени 0 < t < ? происходят «перекачка энергии» возмущения w(t, х) и отклонение от состояния равновесия и(г, х) увеличивается. При t > { профиль и(г, х) близок по форме к профилю w(t, х).

На рис. 2 представлено изменение максимумов модулей отклонений Du(t), Вм>(?) решений и(^ х), w(t, х) от состояния равновесия в зависимости от времени (. При 0 < t < { происходит увеличение максимума отклонения Ви(?) и, соответственно, уменьшение максимума отклонения Dw( 0 вплоть до их совпадения. При t > { максимумы модуля отклонения от состояния равновесия совпадают для и(t, х), w(t, х) и стремятся к нулю при t ^ ю. Аналогично изменяются и энергии возмущений от положения равновесия еи( ^ и е^ ^ (рис. 3). Характер поведения решения близок к случаю задачи Коши с периодическими условиями [11]. Траектория в фазовой плоскости е(), е^) стремится к началу координат (0, 0), изменяясь при t < (* - 5 по линейному закону е^) = 0,07 -- eu(t), а при t > ^ + 5 по линейному закону = е (^ (рис. 4).

На рис. 5, 6 приведены зависимости от времени t максимумов модулей отклонений Dw(t) и полной энергии Е^) для следующих значений параметра е: 0,2; 0,1; 0,05; 0,01; 0,005. Исследование влияния частот колебаний возмущения, как это сделано в [20, 21], являются предметом будущего рассмотрения.

Рис. 1. Профили решения задачи для значений времени 0,02 и 12 = 0,1

Рис. 2. Зависимости Du(t) и Dw(t) от времени t (кривые Du и Dw2)

Рис. 3. Зависимости e (t) и e (t) от времени t (кривые e и e )

ВЕСТНИК

12/2016

Рис. 4. Траектория в фазовой плоскости е (О, е (?)

Рис. 5. Максимумы модулей отклонений Dw(t) для значений е: 0,2; 0,1; 0,05; 0,01; 0,005 (кривые Dw1, Dw2, Dwy Dw4, Dw5)

Рис. 6. Полная энергия Е(0 для значений е: 0,2; 0,1; 0,05; 0,01; 0,005 (кривые Е

^ E3, E4, Е5)

Рассмотрим задачу с нулевыми стационарными решениями: начально-краевые условия задачи (1)-(3) имеют вид (4), (5), где с = 0 и а = 0,1. На рис. 7 представлены профили решений задачи для значений времени 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1; 1,2; 1,4; 1,6; 1,8; 2. Траектория в фазовой плоскости ем(0, еДО стабилизируется в начале координат, изменяясь по более сложному закону (рис. 8), что свидетельствует о немонотонном изменении полной энергии (рис. 9).

б

Рис. 7. (начало) Профили решений задачи для значений времени 0,2; 0,4; 0,6 0, 1; 1,2; 1,4; 1,6; 1,8; 2: а-б — кривые ^ -

а

ВЕСТНИК

12/2016

Рис. 7. (окончание) Профили решений задачи для значений времени 0,2; 0,4; 0,6 0,8; 1; 1,2; 1,4; 1,6; 1,8; 2: в-г — кривые и1 - и10

Рис. 8. Траектория в фазовой плоскости е (0, е (Г)

в

г

0.1

0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0,01 0

О 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Рис. 9. Полная энергия Е(0

При уменьшении параметра е (е1 = уе, у < 0,5) максимумы модулей отклонений Du(t), Ом>(?) возрастают, что не свидетельствует о неустойчивости стационарных решений и-(х) = 0 м>*(х) = 0 при уменьшенном значении параметра е. Поскольку при уменьшении параметра в у-1 раз замена переменных и = ум w = у^1 и уменьшение параметра а (максимума начального возмущения) в у-1 раз сводит задачу к рассмотренной выше. На рис. 10 приведена траектория фазовой плоскости еи(0, еДО для значения е = 0,07.

0 0.02 0.04 0,06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16

Рис. 10. Траектория в фазовой плоскости ец(0, е^)

При отрицательных стационарных решениях возмущения и малых е приводят к хаотической динамике. Случай отрицательных значений с является темой следующей статьи [22].

Выводы. Проведено численное исследование краевой задачи для системы Карлемана с начальными условиями, являющимися возмущенными стационарными решениями задачи и-"(О = с, ws(t) = с для неотрицательных значений с. Полученные численные результаты согласуются с теоретическими результатами [7, 8].

Автор выражает признательность Е.В. Радкевичу за постановку задачи, полезные обсуждения и замечания.

Библиографический список

1. Больцман Л. Избранные труды / отв. ред. Л.С. Шлак. М. : Наука, 1984. 590 с. (Классики науки)

2. Годунов С.К., Султангазин У.М. О дискретных моделях кинетического уравнения Больцмана // Успехи математических наук. 1971. Т. 26. Вып. 3 (159). С. 3-51.

3. Карлеман Т. Математические задачи кинетической теории газов / пер. с фр.

B.-К.И. Карабегова ; под ред. Н.Н. Боголюбова. М. : ИЛ, 1960. 120 с. (Библиотека сборника «Математика»).

4. Радкевич Е.В. О дискретных кинетических уравнениях // Доклады Академии наук. 2012. Т. 447. № 4. С. 369-373.

5. Radkevich E.V. The existence of global solutions to the Cauchy problem for discrete kinetic equations // Journal of Mathematical Science. 2012. Vol. 181. No. 2. Pp. 232-280.

6. Radkevich E.V. The existence of global solutions to the Cauchy problem for discrete kinetic equations // Journal of Mathematical Science. 2012. Vol. 181. No. 5. Pp. 701-750.

7. Васильева О.А., Духновский С.А., Радкевич Е.В. О локальном равновесии уравнения Карлемана // Проблемы математического анализа : межвуз. сб. СПб., 2015. Т. 78.

C. 165-190.

8. Radkevich E.V, Vasil'eva O.A., Dukhnovskiy S.A. Local equilibrium of the Carleman equation // Journal of Mathematical Science. 2015. Vol. 207. No. 2. Pp. 296-323.

9. Радкевич Е.В. О поведении на больших временах решений задачи Коши для двумерного кинетического уравнения // Современная математика. фундаментальные направления. 2013. Т. 47. С. 108-139.

10. Vasil'evaO. Some results of numerical investigation of the Carleman system // XXIV R-S-P Seminar — Theoretical Foundation of Civil Engineering, TFoCE 2015 : Procedia Engineering 24th. 2015. Vol. 111. Pp. 834—838.

11. Васильева О.А. Численное исследование системы уравнений Карлемана // Вестник МГСУ 2015. № 6. С. 7-15.

12. IllnerR., ReedM.C. Decay the equilibrium for the Carleman model in a box // SIAM J. Appl. Math. 1984. Vol. 44. No. 6. Pp. 1067-1075.

13. Аджиев С.З., Амосов С.А., Веденяпин В.В. Одномерные дискретные модели кинетических уравнений для смесей // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. Т. 44. № 3. С. 553-558.

14. Ильин О.В. Изучение существования решений и устойчивости кинетической системы Карлемана // журнал вычислительной математики и математической физики. 2007. Т. 47. № 12. С. 2076-2087.

15. Aristov V.V. Direct methods for solving the Boltzmann equation and study of nonequilibrium flows // Fluid Mechanics and its Applications. Kluwer Academic Publishing, 2001. Vol. 60. 312 p.

16. Радкевич Е.В. Математические вопросы неравновесных процессов. новосибирск : Изд-во Т. Рожковской, 2007. 300 с.

17. Radkevich E.V. The existence of global solutions to the Cauchy problem for discrete kinetic equations (non-periodic case) // Journal of Mathematical Science. 2012. Vol. 184. No. 4. Pp. 524-556.

18. Euler N., Steeb W.-H. Painleve test and discrete Boltzmann equations // Australian Journal of Physics. 1989. Vol. 42 (1). Pp. 1-10.

19. Фриштер Л.Ю. Анализ напряженно-деформированного состояния в вершине прямоугольного клина // Вестник МГСУ 2014. № 5. С. 57-62.

20. Бобылева Т.Н. Определение резонансных частот осесимметричных колебаний полого шара с использованием уравнений движения трехмерной теории упругости // Вестник МГСУ 2015. № 7. С. 25-32.

21. Бобылева Т.Н. Определение резонансных частот осесимметричных колебаний упругого изотропного полого шара на основе уравнений движения Ламе // Естественные и технические науки. 2015. № 3 (81). С. 46-49.

22. Васильева О.А. Программный модуль CORFUN 1.2.-2 // Математика. Компьютер. Образование : тр. 18-й междунар. школн-конф. (г. Пущино, 24-30 января 2011 г.) / под ред. Г.Ю. Ризниченко, А.Б. Рубина. М. : Женщины в науке и образовании, 2011. вып. 18. С. 193.

Поступила в редакцию в июне 2016 г.

Об авторе: васильева ольга Александровна — кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики, национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (ниу Мгсу), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected].

Для цитирования: Васильева О.А. Численное исследование краевой задачи для системы уравнений Карлемана // Вестник МГСУ 2016. № 12. С. 23-33. DOI: 10.22227/1997-0935.2016.12.23-33

О.А. Vasilyeva

NUMERICAL INVESTIGATION OF THE BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR THE CARLEMAN SYSTEM OF EQUATIONS

Abstract. The boundary value problem for the Carleman system of equations is considered. The problem is investigated numerically for initial conditions which are perturbed nonnegative stationary solutions of the problem.

First point of the paper is numerical investigation of solution of the boundary value problem with perturbed positive stationary solutions as an initial condition. The time dependence of the maximum deviation of the solution of the stationary solution problem of stationary solutions is investigated. The results of numerical problem solution are presented.

The time dependence of the energy of perturbations of stationary solutions of the problem is presented. The solution stabilization to the stationary solution problem is obtained. The solution stabilization time is compared with stabilization time in periodic case.

Second point of the paper is numerical investigation of solution of the boundary-value problem with perturbed zero stationary solutions as an initial condition. The results of numerical problem solution are presented.

Key words: Carleman equation, boundary value problem, solution stabilization

References

1. Bol'tsman L. Izbrannye Trudy [Selected Works]. Moscow, Nauka Publ., 1984, 590 p. (Klassiki nauki [Classics of Science]) (In Russian)

2. Godunov S.K., Sultangazin U.M. O diskretnykh modelyakh kineticheskogo uravneni-ya Bol'tsmana [About Discrete Models of the Boltzmann Kinetic Equation]. Uspekhi matematicheskikh nauk [Successes of Mathematical Sciences]. 1971, vol. 26, issue 3 (159), pp. 3-51. (In Russian)

3. Karleman T. Matematicheskie zadachi kineticheskoy teorii gazov [Mathematical Problems of Kinetic Theory of Gases]. Moscow, IL Publ., 1960, 120 p. (Biblioteka sbornika «Matematika» [Library of "Mathematics" Collection]). (In Russian)

4. Radkevich E.V. O diskretnykh kineticheskikh uravneniyakh [About Discrete Kinetic Equations]. Doklady Akademii nauk [Reports of Academy of Sciences]. 2012, vol. 447, no. 4, pp. 369-373. (In Russian)

5. Radkevich E.V. The Existence of Global Solutions to the Cauchy Problem for Discrete Kinetic Equations. Journal of Mathematical Science. 2012, vol. 181, no. 2, pp. 232-280.

6. Radkevich E.V. The Existence of Global Solutions to the Cauchy Problem for Discrete Kinetic Equations. Journal of Mathematical Science. 2012, vol. 181, no. 5, pp. 701-750.

7. Vasil'eva O.A., Dukhnovskiy S.A., Radkevich E.V. O lokal'nom ravnovesii uravneniya Karlemana [About the Local Equilibrium of the Carleman Equation]. Problemy matematichesk-ogo analiza: mezhvuzovskiy sbornik [Problems in Mathematical Analysis : Interuniversity Collection]. Saint-Petersburg, 2015, vol. 78, pp. 165-190. (In Russian)

8. Radkevich E.V., Vasil'eva O.A., Dukhnovskiy S.A. Local Equilibrium of the Carleman Equation. Journal of Mathematical Science. 2015, vol. 207, no. 2, pp. 296-323.

9. Radkevich E.V. O povedenii na bol'shikh vremenakh reshenij zadachi Koshi dlya dvumernogo kineticheskogo uravneniya [About Behavior at Large Times of Solutions of the Cauchy Problem for Two-Dimensional Kinetic Equation]. Sovremennaja matematika. Fundamental'nye napravleniya [Contemporary Mathematics. Fundamental Directions]. 2013, vol. 47, pp. 108-139. (In Russian)

10. Vasil'eva O. Some Results of Numerical Investigation of the Carleman System. XXIV R-S-P Seminar — Theoretical Foundation of Civil Engineering, TFoCE 2015, Procedia Engineering 24th. 2015, vol. 111, pp. 834-838.

11. Vasil'eva O.A. Chislennoe issledovanie sistemy uravneniy Karlemana [Numerical Study of the Carleman Equation System]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 6, pp. 7-15. (In Russian)

12. Illner R., Reed M.C. Decay the Equilibrium for the Carleman Model in a Box. SIAM J. Appl. Math. 1984, vol. 44, no. 6, pp. 1067-1075.

13. Adzhiev S.Z., Amosov S.A., Vedenyapin V.V. Odnomernye diskretnye modeli kineticheskikh uravneniy dlya smesey [One-Dimensional Discrete Models of Kinetic Equations for Mixtures]. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Computational Mathematics and Mathematical Physics Journal]. 2004, vol. 44, no. 3, pp. 553-558. (In Russian)

14. Il'in O.V. Izuchenie sushchestvovaniya resheniy i ustoychivosti kineticheskoy sistemy Karlemana [Study of Existence of Solutions and Stability of the Carleman Kinetic System]. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Computational Mathematics and Mathematical Physics Journal]. 2007, vol. 47, no. 12, pp. 2076-2087. (In Russian)

15. Aristov V.V. Direct methods for solving the Boltzmann equation and study of non-equilibrium flows. Fluid Mechanics and its Applications. Kluwer Academic Publishing, 2001, vol. 60, 312 p.

16. Radkevich E.V. Matematicheskie voprosy neravnovesnykh protsessov [Mathematical Aspects of Nonequilibrium Processes]. Novosibirsk, T. Rozhkovskoy Publ., 2007, 300 p. (In Russian)

17. Radkevich E.V. The Existence of Global Solutions to the Cauchy Problem for Discrete Kinetic Equations (Non-Periodic Case). Journal of Mathematical Science. 2012, vol. 184, no. 4, pp. 524-556.

18. Euler N., Steeb W.-H. Painleve Test and Discrete Boltzmann Equations. Australian Journal of Physics. 1989, vol. 42 (1), pp. 1-10.

19. Frishter L.Yu. Analiz napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya v vershine prjamougol'nogo klina [Analysis of the Stress-Strain State in a Rectangular Wedge Apex]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 5, pp. 57-62. (In Russian)

20. Bobyleva T.N. Opredelenie rezonansnykh chastot osesimmetrichnykh kolebaniy pologo shara s ispol'zovaniem uravneniy dvizheniya trekhmernoy teorii uprugosti [Determination of Resonant Frequencies of Axisymmetric Vibrations of a Hollow Sphere Using Equations of Motion of Three-Dimensional Theory of Elasticity]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no 7, pp. 25-32. (In Russian)

21. Bobyleva T.N. Opredelenie rezonansnykh chastot osesimmetrichnykh kolebaniy up-rugogo izotropnogo pologo shara na osnove uravneniy dvizheniya Lame [Determination of Resonant Frequencies of Axisymmetric Vibrations of Elastic Isotropic Hollow Sphere on the Basis of Lamé Equations of Motion]. Estestvennye i tekhnicheskie nauki [Natural and Technical Sciences]. 2015, no. 3 (81), pp. 46-49. (In Russian)

22. Vasil'eva O.A. Programmnyy modul' CORFUN 1.2.-2 [Software module CORFUN 1.2.-2]. Matematika. Komp'yuter. Obrazovanie : trudy 18-j mezhdunarodnoy shkoly-konferen-tsii (g. Pushchino, 24-30 yanvarya 2011 g.) [Mathematics. Computer. Education : Triannual 18th International School Conference (Town of Pushchino, 24-30 of January, 2011)]. Moscow, Zhenshhiny v nauke i obrazovanii Publ., 2011, issue 18, p. 193. (In Russian)

About the author: Vasil'eva Ol'ga Aleksandrovna — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Advanced Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU),

26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected].

For citation: Vasilyeva O.A. Chislennoe issledovanie kraevoy zadachi dlya sistemy uravneniy Karlemana [Numerical Investigation of the Boundary Value Problem for the Carleman System of Equations]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2016, no. 12, pp. 23-33. DOI: 10.22227/1997-0935.2016.12.23-33