CC BY
24
проектирование и конструирование
строительных систем. проблемы механики в строительстве
УДК 517, 517.9,536, 624.041
С.А. духновский
НИУМГСУ
об оценках линеаризованного оператора кинетической системы карлемана
Аннотация: рассмотрены свойства оператора уравнения Карлемана. Решение задачи Коши с периодическими начальными данными ищется для малых возмущений состояния равновесия. Приведены оценки оператора, полученные с помощью теоремы Пэли-Винера и преобразования лапласа. Исследование данного оператора позволяет получить теорему существования и единственности решения, что является ключевым моментом при исследовании кинетических уравнений.
Ключевые слова: уравнение Карлемана, линеаризованный оператор, уравнение в частных производных, дискретная кинетическая модель, число Кнудсена DOI: 10.22227/1997-0935.2016.9.7-14
Одним из основных уравнений кинетической теории газов является уравнение Карлемана, которое описывает взаимодействие двух частиц [1-6]:
д1ы + дхи =1 (м>2 -и2), I >0, х ей,
8 1 (1) дw - дх^ = —(у>2 - и2),
с периодическими начальными условиями
и |(=0= u0(XX w ^=0= w0(XX
и (х) = и (x + 2п), w (х) = w (x + 2п).
Здесь и (х, t), w( х, t) — плотности двух частиц. Система Карлемана описывает комбинацию процессов: релаксацию и свободное движение. Суть релаксации заключается в том, чтобы и(х, t) ^ w(x, t), а сами частицы распространялись в разные стороны.
Линеаризованный оператор уравнения Карлемана (1) для невозмущенной задачи имеет вид [4, 7, 8]:
T (ylm) ) = dy(km) -ikyim) + 4we 1 y-Г - 4ikwe 1 je^ytd = fk,
v ! dt e sJ0 (2)
ykm)U = 0, |k| = 1, ..., m.
Лемма. Пусть 0 < m0 < 1 . Тогда существует c > 0, не зависящее от e,
4w e
p и для любых k е Z и Rep > -m0e, m0 - 0 имеем
ВЕСТНИК
9/2016
( т)
Т- (
Более того
Л т)
,,, < — с гу ,,
к "к,,>+, нтРв 0Н к 1к, нт
* -^-ТкТ1 ( гкт)) \k\dt к Кк '
<г 1 II
<-7 сЛг,
(т)
в2 011 к К,(*+, нт
(3)
(4)
¿2, ,(«+. нт
Доказательство. Согласно теореме Пэли-Винера [2-4], нам надо доказать, что
1
1
-<- Со.
(5)
|с(к, р)| в 0
Найдем символ оператора Т- из (2) с помощью преобразования Лапласа
с(к, р) = р -1к + — - 41км>е ——1—.
в в р + ¡к
Отсюда 1
р + ¡к
р + ¡к
с(к, р) р2 + 1 р + к2 (р - р-)(р - р+)'
(6)
Решая квадратное уравнение р + — р + к = 0, найдем его корни:
в
р.=-2»,в^4(1)-к2.
Р I
Делаем замену переменных р =—, к = — в (6):
в в
1
Р + ¡1
р±=1 Ч± =1 (-2^, ^4^2 -12).
в в V /
= в
(к, р) (р-Ч_)(Р-Ч+):
1) к > 3м. - ^ Л > 3м., 1т Р > 0: в
1
Р + ¡¡\
= в 7
<вТ
Ч+ + ¡¡I
1
Р -<
|а(к, р)| |Р - д_\\Р - ч+| |Р - д_\\Р - ч+, , _ Распишем каждое слагаемое:
1 - 1 - 1 к + ¡¡I X + У4^2 +1
<-
1
Р - Ч-\ л//2^^^^ Р - Ч-||Р - Ч
Здесь
|Р - Ч+12 = (ЯеР + 2^, )2 + (1тР /2 - 4)2 > (-^в2 + 2м, )2 > 0 если ЯеР >-т0в2, 0 <т0в2 < 2^
Р - Ч+Г
Тогда
1
|s(k, p)\
<8
J4w
i
+12
w„
(-moe2 + 2w) ф^
Также для Im P < 0 имеем
1 \q + il\
<8T ' ' '
1
s(k, p)\ P -q\\P -q+ P-<
<
( J4w <8 1 +
+1
Л
л/5
w„
1
1
y(-moe2 + 2we) V5W 2) 2we < |l| < 3we :
p _ q_ |2 = (ReP + 2we )2 + (ImP + J12 - 4we2 J > (0s2 + 2we )2 > 0;
|P - q+12 = (ReP + 2we )2 + (ImP -yjl2 - 4we2 )2 > (-iV + 2we )2 > 0. Согласно вышеуказанным неравенствам, получаем оценку
<8
^4we2 + we2 [S - 3)
ls(k, p)\ (-m082 + 2we )2 (-mo82 + 2we)' 3) 8<|l| <2we:
\P _ q_ |2 = (ReP + 2we +<J4we2 -l2+ (ImP)2 > (0s2 + 2we )2 > 0;
P - q+Г
Имеем 1
Re P
<8t
2we + 4w2 - l2 q + il\ 1
(ImP)2 >84
4w„
> 0.
s(k, p) P - q|P - q+ P-<
2л/2
w„
mo+4^)(-то82+W (-mo82
\ e J
1 2
если 0 < mo <-, Re P > -mo8 .
4We
4) Выделим последний случай при k = 0: 1 1
<- с.
|s(k, p)|
<8
k=o
-mo82 + 2we
Таким образом, получаем искомую оценку (3).
Перейдем к доказательству второй оценки. В символах преобразования лапласа нам надо доказать, что
Б
ВЕСТНИК
9/2016
И < с
|к| |а(к, р)| 82 0 Заметим, что
Р _1 Р+( Р++ ¡к)
Р-
р+ + ¡к
кс(к, р) к к(р-р-)(р-р+) к(р-р-) к(р-р-)' Возможны случаи:
1) И > 2we:
к с(к, р)
<1 + 8
(-2 we + ¡Т/27^)^ + i (/ + 7/^-^))
+8
(-2we -¡у!/2-^)
/(Р - д_)
I(р - р - д+)
(-2 we + i (/ + ))
/ (Р -
= 1 + 11 + / 2 + Iз.
Оценим каждое слагаемое отдельно для нашего случая.
1 ( 2 | + | + |/|)
12 +1з <8
(-т082 + 2We )
2) 8<|/| <2we: Тогда
12 + 1з <
-2w + л/4w2 - /2
е \ е
+ И
(-тое2 + 2We )
Осталось оценить слагаемое 11. Имеем для |/| > 2we, 1т Р > 0:
11 =
р+( р+ + ¡к )
к(р - р-)(р - р+)
д+( д+ + ¡й)
/(р - р - 9+)
<
<8
М ч+ + ¡1 )|
2we (-т082 + 2we)(1тР )
Сделаем следующую замену 1т Р = ^Т/77^. тогда
I <в-
\ч+ (+ +11 )|
' ф2 - 4^2 (е2 + 2^) ( +1) Ф2 - 4м>1 (е2 + 2^) Если же 1тР < 0, получим вышеуказанную оценку.
2) е< |/| <2 н>е:
/
J < q+(q+ + il) < , (7)
где
: l (P - q_)(P - q+) \P - q_\\P-< \P - q_|>-moS2 + 2w., |P - q+|>
>(-m0s2 + 2w -44w2 -12 )>
>s2
( 1 ^ -m0 +—
v 4we у
> о,
1 2
если 0 < m0 <-, Re P > -ц0s .
4We
Применяя данные неравенства к (7):
J <s q+(q++il) <__<_1c
- l(P - q-)(P - q+)"s2 (_mos2 + 2We + J-) <<^ °
Складывая все неравенства, будем иметь оценку (4).
Система (1) является кинетической системой уравнения Больцмана. Изучение свойств системы Карлемана и нахождение ее решений позволяет исследовать более сложные модели, такие как системы Годунова-Султангази-на [1] и Бродуэлла [5] для трех и четырех частиц соответственно. Численное исследование уравнения Карлемана проводится в [8-10], а именно численно исследуются математическое ожидание, дисперсия и другие характеристики решения системы Карлемана.
Библиографический список
1. Годунов С.К., Султангазин У.М. О дискретных моделях кинетического уравнения Больцмана // Успехи математических наук. 1974. Т. XXVI. Вып. 3 (159). С. 3-51.
2. Радкевич Е.В. О поведении на больших временах решений задачи Коши для двумерного кинетического уравнения // Современная математика. Фундаментальные направления. 2013. Т. 47. С. 108-139.
3. Васильева О.А., Духновский С.А., Радкевич Е.В. О локальном равновесии уравнения Карлемана // Проблемы математического анализа : межвуз. сб. СПб., 2015. Т. 78. С. 165-190.
4. Radkevich E.V., Vasileva O.A., Dukhnovskii S.A. Local equilibrium of the Carleman equation // Journal of Mathematical Science. 2015. Vol. 207. No. 2. Pp. 296-323.
5. Ильин О.В. Стационарные решения кинетической модели Бродуэлла // Теоретическая и математическая физика. 2012. Т. 170. № 3. С. 481-488.
6. Ильин О.В. Изучение существования решений и устойчивости кинетической системы Карлемана // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2007. Т. 47. № 12. С. 2076-2087.
7. Васильева О.А., Духновский С.А. Условие секулярности кинетической системы Карлемана // Вестник МГСУ 2015. № 7. С. 33-40.
8. Васильева О.А. Численное исследование системы уравнений Карлемана // Вестник МГСУ 2015. № 6. С. 7-15.
9. Vasil'eva O. Some results of numerical investigation of the carleman system // XXIV R-S-P Seminar — Theoretical Foundation of Civil Engineering, TFoCE 2015 : procedia Engineering. 24th. 2015. Vol. 111. Pp. 834-838.
10. Васильева О.А. Численное исследование дискретных кинетических уравнений // Математика. Компьютер. Образование : тр. XXIII Междунар. конф. (г. Дубна, 25-30 января 2016 г.). Ижевск, 2016. Вып. 23. С. 192.
11. Больцман Л. Избранные труды / пер. с нем. М. : Наука. 1984. 589 с. (Классики науки)
12. Карлеман Т. Математические задачи кинетической теории газов / пер. с фр. В.-К.И. Карабегова ; под ред. Н.Н. Боголюбова. М. : Изд-во иностр. лит., 1960. 120 с. (Библиотека сборника «Математика»)
13. Радкевич Е.В. О дискретных кинетических уравнениях // Доклады Академии наук. 2012. Т. 447. № 4. С. 369-373.
14. RadkevichE.V. The existence of global solutions to the Cauchy problem for discrete kinetic equations // Journal of Mathematical Science. 2012. Vol. 181. No. 2. Pp. 232—280.
15. Broadwell T.E. Study of rarified shear flow by the discrete velocity method // J. of Fluid Mechanics. 1964. Vol. 19. No. 3. Pp. 401-414.
16. Аджиев С.З., Амосов С.А., Веденяпин В.В. Одномерные дискретные модели кинетических уравнений для смесей // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. Т. 44. № 3. С. 553-558.
17. Беленький В.З., Васильева О.А., Кукаркин А.Б. Программный модуль «Алгебра дифференцирования TAYLOR»: результаты численных экспериментов, сообщение о версии 2.1 // Кибернетика и системный анализ. 1997. Т. 33. № 3. С. 171-184.
18. Aristov V., Ilyin O. Kinetic model of the spatio-temporal turbulence // Phys. Lett. A. 2010. Vol. 374. No. 43. Pp. 4381-4384.
19. Aristov V.V. Direct methods for solving the Boltzmann equation and study of nonequilibrium flows. Kluwer Academic Publishing, 2001. 312 p.
20. Радкевич Е.В. Математические вопросы неравновесных процессов. новосибирск : Изд. Т. Рожковская, 2007. Т. 4. 387 с. (Белая серия в математике и физике)
21. Фриштер Л.Ю. Анализ напряженно-деформированного состояния в вершине прямоугольного клина // Вестник МГСУ 2014. № 5. С. 57-62.
22. Духновский С.А. Система уравнений Карлемана. Условие секулярности // Математика. Компьютер. Образование : тр. XXIII Междунар. конф. (г. Дубна, 25-30 января 2016 г.). Ижевск, 2016. Вып. 23. С. 197.
Поступила в редакцию в апреле 2016 г.
Об авторе: духновский Сергей Анатольевич — аспирант кафедры высшей математики, Национальный исследовательский московский государственный строительный университет (ННУ мгСУ), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected].
Для цитирования: Духновский С.А. Об оценках линеаризованного оператора кинетической системы Карлемана // Вестник МГСУ 2016. № 9. С. 7-14. DOI: 10.22227/1997-0935.2016.9.7-14
S.A. Dukhnovskiy
ON ESTIMATES OF THE LINEARIZED OPERATOR OF THE KINETIC CARLEMAN SYSTEM
Abstract: In this article the author discusses the properties of linearized operator for the Carleman equation for unperturbed problem, i.e. without the perturbation operator. The solution of the Cauchy problem with periodic initial data is searched for small perturbations of the equilibrium state. The estimates are obtained using the
Paley-Wiener theorem and the Laplace transformation. It is assumed that the solutions of the Cauchy problem split into the superposition of weakly interacting solutions and decreasing dispersive waves. The Carleman equation describes a combination of processes: relaxation and free movement. The aim of relaxation is to spread the particles in different directions.
Such a system simulates some properties of the Boltzmann equation. The kinetic Carleman equation is a system of two nonlinear differential equations describing transportation processes and interaction of two classes of particles moving with the same speed in modulus in different directions on the line. This system belongs to the class of non-integrable equations which leads to important consequences. Namely, such a system can detect the irregular behavior of the solutions. The Carleman system occupies a special position with respect to other systems and allows us to prove the global existence theorem. In the works by Il'in the question of the stability of stationary but spatially inho-mogeneous solutions of the Carleman system is posed. In the case of the discrete model the solution is stable in time for the homogeneous problem.
Key words: Carleman equation, linearized operator, partial differential equation, discrete kinetic model, Knudsen number
References
1. Godunov S.K., Sultangazin U.M. O diskretnykh modelyakh kineticheskogo uravneniya Bol'tsmana [On Discrete Models of Kinetic Boltzmann Equation]. Uspekhi matematicheskikh nauk [Russian Mathematical Surveys]. 1974, vol. XXVI, no. 3 (159), pp. 3-51. (In Russian)
2. Radkevich E.V. O povedenii na bol'shikh vremenakh resheniy zadachi Koshi dlya dvumernogo kineticheskogo uravneniya [On the Behavior of the Cauchy Problem Solutions at Large Times for Two-Dimensional Kinetic Equation]. Sovremennaya matema-tika. Fundamental'nye napravleniya [Modern Mathematics. Fundamental Directions]. 2013, vol. 47, pp.108-139. (In Russian)
3. Vasil'eva O.A., Dukhnovskiy S.A., Radkevich E.V. O lokal'nom ravnovesii uravneniya Karlemana [On Local Equilibrium of Carleman Equation]. Problemy matematicheskogo analiza : mezhvuzovskiy sbornik [Problems of Mathematical Analysis. Interuniversity Collection]. Saint Petersburg, 2015, vol. 78, pp. 165-190. (In Russian)
4. Radkevich E.V., Vasileva O.A., Dukhnovskii S.A. Local Equilibrium of the Carleman Equation. Journal of Mathematical Science. 2015, vol. 207, no. 2, p. 296-323.
5. Il'in O.V. Statsionarnye resheniya kineticheskoy modeli Broduella [Stationary Solutions for Broadwell Kinetic Model]. Teoreticheskaya i matematicheskaya fizika [Theoretical and Mathematical Physics]. 2012, vol. 170, no. 3, pp. 481-488. (In Russian)
6. Il'in O.V. Izuchenie sushchestvovaniya resheniy i ustoychivosti kineticheskoy sistemy Karlemana [Investigation of the Existence of Solutions and Stability of Carleman Kinetic System]. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Computational Mathematics and Mathematical Physics]. 2007, vol. 47, no. 12, pp. 2076-2087. (In Russian)
7. Vasil'eva O.A., Dukhnovskiy S.A. Uslovie sekulyarnosti kineticheskoy sistemy Karlemana [Secularity Condition of the Kinetic Carleman System]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 7, pp. 33-40. (In Russian)
8. Vasil'eva O.A. Chislennoe issledovanie sistemy uravneniy Karlemana [Numerical Investigation of the Carleman System]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 6, pp. 7-15. (In Russian)
9. Vasil'eva O. Some Results of Numerical Investigation of the Carleman System. Procedia Engineering. 24th. XXIV R-S-P Seminar — Theoretical Foundation of Civil Engineering, TFoCE 2015. 2015, vol. 111, pp. 834-838. http://dx.doi.org/10.1016/j.proeng.2015.07.154.
10. Vasil'eva O.A. Chislennoe issledovanie diskretnykh kineticheskikh uravneniy [Numerical Investigation of Discreet Kinetic Equations]. Matematika. Komp'yuter. Obrazovanie : trudyXXIII Mezhdunarodnoy konferentsii (g. Dubna, 25-30 yanvarya 2016 g.) [Mathematics. Computer. Education : Works of the 23rd International Conference (Dubna, January 25-30, 2016)]. Izhevsk, 2016, issue 23, p. 192. (In Russian)
11. Boltzmann L. Izbrannye trudy [Selected works]. Moscow, Nauka Publ., 1984, 590 p. (Klassiki nauki [Classics of Science]) (In Russian)
12. Carleman T. Matematicheskie zadachi kineticheskoy teorii gazov [Mathematical Problems of the Kinetic Gas Theory]. Translated from French. Moscow, IIL Publ., 1960, 120 p. (Biblioteka sbornika «Matematika» [Library of the Collection of works "Mathematics"]). (In Russian)
13. Radkevich E.V. O diskretnykh kineticheskikh uravneniyakh [On Discrete Kinetic Equations]. Doklady Akademii nauk [Reports of the Academy of Sciences]. 2012, vol. 447, no. 4, pp. 369-373. (In Russian)
14. Radkevich E.V. The Existence of Global Solutions to the Cauchy Problem for Discrete Kinetic Equations. Journal of Mathematical Science. 2012, vol. 181, no. 2, pp. 232—280. DOI: http://dx.doi.org/10.1007/s10958-012-0683-9.
15. Broadwell T.E. Study of Rarified Shear Flow by the Discrete Velocity Method. J. of Fluid Mechanics. 1964, vol. 19, no. 3, pp. 401-414. DOI: http://dx.doi.org/10.1017/ S0022112064000817.
16. Adzhiev S.Z., Amosov S.A., Vedenyapin V.V. Odnomernye diskretnye modeli kineticheskikh uravneniy dlya smesey [One Dimensional Discrete Models of Kinetic Equations for Mixtures]. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics]. 2004, vol. 44, no. 3, pp. 553—558. (In Russian)
17. Belen'kiy V.Z., Vasil'eva O.A., Kukarkin A.B. Programmnyymodul'«Algebra differen-tsirovaniya TAYLOR»: rezul'taty chislennykh eksperimentov, soobshchenie o versii 2.1 [The Program Unit "Derivation Algebra TAYLOR": Results of Numerical Investigations, Message on the Version 2.1]. Kibernetika I sistemnyy analiz [Cybernetics and System Analysis]. 1997, vol. 33, no. 3, pp. 171-184. (In Russian)
18. Aristov V., Ilyin O. Kinetic Model of the Spatio-Temporal Turbulence. Phys. Let. A. 2010, vol. 374, no. 43, pp. 4381—4384. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/j.physleta.2010.08.069.
19. Aristov V.V. Direct Methods for Solving the Boltzmann Equation and Study of Non-equilibrium Flows. Kluwer Academic Publishing, 2001, 312 p.
20. Radkevich E.V. Matematicheskie voprosy neravnovesnykh protsessov [Mathematical Problems of Nonequilibrium Processes]. Novosibirsk, T. Rozhkovskaya Publ., 2007, vol. 4, 387 p. (Belaya seriya v matematike i fizike [White Series in Mathematics and Physics]). (In Russian)
21. Frishter L.Yu. Analiz napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya v vershine pryamougol'nogo klina [Analysis of Stress-strain State on Top of a Rectangular Wedge]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 5, pp. 57—62. (In Russian)
22. Dukhnovskiy S.A. Sistema uravneniy Karlemana. Uslovie sekulyarnosti [System of Carleman Equations. Secularity Condition]. Matematika. Komp'yuter. Obrazovanie : trudy XXIII Mezhdunarodnoy konferentsii (g. Dubna, 25-30 yanvarya 2016 g.) [Mathematics. Computer. Education : Works of the 23rd International Conference (Dubna, January 25-30, 2016)]. Izhevsk, 2016, issue 23, p. 197. (In Russian)
About the author: Dukhnovskiy Sergey Anatol'evich — postgraduate student, Department of Advanced Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected].
For citation: Dukhnovskiy S.A. Ob otsenkakh linearizovannogo operatora kineticheskoy sistemy Karlemana [On Estimates of the Linearized Operator of the Kinetic Carleman System]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2016, no. 9, pp. 7-14. (In Russian) DOI: 10.22227/1997-0935.2016.9.7-14
