Численное исследование образования зоны отрыва около боковой поверхности пластины конечной толщины Текст научной статьи по специальности «Математика»

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И____________

Т о м VII 1 9 7 6 № 4

УДК 533.6.011.5:533,16:532.582

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ ЗОНЫ ОТРЫВА ОКОЛО БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПЛАСТИНЫ КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНЫ

В. И. Мышенков

Численно, с помощью уравнений Навье — Стокса, решается задача обтекания длинной пластинки конечной толщины потоком газа при 0,3 С М <;0,9 и Ие^ЮОО. Исследуется течение в окрестности передней кромки пластинки и изучается перестройка течения (образование зоны отрыва) около переднего угла излома на ее боковой поверхности. Выяснена зависимость критического числа Рейнольдса перестройки течения Не0 от числа М.

В работе [1] при решении задачи обтекания прямоугольника (двумерное течение) потоком вязкого совершенного газа было обнаружено образование при некотором числе Не боковой отрывной области и слияние ее (из-за малой длины, прямоугольника) с донной отрывной областью. Однако детального исследования возникновения бокового отрыва (перестройки течения за угловой кромкой на боковой стенке) при различных числах М проведено не было. Этому вопросу и посвящена настоящая работа.

Постановка задачи. Рассмотрим задачу обтекания длинной пластинки толщиной 21 потоком вязкого совершенного газа при условии, что параметры течения заданы на границах исследуемой области: на бесконечности по Е, ■») (прямоугольные координаты) и на поверхности пластинки. Из-за наличия сложных диссипативных процессов решение задачи будем искать с помощью уравнений Навье — Стокса, которые совместно с уравнениями состояния и уравнениями Сазерленда используем в том виде, в котором они приведены в работе [2]. В качестве характерных величин принимаем параметры набегающего потока и длину £, пропорциональную полутолщине пластинки I (£ = 1,733/).

Задачу будем решать численно методом установления, предполагая существование и единственность решения при достаточно гладких краевых условиях. Поток считаем текущим слева направо.

Решение задачи будем искать в верхней полуплоскости 5к), которую для удобства интегрирования отобразим с помощью преобразования

X = 5/КРТТ, у = в прямоугольную область с координатами —1<л,<1, 0<1у<;1.

Граничные условия:

1) р = и=1, г> = 0, е = при х = + 1, 0<у< 1; у = 1, — 1 1;

2) и = и = 0, е = <?да при х = хи х2, 0<у<у1, у = Уи хх^х <.г2; ,

3) др/ду = да/ду = де\ду -- V = 0 при у = 0, — 1 -<^ х <; х,.

Здесь хх, х2, у, — координаты передней, задней и верхней поверхностей пластинки (*1 = — 0,25, х3 = 0,95, У1=0,5); р, и, V, е — плотность, составляющие

скорости %о х, у и внутренняя энергия соответственно. Индексы со, т обозначают параметры на бесконечности и на поверхности пластинки.

При первых расчетах начальные значения р, и, V, е задавались произвольно. Однако в дальнейшем для ускорения счета в качестве начальных данных использовалось решение, полученное ранее для некоторых чисел Ие и М.

Решение считаем установившимся, если норма разности векторов продольной составляющей скорости и для всей области счета, взятых в различные моменты времени, удовлетворяет условию

!1^+5О-^||<1,5.10^,

где £/* — вектор II в момент времени t — кЫ, Ы— шаг по времени при численном счете.

Задачу решаем с помощью двухшаговой разностной схемы Лакса — Вен-дроффа [3, 4], аппроксимирующей исходную систему дифференциальных уравнений Навье —Стокса с погрешностью 0(Л2). Структура схемы приведена в работе [2].

Результаты расчетов. Решение задачи обтекания пластинки вязким потоком получено при дозвуковых числах М(М=0,3; 0,5, 0,8; 0,9) и числах Ие от 50 до 1000.

Расчеты проведены с шагом сетки кх = Ау — 0,05. При решении задачи для больших чисел М и Ие применялся оператор сглаживания переменных р, и, V, е так, как это было сделано в [1, 5]*.

Исследовались особенности течения около передней кромки пластинки в рассматриваемых диапазонах чисел Ие и М. Изучались возникновение и развитие отрыва потока за угловой кромкой около поверхности пластинки. Координаты точек отрыва и прилипания потока определялись по изменению знака у напряжения трения, которое аппроксимировалось разностями со вторым порядком точности [1].

Расчеты показали, что течение около передней части пластинки при малых числах Ие (например, при Ие<;90 для М == 0,3 и Ие<!150 для М =0,8) является безотрывным благодаря тому, что силы вязкости оказываются достаточными, чтобы удержать поток около поверхности пластинки, несмотря на большой положительный градиент давления за угловой кромкой.

С увеличением числа Ие (с уменьшением сил вязкости) при некотором числе Не0, когда вязкие силы уже не могут удержать поток у твердой поверхности, на пластинке за угловой кромкой образуется закрытая отрывная зона (фиг. 1) значительных размеров (длиной порядка толщины пластинки). Далее за отрывной зоной на пластинке вновь образуется безотрывное течение.

Характерным проявлением возникновения (и существования) отрывной зоны, как показывают расчеты, является образование „ложки" (провала) у кривой распределения давления на пластинке (фиг. 2, а). Следует отметить, что момент возникновения отрыва по числу 1?е определяется не только величиной положительного градиента давления, но и соотношением (отношением) перепадов давления Др* в областях волн сжатия и разрежения за передней угловой кромкой. Чем больше это отношение при М = соле!, тем более вероятно возникновение отрыва потока (см. фиг. 2, а).

Увеличение числа М набегающего потока оказывает стабилизирующее воздействие на течение, задерживая момент возникновения отрыва, причем возникающая отрывная зона при тех же почти продольных размерах становится тоньше (см. фиг. 1). Величина положительного градиента давления у кромки (как и отрицательного) при этом существенно увеличивается, а отношение перепадов давления Др*, при которых возникает отрывное течение, уменьшается. Так, если при М = 0,3 Др* равнялось двум, то при М = 0,9 оно становится почти равным единице (фиг. 2, б). Это уменьшение коэффициента Добусловлено, очевидно, уменьшением сил вязкости с увеличением числа Ие.

Такое влияние числа М на течение можно усмотреть непосредственно из уравнений Навье — Стокса, записанных в соответствующей безразмерной форме. (Например, уравнение движения по х

др а дри2 дриу 1 др 1

д( дх ду -у М2 дх Ие и’

где Ра— вязкие диссипативные члены, 1 — показатель адиабаты). Отсюда следует, что при постоянном числе Яе воздействие градиента давления на течение с увеличением числа М уменьшается пропорционально 1/М2.

* Проверка законов сохранения по характерным контурам показала их выполнение с погрешностью не более 1%.

О)

-ом

5)

ОЛ

OS JC

Фиг. 2

г. ’ 1 др

слияние уменьшения члена ■ ^ с Увеличением числа М на течение перед точкой отрыва потока при Re = const иллюстрируется результатами, приведенными на фиг. 3, б. Так, если принять за единицу величину —при

М=0,5, то при М = 0,8 она будет равна 0,82, а при М=0,9 составит 0,73.

Поскольку возникновение отрыва определяется совместным действием градиента давления и трения на стенках, а с увеличением числа М действие grad р ослабляется, несмотря на его увеличение, естественно ожидать запаздывание момента возникновения отрыва по числу Re.

Распределение давления на передней (лобовой) стенке пластинки при различных числах Re и М показано на фиг. 3. Как видно из графиков, у угловой кромки имеется область разрежения, увеличивающегося с возрастанием числа Re. С увеличением числа М давление на передней стенке возрастает, обнаруживая увеличивающееся расхождение со значением давления, рассчитанного по теории идеальной жидкости. Ранее этот результат отмечался в работе [1].

На фиг. 4 представлены результаты исследования момента возникновения отрыва потока по числу Ие при различных числах М. Расчетные точки на графике образуют вилку, внутри которой находится точная граница по Ие момента возникновения отрыва — критическая кривая Ие0 (М). Выше этой линии (при больших числах $е) течение на пластинке всегда имеет отрывную зону, ниже — течение безотрывно. С увеличением числа М до 0,9 эта кривая монотонно поднимается, причем наклон кривой Ие (М) (т. е. дЯе0/д М) непрерывно увеличивается.

ЛИТЕРАТУРА

1. Мышенков В. И. Численное решение уравнений Навье — Стокса для задачи обтекания прямоугольника потоком газа. „Изв. АН СССР. МЖГ*, 1972, № 4.

2. Мышенков В. И. Дозвуковое и трансзвуковое течение вязкого газа в следе плоского тела. „Изв. АН СССР. МЖГ*, 1970, № 2.

3. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М., ,Мир“, 1972.

4. Thommen Н. U. Numerical integration of the Navier — Stokes

equations. ZAMP, vol. 17, N 5, 1966. .

5. Мышенков В. И. Численное исследование течений вязкого газа в следе плоского тела. „Ж. вычисл. математ. и матем. физ.“, 1972, № 3.

Рукопись поступала 29/1 1975 г.