Численное исследование обобщенного эволюционного уравнения нелинейной волновой динамики Текст научной статьи по специальности «Математика»

Механика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2013, № 1 (3), с. 25-28

УДК 539.3

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОБОБЩЕННОГО ЭВОЛЮЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ВОЛНОВОЙ ДИНАМИКИ

© 2013 г. В.И. Ерофеев12, А.И. Землянухин 3, И.А. Ковалева 3

1 Нижегородский филиал Института машиноведения им. А.А. Благонравова РАН 2 Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского 3 Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю.А.

azemlyanukhin@mail. т

Поступила в редакцию 09.10.2012

С использованием метода простейших уравнений построено точное решение пространственно -двумерного нелинейного эволюционного уравнения пятого порядка. Численный эксперимент выявил типичное солитонное поведение точного решения и бризерные эффекты при распространении гауссова импульса.

Ключевые слова: эволюционные уравнения, нелинейная волновая динамика, точные решения, численное моделирование.

Построение точных аналитических решений очень важно, но часто недостаточно для целостного исследования нелинейных эволюционных уравнений, особенно в неинтегрируемых случаях. Поэтому, как правило, вместе с аналитическим исследованием, выявляющим точные решения определенного класса, проводят еще и численное моделирование, которое позволяет наблюдать эволюцию этого решения. Такой подход выгоден еще и тем, что задание начальных условий в виде точного аналитического решения в численном эксперименте позволяет взаимно верифицировать аналитическое решение и построенную численную схему. Также в численном эксперименте можно исследовать эволюцию более сложных видов начальных условий, описание которых невозможно или затруднительно в рамках качественного анализа.

Рассмотрим нелинейное эволюционное пространственно-двумерное уравнение с постоянными коэффициентами, обобщающее известное уравнение Кадомцева - Петвиашвили и не интегрируемое при помощи метода обратной задачи рассеяния:

{и, + с, и 2их + С2 иЫхх +

+ С3ихихх + С4йххх + с5иххххх )х = Сбиуу ,

где сI - постоянные, а нижний буквенный индекс обозначает дифференцирование по соответствующей независимой переменной.

Для упрощения уравнения перейдем к новым переменным

С3/2С5/2 с

С1 С4 Г С3

‘------г----,и = и —, х = х

' С С4 С С, С5

у = у-Ы—, а =—, В=—,

С3 V С6 С3 С3

в которых оно примет вид (штрихи опускаем):

{и, + и2и + аии +

^ , х ххх

+и и + и + Ви ) = и .

х хх ххх ххххх х уу

(2)

х хх ххх ххххх х уу

Будем решать уравнение (2) с помощью метода простейших уравнений [1]. Так как нас интересуют уединенно-волновые решения, в качестве простейшего уравнения используем уравнение Риккати

У = —У2 + аУ + Ь

(3)

— ^4Ь + а2 (г + С2)

(1)

с решением

... ч 1 ^4Ь + а2

У (г) = — а +---------1апп

2 2

где а и Ь будут определены позднее из переопределенной системы уравнений, С2 - произвольный параметр.

Переписывая уравнение (2) в переменных бегущей волны и(х, у,,) = и(г), г = х + к^у — С, , после однократного интегрирования получаем:

—(С„ + к?)и + —и 3 + — (1 — а) и2 +

( 0 —) 3 2 а г (4)

+аии22 + и22 + Ри2222 = 0.

Подставляя и = Ага в уравнение, содержа-

щее

только

доминантные

члены

и3 / 3 + ]Зу2222 = 0 , находим порядок сингулярно-

С

С

С

3

4

3

Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14.B37.21.2019 «Проблемы динамического состояния сложных сред и конструкций».

сти общего решения уравнения (2) - а = 2. Таким образом, точное решения будем искать в виде:

и(2) = Л,+ Л/ + А2Г 2 + Б, ^^^ + в2 ^^^ , (5)

где 4, Б - произвольные постоянные.

С учетом (3) получаем: и(2) = (Л2 + Б2)У2 + (4 - Б - 2аБ2)У +

+Л + аБ + Б (°2 - 2Ъ) + (6)

ЪБ, + 2аЪБ Б2Ь2 + —1-------- + ——

шем первые два уравнения:

(144Б - 36Б- - 2Б\ )Ъ7 = 0, (-5ББ - 40ББ - 24Д --166аБ- -12гБ23 - 528а£2)Ъ6 = 0. Решение системы имеет вид:

а = ^-4Ъ + ^-5 + 5С0 + 5к2, Л = 1 + 12Ъ -^/-5 + 5С0 +5к 2, Л = 12^1 -4Ъ + ^-5 + 5С0 + 5к2,

и( х, у, ґ) = 2К +1 --3К 1апЬ2 {~^К (х + кху - Сйґ)

и(х, у, ґ) = Збєс И

— ( х + к1 у - С0 ґ)

Ах = 0.25 — длина шага по х, Лу = 0.25 - длина шага по у, Л, = 0.001 - длина шага по времени.

У У2

Подставляя (6) в (2) и приравнивая члены с одинаковой степенью У , получаем переопределенную систему уравнений. При произвольных коэффициентах а и в решение системы очень громоздко, поэтому выберем конкретные значения коэффициентов а = 1, в=1/5 и выпи-

(7)

(8)

А = —12, В = В = В = 0.

Подставляя найденные коэффициенты в разложение (6) с учетом (3), получаем точное решение уравнения (2) в виде:

(9)

К = ^ 5 (С„ +к2 — 1), где ^ и к\ - произвольные постоянные, для которых выполняется соотношение С + к2 > 1 . Решение при С0 =1/5, к]=1 имеет вид (рис.1):

(4К,

Для верификации полученного уединенноволнового решения оно было выбрано в качестве начального условия в численном эксперименте. Вычисления проводились с помощью полунеявной псевдостпектральной схемы [2, 3] с параметрами: 256 х 64 - размерность сетки,

Рис. 1. Точное решение

Заметим, что уравнение (2) имеет смешанную производную , что неудобно для построения спектральной схемы. Интегрируя по х, получаем интегральную форму уравнения (2):

х

и, + и\ + аииххх +иххх + Виххххх = 4 иуу^.

0

Однако основную проблему составляет наличие зависимости функции и от поперечной координаты у . Так как интегральный член,

содержащий эту поперечную неоднородность, линейный, его вычисление можно вынести за рамки спектральной схемы. Таким образом, моделирование будет происходить в два этапа:

• вычисление значения функции и на новом временном слое с помощью псевдоспек-трального алгоритма для уравнения без правой части.

• вычисление интегрального члена

х

51 иууёх любым удобным методом интегриро-

0

вания, например методом трапеций или методом Фурье-интегрирования - домножение Фурье-образа функции на 1/ и вычисление обратного преобразования.

Устойчивость и сходимость метода проверялась вариацией параметров & и ёх. При изменении этих величин вдвое относительно вышеприведенных данных получающиеся решения отличались не более чем на доли процента.

Фронт уединенной волны распространяется без возмущений в положительном направлении оси х (рис. 2, 3), что говорит о достоверности полученного аналитического решения.

Также было рассмотрено начальное условие в виде гауссова импульса (рис. 4):

и0 (х, у) = 9бЄС И2

х - 32

Бес И (у - 8), (10)

при следующих значениях коэффициентов:

С = 2, с = 1, С = 1, С = 0.1, С = 5, С = 1.

Такой выбор коэффициентов позволяет наблюдать характерные «бризерные» эффекты на переднем фронте эволюционирующего возущения.

Купол возмущения движется вперед (по х ), одновременно расплываясь в стороны (по у ),

причем последний эффект преобладает (рис. 5).

Двигаясь вперед фронт расщепляется на три части (рис. 6).

Рис. 6. (1=7)

Первые два фронта движутся быстрее и уносят с собой большую часть энергии возмущения. Наиболее интересным оказывается волновая картина вблизи центров первого и второго фронтов (рис. 6, 7).

Имея близкую амплитуду (А « 5.0), возмущения около центров фронтов начинают «дышать», обмениваясь энергией. Этот эффект очень близок по своей природе к распространению бризера в одномерном случае уравнения (1), при с6=0 (рис. 8).

Рис. 7. (1=9)

Список литературы

1. Kudryashov N.A. Simplest equation method to look for exact solutions of nonlinear differential equations; Chaos, Solitons and Fractals 24 (2005) 1217-1231

2. Ерофеев В.И., Землянухин А.И., Катсон В.М.; Нелинейные продольные магнитоупругие волны в стержне. Нелинейный мир. 2009. № 7. С. 533-540.

3. Orszag S. Pseudospectral method // Stud. Appl. Math. 1971. V. 50. P. 293-327.

NUMERICALLY ANALYZING THE GENERALIZED EVOLUTION EQUATION OF NONLINEAR WAVE

DYNAMICS

V.I. Yerofeyev, A.I. Zemlyanuhin, I.A. Kovalyova

Using the simplest equation method, an exact solution of a fifth-order spatial-two-dimensional nonlinear evolution equation is constructed. A numerical experiment discovered typical soliton behavior of the exact solution and breezer effects in the propagation of Gauss pulse.

Keywords: evolution equations, nonlinear wave dynamics, exact solutions, numerical modeling.