CC BY
39
УДК 517.957
А.И. Землянухин, А.В. Бочкарев
ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ОБОБЩЕННОГО ЭВОЛЮЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ
ВОЛНОВОЙ ДИНАМИКИ
Построение точных решений нелинейных уравнений в частных производных, возникающих в приложениях, является сложной и актуальной проблемой. В задачах нелинейной волновой динамики возникают нелинейные эволюционные уравнения, аналитическая структура которых многократно усложняется при учете всех реальных факторов.
Обобщенное эволюционное уравнение, задачи нелинейной волновой динамики
A.I. Zemlyanukhin, A.V. Bochkarev
ACCURATE SOLUTION FOR GENERALIZED EVOLUTION EQUATIONS OF NONLINEAR WAVE DYNAMICS
Construction of accurate solutions for nonlinear partial differential equations arising in applications is a challenging problem. In tasks of nonlinear wave dynamics appear nonlinear evolution equations with the analytical structure becoming more complicated many times under all the real factors.
Partial evolution equation, tasks of nonlinear wave dynamics
Рассмотрим нелинейное эволюционное пространственно-двумерное уравнение с постоянными коэффициентами, обобщающее известное уравнение Кадомцева - Петвиашвили и не интегрируемое при помощи метода обратной задачи рассеяния:
(ut + c,u2u + c2uu + cm u + c.u + c.u ) = cu , (1)
у t '-'1™ x 2 xxx x xx '-'4^xxx ^5 xxxxx/x 6 yy ’ ^ '
где ci - постоянные, а нижний буквенный индекс обозначает дифференцирование по соответствующей независимой переменной.
Для упрощения уравнения перейдём к новым переменным
. Vcic4
3/2 5/2
. c1 c4 . c3 .
t = t——^—, u = u —, x = x-
c3
y = y-
c32
3
C4 c 2 О cic5
—,a = —, /3 = ^5
c 6 c 3 c 32
в которых оно примет вид (штрихи опускаем):
(и + и2 и + аии + и и + и + Ви ) = и (2)
V ^ X XXX X XX XXX Г^ ХХХХХ/Х УУ ^'
Будем решать уравнение (2) с помощью метода простейших уравнений [1]. Так как нас интересуют уединённо-волновые решения, в качестве простейшего уравнения используем уравнение Риккати
У =-У2 + аУ + Ь (3)
с решением
1 у/4Ь + а2
Y (z) = — a +--------------tanh
2 2
\44b + a2 (z + C2)
где а и Ь будут определены позднее из переопределённой системы уравнений, С2 - произвольный параметр.
Переписывая уравнение (2) в переменных бегущей волны и(Х, у, ?) = и(z), z = X + к1 у — С0? , после однократного интегрирования, получаем
—(С0 + к12)и + -3 и + 2 (1 — а) и1 + auuzz + ^ + вuzzzz = 0 (4)
а 1
Подставляя и = в уравнение, содержащее только доминантные члены 3и3 +$4^ = 0,
находим порядок сингулярности общего решения уравнения (2) - а = 2. Таким образом, точное решения будем искать в виде
u( z) = A0 + A1Y + A2Y2 + B1
Y,
fv \2
— I + B2
v Y J 2 v
Y.
(5)
где Л1, В1 - произвольные постоянные.
С учетом (3) получаем
\ 2 / . „ \ ЬВЛ + 2аЬВ2 В2Ь2
и( z) = (Л2 + В 2 )У + (Л1 — В1 — 2аВ2 )У + Л0 + аВх + В 2 (а — 2Ь)+---------I----2—• (6)
Подставляя (6) в (2) и приравнивая члены с одинаковой степенью У , получаем переопределённую систему уравнений. При произвольных коэффициентах а и в решение системы очень гро-46
c3
c1
моздко, поэтому выберем конкретные значения коэффициентов а=1, в=1/5. Сама система также гро моздка, поэтому выпишем только первые два уравнения:
(144В2 - 36В22 - 2В23 Ь7 = 0
(- 5В1В22 - 4оВ1В2 - 24В1 - 166аВ22 -12гВ23 - 528аВ2 )ь6 = 0 Её решение имеет вид
(7)
а = ■у - 4Ь + д/- 5 + 5 Со + 5 к , Ло = 1 +12Ь - д^- 5 + 5 Со + 5 к2,
Лі = 12д| - 4Ь + д/- 5 + 5 Со + 5к1
(8)
Л2 =-12,
В0 = В1 = В2 = 0.
Подставляя найденные коэффициенты в разложение (6) с учётом (3), получаем решение уравнения (2) в виде
Г К л
и(X, у, г) = 2К +1 — 3К 1апЬ2
2
-(х + к1 ^ - Со г)
(9)
К = д/ 5(Со + к1 -1),
где С0 и к1 - произвольные постоянные, для которых выполняется соотношение С0 + к12 > 1. График решения при Со = 1/5, к]= 1 имеет вид (рис. 1)
Рис. 1. Точное решение
Для верификации полученного решения оно было выбрано в качестве начального условия в численном эксперименте. Вычисления проводились с помощью полунеявной псевдоспектральной схемы [2] с параметрами: 256 х 64 - размерность сетки; Дх = 0.25 - длина шага по х; Ду = 0.25 -длина шага по у, Л/ = 0.001 - длина шага по времени.
Рис. 2. (1=0)
Рис. 3. (1=20)
Фронт уединённой волны распространяется без возмущений в положительном направлении оси х (рис. 2, 3), что говорит о достоверности полученного аналитического решения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кудряшов Н.А. Simplest equation method to look for exact solutions of nonlinear differential equations / Н.А. Кудряшов // Chaos, Solitons and Fractals 24 (2005) 1217-1231.
2. Ерофеев В.И. Нелинейные продольные магнитоупругие волны в стержне / В.И. Ерофеев, А.И. Землянухин, В.М. Катсон // Нелинейный мир. 2009. № 7. Т. 7.
Землянухин Александр Исаевич -
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Прикладная математика и системный анализ»
Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Бочкарев Андрей Владимирович -
кандидат технических наук, доцент кафедры «Прикладная математика и системный анализ»
Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Статья по
Aleksandr I. Zemlyanukhin -
Dr. Sc., Professor,
Head of Department of Applied Mathematics and Systems Analysis,
Gagarin Saratov State Technical University
Andrey V. Bochkarev -
Ph. D., Associate Professor,
Department of Applied Mathematics and System Analysis,
Gagarin Saratov State Technical University
типа в редакцию 24,10.11, принята к опубликованию 01.12.11
