ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ИЗГИБА ГИБКИХ ПЛАСТИН НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Численное исследование изгиба гибких пластин на упругом основании

см см о см

о ш т

X

<

т О X X

Дао Нгок Кхоа

аспирант кафедры «Строительная и теоретическая механика», Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет, dnkhoa83@gmail.com

Филатов Владимир Владимирович

доктор технических наук, доцент, профессор кафедры «Строительная и теоретическая механика», Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет, FilatovVV@mgsu.ru

Хоанг Тхи Линь Куен

аспирант кафедры "Строительная и теоретическая механика", Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет, hoanglinhquyen@gmail.com

Пластинки и оболочки, как конструктивный элемент, широко применяются в современных технических системах, как в машиностроении, так и в строительстве. Достаточно часто встречаются задачи расчета таких конструкций в условиях взаимодействия с упругим основанием, как например, при расчете фундаментных конструкций, днищ хранилищ и резервуаров. В случае больших прогибов пластины, сравнимых с ее толщиной, необходимо учитывать не только изгибные напряжения, но и мембранные. Такие пластины условно называются гибкими, а их работа описывается нелинейными дифференциальными уравнениями фон Кармана. В данной статье предложена численная методика определения напряженно-деформированного состояния прямоугольных гибких пластин, контактирующих с упругим основанием. В качестве упругого основания принята Винклеровская модель. Решение строится на базе разностных уравнений метода последовательных аппроксимаций (МПА), обладающих рядом преимуществ по сравнению с классическими уравнениями метода конечных разностей (МКР). В статье изложен алгоритм расчета, приведены основные разрешающие уравнения. Рассмотрен пример расчета квадратной шарнирно опертой гибкой пластины, лежащей на упругом основании и загруженной распределенной нагрузкой. В методических целях показан ход решения на минимально возможной расчетной сетке. Исследована сходимость численного решения на нескольких вложенных одна в других сетках. Ключевые слова: геометрически нелинейная задача, гибкие пластины, разностные уравнения МПА, упругое основание.

Введение

Модель гибкой пластины широко применяется при расчете конструкций в таких областях машиностроения, как авиастроение, автомобилестроение, судостроение [2]. При проектировании строительных конструкций эта модель может быть востребована для расчета элементов стальных резервуаров, при проверке надежности работы конструкций, подверженных значительным деформациям. В работах [1,10,12,13] приведены результаты обследований реальных объектов, фундаменты которых за время эксплуатации получили значительные неравномерные осадки, превышающие нормативные значения. Неравномерные осадки фундаментных конструкций повлекли за собой деформации элементов каркаса сооружений. Поскольку величина перемещений в некоторых случаях сравнима с поперечными размерами несущих элементов, оценка напряженно-деформированного состояния конструкций, в том числе плит перекрытий, должна производиться по нелинейной схеме. Кроме того, значительным деформациям могут быть подвержены тонкие плиты на упругом основании, например, силовые полы по грунту, в случае неравномерных осадок или образования пустот под ними, вызванных карстовыми явлениями [14] или имеющих техногенную природу.

Краткая историческая справка развития вопроса расчета пластин в геометрически нелинейной постановке и обзор основных методов применяемых при решении подобных задач приведены в [16]. Обзор работ зарубежных авторов по расчету пластин с учетом больших прогибов и опирающихся на упругое основание, описываемое линейными и нелинейными моделями, приведен в [17, 20]. В [19] показана численная методика расчета гибких пластин, контактирующих с двухпараметри-ческим основанием Пастернака, на действие статических и динамических нагрузок. Расчет гибких пластин на винклеровском основании с учетом деформаций поперечного сдвига рассмотрен в [21]. Автор [6] рассматривает применение метода граничных элементов (МГЭ) для исследования нелинейного деформирования гибких пластин и пологих оболочек, находящихся на упругом основании и загруженных распределенными и локальными нагрузками.

Отдельно сошлемся на работы, в которых в качестве метода исследования, был применен метод конечных разностей (МКР) или его модификации. Начнем с того, что использование уравнений МКР позволяет достаточно просто получить результаты высокой точности при расчете пластин на упругом основании в линейной постановке [8]. В середине прошлого века М.С. Корнишин применил этот метод к решению нелинейных задач теории гибких пластин и пологих оболочек [9]. Применение матричной формы метода к исследованию гибких пластин и пологих ортотропных оболочек на прочность, устойчивость и колебания продемонстрировано в [7]. Исследованию сходимости метода конечных разностей при расчете гибких круглых пластин посвящена работа [15]. Значительное развитие разностные методы получили в работах профессора Габбасова Р.Ф., в том числе применительно к расчету конструкций в нелинейной постановке. В [5, 18] для расчета круглых и прямоугольных пластин с учетом больших прогибов использованы, предложенные им ранее, обобщенные уравнения метода конечных разностей, позволяющие учитывать конечные разрывы искомой функции, ее первой производной и правой части исходного дифференциального уравнения. В данной статье для определения напряженно-деформированного состояния гибких пластин на упругом основании будет использован другой разностный метод, предложенный Габбасовым Р.Ф. - метод последовательных аппроксимаций (МПА) [4].

Теория

Исследование напряженно-деформированного состояния гибких пластин при поперечном изгибе сводится к интегрированию двух нелинейных дифференциальных уравнений четвертого порядка в частных производных. Впервые они были сформулированы фон Карманом относительно функции поперечного прогиба пластины w и введенной функции напряжений Ф [11]. Приведем их здесь с учетом отпора упругого основания по модели Вин-клера, выполнив замену д на д-^:

В 2 2 д2Ф д2w д2Ф д2w

—V2V2w = —--г + —--г - 2

Н ду дх дх ду

д 2Ф д2 w 1 , ч

---+ —(д -

дхду дхду Н

1 2 2 1

— V2V2Ф =--

Е 2

2

д w д w

д2w д2w

ду дх ду дх

--2-

д2 w

(1)

2

д w

дхду дхду

В [4] получены разностные операторы МПА, обеспечивающие возможность учета конечных разрывов искомой функции, ее частных производных и правой части дифференциальных уравнений типа Пуасона. Для корректного применения этих операторов выполним преобразование уравнений (1), (2). Вводя новые переменные перейдем к четырем дифференциальным уравнениям второго порядка в частных производных. Кроме того, с учетом приведенных ниже выражений, запишем эти уравнения в безразмерном виде:

я2 д т

2

д т

дд дцг

■ = - g + Kw.

я2-

д w

я2-

д w

дд дц

д2у д V

л 2

дд дц

= -1.

дг Г +£/

дд2 дц1

где: _

g = л + ч;

■ = а.

х у — 2 — ч.а

д = — ;ц = —;v = а V;ч =-

а а В

(3)

(4)

(5)

(6)

ФН — w V = —; w = —; В а

(7)

52 -л 2 "\2,

V д w д V д w д V

Л =-;;---г- +--;;---г- — 2-

д 2 w

дц дд дд дц

а =-к

( д2 я2

д w д м>

д 2 w

Я2_ Л

д w

дд дц дддц дддц

дддц дддц

(8)

2

,где: к

ЕНа

В

(9)

Аппроксимацию уравнения (3) разностным уравнением МПА [4] нп квадратной сетке запишем для внутренних точек поля при отсутствии разрывов:

т-1,1 -1

+4т

4т

¿-1. з

т

1, з +1

т

¿+1, з-1

1-1, з +1

4т

4т,. -20т,..

1,3 1 У

¿+1, з

- т ¿+1,3+1 =-6И . Ргз +^1-

(3)

где:

= К--

1 12

(2)

Где Н - толщина пластинки; D - цилиндрическая жёсткость; q - интенсивность поперечной нагрузки, распределённой на поверхности пластины по заданному закону; Е - модуль упругости; К- коэффициент отпора упругого основания; х,у -координаты, отсчитываемые вдоль соответствующих координатных осей.

^ W ¿-1, з-1 + 4wг■-1, з + Wг■-1, з+1 + ^

+4w ¿, з-1 + 52w¿з + 4w¿, з+1 +

+W ¿+1, з-1 + 4w¿+l, з + Wг■+1, з+1

Поскольку дифференциальные уравнения (4), (5) и (6) однотипные, для их аппроксимации можем использовать один и тот же разностный шаблон. Так разностный аналог (4) для внутренних точек поля при отсутствии разрывов:

х

X

о

го А с.

X

го т

о

м о м м

см см о см

о ш

В

X

<

В

О X X

Ч-1, ]-1 + 4Ч-1,] + Ч-1, ]+1 + 4Ч, ]-1 " 20Ч/ + 4Ч, ]+1 + Ч+1,] -1 +

+4ч+1, 1+ч+1, ]+1 = - 12(т>-1' ]-1++4т'-1. 1+т-1. 1+1+ 4т 1-1+

+52т+4т, 1+1+т+1,1-1+4т+1, ] + т,+1, ]+Д

(4)

Разностные уравнения, аппроксимирующие (5) и (6) во внутренних точках поля при отсутствии разрывов, записываются по аналогии.

Кроме разностных уравнений, аппроксимирующих (3)-(б) внутри области интегрирования, необходимо по [4] записать уравнения, аппроксимирующие краевые условия. Разностное уравнение аппроксимирующее (4) в точке левого края прямоугольной области будет выглядеть так:

И2

4ч-1,] + 2Ч-1,]+1 -12К -2Ч +8Ч,]+1 +4Ч+1,] + 2Ч+1,]+1 =-24(5т-1.] + +8т-1,]+1- т-1,]+2 +74т +56т/,]+1 -10т,]+2 +5т+и +8т<+и+1 т^У

(5)

Законтурные точки при любых краевых условиях в МПА не используются.

Порядок расчета следующий. Область пластины покрывается расчетной сеткой. Для каждого узла внутри области интегрирования записывается система разностных уравнений, аппроксимирующих (3)-(б). Для учета краевых условий записываются разностные уравнения типа (13) в узлах края (ограничивающих область). Задача решается итерационно. Первая итерация выполняется при Л=0 (9), т.е. задача решается в линейной постановке (7). На следующих этапах расчета параметр g (7) уточняется, пока не будет достигнута наперед заданная точность.

Пример расчета

В методических целях покажем порядок расчета, используя минимально возможную расчетную сетку. В качестве примера рассмотрим шар-нирно опёртую гибкую квадратную пластинку со свободно сближающимися краями, загруженную равномерно распределённой нагрузкой (рис. 1).

Толщина пластинки Н = 0,1 см, сторона а = 10 см, нагрузка д = 0,5 кг/см2, модуль упругости материала Е = 0,75■ 106 кг/см2 и коэффициент Пуассона у = 0,316; отпор упругого основания К=2,15кг/см3.

Краевые условия [3] на сторонах £ = 0 и

£ = 2И:

ч = 0, т = 0,

= 0,

8 у

= 0,

8 у

= 0.

8] 8£8] На сторонах ] = 0 и т = 2И получим те же граничные условия, поменяв £ на т . Рассмотрим квадратную сетку при минимальном числе разбиений с шагом И=1/2 (рисунок 1).

Записав разностную аппроксимацию (3), (4), (5), (6) по МПА [4] и учитывая краевые условия, для точки 11 получим:

2„ , 13 к И2 ч (14)

-20т11 = 6И . £п + — к.И . Ч11 20- 13И2

-20Ч11 =--т,,.

3 11

20 13И2 _ -20^11 = —— /11 .

20 / 13И2 -20 /11 =—^«11-

(15)

(16) (17)

На первой итерации задача решается при Я = 0. Перед второй итерацией по найденным значениям прогибов численно определяем необходимые для расчёта частные производные.

Используя (9) и (14)-(17) выразим в и Я1. Подставив их в (7) получим:

3600 +169К.И4- - 2,6627 к—3

-^11 =

234И4 Решая

- Ч

найдём

получим

И4

это уравнение, Ч11 = Чп • а = 0,00875 • 10 = 0,0875 см .

Через 15 циклов итераций ч11 = 0,088см.

Результаты расчета с учетом уменьшения значения шага сетки получены с помощью пакета прикладных программ математического моделирования R2017b». Полученные на разных сетках результаты сведены в таблицу 1. На рисунке 2 представлены графики сходимости решения в зависимости от количества итераций. Результаты представлены для четырех вложенных одна в другую расчетных сеток.

Рисунок 1. Шарнирно опёртая гибкая квадратная пластинка со свободно сближающимися краями.

Таблица 1.

15 20 25

number of iterative circle

Рисунок 2. Графики изменения максимального прогиба по номеру цикла итерации при шагах: а) И = 1/4; в) И = 1/8; г)

И = 116; д) И = 1/32.

h h = 1/4 h = 18 h = 116 h = 1/32

Номер цикла итерации 36 52 35 40

Максимальные прогибы (см) 0,1097 0,1168 0,1177 0,1180

Вывод

Приведенные результаты показывают высокую эффективность применения уравнений МПА к расчету пластинок на упругом основании в нелинейной постановке с использованием ЭВМ.

Литература

1. Бартоломей М.А. Численный анализ процесса развития трещин при неравномерных осадках сооружения. Вычислительная механика сплошных сред. 2012.Т.5 №2. С. 217-224.

2. Бураковский Е.П, Бураковский П,Е. Исследование упругопластического поведения пластин при больших деформациях, Известия КГТУ. 2012. №25. С. 143-150.

3. Вольмир А.С. Гибкие пластинки и оболочки, Москва: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.

4. Габбасов Р.Ф, Габбасов А.Р, Филатов В.В. Численное построение разрывных решений задач строительной механики., Москва: Изд-во АСВ, 2008. 280 с.

5. Габбасов Р.Ф, Уварова Н.Б. Численный метод расчета круглых плит в геометрически нелинейной постановке. Вестник МГСУ, Том 12, выпуск 6 (105). 2017. С. 631-635.

6. Грибов А.П. Решение задач нелинейного деформирования пластин и пологих оьолочек на упругом основании методом граничных элементов. Вестник УлГТУ, №2, 2000. С. 40-46.

7. Ельмуратов С.К. Применение матричной формы метода конечных разностей к расчету гибких пологих ортотропных оболочек на прочность, устойчивость и динамику. Наука и техника Казахстана, № 2, 2001, с.192-195.

8. Комлев А. А., Макеев С. А. Расчет прямоугольных пластин на упругом основании методом конечных разностей. Динамика систем, механизмов и машин. 2017. Том 5, № 1. С. 29-34.

9. Корнишин М.С, Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения, Москва: Наука, 1964.

10. Степанов М.А., Мальцева Т.В., Краев А.Н., Бартоломей Л.А, Караулов А.М. Устранение прогрессирующего развития неравномерности осадок многоэтажного жилого дома на ленточных свайных фундаментах. Интернет-журнал «Науковедение», Том 9, №4, 2017.

х х

О

го >

п.

X

го m

о

ю о ю ю

es es o es

o

Ш

m

X

<

m O X X

11. Тимошенко С.П, Войновский-Кригер С, Пластинки и оболочки, Москва: Государственное издательство физико-математикой литературы, 1963.

12. Торгашев В.В, Герасимов В,М., Стетюха В.А. Исследование деформаций жилого дома в изменившихся геокриологических условиях площадки строительства. Вестник ЧитГУ, №4 (45), 2007. С. 44-49.

13. Хо Чантха, Зотова Е.В., Акопян В.Ф., Гуса-ренко С.П. Численная оценка НДС конструкций по результатам геодезических наблюдений за деформациями здания. Вестник ТГАСУ, №1, 2012. С. 151159.

14. Цветков Р.В., Шардаков И.Н. Моделирование деформационных процессов в системе «грунтовое основание - фундамент - здание» при наличии карстовых явлений. Вычислительная механика сплошных сред. 2010.Т.3 №3. С. 102-116.

15. Юлдашев А., Бекчанов Ш.Э., Ахралов Х.З. Исследование сходимости метода конечных разностей при расчете гибких круглых пластин. Вестник науки и образования. №9(87), часть 1. 2020, с.17-20.

16. Madyan A. Al-Shugaa, Yusain J. Al-Gahtani, Abubakr E.S. Musa. Automated Ritz Method for Large Deflection of Plates with Mixed Boundary Conditions. Arabian Journal for Science and Engineering, 2020.

17. Mohammed M. Hussein Al-Tholaia, Husain Jubran Al-Gahtani. RBF-based meshless method for large deflection of elastic thin plates on nonlinear foundations. Engineering Analysis with Boundary Elements 51 (2015) 146-155.

18. Natalia Uvarova and Radek Gabbasov. Calculation of plates in a geometrically nonlinear setting with the use of generalized equations of finite difference method. MATEC Web of Conferences 196, 01024 (2018).

19. Omer Civalek. Nonlinear analysis of thin rectangular plates on Winkler-Pasternak elastic foundations by DSC-HDQ methods. Applied Mathematical Modelling 31 (2007) 606-624. doi:10.1016/j.apm.2005.11.023.

20. Qiang Yua, Hang Xua'*, Shijun Liaoa. Nonlinear analysis for extreme large bending deflection of a rectangular plate on non-uniform elastic foundations. Applied Mathematical Modelling 61 (2018) 316-340.

21. Sergey Trushin1, Elena Sysoeva , and Michail Gandjountsev. Nonlinear analysis of flexible plates lying on elastic foundation. MATEC Web of Conferences 106, 04007 (2017).

Numerical research of bending flexible plates on elastic foundations Dao Ngoc Khoa, Filatov V.V., Hoang Thi Linh Quyen

Moscow State Construction University

JEL classification: C10, C50, C60, C61, C80, C87, C90_

Plates and shells, as a structural element, are widely used in modern technical systems, both in mechanical engineering and in construction. Quite often there are problems of calculation of such structures in the conditions of interaction with an elastic foundation, such as, for example, in the calculation of foundation structures, bottoms of storages and reservoirs. In the case of large plate deflections comparable to its thickness, it is necessary to take into account not only bending stresses,

but also membrane ones. Such plates are conditionally called flexible, and their operation is described by non-linear Von Karman differential equations. This article proposes a numerical method for determining the stress-strain state of rectangular flexible plates in contact with an elastic foundation. The Winkler model is adopted as an elastic foundation. The solution is based on the difference equations of the method of successive approximations (MSA), which have a number of advantages over the classical equations of the finite difference method (FDM).

The article describes the calculation algorithm and also provides the main resolving equations. An example of calculating a square pivotally supported flexible plate lying on an elastic foundation and loaded with a distributed load is considered. For methodological purposes, the course of the solution on the smallest possible computational grid is shown. The convergence of the numerical solution on several nested one in other grids is studied.

Keywords: geometric nonlinear problem, flexible plates, method of serial approximation (MSA), elastic foundations.

References

1. Bartolomey M.A. Numerical Analysis of the Process of Crack Propagation

under Uneven Settlement of a Structure. Computational mechanics of continuous media. 2012.V.5 No.2. pp. 217-224.

2. Burakovsky E.P., Burakovsky P.E. Study of the elastoplastic behavior of

plates under large deformations, Izvestiya KSTU. 2012. No. 25. pp. 143150.

3. A.S. Volmir. Flexible plates and shells, Moscow: State publishing house of

technical and theoretical literature, 1956.

4. Gabbasov R.F., Gabbasov A.R., Filatov V.V. Numerical construction of

discontinuous solutions to problems of structural mechanics. Moscow: Izd-vo ASV, 2008. 280 p.

5.Gabbasov R.F., Uvarova N.B. Numerical method for calculating round slabs in a geometrically nonlinear formulation. Vestnik MGSU, Volume 12, issue 6 (105). 2017. S. 631-635.

6. Gribov A.P. Solving problems of nonlinear deformation of plates and

shallow shells on an elastic foundation by the boundary element method. Bulletin of UlSTU, No. 2, 2000. S. 40-46.

7. Elmuratov S.K. Application of the matrix form of the finite difference method

to the calculation of flexible shallow orthotropic shells for strength, stability and dynamics. Science and technology of Kazakhstan, No. 2, 2001, p.192-195.

8. Komlev A. A., Makeev S. A. Calculation of rectangular plates on an elastic

foundation by the finite difference method. Dynamics of systems, mechanisms and machines. 2017. Volume 5, No. 1. S. 29-34.

9. Kornishin M.S., Nonlinear problems of the theory of plates and shallow

shells and methods for their solution, Moscow: Nauka, 1964.

10.Stepanov M.A., Maltseva T.V., Kraev A.N., Bartolomey L.A., Karaulov A.M. Elimination of the progressive development of uneven settlement of a multi-storey residential building on strip pile foundations. Internet journal "Science", Volume 9, No. 4, 2017.

11. Timoshenko S.P., Voinovsky-Krieger S., Plates and Shells, Moscow: State Publishing House of Physical and Mathematical Literature, 1963.

12. Torgashev V.V., Gerasimov V.M., Stetyukha V.A. Investigation of deformations of a residential building in the changed geocryological conditions of the construction site. Bulletin of the ChitGU, No. 4 (45), 2007. S. 44-49.

13. Ho Chantha, Zotova E.V., Akopyan V.F., Gusarenko S.P. Numerical assessment of SSS structures based on the results of geodetic observations of building deformations. Bulletin of TGASU, No. 1, 2012. S. 151-159.

14. Tsvetkov R.V., Shardakov I.N. Modeling of deformation processes in the system "soil foundation - foundation - building" in the presence of karst phenomena. Computational mechanics of continuous media. 2010.V.3 №3. pp. 102-116.

15. Yuldashev A., Bekchanov Sh.E., Akhralov H.Z. Investigation of the convergence of the finite difference method in the calculation of flexible round plates. Bulletin of science and education. No. 9 (87), part 1. 2020, pp. 17-20.

16. Madyan A. Al-Shugaa, Yusain J. Al-Gahtani, Abubakr E.S. Musa. Automated Ritz Method for Large Deflection of Plates with Mixed Boundary Conditions. Arabian Journal for Science and Engineering, 2020.

17. Mohammed M. Hussein Al-Tholaia, Husain Jubran Al-Gahtani. RBF-based meshless method for large deflection of elastic thin plates on nonlinear foundations. Engineering Analysis with Boundary Elements 51 (2015) 146-155.

18. Natalia Uvarova and Radek Gabbasov. Calculation of plates in a geometrically nonlinear setting with the use of generalized equations of finite difference method. MATEC Web of Conferences 196, 01024 (2018).

19. Omer Civalek. Nonlinear analysis of thin rectangular plates on WinklerPasternak elastic foundations by DSC-HDQ methods. Applied Mathematical Modelling 31 (2007) 606-624. doi:10.1016/j.apm.2005.11.023.

20. Qiang Yua, Hang Xua'*, Shijun Liaoa. Nonlinear analysis for extreme large bending deflection of a rectangular plate on non-uniform elastic foundations. Applied Mathematical Modelling 61 (2018) 316-340.

21. Sergey Trushin1, Elena Sysoeva , and Michail Gandjountsev. Nonlinear analysis of flexible plates lying on elastic foundation. MATEC Web of Conferences 106, 04007 (2017).