АЛГОРИТМИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ГИБКИХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН Текст научной статьи по специальности «Физика»

2020 Математика и механика № 66

удк 539.3

б01 10.17223/19988621/66/12

А. Юлдашев, Ш.Т. Пирматов

АЛГОРИТМИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ГИБКИХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН

Рассматривается построение единой вычислительной схемы решения краевых задач динамического расчета гибких пластин с использованием нелинейной теории Лява, разработка автоматизированной системы динамического расчета гибких пластин, апробация построенной автоматизированной системы и исследование напряженно-деформированного состояния гибких пластин.

Ключевые слова: алгоритм, пластина, теория упругости, сферическая пластинка.

Динамический расчёт гибких пластин используется при проектировании корпусов судов, самолетов, ракет и других технических объектов, которые наряду с достаточной прочностью должны иметь наименьший вес, достигающийся путем применения облегченных пластин и снижения запаса прочности.

В данной работе на основе метода конечных разностей разрабатывается вычислительной алгоритм решения динамических краевых задач теории гибких пластин.

В связи с этим методы динамического расчёта пластин как в классической линейной постановке, так и в геометрической нелинейной постановке задачи постоянно усовершенствуются.

В настоящей работе рассматриваются следующие вопросы:

1. Построение единой вычислительной схемы решения краевых задач динамического расчёта гибких прямоугольных пластин с использованием нелинейной теории Лява.

2. Разработка автоматизированной системы динамического расчета гибких пластин.

3. Апробация построенной автоматизированной системы.

4. Использование напряженно-деформированного состояния гибких пластин.

Проблема создания автоматизированной системы решение задач теории упругости и пластичности впервые была поставлена в монографии В.К. Кабулова [1], где сформулированы основные задачи алгоритмизация и указаны пути их машинного решения.

Задача алгоритмизации решается в четыре этапа. На первом в зависимости от геометрических свойств объекта и физических свойств материала выбирается расчётная схема конструкции. Второй этап связан с выводом исходных дифференциальных уравнений и соответствующих им граничных условий. Выбор вычислительного алгоритма и численное решение полученных уравнений составляет третий этап исследований. Четвертый этап завершается анализом полученных численных результатов, описывающих напряженно-деформированное состояние рассматриваемой конструкций.

При этом построение вычислительного алгоритма для численного решения сформулированных краевых задач представляет собой основной этап алгоритмизации.

В соответствии с проведенным анализом проблем, возникающих при автоматизации расчета тонкостенных элементов конструкций машиностроения, целесообразно остановиться на нелинейной динамической расчетной схеме гибкой однородной изотропной линейно-упругой оболочки произвольной формы, при описании движения которой учитываются как влияние сдвигов, так и инерции вращения.

Такая модель даст возможность расчета в рамках единой достаточно гибкой и быстродействующей схемы широкого класса динамических процессов, происходящих в разнообразных по форме и не слишком сильно ограниченных по толщине пластинках и оболочках, которые составляют заметную часть элементов конструкций.

Различные варианты динамических дифференциальных уравнений движения пластин достаточно хорошо разработаны и апробированы. Очевидно, что при создании системы автоматизированного расчёта не имеет особого смысла построение отдельных алгоритмов для расчёта плоских пластин.

В настоящей работе рассматриваются уравнения движения гибких прямоугольных пластин. Уравнения приводятся к удобной для вычислений безразмерной форме. Описываются конечно-разностные схемы, используемые для преобразования уравнений движения к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, по схеме Рунге-Кутты.

1. Уравнения движения прямоугольных пластин

Уравнения движения без учета влияния сдвигов и инерции вращения в геометрически нелинейной постановке в форме Лава [3, 10, 11, 12] имеют вид

ЗТ дБ л 32Ж л 32Ж , дй —1 +--Q1—;— Q2-— рк—г,

дх ду ^ дх2 2 дх Зу дТ2

Здесь

дБ дТ2 - 32Ж -г 32Ж , ду дх ду дх ду ду 31

дQ^ 307 -ЗЖ „ нЗ2Ж - ЗЖ _ , зЖ — + + Т—- + 2Б-+ Т2—- + а =рк—-.

дх ду 1 дх2 дхду 2 Зу2 312

- 12 _ _ - 12 _ _

Т1 = 7Г Б( _„ +Ц622), Т2 = 7Г Б( 811 + ^_22Х к к

Б — Б — -Б2 = П_Х2, Q1 = Б ¿V2

к2 дх

тг ^ 3 _ дй 1 (2

Q2 = Б—V2 ю, е21 —— + -\— ду дх 2 \3х

_ =дй дй дю ЗШ _ = ЗУ 1 (дю ду дх дх ду ду 2\дх

ЕИ2

Б =--цилиндрическая жесткость; Е - модуль упругости; ц - коэффи-

12(1 -ц2)

циент Пуассона; р - плотность материала; И - толщина пластин; 9 - внешняя нагрузка.

Подставляя выражения для 7], Т2, £, Q1, Q2 в (1), получаем уравнения движения в перемещениях

рИ д2 и

--- = а —— + а2 —— + а3-

Б дТ 1 сХ2 2 дУ2 дгду

д2и

д 2и

д 2и

+ а4

д 2 Я дг2

- + а5

д2 Я

- + а6

д2 Я

рИ д V

Б дТ

=7 = Ь1

д 2V

д2 V

дг

.2 + Ь2—Т + Ь3

дУ 2

дг ду дУ . - " , д2 я -

+ь4—7+ь5-+ь6

дг дУ дг2 дг ду дУ'

д2 V

д2 Я

д2 Я

(2)

рИ д я _ д я _ д V _ д я _ д я _ д » _ д я _ --:т = С-- + с2 —-—— + с3-- + с4 —— + с5--+ с6 —— + аа0,

Б дТ 1 сХ4 2 дг2дУ2 3 дУ4 4 дГ2 5 дгдУ 6 ду2

где

_ = 12 _ = 6(1 -ц) _ = 6(1 + ц)

а1 = а2 = 72 , а3 = 72 ;

И2

_ 12 дя д

а4 = —— +—V2 я, И дг дг

_ 6(1 -ц) дя д

а5 = ^— +—V2 я,

И2 дУ дУ

а = 6(1 -ц) дя - = 6(1 -ц) - = 12

а6 = 72 я^, Ь = 72 , —2 = -Г,

и 2 дУ и2 и2

-3 =

6(1+ц)

И2

- = 6(1 -ц) д» -5 = 6(1+ц) ^2 я

4 , 2 ятт ' 5 "

и 2 дУ'

И2 дг дг

— 12 дя д 2__

Ь6 =—---1--V я, с =-1, с2 =-2, с3 =-1,

6 И2 дУ дУ 1 2 3

_ 12 1дм 1 (дя

с4 = И2 Ш+2 Ьг1 +ц

ду + 1 ( дя

дУ 2 ^дУ

_ 12 ,, ч (ди ду дя дя

с5 =—т(1 -ц) I — + — +--

И V дУ дг дг дУ

_ 12 [ду 1 ( дяV

с6 = И2 |5у + 2 ы +ц

ди + 1 ( дя дг 2 V дг

12(1 -ц2)

ЕИ3

% =

9 = Ч(г, У, г).

Вводя следующие безразмерные величины:

г у и V я Ь Ь Ь —

г = —, у = —, и =—, V = —, я =—, у = —, о=—, Т = \\рИ—Т а Ь И И И а И V Б

в (2) получим

S 2u

д 2u

д 2u

д2 v

—т" = a —т + а2 —т + а3-

dt2 1 дх2 2 ду2 3 дхду

+ а.

д 2 w Sx2

- + ас

д 2 w

- + ал

д 2 w

дхду ду

д 2v

д 2 v

д 2 v

д 2u

—т" = b —- + b2 —- + b3-

дt2 1 дх2 2 ду2 3 дхду

+ b

д2 w

дх2

+ b5

д2 w

+ b6

д2 w

4 ~2 5 дхду 6 ду2

(4)

д 2 w

д4 w

-Т" = С --—+ Со-~-— + сз-■;—г с 4 -— + С5--г Сб Л

дt2 1 дх4 2 дх2 ду2 3 s -4 4 5 дхд,, 6 s ,2

д 4V

д4 w

д2 w

д2 w

- + сл

д2 w

- + С3 —- + с4 —— + с5 6 „

ду4 4 дх2 5 дхду и ду2

где а, b - длина и ширина пластины.

а1 = 12(у5)2, а2 = b(1 -ц)52, а3 = b(1 + ц)у52,

а4 = 12у 5

а5 = 6(1 + ц)у5

Sw 1 д +

дх 1252 дх

( 2 S2 w д2 w ^

Y 2—Г + —Г дх2 ду2

1

д

Sw

ду 6(1 + ц)52 ду

2

Y

2

2 д w д w дх2 ду2

а6 = 6(1 -ц)y5—, b1 = 6(1 - ц)y52 , b2 = 1252, b3 = 6(1 + ц)№)2

ду

b4 = 6(1 25-Sw, b5 = 6(1 + ^)y25

ду

1

д

Sw

дх 6(1 + ц)52 дх

2

2

2 д w д w дх2 ду2

b6 = 125

Sw 1 д +

ду 1252 ду

( 2 д2 w д2 w ^

Y 2—Г + ~Г дх2 ду2

4 -I 2 1

c1 =-Y , с2 = -2Y , сз = -1,

с4 = 12y 51 y

du + Y (Sw^ дх 25 v дх ,

+ц

dv + y ( dw _ду 25 {ду

c5 = 6(1 -ц^5| y--+---+

dv du y dw dw

дх ду 5 дх ду

с6 = 125

I dv y ( dw V

1—I — \ +m

\ду 25 { ду )

du + y (dw дх 25{дх

в = дд0, q = q^,у,z), q0 =

12(1 -Ц2),4

E

5 .

Система уравнений (4) решается в области

G = ПхГ (Q = {0 < х <1,0 < у <1}, T = {0 <t <t1})

с начальными и граничными условиями

у U=y0, уU=у0;

(5)

7,4 |г=о,

^тНт |Г= 0,

(6)

М v5^Г 1г = 0,

ду |г = 0,

где у(х, у, Т) = {и (х, у, Т), у(х, у, Т), м>(х, у, Т)}.

2. Интегрирование уравнений движения гибких прямоугольных пластин методом прямых

Система уравнений (4) с начальными и граничными условиями (5), (6) решается методом сеток в области

О = ^и1И2 *Т КИ, ={0 <Г <1,0 < у] <1} Т = {0 <Т <Т!})

1 , 1

х, = И, у = ]Ип, И = —, И2 =-, I = 1, N1, / = 1, N.

1 1 2 1 ^ 2 ^ 1

Пользуясь центральными разностными формулами, аппроксимирующими частные производные по х и у с точностью второго порядка [4-9, 13], вместо (4) получим следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

иц = _/Ч'-1, л + ау2) Я1-1, у-1 + ау3)и1-1,} + ау4Ч-1,} + ^Чч, }+1 + а(,б) Я1-1, }+1 +

+ 4\,+ а(8) я,,+ а^и,,. + а^0) я,,; + а^и,,+ а^ я,, ]+1 + + а^3) У+1, .-1 + а|,14) . + а?5-1 «1-+1,. + а(16) я^,. + а(17) у,+!,.+1 + а(18) я^,.+1,

= Ь^Щ-!,. - + Ь.Ря, -!,. - + Ь® V,-!,. + Ь^,. + Ь^ им,. +1 + Ь. ^ + +Ь(!)у1, ;-1 + Ь,(;8) я,, ;-1 + Ь^ V,. + Ь™ ,. + , ;+1 + ЬР , ;+1 + (7)

+Ьр и

+ Ь^ я,+1,. + Ьр

1+1, .+1 , У+1'

яу = <£Ч-1,. -1 + } Я1-1,. + } Я1-1,. +1 + с(4Ч,.-1 + } Ч,} + } Я1,;+1 + } Я1+1,. -1 +

+ }Я,+1,, + с(9)Я,+1, ,+1 + с^Я,-2,, + 4 1 Я,,,-2 + с(12)Я,,,2 + с™Я,+,,, + в,,

где

а® = а?7-1 = -. == а3

а Г = а Р = -а(6^ =-а !14) = а5 NlNГ

а

= а(15) = а1 N2, а(4^ = а (1б) = а4 = а р = а, N1, . = а(12) = а6 , г(9) = -2(а1 N1 + а, N22), . = -2(а4 + а6 N22),

V — Щ7 — -V — -V — ь » ъ? — V — -V — -V — ь 4 .

ъ? — ЪГ — Ъ2л2, Ъ(4 — ьр — Ъ4Л2, ьр — ьр — ЪзN2, Ъ^ — ьр — Ъ6N2, ьр — -2(Ъ2 N2 + Ъз N2), ь!0) — -2(Ъ4 Л2 + Ъб N2),

N1 N2

2

сЮ — N-2 N22с2 + с5 "Л-, с(2) — ^N¡4^1 - 2N1 N,4 + Л^,

V — N2N^£2 - С5 с(4) — -4<Сз + 6С3N4 - 2с4N2 + 4N2ЛЧ - 21^,

с(4) — с<6), с® — с(7\ V — с®, V — с®,

Ц V ' Ц V ' Ч V ' V V '

с(10) — с N4 с(11) — с Л4 с(12) — с(11) с(13) — с(10) су ~с1 Л1 , су ~с311 2, су ~су , су ~сг] ,

«4 — 6у38Л1 {щ+1, V - Щ-1, V + -22 [(УЛ1)2(Щ+2, V - 2Щ +1,, + 2Щ-1,, - Щ-1,, ) + +Л22(Щ+1,V+1 - 2Щ+1,V + Щ+1,V-1 - Щ-1,V+1 + 2Щ-1,V - Щ-1,V-1)]} ,

«5 — 3(1+мОу8л2 |щ,;+1 - Щ,;-1 + +1 [(УЛ1)2(Щ+1,;+1 + Щ-1,;+1 -- 2Щ,V-1 - Щ+1,;-1 - Щ-1,;-1) + ^Щ,V+2 - 2Щ,V+1 + 2Щ,V-1 - Щ,V-2)]} , «6 — 3(1 - м)У8Л1(Щ+1,V - Щ-1,VX Ъ4 — 3(1 - МОУ28N2(Щ,V+1 - Щ,V-1 X

Ъ5 — 3(1 + ц)у2§N1 |щ+1,у -Щг-Х ] + 6(1 + [(уЛ^Щ2,; -2Щ+1,; + 2щ-1,; --Щ-2, V) + Л22(Щ+1, V+1 - Щ-1, V+1 - 2Щ+1, V + 2Щ-1, V + Щ+1, V-1 - Щ-1, V-1)]},

Ъ6 — 68Л1 Ц+1 - Щ,;-1 + ^[ТО2^* - Щ+1.-1 - 2Щ,;+1 + 2Щ,;-1 +

+ Щ-1,V+1 - Щ-1,V-1) + N22(wг,V+2 - 2Щг,V+1 + 2Щ,V-1 - Щ,V-2)]} ,

с4 — 6у2

yN, 2

й г+1,V -йг-1,V V -Щ-1,V )

+ Ц

N2 Ч2

Уг, ;+1 + Уг, ;-1 + , ;+1 - Щ, ;-1 )

с5 — 3(1-Ц) У§

yN1 N

(УN1 )(уг+1,V -Уг-1,V ) + N2 (йг,;+1 -йг,;-1 )^^^^(Щ+1,; -™г-1,] )(Щ,;+1 -Щ,;-1 )

с6 — 68 N2

N2 2

Уг,;+1 -Уг,;-1 + -¿(Щ,]-+1 - Щ,;-1)

+цyNl

у! , ч2

йг+1,V -"г-1,V + Щ+1,] - Щ-1,; )

с начальными и граничными условиями

у V ^—0 — Л) , Уу —0 — г0 .

(8)

В случае защемления контура

Уо,]■ Х=0 = 0> Ум,]■ Х=1 = 0> У,0 Iу=о = 0> Ущ \у=1 = 0 ; (9)

Щ-1,] Х=0 = Щ], Щ+1,] \х=1 = -1 ], Щ,-1 1 у=0 = Щ,1, Щ,м2+1 1 у=1 = Щ,м2-1, (10) а в случае шарнирного отпирания

Щ-1,1 \х=0 = -Щ] , % +1,] \х=1 = --1 ] , Щ,-1 1 у=0 = -Щ,1, Щ,Л2 +1 1 у=1 = -Щ,м2-1 • (11)

Учитывая соответствующие разностные краевые условия, систему (7) представим в следующей форме:

У; = ИТ, + g, (12)

где

(С, В, К,

И =

Л

Д2 С2 В2 К2 А В3 С3 Вз К3

^Л?! -4 ^Л?! -4СМ1 -4 -4 Км1 -4

АЛ1 -3 ДЛГ -3 СЛ1 - 3 Вщг -3 КЛ1 -3

-2 ДЛ1 -2 СЛ1 -2 ВЛ1 -2

Ам -1 ДЛ. -1 СЛ. -1

А =

22

^33

Л2-3, Л2 -3

■Л-2,Л2-2

а

Д =

Г ¿11 Ь12

¿21 ¿22 ¿23

¿32 ¿33 ¿34

Л2 -1, Л2 -1 у

Л

С- =

V

С11 С12 С13

С21 С22 С23 С24

С31 С32 С33 С34 С35

Л2-2,Л2-3 иЛ2-2,Л2-2 "Л2-2,Л2-1

-1, Л2 - 2 "Л2-1, Л2-1 у

Л2-2,Л2-4 °Л2-2,Л2-3 °Л2-2,Л2-2 °Л2-2,Л2-1 СЛ2 -1, Л2-3 См2-1, Л2-2 См2-1, Л2 -1 у

D =

d11 d12

d21 d22 d23

dз2 d33 d34

-*N7-3,N2-4 "No -3,N2-3 "No-3, N2-2

v2—j,iv2—ч- iv2—j,iv2

V2-2, N2

dN2 -2,N2-3 dN2-2,N2-2 dN2-2,N2 -1 dN2 -1, N2-2 dN2-1, N2-1

E =

kN2-3, N2-3

kN2-2,N2-2

V2 —1,NV2 —1 у

r g1 1 g 2

gN1 - 2 V gN1 -1 у

r g1 1

g 2

gN2 - 2 V gN2 -1

r о 1

о ß

a j =

о о о

о о о

о о с(1о) c j

Jj, j -1

'о j j 1 bf о b™

о о ci

(1) j у

r a(3) j о ' о a(5) j aj Л

b¡j = о bf b(4) , bj,j+1 = b¡5) о J

о V о о V о j у

'о о о Л

c¡,J -2 = о о о о V о c (11) j у

r a(4) о af} 1

c j = о bf bj0)

о V о j у

-j, j-1

"7, j+1

r aj о j 1

о b™ b(8)

r о j af> 1 о bP

4 и

о о j

j у

Г 0 0 0 ^

с,. 1+2 = 0 0 0 . 1-1 =

0 V 0 1 у

а (13) а (14) ^

У V

¿03)

.(7)

с,

11 =

( а°5) г; 0 1 ^ ' 0 а(17) У

0 ьГ ьГ) . 1+1 = ¿07) 0

0 0 1 0 0

(

е1.1 =

0 0 0 0

0 0 с(13)у у у

У у

У1г =

У у

1 у

( Гл., ^

У1 2.1

УЩ-2.1 V ^-1.1 у

У1 =

Г Г ^

УЛ2 -2 У

V ул2 -1 у

при , = 1. ] = 1. (Л2 -1) с1 = с1 Ф А1;

при I = Л - 1. 1 = 1. (Л - 1) СЛТ1-1 = СЛГ1-1 Ф ЕМ- ;

при ,= 1.(Л -1). ] = 1 с(5) = с(5) фс(?1);

при ,= 1.(Л -1). ] = Л2 - 1 с(5) = 1 Ф ср.

Для решения системы (12) с начальными условиями (8) применяется симметричная формула Рунге-Кутты четвертого порядка точности [4. 6. 7]. При этом система уравнений (12) приводится к виду

У = ТУ + ь.

где

У =

Т =

0 Е М 0

ь> =

{0} Ы.

Тогда начальные условия примут вид

У1 I=0 = У1 . Ул 1=0 У1 lí=0 = У1 . 1=0 С учетом (14) уравнения (13) решаются по следующей схеме:

= У 0 = У0

— 1 л •

У1 = У0 + таУ71. У =У1 +трУ71. Уд = У0 + таУл. Уц = Уц'+трУц

(13)

(14)

(15)

где У.У^.У1 . У^ - соответственно текущие и начальные значения. У7 .У71 - искомые функции.

После определения искомых функции методом Рунге-Кутты по формуле (15) вычисляются расчетные величины по следующим формулам:

Л

25

+1.1

УЛ, , ч2

- и-1.1 +~Г (™г+1.1 - ^-1. /)

25

уЫ, Ы2

Ы2(«г,;+1 -«¡,]-1) + УЫ1 (уг+1,] -^г-1,; ) +—25^(Ч+1,1 -Чг-1,; )К;+1 -

N.

25

Ы,

^+1 - V,; -1 + , 1+1 - ^-1)

(уЫ,)2 ( 2 + )

Х11 = +1,1 - + ^-1,1), уЫ, Ы2,

Х12 = ._2 (Ч+1,1 -1 - Ч+1,1 -1 - Ч-1,1 +1 + Ч-1,У-1Х

452

Ы,

Х11 +1 - + ^ -1),

01 =-

уЫ,

(уЫ,)2

(Ч+2,1 - +1, / + 2Ч-1, / - 2Ч-2, / ) +

Ы22

+ —+1, +1 - +1, + -1, / - -1, /+1 + Ч+1,1 +1 + Ч-1, 1 -1)

02 =-N3

02 53

Ы,

"К]+2 - 2Ч,]+1 + 2Ч,]-1 - Чг,]-2) +

(^Ы,)2 2

(Ч+1,У+1 - Ч-1,У+1 - Ч+1,У-1 - Ч-1,У-1 - 2Ч,] +1 - 2,]-1)

Т1 =811 + М-е22, Т2 = 822 + ЦЕ11, 5 =812, М11 = -(Х11 + ЦХ22Х М22 =-(Х22 + Н-%11 ), м12 =Xl2, СТ11 =СТ11 + (-1) ^ СТ22 = СТ22 + (-1) ^22 , СТ12 = СТ12 + (-1) СТ12,(« = 1,2).

3. Динамический расчёт гибких прямоугольных пластин

Исследуется напряженно-деформированное состояние защемленных и шар-нирно-опертых по контуру гибких прямоугольных пластин, подвергаемых действию мгновенно приложенной равномерно распределенной нагрузки с постоянной интенсивностью. Обе задачи решаются при нулевых начальных условиях и следующих значениях параметров счета; шаг сетки по пространственным координатам Ы, = Ы2 = 10 ; отношение ширины пластин к длине у = Ь / а = 1; отношение ширины пластин к толщине 5 = Ь / к = 50; шаг по времени т и интенсивности нагрузки р будут указаны в каждой задаче.

Задача 1. Прямоугольная пластина, защемленная по контуру. Шаг по времени тх = 0.00125 при решении задач в линейной постановке; тнх = 0.00025 при нелинейной, интенсивность нагрузки р = 400.

Для реализации линейных и нелинейных задач потребовалось соответственно 1 ч 10 мин и 2 ч 17 мин машинного времени. Результаты расчета оформлены в виде графиков (рис. 1).

2

Рис. 1. График прогиба в центре пластин с истечениям времени в линейной (1) и нелинейной (2) постановке задачи (а); график момента в центре (0.5, 0.5, t) и на краю (0.5, 0, t) пластин с истечением времени (b, c); график изменения напряжения в центре (0.5, 0.5, t) и на краю (0.5, 0, t) пластин с истечением времени (d, e)

Fig. 1. A chart of a deflection at the center of plates in the course of time for 1, linear and 2, nonlinear problem formulations (a); a chart of a momentum at the center (0.5, 0.5, t) and on the edge (0.5, 0, t) of plates in the course of time (b, c); a chart of tension variation at the center (0.5, 0.5, t) and on the edge (0.5, 0, t) of plates in the course of time (d, e)

Из рис. 1 видно, что прогиб в центре пластин по линейной теории достигает максимума соответственно при t = 0.100 и 0.275 (wx = 1.123; 1.153), минимума при t = 0.19 и 0.36 (wx = -0.055; -0.0576) а по линейной - максимума соответственно при t = 0.0725 и 0.2275 (wHx = 0.87209; 0.88245); минимума при t = 0.155 и 0.3075 (wHX = 0; -0.032).

Разница между результатами, линейной и нелинейной теориями, при t = 0.100; tHx = 0.0725 и tx= 0.275; tHx = 0.2275 составляет соответственно к = 28.8 и 30.6% а при t = 0.0725 к = 15.

Рис. 1, а показывает, что при решений задач в нелинейной постановке увеличивается частота колебаний и уменьшается период колебаний на 14.2, 33.3 %.

Изменения прогиба пластин по линейной и нелинейной теории совпадают до момента времени t = 0.05 . Следовательно, при данной нагрузке до этого момента времени можно решать задачу в линейной постановке, при t > 0.05 увеличивается отклонения между величиной прогиба, полученной по линейной и нелинейной теории.

Задача 2. Прямоугольная пластина, шарнирно-опертая по контуру. Для реализации линейных и нелинейных задач шарнирно-опертых по контуру гибких пластин при р = 125, ^ = 0.005,1Нх = 0.000225 потребовалось соответственно 1 ч 40 мин и 3 ч 0.5 мин машинного времени. Основные результаты оформлены в виде графиков рис. 2.

Рис. 2. График прогиба в центре (0.5, 0.5, t) пластин с истечением времени в линейной (1) и нелинейной (2) постановке задачи (а), график момента в точке (0.5, 0.5, t) в линейной (1) и нелинейной (2) постановке задачи (b), график напряжения в точке (0.5, 0.5, t) с истечением времени (c)

Fig. 2. A chart of a deflection at the center (0.5, 0.5, t) of plates in the course of time for 1, linear and 2, nonlinear problem formulations (a); a chart of a momentum at the point (0.5, 0.5, t) for 1, linear and 2, nonlinear problem formulations (b); a chart of tension at the point (0.5, 0.5, t) in the course of time (c)

Изменения прогибов и моментов в сечении x = 1/2, y = 1/2 с течением времени по линейной и нелинейной теориям, приведены на рис.2. Видно, что до момента времени t = 0.086 изменение прогиба в центре пластин по линейной и нелинейной теории совпадает, а при t > 0.086 увеличивается отклонение между ними.

Из рис. 2 видно, что в нелинейных постановках задачи частота колебаний увеличивается, а период уменьшается. Линейные прогибы в центре пластин достигает максимума при t = 0.157; 0.470 (wx = 1.003; 1.015) и минимума - при t = 0.315; К =-0.0175), а по нелинейной - максимума при t = 0.1275; 0.3725 (wHх = 0.7470; 0.7488) и минимума при t = 0.2445 (wHх = 0,0021). Разница между величинами прогибов по линейной и нелинейной теории при t = 0.157 и 1.1275 составляет к = 33%, а при t = 0.1275 - 22,6%.

Заключение

Таким образом, основные результаты работы следующие:

1. Построена единая вычислительная схема решения краевых задач динамического расчета гибких пластин методом конечных разностей. При постановке краевых задач в перемещениях использована нелинейная теория Вольмира, причем в динамических задачах учтено как нормальные, так и потенциальные инерционные слагаемые уравнений движения.

2. Разработана автоматизированная система полного динамического расчета гибких прямоугольных пластин с произвольными начальными и граничными условиями. В основу системы положены стандартные программы образования и решения больших систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, учитывающих динамическое состояние распределения операционной и внешней памяти ЭВМ, вычисления расчетных величин и выдачи результатов на печать.

3. Исследован характер сходимости метода конечных разностей и неявных итерационных процессов решения систем нелинейных алгебраических уравнений в зависимости от интенсивности внешней нагрузки, отношения ширины к толщине пластины и граничных условий. Установлено, что значения прогибов, полученные М.С. Карнишиным [8], оказались завышенными. Скорость сходимости итерационного процесса не зависит от количества узлов сетки. Применяемый итерационный процесс позволяет получить результаты для широкого диапазона больших прогибов.

4. Учет силы инерции сдвига, введенный А.С. Вольмиром, приводит к уменьшению изгибных и увеличению мембранных расчетных величин.

5. Установлено, что с увеличением степени нелинейности задачи уменьшается амплитуда изгибных расчетных величин и периода колебаний пластин.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кабулов В.К. Алгоритмизация в теории упругости и деформационной теории пластичности. Ташкент: Фан, 1966. 394 с.

2. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластин и оболочек. М.: Наука, 1972. 432 с.

3. ЛявА. Математическая теория упругости. М.-Л.: ОНТИ-НКТЛ ССР, 1935. 674 с.

4. Березин И.С.,ЖидковН.П. Методы вычислений, Т. I-II, Физматгиз, 1959.

5. Буриев Г., Юлдашев А. Динамический расчет гибких пластин методом прямых на ЭВМ. Всесоюзный симпозиум по распространению упругих и упругопластических волн. Кишинев, 1968.

6. Демидович Б.П., Марон И.А. Численные методы анализа / под ред. Б.П. Демидовича. М.: Физматгиз.1962.

7. Бате К.Ю. Методы конечных элементов. М: Физматлит, 2010. 1024 с.

8. Корнишин М.С. Некоторые вопросы применения метода конечных разностей для решения краевых задач теории пластин // Прикладная механика. 1963. Т. 9. № 3.

9. Юлдашев А., Пирматов Ш. Т., Минарова Н. Уравнение равновесия гибких круглых пластин // Austrian J. Technical and Natural Sciences. 2015. No. 3-4. P. 32-35.

10. Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. 262 с.

11. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. 712 с.

12. Берикханова Г.Е., Жумагулов Б.Т., Кангужин Б.Е. Математическая модель колебаний пакета прямоугольных пластин с учетом точечных связей // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2010. № 1(9). C. 72-86.

13. Базаров М.Б., Сафаров И.И., Шокин Ю.И. Численное моделирование колебаний дисси-пативно однородных и неоднородных механических систем. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1996. 189 с.

14. Вячкин Е.С., Каледин В.О., Решетникова Е.В., Вячкина Е.А., Гилева А.Е. Разработка математической модели статического деформирования слоистых конструкций с несжимаемыми слоями // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2018. № 55. C. 72-83. DOI: 10.17223/19988621/55/7.

Статья поступила 20.03.2019 г.

Yuldashev A., Pirmatov Sh.T. (2020) ALGORITHMIZATION OF SOLVING DYNAMIC EDGE PROBLEMS OF THE THEORY OF FLEXIBLE RECTANGULAR PLATES. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika [Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics]. 66. pp. 143-157

DOI 10.17223/19988621/66/12

Keywords: algorithm, plate, theory of elasticity, spherical plate.

In this paper, a computational algorithm is developed on the basis of the finite difference method for solving dynamic edge problems of the theory of flexible shells with account for shears and rotary inertia.

Dynamic calculations of flexible plates is used in designing hulls of ships, aircraft, missiles, and other technical objects, which, along with sufficient strength, should have the least weight ensured by the use of lightweight plates and by reducing the margin of safety. The problem of developing an automated system for solving problems of the theory of elasticity and plasticity was first raised in the monograph by V.K. Kabulov. This work reveals the main problems of algorithmization and indicates approaches for their machine solution.

In accordance with the analyzed problems, which arise during automated calculations of thin-walled elements of mechanical engineering structures, it is reasonable to use a nonlinear dynamic computational scheme for a flexible homogeneous isotropic linear elastic shell of arbitrary shape and to take into account the effect of both shears and rotary inertia when describing the motion of the shell. Such a model allows one to apply a sufficiently flexible and fast-acting scheme to calculate a wide class of dynamic processes taking place within the plates and shells of different shapes which are not over-limited in thickness and serve as significant parts of mechanical engineering elements.

A number of dynamic differential equations of plate motion have been developed and tested. Obviously, there is no need to build other algorithms to calculate flat plates when developing an automated computational system.

Adash YULDASHEV (Candidate of Physics and Mathematics, Tashkent State Technical

University, Tashkent, Uzbekistan). E-mail: Yuldashev687@scientifictext.ru

Shamshod T. PIRMATOV (Candidate of Physics and Mathematics, Tashkent State Technical

University, Tashkent, Uzbekistan). E-mail: shamshod@rambler.ru

REFERENCES

1. Kabulov V.K. (1966) Algoritmizatsiya v teorii uprugosti i deformatsionnoy teorii plastichnosti [Algorithmization in the theory of elasticity and deformation theory of plasticity]. Tashkent: Fan.

2. Vol'mir A.S. (1972) Nelineynaya dinamikaplastin i obolochek [Nonlinear dynamics of plates and shells]. Moscow: Nauka.

3. Lyav A. (1935) Matematicheskaya teoriya uprugosti [Mathematical theory of elasticity]. Moscow; Leningrad: ONTI-NKTL SSR.

4. Berezin I.S., Zhidkov N.P. (1959) Metody vychisleniy [Computational methods]. Moscow: Fizmatgiz.

5. Buriev G., Yuldashev A. (1968) Dinamicheskiy raschet gibkikh plastin metodom pryamykh na EVM [Dynamic calculation of flexible plates by the method of lines on computers]. Proceedings of the All-Union Symposium on the Propagation of Elastic and Elastoplastic Waves, Kishinev.

6. Demidovich B.P., Maron I.A. (1962) Chislennye metody analiza [Numerical methods of analysis]. Moscow: Fizmatgiz.

7. Bate K.Yu. (2010) Metody konechnykh elementov [Finite element methods]. Moscow: Fizmatlit.

8. Kornishin M.S. (1963) Nekotorye voprosy primeneniya metoda konechnykh raznostey dlya resheniya kraevykh zadach teorii plastin [Some issues of the application of finite difference method to solve edge problems of the plate theory]. Prikladnaya mekhanika - Applied mechanics. 9(3).

9. Yuldashev A., Pyrmatov S.T., Minarova N. (2015) Uravnenie ravnovesiya gibkikh kruglykh plastin [An equilibrium equation for flexible round plates]. Austrian Journal of Technical and Natural Sciences. 3-4. pp. 32-35.

10. Korobeynikov S.N. (2000) Nelineynoe deformirovanie tverdykh tel [Nonlinear deformation of solid bodies]. Novosibirsk: Izdatelstvo SO RAN.

11. Rabotnov Yu.N. (1988) Mekhanika deformiruemogo tverdogo tela [Mechanics of deformable solid bodies]. Moscow: Nauka.

12. Berikkhanova G.E., Zhumagulov B.T., Kanguzhin B.E. (2010) Matematicheskaya model' kolebaniy paketa pryamougol'nykh plastin s uchetom tochechnykh svyazey [Mathematical model of rectangular plate stack oscillations with account for point-like coupling]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika -Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 1 (9). pp. 72-86.

13. Bazarov M.B., Safarov 1.1., Shokin Yu.I. (1996) Chislennoe modelirovanie kolebaniy dissipativno odnorodnykh i neodnorodnykh mekhanicheskikh sistem [Numerical simulation of the oscillations of dissipative homogeneous and heterogeneous mechanical systems]. Novosibirsk: Izdatelstvo SO RAN.

14. Vyachkin E.S., Kaledin V.O., Reshetnikov E.V., Vyachkin E.A., Gileva A.E. (2018) Razrabotka matematicheskoy modeli staticheskogo deformirovaniya sloistykh konstruktsiy s neszhimaemymi sloyami [Mathematical modeling of static deformation of a layered construction with incompressible layers]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika -Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 55. pp. 72-83. DOI: 10.17223/19988621/55/7.

Received: March 20, 2019