CC BY
2Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 55
www.mai.ru/science/trudy/
УДК 533.6.011.8
Численное исследование гиперзвукового обтекания острой кромки на основе модели Навье-Стокса-Фурье
Ю.А.Рыжов, Ю.А. Никитченко, И.В. Парамонов
Аннотация
Рассмотрено влияние коэффициента объемной вязкости на распределение нормального напряжения в области острой кромки. Решалась задача об обтекании бесконечно тонкой пластины потоком воздуха ( Рг = 0.72, у = 1.4, ^ = 0.75 ). Показано, что при числах Маха М < 7 и значении коэффициента объемной вязкости «0.7^ распределение нормального напряжения описывается гладкими кривыми. При больших числах Маха получаемые результаты физически неадекватны при любых значениях .
Ключевые слова
гиперзвуковой поток; острая кромка; модель Навь-Стокса-Фурье; объемная вязкость.
Введение
В последнее время возрос интерес к перспективным гиперзвуковым летательным аппаратам. Соответственно, возникает необходимость получения и анализа аэрогазодинамических характеристик летательного аппарата (ЛА) до момента начала опытно-конструкторских работ. Корректный расчет гиперзвукового ЛА и на сегодняшний день связан с рядом проблем. Одной из таких проблем является обтекание острой кромки. Вблизи острой кромки возникает сильная неравновесность течения. Это обусловлено тем, что в указанной области течения возникают высокие градиенты газовых параметров. В такой ситуации очень важно правильно выбрать модель течения. Методы кинетической теории, являющиеся высокоинформативными моделями, могут применяться лишь для задач с простой геометрией, вследствие малой экономичности этих методов.
В работе [1] показано, что использование модели Навье-Стокса-Фурье (КББ) приводит к физически неадекватным распределениям нормальных напряжений в области острой кромки. Рассматривалась задача обтекания бесконечно тонкой пластины,
расположенной под нулевым углом атаки в потоке с числом Маха M = 10.15. В той же работе был разработан метод решения задач такого типа. Естественным образом возникает вопрос о возможности применения модели NFS к расчету течений в интервале чисел M = 5 +10.
В настоящей работе предпринята попытка определения границ применимости модели NFS к расчетам обтекания острой кромки. В качестве критерия адекватности модели используется распределение нормальных напряжений в области острой кромки, а в качестве «параметра настройки» модели - коэффициент объемной вязкости.
1. Постановка задачи, единицы измерения
Рассматривается задача, поставленная в [1]. Бесконечно тонкая пластина обтекается гиперзвуковым потоком газа под нулевым углом атаки, поверхность пластины термостабилизирована. В работе использовалась декартова прямоугольная система координат, начало которой расположено в носовой (верхней по потоку) точке пластины, ось оХ направлена по вектору скорости невозмущенного потока, ось оУ - нормаль к поверхности пластины рис.1. У передней кромки пластины реализовано сгущение сетки, далее вниз по потоку шаг сетки был постоянным.
Рис. 1. Схема вычислительной области.
Используются традиционные обозначения основных газодинамических переменных: плотность, скорость, температура и давление невозмущенного потока - , и ю, Гю, рю.
Температура поверхности - Т^. Все физические величины приводятся в безразмерном виде.
Для обезразмеривания величин используются величины характерные для молекулярно -кинетической теории:
время - т ъ = ^^ (время релаксации напряжений), /ъ - коэффициент вязкости;
Ръ
геометрический размер - Лж = тх -^ЯТ^ (средняя длина свободного пробега молекулы); скорость - у](средняя скорость теплового движения молекул); плотность - р ъ; температура - Тъ;
давление и напряжения - ръ = ръ ЯТъ; тепловой поток - р ъ ^ЯТ^ .
При выбранных единицах измерения числа Маха, Кнудсена и Рейнольдса связаны следующим соотношением:
КпЯе = у[уЫ (1)
ср
где у = — - показатель адиабаты. Число Кнудсена, рассчитанное по длине пластины или ее участка, совпадает с соответствующей безразмерной длинной.
2. Система уравнений Навье-Стокса-Фурье. Граничные условия.
Для решения задачи был использован метод, описанный в [ 1] - псевдостационарный метод, использующий алгоритм Томаса. Система уравнений записывается как
др др др (дих диу ^
Ь Ы х Ь Ы у Ь Ъ
д^ дх ду
дх ду
дих дих дых 1 (дРхх дРху ^ —- + ых—- + ыу—- + — хх 1 ^ д1 дх ду р
р = 0 (2)
V дх ду ,
= 0
дыу __ дыу __ диу 1 1 (дРху дРууЛ
■ + их--Ь иу--1—
д1 дх ду р
V дх ду ,
дТ дТ дТ у-1
дг
■ + и
дх
■ + и.
+ -
ду р
дих ди Р„ —х + Р
' дих диу Л ддх дд
у + Р, ^ + + ■
дх у ду ду дх У дх ду
Здесь: рхх = Р + Рхх = Р-Л
СГ
ди
ди.. Л
х
дх
■ + С2-
д
( диу С1
дих дх
Рху ~ рху Л
(дих диу Л
ду дх Л 3
У
Руу = Р + Руу = Р-Л С1+ С2 уу уу ^ ду дх у
дТ дТ _ 4 л' Л 2
дх =-сзл, ду =-сзл^~, л = Т , С1 , с2 =—-, сз =
дх ду 3 л
У
Рг {у-1)
л' - коэффициент объемной вязкости, Рг - число Прандтля.
Рассматривается установившееся течение, вследствие чего начальные условия можно считать несущественными. На границах расчетной области, обращенных к невозмущенному потоку, принимаются значения рю, и ю, Тю и нулевые значения производных. На нижней по потоку границе вторые производные всех величин приняты равными нулю. В точках расчетной области, имеющих координату у = 0 и не являющихся граничными точками поверхности пластины, выставляются условия симметрии. В граничных точках поверхности принимается и у = 0, а значения их и Т определяются зависимостями скольжения скорости и
скачка температуры [2 ]. В принятых в настоящей работе единицах эти зависимости имеют вид:
и
Л
(
х\ у=0
Р
4Т
диу
1 дТ Л
1.431^- + 0.84- ._
ду у[Т дх
Ту=0 - Т, = 0.7351С3
Л дТ р4г ду
(3)
(4)
х
3. Конечно-разностная реализация
В работе [ 1 ] была показана неэффективность схемы Мак-Кормака, рассмотренной в качестве расчетного метода в работе [3] для решения данного класса задач, а также описан устойчивый метод аппроксимации производных, использующихся для реализации алгоритма Томаса. По приведенным результатам становится очевидным эффективность данного подхода, в связи с чем, он выбран для решения поставленной задачи в широком диапазоне чисел Маха.
4. Результаты расчетов
В отличие от работы [1], расчеты проводились в интервале чисел Мш = 5 ^ 10, при
этом температура поверхности пластины оставалась неизменной Тм, = 2.16, число Рг = 0.72, у = 1.4. Показатель степени температуры в выражении коэффициента вязкости принимался характерным для воздуха: ^ = 0.75. Рассмотрены значения коэффициента объемной вязкости в интервале /л' //л = 0 ^ 1.
Руу/Р«
> < / 1 -
& -— }
4 /
1 г
ш ¡1 1
ч 1 !
1
V с < <3 -V-V ) О О ш - э М=6 М=7 - М=8 м=ч
А А
' V V А /\
М =10
-5 0 5 10 15 Х/?ъ
Рис. 2. Распределение нормальных напряжений по поверхности пластины /л'/Л = 0 .
Как видно на рис. 2. при отсутствии объемной вязкости, т.е. /'// = 0, распределения нормальных напряжений на поверхности пластины имеет явно физически неадекватный характер вблизи передней кромки пластины для всех рассмотренных чисел М = 5 -^10.
Рис. 3. Распределение нормальных напряжений по поверхности пластины /'// = 0.5 .
На рис. 3. показано, что увеличение объемной вязкости до /'// = 0.5 заметно снижает осцилляции значений нормальных напряжений для всего приведенного диапазона чисел Маха в рассматриваемой области, однако не устраняет их полностью.
Руу/Р«
Рис. 4. Распределение нормальных напряжений по поверхности пластины /'// = 0.7 .
Руу/Рсо
—^
£
*
/
15 Я й V V V М = 5 М = 6 М = 7
я ш М ✓ V-
Ш
-5 0 5 10 15 Х/Л,„
Рис. 5. Распределение нормальных напряжений по поверхности пластины /Л I л = 0.7 .
На рис. 4 и Рис. 5 приведены распределения нормальных напряжений с /л'/у. = 0.7 . Видно, что для чисел М = 5 ^ 6 зависимость имеет гладкий характер без осцилляций вблизи передней кромки, что качественно соответствует физике явления. Однако уже при М = 7 осцилляции вновь проявляются в рассматриваемой области. Дальнейшее увеличение объемной вязкости до /Л / / = 1.0 не позволяет устранить осцилляции при М > 7.
Выводы
Проведенные расчеты обтекания острой кромки гиперзвуковым потоком воздуха (у = 1.4 и ^ = 0.75) с использованием модели КББ показывают, что при М < 7 могут быть получены гладкие кривые распределения нормального напряжения, если относительная величина коэффициента объемной вязкости составляет /Л / / « 0.7 . Для больших чисел Маха коэффициент объемной вязкости не позволяет «настроить» модель КББ на физически адекватное распределение нормальных напряжений в области острой кромки. Вместе с тем, результаты работ [1], [3] и ряда других, свидетельствуют о том, что распределения остальных газодинамических параметров остаются гладкими в широком интервале коэффициента объемной вязкости и при существенно больших числах Маха (М > 10 ).
Библиографический список
1. Никитченко Ю.А. Применение модели Навье-Стокса-Фурье к расчету гиперзвукового обтекания тонкой пластины. Том 18, №3, 2011г., с.21-28.
2. Welander P., Arkiv far Fysik 7, Hafte 6, 507 (1954).
3. Tannehill J.C., Mohling R.A., Rakich J.V. Numerical Computation of the Hypersonic Rarefied Flow Near the Sharp Leading Edge of a Flat Plate // AIAA Paper, 1973, №200, p 1-13.
Сведения об авторах
Рыжов Юрий Алексеевич, профессор, заведующий кафедрой Московского авиационного института (национального исследовательского университета),д.т.н., академик РАН, тел. 8-495-760-60-27
Никитченко Юрий Алексеевич, доцент Московского авиационного института (национального исследовательского университета), к.т.н., тел. 8-917-586-02-1, e-mail: ol394@yandex.ru
Парамонов Игорь Викторович, аспирант Московского авиационного института (национального исследовательского университета), тел. 8-495-941-59-62, e-mail: a3@bk.ru
