CC BY
6
УДК 519.622.2+517.22
Мартынов С.И., Куркина Е.С., Митин Н.А.
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ РЕАКЦИИ КАТАЛИТИЧЕСКОГО ОКИСЛЕНИЯ СО, ОПИСЫВАЕМОЙ СИСТЕМОЙ УРАВНЕНИЙ С ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
Мартынов Станислав Игоревич, студент 2 курса магистратуры факультета информационных технологий и управления РХТУ им. Д.И. Менделеева, Россия, Москва, e-mail: vividsecond@gmail.com;
Куркина Елена Сергеевна, д.ф.-м.н., профессор кафедры информационных компьютерных технологий, в.н.с. факультета ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова, Россия, Москва;
Митин Николай Алексеевич, к.ф.-м.н., доцент кафедры информационных компьютерных технологий, в.н.с.
института прикладной математики им. М.В. Келдыша, Россия, Москва;
Российский химико-технологический университет имени Д. И. Менделеева, Москва, Россия
125047, Москва, Миусская пл., д. 9
Разработан эффективный численный алгоритм для интегрирования жестких систем ОДУ с дробной производной. Изучена динамика модели реакции окисления СО в пористом катализаторе, имеющем фрактальную структуру и описываемом системой ОДУ с дробной производной. Исследовано влияние степени дробной производной в модели на колебательные и стационарные решения. Показаны зависимость амплитуды, частоты колебательного решения от степени производной.
Ключевые слова: система ОДУ с дробной производной, реакция окисления СО на палладиевом цеолитном катализаторе, автоколебания.
NUMERICAL STUDY OF THE DYNAMICS OF THE OSCILLATORY REACTION OF CATALYTIC OXIDATION OF CO DESCRIBED BY THE SYSTEM OF EQUATIONS WITH FRACTIONAL DERIVATIVE
Martynov S.I., Mitin N.A., Kurkina E.S.
D. Mendeleev University of Chemical Technology of Russia, Moscow, Russia
An efficient numerical algorithm was developed for integrated ODE rigid systems with a fractional derivative. The dynamics of the model for the reaction of CO oxidation in a catalyst with a fractal structure and the described ODE system with a fractional derivative has been studied. The influence of the degree of the fractional derivative of the model on the oscillatory and stationary solutions is analyzed. The dependence of the amplitude, frequency of the oscillatory solution on the degree of derivative is shown.
Keywords: ODE system with fractional derivative, CO oxidation reaction on palladium zeolite catalyst, self-oscillation.
Введение
Дробное дифференцирование сейчас является актуальной темой, хотя основы его были заложены ещё в XIX веке. Сегодня известно большое количество различных явлений в природе и мире, описываемых системами с дробными производными [1].
Как одно из направлений, исследователей все больше и больше привлекают процессы, идущие в пористых фрактальных средах и средах с памятью. Показано, что для их более точного описания лучше использовать системы ОДУ с дробной производной [2].
Системы с дробной производной даже с линейной правой частью являются нелинейными и демонстрируют сложную нелинейную динамику. Для исследования динамики реальных реакционных систем, описываемых системой ОДУ с дробной производной, необходимо программное обеспечение, реализующее эффективные численные алгоритмы. В настоящей работе предлагается один из таких алгоритмов, основанный на формулах интегрирования повышенной точности Ньютона-Котеса. Алгоритм применен для численного
исследования реакции окисления СО на палладиевом цеолитном катализаторе. Изучено влияние степени дробной производной в модели на колебательные и стационарные решения.
Численный метод интегрирования Ньютона-Котеса
Рассмотрим задачу Коши для системы ОДУ с дробной производной:
= Я», (1)
и(0) = и0, где оператор дробной производной;
и(Е)- неизвестная функция;
1?- показатель дробной производной.
Будем использовать оператор дробного дифференцирования Капуто:
где а, Ъ - концы отрезка интегрирования; О®- оператор дробного дифференцирования Капуто; п - [о]; т - переменная, по которой идет интегрирование.
Интеграл в формуле (2) найдем численно с помощью формул Ньютона-Котеса:
{t} — {t0 — О, t±J t2, ■ ■ ■, tN — tmax] h ■ i,
Применив оператор дробного интегрирования к левой и правой части уравнения (1), получим: и(0 = и0 + ОТ0( 4)/
Далее, заменив по формуле (3) интеграл в правой части уравнения (4), получим разностную схему решения:
?!
Тестирование
Численный алгоритм был опробован на следующем уравнении, которое имеет аналитическое решение.
= Ли (О. (6) и(0) = 1.
При ¡9 = 1 решением линейной задачи (6) является экспоненциальная функция:
= и(0) ехр(Л£), которая растет при Л > 0 и убывает при Л < 0 . Экспоненциальная функция играет огромную роль в системах ОДУ с г9 = 1. Она описывает динамику поведения нелинейной задачи вблизи стационарного состояния в общем случае (когда справедлива теорема о линеаризации).
u(t)
При 0 < г? < 1 система (6) уже не будет линейной. На рис. 1 изображены решения задачи (4) при разных значениях д и Л < 0. Мы видим, что решения в системе с дробной производной сначала убывают быстрее экспоненты, а потом - медленнее. Чем меньше значение д, тем медленнее происходит стремление к нулю - стационарному решению. Сплошной линией изображено аналитическое решение, точками - численное. Простая экспонента является самой верхней линией до точки пересечения решений и самой нижней - после. Решение при показателе степени производной равной 0,1 наоборот, есть самая нижняя линия до точки пересечения и самая верхняя - после. Остальные решения последовательно идут от траектории при ■& = 1 до -8 = 0,1. Можно сделать вывод, что решения убывают тем быстрее, чем выше показатель степени производной на всем рассматриваемом промежутке времени. И наоборот, можно наблюдать что решение при г? = 0.1 очень медленно стремится к нулю. С другой стороны, до точки пересечения - момента времени, примерно равного 0,5 с, траектории решений тем быстрее убывают, чем меньше показатель степени производной.
V — 0,1
0,2 0,3 --0.4 - 0,5 —0,6 —0,7 ---0,8 ■ 0,9
Рис. 1. Решения системы (6) при А. — — 1
Модель реакции
Модель реакции окисления СО на палладиевом цеолитном катализаторе была предложена в работе [3]. В основе ее лежит система трех ОДУ для поверхностных концентраций СО (сх). О (су) и концентрации подповерхностного кислорода О, (сг):
[ ^сх + ,
= 1чЛ1 ~ сх~ ЗСу) ~к1сх— к3схсу — к5схсг,
Ас . 2
1 = к^Р02е(-ас-)(1 -сх- су) - к3схсу - кАсу( 1 - сД
ч = — Су) ~ к5 СхСг
где сх - поверхностная концентрация СО; Су— поверхностная концентрация О; СЕ — концентрация О2 в приповерхностном слое;
S, а - подгоночные коэффициенты, 6 = 10, а =
0,5;
Рсо и Р02 - парциальные давления СО (1,5 торр) и O2 (160 торр).
Было показано, что модель в зависимости от значений параметров демонстрирует выход либо на стационарный режим, либо на автоколебания. Механизм колебаний основан на периодическом процессе окисления и восстановления поверхности катализатора. На рис. 2 представлена бифуркационная диаграмма, показывающая зависимость стационарного состояния от давления Рсо и вид колебаний скорости реакции.
Динамика модели с дробной производной
Было рассмотрено изменение динамики системы при значении параметра Рсо = 1,5 (рис. 3).
с,%
Я™ , с
40-
30
20
10 /
0 !
К». С 40
зо-2010
VV
J
У
3 Р^торр
100
110
120 £,сек
Г. с 5
4
3
Ри.тоРР
100
110
120 с, сек
0 12 3 Р^торр
Рис. 2. Динамика системы и однопараметрический портрет при степени производной, равной единице. Однопараметрический портрет системы в зависимости от давления (а), И, и И2- бифуркационные значения параметра; область колебаний скорости НС!> в зависимости от давления Рсо (б); скорость Псо в зависимости от времени I при Рса = 1,5 (в); период колебаний скорости в зависимости от времени область колебаний скорости (г); скорость Ясо в
зависимости от времени ? при Рс, = 2,5 (д)
х,%
0,9 0,3 0,7 0,6 о,s
0,4
X. %
10
15
20
Рис. 3. Динамика системы для показателя степени производной, равного 1 (а), 0,85 (б), 0,65 (в), 0,55, 0,49 и 0,47 (г)
Так как Рсо = 1,5, то решение носит колебательный характер. Можно наблюдать, что при степени производной от 1 до 0,65 только изменяются амплитуда и колебания. Начиная с 0,65 колебания в системе возникают позже по мере уменьшения степени при одинаковых начальных условиях. При показателе степени равному 0,05 амплитуда колебаний становится равной 0. При показателе степени 0,2 период колебаний становится равным 0.
Заключение
Проведено исследование динамики модели, описывающей реакцию окисления СО на поверхности палладиевого цеолитного катализатора от степени дробной производной с целью проверки робастности алгоритма. Показатель степени производной оказывает двоякое влияние. С изменением степени производной, изменяется амплитуда и частота колебаний. Отмечается, также что выход на стационар занимает всё больше времени. Показано, что динамические портреты
качественно отличаются от динамики при г9 = 1 . Чем меньше значение производной, тем сильнее отличается динамический портрет. Система, описывающая данную модель, является нелинейной и жесткой. Показаны зависимость амплитуды, частоты колебательного решения от степени производной. Показаны зависимость выхода на стационарное решение системы при различных параметрах системы Рсо.
Список литературы
1. Sun H. G. et al. A new collection of real world applications of fractional calculus in science and engineering //Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2018. Т. 64. С. 213-231.
2. Учайкин В.В. Метод дробных производных. Ульяновск: Артишок, 2008. 512 с.
3. О природе хаотических колебаний скорости реакции окисления CO на Pd цеолитном катализаторе/ Е.С. Куркина [и др.] // Доклады РАН. 1996. № 351. C.497-501.
