CC BY
0ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.
№4 (85) / 2023.
УДК 539.3
doi:10.24412/0136-4545-2023-4-31-38 EDN:YLXDQM
©2023. Р.Н. Нескородев1
ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕТОДИКА РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ АНИЗОТРОПНОГО ГОРНОГО МАССИВА С ВЕРТИКАЛЬНОЙ ВЫРАБОТКОЙ
В работе предложена методика построения решения трехмерных уравнений теории упругости анизотропной среды, являющейся материалом массива горных пород с вертикальной выработкой. Массив моделируется полупространством, находящимся под действием сил собственного веса. Полученное общее представление для функций перемещений выражено через три аналитические функции обобщенных комплексных переменных. Полученное решение удовлетворяет граничным условиям на границе полупространства и содержит произвол для удовлетворения условиям на боковой поверхности выработки. Приведены результаты численных исследований.
Ключевые слова: анизотропный горный массив, вертикальная выработка, обобщенные комплексные переменные, напряженное состояние.
Введение. Для идеально упругого изотропного тяжелого массива в работе [1] были определены напряжения вблизи вертикальной цилиндрической выработки кругового сечения. Аналогичные результаты для трансверсально-изотроп-ного массива были получены в работе [2]. В статье [3] рассматривается слоистый массив, состоящий из попарно чередующихся изотропных упругих слоев. В результате усреднения упругих модулей данный массив с горизонтальным напластованием пород моделируется однородным трансверсально-изотропным полупространством с плоскостью изотропии, перпендикулярной к вертикальной оси. Полученные решения являются точными и выписаны в явном виде. Для случая массива из материала без горизонтальной плоскости изотропии получить аналитическое решение не удается. В данной статье строится численно-аналитическое решение задачи о напряженно-деформированном состоянии вблизи вертикальной полости в анизотропном массиве, обладающем плоскостью упругой симметрии.
1. Постановка задачи. Рассматривается массив горных пород, ограничен-
1 Нескородев Роман Николаевич - док. физ.-мат. наук, профессор каф. теории упругости и вычислительной математики имени акад. А.С. Космодамианского ф-та матем. и информ. технологий ДонГУ, Донецк, e-mail: nromn72@mail.ru.
Neskorodev Roman Nikolaevich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Donetsk State University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Theory of Elasticity and Computational Mathematics named after Academician A.S. Kosmodamiansky.
ный горизонтальной плоскостью (дневная поверхность), который отнесен к прямоугольной декартовой системе координат Охуг, где плоскость Оху совпадает с дневной поверхностью. От плоскости Оху вглубь массива вдоль оси Ог проведена вертикальная выработка в виде цилиндрической полости эллиптического сечения. Требуется определить напряженно-деформированное состояние массива около полости от действия сил собственного веса.
Считается, что свойства горных пород в разных направлениях различны и для описания их поведения используется модель упругого анизотропного тела. Линейная связь между напряжениями и деформациями, выраженная обобщенным законом Гука, имеет вид [2]
6
£г = а*как (!)
к=1
или
6
С г = ^ Агк £к, (2)
к=1
где ац- - коэффициенты деформации, а Ац. - модули упругости (г = 1, 6).
Для компактной записи уравнений (1) и (2) введены следующие обозначения
сг, С2, сз, С4, а5, С6 для ах, Су, сх, ТуХ, тхх, тХу;
£1, £2, £3, £4, £5, £6, для £х, £у, £г, 1уг, Чхг, 1ху ■
Уравнения (1) или (2) вместе с уравнениями равновесия
дг сг + д2Сб + дзС5 + X = 0, д\Сб + д2С2 + дзС4 + У = 0,
дс + д2С4 + дзсз + ^ = 0 (3)
и уравнениями связи между деформациями и проекциями перемещения
£г = д\П1, £2 = д2П2, £з = дзПз, £4 = д2из + дз42,
£5 = дгиз + дзиг, £6 = ди + д2Щ (4)
образуют полную систему дифференциально-алгебраических соотношений, описывающих упругие процессы в анизотропных средах. В уравнениях (3) и (4) введены обозначения: дг = д/дх, д2 = д/ду, дз = д/дг.
Массив рассматривается как тяжелое упругое полупространство, свободное от напряжений на дневной поверхности, т.е. имеют место граничные условия
сз = с4 = с5 = 0 при г = 0. (5)
Для определения компонент напряжений и перемещений необходимо проинтегрировать уравнения (1)—(4) при условиях (5). Проекции вектора перемещений 4к(х,у,г) и напряжения сг(х,у,г) представляются в виде сумм
Численно-аналитическая методика расчета напряженно-деформированного состояния
uk = ul + u*k (Л = 1,2,3), at = a^ + a* (г = 1,6), (6)
где функции u0 и a0 определяют решение в нетронутом массиве, а u*k и а* -отражают влияние выработок.
2. Перемещения и напряжения в сплошном анизотропном массиве от действия сил собственного веса. Для определения компонент напряженно-деформированного состояния в нетронутом массиве под действием сил тяжести полагается, что толща пород представлена однородной по плотности породой, т.е. плотность р = const. Отсутствие границ в направлении осей Ox и Oy накладывает ограничения на компоненты напряжений и перемещений. Они не должны зависеть от этих координат. Поэтому
u°k = u°k(z) (Л = 1,2,3), a° = a°(z) (г = Т7б).
Для определения величин uPk и а0 в нетронутом массиве необходимо проинтегрировать уравнения равновесия (3) и уравнения закона Гука (1) при условиях (5) на границе полупространства. В принятой системе координат объемные силы имеют вид
X = Y = 0, Z = pg = y,
где g - ускорение свободного падения. В результате можно получить
а? = т<т°3 =-raz (г = М), (7)
u°k = -akyz2/2 + ck (k = 1, 2, 3). (8)
Здесь введены обозначения т3 = 1, т4 = т5 = 0, а величины т1, т2, т6 и ak определяются из системы уравнений
ацтi + см2т2 + ai6т6 = -а^т (i = 1, 2, 6),
и соотношений
6 6 6
ai = а^птп, (i2 = ^ а4птп, аз = ^ а3п,т„,.
n=1 n=1 n=1
Выражения для напряжений (7) и перемещений (8) получены для случая общей анизотропии. Они содержат в частных случаях решения для изотропной и трансверсально-изотропной сред, которые были предложены в работах [1, 2].
3. Перемещения и напряжения в массиве с вертикальными выработками. Поле перемещений и напряжений, которое формируется за счет появления в массиве вертикальных выработок, описывается функциями uk(x,y,z), которые являются результатом интегрирования однородных уравнений равновесия (3), с учетом условий (5).
Проекции вектора перемещений представляются в виде двух слагаемых п*к = (х,у) + Уи (х,у,х) (к = 1,2),
п*3 = ь3(х,у) + Уз(х,у,х).
Функции VI, г>2 и Уз здесь определяют основное поле перемещений, возникающее в массиве с выработками. Малые слагаемые Уи описывают дополнительное поле перемещений, которое вводится для удовлетворения условиям (5):
Ук = гри)к1 + -7^ри)кз + ••• для (к = 1,2); = + + •••• (9)
Функция р(х) = ехр(—ах) здесь введена для обеспечения сходимости рядов (9) в области П = (х > 0) изменения переменной х. Подбором величины а функции (9) можно сделать сколь угодно малыми и не учитывать при проведении численных исследований. Функция р(х) аппроксимируется в области П кусочно-постоянной функцией. Для этого в области изменения переменной х вводится сетка хи = к1 (к = 0,1, 2,...) и подобласти Пд = [хд-1, хд+1] (д = 1, 2,...). Каждой подобласти Пд ставится в соответствие постоянная по переменной х функция рд = ехр(—ахд-1). Эти функции аппроксимируют функцию р(х) = ехр(—ах) в подобласти Пд. Точность аппроксимации повышается за счет более мелкого разбиения области с сохранением тех же кусочно-постоянных функций.
Напряжения находятся из уравнений закона Гука (2). Удовлетворяя граничным условиям (5) и однородным уравнениям равновесия (3) можно получить:
- представления для напряжений
а* = х [(Ад + Аг6д2) VI + (Аг6д1 + д2) «2] (г = 1,2,6) ,
а* = (1 — р) [Аг4 («2 + д2«з) + Аг5 («1 + д^)] (г = 4, 5), (10)
ак = (х — хр) [(Аз1д1 + Азбд2) «1 + (Азбд1 + Аз2д2) «2];
- систему дифференциальных уравнений относительно функций «и
Ьц «1 + ¿12«2 = 0, ¿12«! + Ь22«2 = 0, Ьз1«1 + Ьз2«2 + Ьзз«з = 0, (11)
где
ЬИ = Ацд? + 2А1бд1д2 + Аббд|, ¿12 = Аюд? + (А12 + Аббд д2 + А26 д%,
Ь22 = Аббд? + 2А2бд1д2 + А22д2, Ьзз = А55д? + 2А45д1д2 + А44д2, Ьз1 = (Аз1 + А55 )д1 + (А45 + Азб )д2, Ьз2 = (А54 + Азб )д1 + (Аз2 + А44)д2;
- функции и1кп, входящие в разложения (9).
Функции и напряжения выражаются через функции «и и их производные. Общее решение системы уравнений (11) выражается через три аналитические функции обобщенных комплексных переменных х^ = х + ^у:
Численно-аналитическая методика расчета напряженно-деформированного состояния 2 3
Vk = 2Re^2dkj vj (zj ) (k = 1,2), V3 = 2Re^d3j vj (zj ). j=i j=i
Полные напряжения и перемещения (6), возникающие в весомом полупространстве с вертикальными выработками для материала, имеющего плоскость упругой симметрии, с учетом соотношений (10) через комплексные функции принимают вид
Oi = 2Re[rn^l + fi2^2] z - Ti yz (i = 1, 2, 6), 03 = 2Re [Г31 vi + r^'i] (z - zp) - T3Yz, Oi = 2Re [riivi + W2 + ri3^3] (1 - p) (i = 4, 5); (12)
Uk = 2Re [dkiy'i + dk2^i] z (k = 1,2), U3 = 2Re [d3ivi + d32^2 + d33^3] z - a,3Yz2/2 + C3.
где
rik = Andik + And2kVk + Ai6 (d2k + diklk) (i = 1,2,3,6; k = 1,2),
rik = Ai4 (d2k + d3klk) + Ai5 (dik + d3k) (i = 4, 5; k = 1,2,3) .
Представления для напряжений (12) точно удовлетворяют уравнениям равновесия (3) и условиям (5).
4. Граничные условия для незакрепленной эллиптической выработки. Первые два граничных условия
niOi + П2О6 = 0, niO6 + П2О2 = 0,
на свободных контурах выработок с учетом представлений (12) и выражений для направляющих косинусов ni = cos(nx) = dy/ds, n2 = cos(ny) = -dx/ds, приводятся к виду
2Re (livi + 12^2) = Y (Tiy - T6x), 2Re (vi + v2) = Y (T2x - Тбу). (13)
Эти условия позволяют независимо от третьего граничного условия определить функции vi и V2. Напряжения Oi (i = 1, 2, 3, 6) вычисляются по соответствующим формулам (12). Для вычисления напряжений 04 и 05 необходимо определить функцию V3. Она находится из третьего граничного условия
ni05 + П204 = 0. (14)
Для эллиптического контура, уравнение которого задано в параметрической форме x = acos(0), у = bsin(0), условия (14) можно записать так
33
y'E(r5iv'i + r5ivi) - x'Yl(r4ivi + r4iVi) = (15)
i=i i=i
Функции, отображающие внешность единичного круга на внешности эллиптических контуров в областях определения потенциалов (г к), имеют вид [4]
^ = Як Як + тк/Як, Ек = (а - щк Ь)/2, шк = (а + Ь)/2.
Представления для функций и выбираются в виде
р'к = ак/Як (к = 1,2). (16)
Для а\ и а2 из условий (13) получаются уравнения
¡а + ¡2^2 = 7- т^а)/2, а\ + а2 = 7(т2а - тфг)/2.
Функция представляется в виде разложения в ряд
¿з = в/з + в2/я3 + вз/Яз5 + .... (17)
После подставки представлений (16) и (17) в условия (15), методом рядов можно получить систему уравнений относительно коэффициентов разложения (17)
в^з + /Мз = -2Яе (а151 + 0^2); (18)
в2 = - (в17з + а71 + «272) /5з, вп+1 = -вп7з/$з (п = 2,3,4,...),
4 = Ьг5к - агт^к, 1к = Ьг5к + агт^к (к = 1,2,3). (19)
Для нахождения коэффициентов в1 и в1 к уравнению (18) необходимо добавить условие однозначности функции из. Это условие получается из представления (12) после интегрирование функций (16) и (17)
в^ззЯз - в^ззЯз = - (айз1 Я1 - Й1(1з1Я1 + a2dз2Я2 - а2(1з2 ^2) . (20)
5. Численные исследования. Численные исследования проведены для случаев, когда варьировались геометрия эллиптического сечения выработки и материал, из которого сложены горные породы. В качестве материала выбирался алевролит 1, алевролит 2 и гранит изотропный, которые соответственно обозначаются А1, А2 и ГИ. Упругие постоянные этих материалов при совпадении плоскости изотропии с плоскостью Оху приведены в таблице 1 [5], где Е = 9.81 • 10з МПа.
Таблица 1. Упругие постоянные геоматериалов
Материал Е1/Е Е2 / Е с2/е VI V 2 Р
А1 6.210 5.680 2.290 0.215 0.260 2700
А2 1.074 0.523 0.120 0.413 0.198 2700
ГИ 4.200 4.200 1.720 0.220 0.220 2500
В исследованиях рассматривался массив, ослабленный выработкой эллиптического сечения с полуосями а и Ь, направленными соответственно вдоль осей Ох
Численно-аналитическая методика расчета напряженно-деформированного состояния
и Оу. Полуось а принималась равной двум метрам, а Ь - варьировалась. Расчеты проведены для случаев когда Ь = 1, Ь = 2 или Ь = 3 метрам. Соответствующие случаи будем обозначать через Э1, К(круговое) и Э2.
В таблице 2 приведены результаты расчетов для круговой выработки. Значения напряжений а\/^х и для обозначенных выше горных пород, даны в точках массива, расположенных вне контура выработки вдоль оси Ох. Напряжения при х = те соответствует случаю нетронутого массива.
Таблица 2. Напряжения для круговой выработки вдоль оси Ох
Напряжения Породы 2 4 6 8 10 ос
А1 0 -0.272 -0.322 -0.340 -0.348 -0.362
<71/7# А2 0 -0.520 -0.616 -0.649 -0.665 -0.693
ГИ 0 -0.212 -0.251 -0.264 -0.271 -0.282
А1 -0.724 -0.453 -0.402 -0.385 -0.377 -0.362
(72 /'УН А2 -1.386 -0.866 -0.770 -0.736 -0.720 -0.693
ГИ -0.564 -0.353 -0.313 -0.300 -0.293 -0.282
Следует отметить, что напряжения а\/^х и вычисленные по форму-
лам (12), полностью совпадают с напряжениями аг/^х и ав/^х, вычисленными в работе [2]. Из результатов, данных в таблице, следует, что напряжения и2/^х = а в/^х на контуре круговой выработки будут максимальнами по абсолютной величине. Они вдвое превышают напряжения в тех же точках нетронутого массива, которые даны в колонке х = те. При удалении от выработки напряжения, учитывающие ее влияние, быстро затухают, и на расстоянии двух диаметров от выработки для приведенных материалов составляют не более четырех процентов от напряжений в нетронутом массиве.
В таблице 3 приведены результаты расчетов для выработок, пройденных в массиве из материала А2. Напряжения для различных конфигураций эллиптического контура даны в тех же точках, что и в таблице 2.
Таблица 3. Напряжения для породы А2 вдоль оси Ох
Напряжения Контуры 2 4 6 8 10 ос
Э1 0 -0.709 -0.702 -0.698 -0.696 -0.693
<71/7# К 0 -0.520 -0.616 -0.649 -0.665 -0.693
Э2 0 -0.346 -0.507 -0.580 -0.618 -0.693
Э1 -2.771 -0.828 -0.745 -0.721 -0.711 -0.693
<72/■уН К -1.386 -0.866 -0.770 -0.736 -0.720 -0.693
Э2 -0.929 -0.864 -0.792 -0.745 -0.734 -0.693
Если для круговой выработки значения напряжений ав/^х на контуре есть величина постоянная для конкретного материала, то для эллиптических контуров они меняются от точки к точке. Так, для Э1 величина ав/^х меняется от -2.771 в точке пересечения контура с осью Ох до -1.154 в точке пересечения с осью Оу; для Э2 она лежит в пределах от -0.929 до -2.078 в тех же точках контура; для кругового контура она равна -1.386 и вдвое превышает значение в нетронутом массиве. При удалении от контура на расстояние до двух 2а влия-
ние выработки составляет для рассмотренных случаев около десяти процентов от напряжений в нетронутом массиве.
Проведены также исследования для случаев, когда плоскость изотропии повернута по отношению к горизонту на 900, а полуось a - на произвольный угол к оси Ox. Значения напряжений при этом качественно не отличаются от приведенных в таблице 3.
Выводы. По итогам исследований установлено, что во всех рассмотренных случаях напряжения являются сжимающими. Наиболее равнопрочной выработкой, в случае, когда плоскость изотропии совпадает с плоскостью Oxy, является выработка кругового сечения, так как вокруг нее образуется равномерно распределенное поле напряжений. Если же плоскость изотропии наклонена к горизонту, то возможен поиск подходящей конфигурации выработки с точки зрения более равномерного распределения вокруг нее напряжений.
Исследования проводились в ФГБОУ ВО «ДонГУ» в рамках государственного задания (№ госрегистрации 1023030100040-4- 1.1.2;2.3.1).
1. Динник А.Н. Распределение напряжений вокруг подземных выработок / А.Н. Динник, А.Б. Моргаевский, Г.Н. Савин // Тр. совещ. по управл. горным давлением. — М., Л.: Изд-во АН СССР, 1938. - С. 7-55.
2. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела / С.Г. Лехницкий. — М.: Наука, 1977. -- 416 с.
3. Бобылева Т.Н. Распределение напряжений в слоистом массиве с вертикальной цилиндрической полостью / Т.Н. Бобылева // Вестник МГСУ. — 2017. — Т. 12, вып. 8 (107). — С. 863—868.
4. Космодамианский А.С. Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или полостями / А.С. Космодамианский. - Киев-Донецк: Вища школа, 1976. - 200 с.
5. Ержанов Ж. С. Сейсмонапряженное состояние подземных сооружений в анизотропном слоистом массиве / Ж.С. Ержанов, Ш.М. Айталиев, Ж.К. Масанов. - Алма-Ата: Наука, 1980. - 212 с.
R.N. Neskorodev
Numerical and analytical method for calculating the stress-strain state of an anisotropic rock mass with a vertical excavation.
The paper proposes a method for constructing a solution of three-dimensional equations of the theory of elasticity of an anisotropic body, which is an mass of rocks with vertical excavation. The array is modeled by a half-space under the action of its own weight forces. The general representation of the solution for displacement functions is expressed in terms of three analytical functions of generalized complex variables. The resulting solution satisfies the boundary conditions on the boundary of the half-space and contains an arbitrary one to satisfy the conditions on the side surface. The results of numerical studies are presented.
Keywords: anisotropic rock mass, vertical excavation, generalized complex variables, stress state.
n0A.y%eH0 14.11.2023
