Численная схема для приближенного расчета дву- и трехмерного течения вязкой сжимаемой жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

Прикладная математика

УДК 532.5

С. М. Аульченко

Институт теоретической и прикладной механики имени С. А. Христиановича Сибирского отделения Российской академии наук, Россия, Новосибирск

В. О. Каледин, Е. И. Васильева Новокузнецкий институт (филиал) Кемеровского государственного университета,

Россия, Новокузнецк

ЧИСЛЕННАЯ СХЕМА ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО РАСЧЕТА ДВУ- И ТРЕХМЕРНОГО ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Рассмотрена дискретная модель течения вязкой сжимаемой жидкости. Уравнения движения жидкости приведены к системе обыкновенных дифференциальных уравнений по времени относительно неизвестных узловых скоростей. Разработан алгоритм расчета узловых значений скоростей. Работоспособность алгоритма проиллюстрирована на ряде контрольных примеров.

Геологические свойства сплошной среды оказывают разное влияние на поля скоростей и давлений, возникающие при ее течении. Для выяснения особенностей течения, обусловленных видом определяющих уравнений, необходимо рассмотреть модель течения сжимаемой среды при наличии объемной вязкости.

Определяющие уравнения соответствуют материалу без внутренних связей:

ст.. = £е„8.. + 2ш е.. - — 8..

V ъ кк у г*| 9 3 ]

(1)

где ст - тензор напряжений; 8 ^ - символ Кронекера; е - тензор скоростей деформаций; т - динамический коэффициент вязкости; X - объемный коэффициент вязкости.

Уравнение движения принято в виде

ст«, V +рь1 = РУ.

(2)

Путем дискретизации задачи получены разрешающие уравнения:

МУ + (С + £)У = 0, (3)

где М = | N рЫёО. - матрица масс; N - матрица

п

функций формы; р - плотность; С = |р^ е^П -

п

матрица конвективных масс; е - матрица скоростей

деформаций; £ = | Вт ВВйП - матрица демпфирова-

п

ния; В - матрица деформаций; Б - матрица упругости; 0 - вектор эквивалентных нагрузок; у - вектор скорости.

Стационарное поле скоростей получено решением нелинейной системы уравнений

(С (у) + £ )У = 0. (4)

Расчет узловых значений скоростей состоит в решении дискретных уравнений (3) и (4). Матрица демпфирования и матрица масс не пересчитываются при заданном шаге по времени. Матрица конвективных масс изменяется после каждого изменения вектора скоростей.

Представленный выше алгоритм расчета поля скоростей вязкой сжимаемой жидкости реализован в составе программного комплекса «Композит».

Работоспособность этого алгоритма можно проиллюстрировать на ряде контрольных примеров. В частности, при определении влияния коэффициента объемной вязкости на скорость течения жидкости было установлено, что при увеличении коэффициента объемной вязкости скорость уменьшается (см. рисунок). Полученные графики показывают, что численные решения на каждой итерации хорошо согласуются с аналитическими решениями этих же краевых задач.

Зависимость распределения скорости по ширине канала от коэффициента объемной вязкости:

£ = 5,3; 15; 105; 505

Решетневскце чтения

S. M. Aulchenko Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics, Russian Academy of Science, Siberian Branch, Russia, Novosibirsk

V. O. Kaledin, E. I. Vasilieva Kemerovo State University, Novokuznetsk Branch, Russia, Novokuznetsk

A NUMERICAL SCHEME FOR APPROACHED CALCULATION OF 2D- AND 3D-FLOW OF A VISCOUS COMPRESSED FLUID

A discrete model of a flow of a viscous compressed fluid is considered. The equations of motion of a fluid are normalized to the system of the ordinary differential equations on time concerning unknown nodal rates. The algorithm of calculation of nodal values of rates is developed. Working capacity of algorithm is illustrated on a number of control examples.

© Аульченко С. М., Каледин В. О., Васильева Е. И., 2011

УДК 512.5

Е. В. Бородина

Красноярский государственный аграрный университет, Россия, Красноярск НЕЗАВИСИМЫЕ СЛОВА В СИММЕТРИЧЕСКИХ ГРУППАХ

Рассмотрены независимые слова для групп и А5. Проведен анализ длины слов.

Рассмотрим некоторое множество слов V в алфавите X. Слово V называется независимым относительно V в алфавите X, если для любого ^ е V невозможна ситуация = pvq, где р и q - некоторые слова и по крайней мере одно из них непусто.

При компьютерном моделировании конечных бернсайдовых групп 5(2, 3) 5(2, 4) 5(3, 3) 50(2, 5) использование независимых слов в алфавите образующих существенно сокращает время расчета указанных групп. Это было связано с тем обстоятельством, что таблица умножения, состоящая из независимых слов, содержит все элементы группы, в то время как само количество независимых слов приблизительно равняется , где О - одна из перечисленных выше групп [1].

В работе [2] эти два факта были подтверждены для некоторых симметрических групп малых степеней. Кроме того, выяснилось, что на количество независимых слов влияет выбор образующих. В связи с этим

возникает задача о минимальном количестве независимых слов для данной группы и поиска образующих группы, которые это количество обеспечивают. Эта задача была решена для групп и А5 [2]. Минимальное количество независимых слов для группы равно 15, где а - инволюция, а Ь - элемент порядка 5. Для группы А5 это число равно 14, где а и Ь - элементы порядка 5.

Библиографические ссылки

1. Кузнецов А. А., Тарасов С. А., Шлепкин А. К. О независимых словах в группах бернсайдового типа // Дискретные модели в теории управляющих систем : тр. VII Междунар. конф. / Моск. гос. ун-т. М., 2006. С. 181-182.

2. Бородина Е. В. Независимые слова в симметрических группах // Студент и научно-технический прогресс : тр. ХЫХ Междунар. науч. студ. конф. / Ново-сиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2011. С. 6.

E. Borodina

Krasnoyarsk State Agrarian University, Russia, Krasnoyarsk INDEPENDENT WORDS OF SYMMETRICAL GROUPS

The author dwells upon independent words for groups S5 and A 5. The analysis of long words is presented.

© Бородина Е. В., 2011