Численная реализация алгоритма спектрального критерия локальной потери устойчивости оболочной конструкции Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3+514.4

Л. В. БЕССОНОВ Численная реализация алгоритма спектрального критерия

и __и г- и

локальной потери устойчивости оболочной конструкции

Спектральный критерий потери устойчивости сформулирован в работах [1,2]. Класс нелинейных моделей оболочек, для которых допустим спектральный критерий локальной потери устойчивости, получен в работе [3]. Этот класс является достаточно широким, в него входят известные модели Киргофа — Лява, типа Тимошенко (как в смешанной форме, так и в перемещениях) и другие.

Рассмотрим случай тонкой, гибкой, изотропной оболочки представляющей собой прямоугольную в плане цилиндрическую панель. Расположим её так, чтобы ось цилиндра совпадала с осью абсцисс. Обозначим кх —~ 0, ку —— ц» = 7 главные гауссовские кривизны панели. Геометрическая нелинейная модель такой оболочки — модель Кармана — в статическом случае выглядит следующим образом:

£Д2Ж - Ь(Ж,Г) - ДкГ = д,

к ЕД2Г = -1) - Дкж,

д2 7 д2

к — Кудь? + кх-щр; В — цилиндрическая жесткость, определяемая

где Дк — ку дх2 + кх ду2 ; В

по формуле В — ^2); Е — модуль Юнга; V — коэффициент Пуассона.

Будем рассматривать случай, когда функция прогиба W и функция усилий Г удовлетворяют граничным условиям

W |г — 0,

дП)

— 0,

г

(2)

Г 1г — 0,

дП)

г

— 0,

в случае жесткого закрепления, либо для случая шарнирного закрепл-нения:

W |г — 0,

д2Ш дх2

— 0,

(3)

г 1г — 0,

д 2¥

дх2

г

= 0,

где Г - граница области определяемой серединной поверхностью оболочки.

Приведём (1) к безразмерному виду следующим образом:

х — Ьх, у — Яу^ — Нй, Г — ЕН2Г,

к КЕН4__ _-2 . 1 кУ — КУ_ — _1Ку, Х —

Получим:

г

, о д4ю , л 2 д4ю\ _ д2юд2^ , д2юд2Р

12(1-^2) ^Л2 дх"4 дх2ду2 '4 ду^ дх2 ду2 ду2 дх2

-2 дЩдЩ + + ' (4)

X+ 2 д+ л 2— _д^д^ + д2Ш К Л2 дх4 + 2 дх2 ду 2 + Л ду4 ^ — ду2 дх2 + дхду К У дх2 '

Граничные условия примут вид:

_ д2м — д2Г _ _

м — 0, 2 — Г — ^¡=9 — 0 при х — 0, х — 1. дх2 дх2

Площадка приложения нагрузки в безразмерном примет вид:

0.5 - в < х < 0.5 + в, 0.5 - а < у < 0.5 + а.

Разобьем панель на одинаковые подобласти равномерной сеткой т — — {(х, у) : х — Н • г, у — Н • ], % — 0,1,..., 10, ] — 0,1,..., 10}. Будем нагружать данную оболочку поперечной равномерно распределённой нагрузкой. Решение уравнения (1) ищем в виде решения на каждом шаге нелинейной задачи методом последовательных возмущений параметров [3]. На каждом шаге нагружения получаем решение уравнения (1) — (№,Г).

Для каждой подобласти будем определять коэффициенты Тх,Ту,Тху: , _ д2Г , _ д2Г д2Г _ д2Г

Тх(х,у) — ,Ту (х,у) — "дх2 ,Тху (х,у) — дхду — дуд?

где Г — значение функции усилий, полученное модифицированным методом последовательного возмущения параметра.

Аналогично как в [2] построим линейные операторы, действующие каждый на своей подобласти рассматриваемой оболочки:

д2№ „ , .д2^ , д2№ хг , уп ) ^ ^ Ъ2Т ху п (

А(хг у )Д — аА №-Тх1п(хг,у3 -Ту1п(хг,у3 )^ + 2Тху,п(х*, У3 ) дхду

Построенные операторы позволяют судить о локальной потере устойчивости. Для каждой подобласти можно построить матрицу:

Н(к,в) — (Апек, е8), п — 1, 2,..., N

1

Рис. 1. Зависимость функции прогиба от поперечно распределенной нагрузки (7 = 20, (г,]) = (5, 5))

где

en+N (m-i) = sm nnx sin mny.

Проверку локальной потери устойчивости можно провести путём вычисления определителей угловых миноров матрицы НП, построенной для подобласти (i,j):

HhJ =

/

(Aj ei,ei)

(Anj ei,ek)

\

\ ek,ei) ••• ek,ek) У

Будем обозначать угловой минор порядка k, построенный для HJj, как Mk(Hn )• Если спектр оператора An положительный, то этот оператор положительно определённый, и его матрица в любом ортогональном базисе является положительной [4]. Тогда если хоть один определитель |Mk(Hj)| < 0, k = 1,..., n, тогда значит в данной подобласти произошла локальная потеря устойчивости.

Проведём численный эксперимент, взяв в качестве параметров оболочки следующие значения: Л = 2,7 = 25,35,45. На рис. 1 показан

♦ ♦ ♦ ♦

0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8

XXX

(а) д=0.062 (Ь) д=0.071 (с) д=0.076

Рис. 2. Нарастание «слабых» точек при 7 = 25

(а) д=0.057 (Ь) д=0.068 (с) д=0.072

Рис. 3. Нарастание «слабых» точек при 7 = 35

график зависимости функции прогиба на подобласти (5, 5) от поперечно распределенной нагрузки на цилиндическую панель для 7 = 35 (значения нормированы, х = 0.5,у = 0.5). Точка на кривой определяет значение нагрузки, при котором происходит локальная потеря устойчивости на этой подобласти (центр цилиндрической оболочки).

На рис. 2 показано нарастание и распределение «слабых» точек при росте нагружения. При д = 0.116 происходит глобальная потеря устойчивости оболочечной конструкции, после которой происходит переход к другому равновесному состоянию (в т.ч. возможно полное разрушение оболочки). Глобальная потеря устойчивости характеризуется распределением «слабых точек» по всей поверхности оболочечной конструкции.

Важность локализации «слабых» точек состоит в том, что их появление существенно зависит от величины действующей нагрузки. Иными словами, зная картину возникающих «слабых» точек, можно с достаточной степенью точности оценивать допустимый предел изменения нагрузок, сохраняющий устойчивость конструкции. Изменения этой картины

(а) д=0.053 (Ь) д=0.0625 (с) д=0.069

Рис. 4. Нарастание «слабых» точек при 7 = 45

Рис. 5. Нестационарное поведение модели

для оболочечных конструкций различной кривизны показаны на рис. 3, 4.

В результате численного эксперимента видно, что при большом значении параметра мягкости оболочки (например, Л — 10) численный эксперимент показывает несвойственное для моделируемого объекта поведение (см. рис. 5).

Библиографический список

1. Кузнецов В. Н., Кузнецова Т. А., Шабанов Л. Е. Операторный подход в задаче статической потери устойчивости оболочечных конструкций // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам : межвуз. сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 1. С. 59—69.

2. Кузнецова Т. А., Баев К. А., Чумакова С. В. Спектральный критерий локальной потери устойчивости тонких оболочечных конструкций произвольной конфигурации // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам : межвуз. сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 3. С. 58-66.

3. Кузнецов В. Н. Метод последовательного возмущения параметров в приложении к расчету динамической устойчивости тонкостенных оболочечных конструкций : дис. .. .д-ра техн. наук. Саратов, 2000.

4. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М. : Наука, 1977.

УДК 517.51

Р. Н. ФАДЕЕВ

Необходимые и достаточные условия принадлежности обобщенным классам Бесова

Введение

Пусть P = С N, причем 2 < pn < N для всех n £ N. Положим

по определению m0 = 1,mn = pn * mn-1. Каждое x £ [0,1) представимо в виде

то

x = ^^ Xj/mj, Xi £ Z, 0 < Xi < pi. (1)

i=i

Если x = k/mi, k, i £ N, то мы рассматриваем разложение с конечным

то

числом xn = 0. Если x, y представлены в виде (1), то x0y = z = ^ zi/mi,

i=i

где zi = xi — yi (mod pi). Аналогично определяется x0y. Каждое k £ Z+ единственным образом представимо в виде

то

k = ^^ kimi—1, ki £ Z, 0 < ki < pi. (2)

i=i