Численная модель динамики внутренних волн, генерируемых цилиндром переменного радиуса в линейно стратифицированной среде Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вычислительные технологии

Том 1, № 3, 1996

ЧИСЛЕННАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ ВНУТРЕННИХ ВОЛН, ГЕНЕРИРУЕМЫХ ЦИЛИНДРОМ ПЕРЕМЕННОГО РАДИУСА

___ и ____и ___I

В ЛИНЕИНО СТРАТИФИЦИРОВАННОИ СРЕДЕ*"»"

А. В. фомина

Новокузнецкий государственный педагогический институт, Россия

Е. А. Шелякова Кемеровский государственный университет, Россия

Рассматривается плоское нестационарное течение, генерируемое пульсирующим горизонтальным круговым цилиндром в невязкой несжимаемой линейно стратифицированной жидкости. Построена численная модель этого течения. Приведены результаты тестовых расчетов.

1. Постановка задачи

Для описания течения привлекаются уравнения Эйлера в приближении Буссинеска. После введения функции тока ф и завихренности ш эти уравнения записываются в виде

д 2ф д2ф дх2 ду2 '

дш дш дш д др

Ж + иэХ + % = р0 дх- (2)

I + + -др = о <3)

Здесь и = дф/ду, V = -дф/дх — горизонтальная и вертикальная компоненты скорости, д — ускорение силы тяжести, р — плотность жидкости, система координат введена таким образом, что ось у направлена вертикально вверх, против силы тяжести. Задача сводится к отысканию функций ф, ш, р в области с переменной границей: Ь £ [О,^]; х,у £ > 0,

П = {х,у : х > 0, у > 0, х2 + у2 > д(Ь)}, = г0 — Аcos(шfЬ). В качестве начальных условий ставились следующие:

ф = ш = 0, р = р3(у), Ь = 0, х,у £ По- (4)

*© А.В.Фомина, Е. А. Шелякова, 1996.

^ Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, гранты №95-01-00910, №95-01-01339.

Из соображений симметрии решение отыскивалось в первом квадранте плоскости X0У. Граничные условия полагались следующими:

си = ^ = 0, г2 = х2 + у2 ^ то, г > 0, дг

р = р8(у), г2 ^ то, г > 0. р = ро, ^ = 0, ф = 0, у = 0, х > д(г), г > 0,

ф = вд(г)^, х2 + у2 = д2(г), г > 0, Ф = 2®(*)^, " = 0, х = 0,у > д(г), г > 0, (5)

где в = агс1ап(у/х); р0 = р3 (0), р3 = р5(у), — плотность невозмущенной жидкости.

Для построения численного алгоритма решения задачи осуществлялся двойной переход в новые системы координат:

г' = г, г2 = х2 + у2, в = агс1ап(у/х), (6)

г" = г', г' = <^(г',г,в), в' = ^(г',в). (7)

2. Численный алгоритм

Алгоритм решения задачи сводится к последовательному интегрированию преобразованных уравнений (1)-(3) на каждом временном слое. Уравнение (1) при этом интегрировалось с применением итерационной схемы стабилизирующей поправки [1]. При интегрировании уравнений (2), (3) использовался метод расщепления [1]

д д __I А_

дг'' дг'

д д _ I г>_

дг'' + дв'

к

0;

(8)

др др дг" + 1 дг + В др дг'' + 1 дв'

(9)

0,

где А, В, А1, В1 — коэффициенты в уравнениях при производных д^/дг', д^/дв', др/дг', др/дв'; 1 — правая часть уравнения (2). Система уравнений (8) аппроксимируется с применением мажорантной разностной схемы [1]:

. ,п+1/2 . ,п иг,з - + а

Т

. п+1/2 ; п+1/2

К

. ,п+1/2 , п+1/2

Ч+Ц - Ч„?

К :

, > 0

Аи < 0

р. • 1 ,

0

, ,п+1 , ,п+1/2

—---+ В^

п+1 п+1 Ш% ,• — и;

%" ц 1, В',' > 0

ш"++1 — Ш^1 в,-< 0 = 0

Н'2

Здесь т, Н1, Н2 — параметры конечно-разностного алгоритма: шаги сетки по времени и переменным г', в' соответственно. Разностная аппроксимация для системы уравнений (9) выбиралась аналогичной. Алгоритм строился так, что для отыскания функции тока в правой части уравнения (1) использовались значения завихренности с нижнего временного слоя. Система уравнений (1)-(3) нелинейна. В связи с этим рассматривалась также версия алгоритма с итерациями по нелинейности. Численные эксперименты показали возможность использования более простого в реализации безытерационного подхода. Рассмотренный алгоритм имеет первый порядок аппроксимации по пространственным и временной переменным. С целью повышения порядка аппроксимации по пространственным переменным предполагается рассмотрение модификации алгоритма, основанной на идее метода предиктор—корректор [1].

Конечно-разностная сетка в переменных ¿', г', в' выбиралась равномерной (с параметрами т, к\, Ь!2). Ей соответствовала неравномерная подвижная сетка в исходной системе координат. При численном решении задачи краевые условия для ф, ш, р (или р1 = р — р3) из бесконечности сносились на окружность достаточно большого радиуса г = Я. Наряду с условиями (5) при г = Я ставилось открытое граничное условие [2] для ф:

дФ+¿д^—-)=о. с»)

Для этого уравнения использовалась конечно-разностная аппроксимация

ФП+1 — ФП +

гмга+1

С%,3 — %<3

(11)

В (11) индексы г,] принимают значения, соответствующие приграничным и граничным узлам (М1 — 1,]), ), ] = 2, ... , М2 — 1; М1, М2 — число узлов сетки по переменным г', в';

(г*")П+1 = (г?!1 — г?) /т; ?+1 — сеточный аналог производной дг/дг' на (п + 1)-м слое по времени. На основе аппроксимации (11) уравнения (10) в приграничных узлах для момента времени Ь = определялась характерная скорость переноса возмущений и с использованием стандартной процедуры [2] конструировалось краевое условие типа (10). Краевые условия для р1, ш при этом ставились исходя из аппроксимации линеаризованного аналога уравнений (2) - (3).

1

0

3. Результаты численных экспериментов

Численная модель тестировалась путем решения задачи в однородной жидкости. В этом случае имеется точное решение

Ф = вд% и = 0. (12)

Рис. 1.

Результаты расчетов, полученные с применением равномерных и неравномерных сеток демонстрируют сходимость сеточных решений к точному с порядком 0(Н2).

Ниже приводятся результаты численных экспериментов, направленных на анализ свойств алгоритма расчета в полной постановке.

Первая серия численных экспериментов была выполнена с целью демонстрации роли краевого условия для ф при г = Я. Величина Я = Я/г0 полагалась равной 27.6; N = 29; N = 41. На рис. 1, а приведены графики функции р (£, 0,у) = р1\Ъ, 0,у)/аг0р0, а = -(1/р0)(1р8/(у; £ = t • и/, у = у/г0. Кривые 1, 2 соответствуют у = 6; кривые 3, 4 — у = 10. Кривые 1, 3 получены при использовании аппроксимации условия Неймана для функции тока; 2, 4 — условия (11). Можно видеть, что для у = 10 при больших значениях £ имеются расхождения. Рис. 1, б, в демонстрируют роль величины Я при фиксированном краевом условии (двухточечной аппроксимации условия Неймана для ф). Кривые 1 на рис. 1, б, в получены для Я = 27.6; кривые 2 — для Я = 17. Здесь у = 6. Во всех случаях краевые условия для ы, р1 ставились исходя из линеаризованных уравнений для этих величин.

Рис. 2 иллюстрирует роль величин N, М2 (числа разбиений по переменным г', в'). Они выполнены для М1 =41, М2 = 29. Рис. 2, а получен с применением условия Неймана; рис. 2, б — условия (11). Кривые 1, 3 на этих рисунках соответствуют N = 41, М2 = 29;

Рис. 3.

кривые 2, 4 — Ni = 29, N2 = 41; y = 6; R = 27.6. Результаты расчетов с применением различных сеток достаточно близки.

Наконец, рис. 3 демонстрирует роль величины R. Кривые 1-3 на рис. 3, а соответствуют значениям R, равным 27.6, 50.0, 100.0; y = 6. Кривые 1, 2 на рис. 3, б получены для R = 50.0; 100.0. Результаты расчетов, к сожалению, демонстрируют существенную роль параметра R. В качестве краевого условия использовалось условие Неймана.

Ряд расчетов выполнялся на последовательности значений f = 0.05, 0.1. Основные расчеты выполнены с f = 0.05. Увеличение f в 2 раза (f = 0.1) привело к отклонениям не более 5 % в равномерной норме.

4. Заключение

Построена численная модель волновых движений, генерируемых цилиндром переменного радиуса в линейно-стратифицированной среде. Выполнена серия численных экспериментов, направленных на ее тестирование. Дальнейшее уточнение алгоритма путем привлечения аппроксимаций более высокого порядка и асимптотик для постановки краевых условий, а также сопоставление с результатами экспериментального и асимптотического анализа [3, 4] представляет задачу ближайших исследований.

Авторы благодарят Г. Г. Черных за постановку задачи и помощь в работе.

Список литературы

[1] ЯНЕНКО Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Наука, Новосибирск, 1967.

[2] Orlanski I. A simple boundary condition for unbounded hyperbolic flows. J. Comput. Phys, 21, №3, 1976, 251-269.

[3] Беляев В. С. Экспериментальное исследование волновых и конвективных течений в стратифицированной жидкости. Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. ИПМех АН СССР, М., 1984.

[4] Городцов В. А. Порождение и динамика малых возмущений в стратифицированных жидкостях. Дис. ... докт. физ.-мат. наук. ИПМех РАН, М., 1996.

Поступила в редакцию 24 апреля 1996 г.