ЧИСЛЕННАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПОРЯДКА ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ПО ВРЕМЕНИ МОДЕЛИ СУБДИФФУЗИИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2020. Том 27, № 4

УДК 519.63

ЧИСЛЕННАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПОРЯДКА ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ПО ВРЕМЕНИ МОДЕЛИ СУБДИФФУЗИИ В. И. Васильев, А. М. Кардашевский

Аннотация. В последние годы при математическом моделировании в различных областях науки широкое распространение получили начально-краевые прямые и обратные задачи с дробными производными. Они используются в классической и квантовой физике, теории поля, механике деформируемого твердого тела, механике жидкости и газа, общей химии, нелинейной биологии, стохастическом анализе, нелинейной теории управления и обработке изображений. В работе рассматривается одномерная математическая модель аномальной диффузии, в которой определению подлежит порядок дробной производной по времени. Задача относится к классу обратных задач. В качестве условия переопределения задан интеграл решения задачи в финальный момент времени с неотрицательным весовым коэффициентом. Дискретный аналог поставленной задачи строится конечно-разностным методом, для приближенного вычисления определенного интеграла (условия переопределения) использована квадратурная формула трапеций. Для численной реализации полученной системы нелинейных уравнений используется итерационный метод секущих.

Б01: 10.255877SVFU.2020.98.14.005

Ключевые слова: дробная производная по времени, уравнение дробной диффузии, аномальная диффузия, обратная задача, конечно-разностный метод, идентификация порядка дробной производной по времени, итерационный метод.

Введение

В различных областях науки и техники, использующих математические методы и средства компьютерного моделирования, в настоящее время наблюдается повышенный интерес к применениям дробного исчисления.

В монографии [1] изложены основы теории дробного дифференцирования, дифференциальных уравнений дробного порядка, методов их численного решения и приведены многочисленные их приложения в науке и технике. В работе [2] представлены исследования по применению дробных производных в релаксационных процессах. В работе [3] исследована математическая модель, описываемая уравнением диффузии дробного порядка в трубопроводах с трещинами, имеющими фрактальную природу, и показано, что полученные численные решения хорошо согласуются с натурными данными на широком диапазоне

Работа выполнена при поддержке Минобрнауки РФ, дополнительное соглашение N0 075— 02-2020-1543/1.

© 2020 Васильев В. И., Кардашевский А. М.

изменения времени. Математический аппарат дробных производных успешно применяется в качестве инструмента математического моделирования теплофи-зических процессов. В перечисленных работах можно найти и многочисленные ссылки на практические приложения аппарата дробных производных к проблемам физики, гидрологии и даже финансов.

П. Н. Вабищевич опубликовал серию работ по разработке и теоретическому обоснованию численных методов решения прямых и обратных задач уравнений математической физики, содержащих эллиптические операторы дробной степени. Полученные им более глубокие результаты опубликованы в работах [4-6]. В [7] обсуждаются проблемы численного решения задач с дробными операторами диффузии.

Введение дробной производной по времени вместо частной производной первого порядка в диффузионной модели приводит к замедлению диффузии. В научной литературе это известно как «субдиффузия» и «аномальная диффузия». В [8] с помощью тригонометрического ряда с коэффициентами, вычисляемыми с использованием функции Миттаг-Леффлера, построено точное решение дробного диффузионно-волнового уравнения, заданного в ограниченной области. В статье [9] обсуждается вычисление функции Миттаг-Леффлера (МЬ) с матричными аргументами с целью построения решений в виде ряда тригонометрических функций.

На наш взгляд лучшая конечно-разностная аппроксимация дробной производной по времени впервые предложена в работе китайских математиков [10]. В [11] предложен новый разностный аналог дробной производной Капу-то. На его основе построены разностные схемы, порождающие аппроксимации начально-краевой задачи для уравнения аномальной диффузии. Доказана устойчивость предложенных схем, а также их сходимость со скоростью, равной порядку аппроксимации.

Интересной и важной проблемой является задача идентификации порядка дробной производной. В работе [12] доказаны существование, единственность и устойчивость решения обратной задачи определения порядка дробной производной. В [13] доказана единственность для двух видов обратных задач идентификации дробных порядков в уравнениях диффузии с множественными дробными производными по времени путем точечного наблюдения. В работе [14] доказано, что порядок дробных дифференциальных уравнений в частных производных имеет большое значение для точного моделирования исследуемой системы, в частности, показано, что на скорость распада растворов влияет порядок дробных производных. Теоретические результаты подтверждены результатами численного исследования. В статьях [15,16] приведены результаты численного решения обратных задач для уравнения аномальной диффузии по восстановлению дробной производной и коэффициента диффузии методами искусственных нейронных сетей, обученных для решения обратных задач теории аномальной диффузии. В качестве условий переопределения заданы измерения значения функции концентрации вещества в фиксированных точках в разные моменты времени.

Поскольку порядок дробной производной отражает реальное физическое

свойство материала, актуальность и важность проведения таких исследований

не вызывает сомнений. В данной работе рассматривается обратная задача ано-

мальной диффузии, заключающаяся в идентификации порядка дробной про-

изводной по времени. Для численной реализации конечно-разностного аналога

рассматриваемой задачи предлагается использовать итерационный метод секу-

щих. При этом на каждой итерации численно решается прямая задача. Пред-

ставлены результаты численной апробации метода на модельных задачах с точными решениями.

1. Постановка задачи

Рассмотрим решение обратной нелокальной начально-краевой задачи для линейного одномерного уравнения дробной диффузии, имеющей дробную производную по времени с подлежащим определению дробным порядком а € (0,1), удовлетворяющее заданным однородным граничным условиям Дирихле и неоднородному начальному условию. Пусть в качестве дополнительного условия задан интеграл искомой функции в финальный момент времени с неотрицательным весовым множителем, который используется для идентификации неизвестного показателя дробной производной по времени а.

Итак, требуется определить функцию и(х,Ь) и порядок дробной производной по времени а, удовлетворяющие:

даи д Л . .дп\ , т

и(0,г) = и(М)=0, 0 <г < т, (1)

и(х, 0) = р(х), 0 < х < I,

Здесь для обеспечения корректности прямой задачи (1) предположим, что выполняются неравенства 0 < к\ < к(х, £) < к2 < те.

Дополнительное условие зададим в виде

I

JN(х)и(х, Т) ¿х = А, (2)

о

где N(х) — заданная на [0,1] достаточно гладкая весовая функция, А — заданное число. Данное нелокальное условие переопределения широко используется при рассмотрении обратных задач для нестационарных уравнений [17].

В качестве дробной производной по времени в уравнении (1) берем дробную производную Капуто порядка а, определяемую по формуле

t

даи(х, £) 1 Г ди(х, в) ¿в

№ = Г(1 — а) ] Ш о

(í - в)-а, (3)

где а € (0,1), Г(•) — гамма функция. Для аппроксимации дробной производной Капуто порядка а по времени на равномерной сетке по времени с шагом т = Т/М используем дискретный аналог, предложенный в [10]:

д ЩХ, ) \ , т —7 + 1 т_7

= 7«т—7+1 --т-'), т = 1,2,...,м, (4)

7=1

где

^1 = 1, 7 = 2,3,... ,ш; = г _ а)та • (5)

Там же показано, что погрешность аппроксимации дробной производной имеет порядок 0(т2_а).

2. Конечно-разностный аналог прямой задачи

На равномерной пространственной сетке = х = ¿Л, г = 0,1,... , 1, ¡г = 1/п задаче (1) поставим в соответствие неявную разностную схему следующим образом. Заменим левую часть определяющего уравнения дробной диффузии (1) суммой (4), а правую часть аппроксимируем со вторым порядком по ¡г на верхнем временном слое. В итоге получим на верхнем временном слое систему линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей:

и0 = г = 0,1, .. ., п,

ит = -С = 0, т = 1, 2,. .., п,

' 1,т — цт „т , т

Е„ (,.т-]+1 m—j \ _ т "г+1 "г т аг

^ — «-¿+1 ^ аг ^

7=1

(6)

г = 1, 2,... ,п - 1; т = 1, 2,. .., М.

Здесь от = к(ж^_1/2, £т), г = 1, 2,... , п; т =1, 2,... , М.

Таким образом, на каждом временном слое требуется решать систему линейных уравнений (6) с трехдиагональной матрицей, где в левой части используется вся предыстория вычисленного решения до нижнего временного слоя включительно.

Численное решение модельных прямых задач. Численную проверку точности разностной схемы (6) проведем на двух модельных задачах с разными начальными условиями и для разных значений порядка дробной производной по времени а. Будем сравнивать полученные результаты расчета с точными решениями в виде суммы тригонометрического ряда, коэффициенты которого содержат функции Миттаг-Леффлера [8].

Пример 1. Рассмотрим прямую задачу с гладким начальным условием:

<^(х) = е_20(х—1/2)2, х € [0,1]. (7)

Рис. 1. Слева — начальное условие и графики точного решения при Т = 1, справа - отклонение решения разностной схемы от точного решения в зависимости от а.

Рис. 2. Начальное условие и точные и численные решения при £ = Т соответствующие а (слева), погрешность разностной схемы в зависимости от а (справа).

Расчеты проведем при I = 2; Т = 1; п = 100; М = 100. Задали пять значений порядка дробной производной а = 0.1; 0.3; 0.5; 0.7; 0.9. На рис. 1 представлены графики начального условия и точного решения в финальный момент времени, вычисленные для разных значений порядка дробной производной по времени а. Точное решение вычислено с помощью тригонометрического ряда с коэффициентами, содержащими функцию Миттаг-Леффлера. Справа представлены графики разности между точным решением и решением разностной схемы (6) в финальный момент времени Ь = Т для тех же а. Из представленных графиков видно, что с увеличением порядка дробной производной а точность численного метода ухудшается. Это хорошо согласуется с тем, что порядок аппроксимации имеет порядок 0(т2-а + Н2). Погрешность определения финального решения в зависимости от порядка дробной производной по времени колеблется от -0.00025 при а = 0.3 до 0.00115 при а = 0.9.

На рис. 2 представлены результаты численной реализации разностной схемы (6) при задании разрывного начального условия (7). Приведены графики решения в финальный момент времени Т = 1 .

ПРИМЕР 2. Рассмотрим случай, когда начальное условие является разрывной функцией:

.. [1 для х е [0.41, 0.61], ^(х) = < (8)

\0 для ж е [0,0.41) и (0.61,1].

Вычисления проводились при: 1 = 2; Т =1; п = 100; М = 100. Задали те же значения порядка дробной производной. Соответствующие графики в финальный момент времени и(х,Т) и точное решение представлены на рис. 2. Точное решение также вычислено с помощью тригонометрического ряда. Справа — графики ошибки (разность между точным решением и вычисленной по разностной схеме) также практически совпали. Следует обратить внимание на то, что точность разностной схемы оказалась примерно такая же, что и в примере 1 — от 0.0006 при а = 0.3 до 0.00011 при а = 0.9.

Рис. 3. Зависимость интеграла решения А в финальный момент времени Т = 1 от а при гладком начальном условии (слева) и разрывном начальном условии (справа).

3. Конечно-разностный аналог обратной задачи

Перед тем, как приступить к построению итерационного метода решения обратной задачи идентификации порядка дробной производной начально-краевой задачи для уравнения аномальной диффузии (1) с нелокальным условием переопределения (2), выясним зависимость А от порядка дробной производной а в финальный момент времени £ = Т на модельных примерах 1 и 2 с точными решениями. Расчеты проводились на точном решении в виде тригонометрического ряда для примеров 1 и 2 при заданных значениях

а = гЪа, г = 1, 2,...,п — 1; На = 1/п, п = 100.

Из представленных на рис. 3 графиков видно, что интеграл А является монотонно убывающей функцией, и каждому значению А соответствует только единственное значение порядка дробной производной а. Это означает, что в наших примерах единственность решения рассматриваемых примеров гарантируется.

Теперь приступим к построению дискретного аналога обратной задачи, где помимо решения начально-краевой задачи для параболического уравнения с

дробной производной по времени и(х,Ь), (х,Ь) € [0,1] х [0, Т], определению подлежит и порядок дробной производной а € (0,1). Как и для прямой задачи, на каждом временном слое необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений (6).

В рассматриваемой обратной задаче требуется идентифицировать порядок а дробной производной по времени, который определяем из дискретного аналога нелокального условия переопределения (2):

]Г> (ХгЖуМ = А. (9)

¿=0

Здесь шаги потоковой сетки по пространственной переменной определяются следующим образом: Но = Нп = Н/2, Н = Н, г = 1, 2,... ,п — 1.

Следовательно, нам требуется найти решение нелинейной задачи, состоящей из системы алгебраических уравнений (6), (9). Она нелинейна по той причине, что в системе линейных уравнений (6) параметр а, порядок дробной производной по времени, должен удовлетворять условию переопределения (9). Таким образом, идентифицируемый показатель а неявно входит в уравнение (8) и присутствует в коэффициентах системы уравнений (6).

Итерационная идентификация порядка дробной производной по времени. Для численного решения конечно-разностного аналога обратной задачи определения порядка дробной производной по времени а требуется выбрать быстро сходящийся итерационный метод определения порядка а, на каждой итерации требуется решать линеаризованную систему уравнений (9).

Таковым оказался классический итерационный метод секущих, используемый для решения нелинейных уравнений:

1. Задаем начальное приближение искомого порядка дробной производной по времени ао и запускаем счетчик итераций к = 0 — номер итерации.

2. Увеличиваем номер итерации к = к + 1.

3. Решаем дискретный аналог прямой задачи (6) с заданным (т = 1) или найденным (т > 1) на предыдущей итерации значением порядка а дробной производной по времени.

4. Если к = 1, то задаем ао =0, фо = А и возвращаемся к п. 2, в противном

п

случае присваиваем ф2 = фг, фг = ^ N(х^.

¿=о

5. Определяем очередное приближение ак+г по формуле:

аи+1 = аи ~ ---т-у&к ~ ак-1)-

фг — ф2

6. Из итерационного цикла выходим при выполнении условия |ак+г — а к | < е, иначе возвращаемся к п. 2.

Численный эксперимент. Численную реализацию описанного итерационного метода проведем на тех же двух модельных задачах с разными начальными условиями и разными значениями порядка дробной производной по времени а и будем сравнивать полученные результаты расчета с точным решением, определяемым суммированием членов тригонометрического ряда с использованием функции Миттаг-Леффлера.

Пример 3. Рассматривается обратная задача с гладким начальным условием (7). Расчеты проводились на тех же области и сетке. Условие переопределения вычислено с помощью квадратурной формулы трапеций. В качестве подынтегральной функции взято точное решение для разных значений порядка дробной производной по времени. Расчеты проводились при I = 2; Т = 1; п = 100; М = 100; N(х) = 1, х е [0,1]; е = 10-6.

На рис. 4 представлены результаты расчета по предложенному итерационному методу решения обратной задачи определения порядка а дробной производной дробного уравнения аномальной диффузии. На левом графике показана точность определения решения в финальный момент времени для разных значений а, справа — значения а на каждой итерации. Представленные графики показывают чрезвычайно быструю сходимость итерационного процесса, и практически вполне достаточно проводить всего четыре итерации.

Пример 4. Рассмотрена обратная задача с разрывным начальным условием (8). Расчеты проводились в той же области на сетке I = 2; Т =1; п = 100; М = 100; N(х) = 1, х е [0,1]; е = 107. Идентифицировали те же значения порядка дробной производной по времени, что и в предыдущем примере. Дополнительное условие также было вычислено из точного решения с помощью квадратурной формулы трапеций.

На рис. 5 слева показана точность определения решения в финальный момент времени для разных значений а, справа представлены результаты идентификации порядка дробной производной по времени, восстановленные по предложенному нами итерационному методу. Графики показывают чрезвычайно

/

....../; -

]/ -

\ -

— a = 0.1 - ск = 0. 3 - a = 0.5 - a = 0.7 - ct = 0. 9

..........

Рис. 5. Слева сходимость итерационного процесса для разных а при разрывном начальном условии (8) и справа точность определения решения при Т = 1.

быструю сходимость итерационного процесса. Несмотря на то, что начальное условие представляет собой разрывную функцию, итерационный метод позволил не только быстро, но и с более высокой точностью идентифицировать искомые порядки дробной производной по времени. Точность определения порядка дробной производной с разрывными начальными данными такая же, как и для случая с гладким начальным условием.

В табл. 1 представлены найденные значения порядка дробной производной по времени для гладких и разрывных начальных условий на пространственно-временной сетке.

Таблица 1

Начальное условие а = 0.1 а = 0.3 а = 0.5 а = 0.7 а = 0.9

Гладкое (7) 0.101474 0.302849 0.501008 0.694335 0.889265

Разрывное (8) 0.100356 0.301026 0.500992 0.694295 0.889216

Приведенные результаты вычислительной реализации показывают, что предложенный итерационный метод идентификации показателя дробной производной по времени для дробного уравнения диффузии является достаточно эффективным.

4. Заключение

Для решения конечно-разностного аналога обратной задачи идентификации порядка а Е (0,1) дробной производной по времени в дифференциальном уравнении дробной диффузии применен итерационный метод секущих. Представлены результаты численной реализации предложенного итерационного метода на модельных примерах с точными решениями для различных начальных условий и порядка дробной производной по времени. Расчеты показали достаточно высокую эффективность предлагаемого итерационного метода.

ЛИТЕРАТУРА

1. Podlubny I. Fractional differential equations. New York: Acad. Press, 1999.

2. Mainardi F., GorenBo R. Time-fractional derivatives in relaxation processes: a tutorial survey. arXiv:0801.4914v1. 2008.

3. Park H. W., Choe J., Kang J. M. Pressure behavior of transport in fractal porous media Using a fractional calculus approach // Energy Sources. 2000. V. 22. P. 881—890.

4. Ciegis R., Vabishchevich P. N. Two-level schemes of Cauchy problem method for solving fractional powers of elliptic operators // Comput. Math. Appl. 2020. V. 80, N 2. P. 305-315.

5. Vabishchevich P. N. Approximation of a fractional power of an elliptic operator // Numer. Linear Algebra Appl. 2020. V. 27, N 3. e2287.

6. Ciegis R., Vabishchevich P. N. High order numerical schemes for solving fractional powers of elliptic operators // J. Comput. Appl. Math. 2020. V. 372. 112627.

7. Harizanov S., Lazarov R., Margenov S. A survey on numerical methods for spectral space-fractional diffusion problems. arXiv:2010.02717. 2020.

8. Agrawal O. P. Solution for a fractional diffusion-wave equation defined in a bounded domain // Nonlinear Dyn. 2002. V. 29. P. 145-155.

9. Garrappa R., Popolizio M. Computing the matrix Mittag-Leffler function with applications to fractional calculus // J. Sci. Comput. 2018. V. 77. P. 129-153.

10. Zhuang P., Liu F. Implicit difference approximation for the time fractional diffusion equation //J. Appl. Math. Comput. 2006. V. 22, N 3. P. 87-99.

11. Alikhanov A. A. A new difference scheme for the time fractional diffusion equation //J. Comput. Phys. 2015. V. 280. P. 424-438.

12. Janno J. Determination of the order of fractional derivative and a kernel in an inverse problem for a generalized time fractional diffusion equation // Electron. J. Differ. Equ. 2016. V. 199. P. 1-28.

13. Li Zh., Yamamoto M. Uniqueness for inverse problems of determining orders of multi-term time-fractional derivatives of diffusion equation // Appl. Anal. 2015. V. 94. P. 570-579.

14. D'Ovidio M., Loreti P., Momenzadeh A., Ahrabi S. S. Determination of order in linear fractional differential equations // Fract. Calc. Appl. Anal. 2017. V. 21, N 4. P. 937-948.

15. Bondarenko A. N., Bugueva T. V., Dedok V. A. Inverse problems of anomalous diffusion theory: the artificial neural network approach // J. Appl. Ind. Math. 2016. V. 10, N 3. P. 311-321.

16. Dedok V. A. Neural network solution of the inverse anomalous diffusion problem // 2017 Sib. Symp. Data Science and Engineering (SSDSE 2017). Proc. IEEE, 2017. P. 93-98.

17. Prilepko A. I., Orlovsky D. G., Vasin I. A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York: Marcel Dekker, 2000.

Поступила в редакцию 28 августа 2020 г. После доработки 25 ноября 2020 г. Принята к публикации 29 ноября 2020 г.

Васильев Василий Иванович

Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова, кафедра вычислительных технологий, ул. Белинского, 58, Якутск . 677891 vasvasil@mail.ru

Кардашевский Анатолий Михайлович

Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова, Якутское отделение Регионального научно-образовательного центра «Дальневосточный центр математических исследований», ул. Белинского, 58, Якутск 677891 karg123@gmail.com

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2020. Том 27, № 4

UDC 519.63

NUMERICAL IDENTIFICATION OF ORDER OF THE FRACTIONAL TIME DERIVATIVE IN A SUBDIFFUSION MODEL V. I. Vasil'ev and A. M. Kardashevskii

Abstract: In recent years, initial boundary value direct and inverse problems with fractional derivatives have become widespread for mathematical modeling in various fields of science. They are used in classical and quantum physics, field theory, solid mechanics, fluid and gas mechanics, general chemistry, nonlinear biology, stochastic analysis, nonlinear control theory, and image processing.

The paper considers a one-dimensional mathematical model of anomalous diffusion, in which the order of the fractional time derivative is to be determined. The problem belongs to the class of inverse problems. The integral of the solution of the problem at the final moment of time with a non-negative weighting coefficient is given as a condition for redefinition. A discrete analogue of the problem posed is constructed by the finite-difference method; for the approximate calculation of a definite integral (overdetermination condition), the quadrature formula of trapezoids is used. For the numerical implementation of the obtained system of nonlinear equations, the iterative secant method is used.

DOI: 10.25587/SVFU.2020.98.14.005

Keywords: fractional time derivative, fractional diffusion equation, anomalous diffusion, inverse problem, finite difference method, identification of the order of fractional time derivative, iterative method.

REFERENCES

1. Podlubny I., Fractional Differential Equations. Acad. Press, New York (1999).

2. Mainardi F. and Gorenflo R., "Time-fractional derivatives in relaxation processes: a tutorial survey," arXiv:0801.4914v1 (2008).

3. Park H. W., Choe J., and Kang J. M., "Pressure behavior of transport in fractal porous media using a fractional calculus approach," Energy Sources, 22, 881—890 (2000).

4. Ciegis R. and Vabishchevich P. N., "Two-level schemes of Cauchy problem method for solving fractional powers of elliptic operators," Comput. Math. Appl., 80, No. 2, 305—315 (2019).

5. Vabishchevich P. N., "Approximation of a fractional power of an elliptic operator," Numer. Linear Algebra Appl., 27, No. 3, e2287 (2020).

6. Ciegis R. and Vabishchevich P. N., "High order numerical schemes for solving fractional powers of elliptic operators," J. Comput. Appl. Math., 372, 112627 (2020).

7. Harizanov S., Lazarov R., and Margenov S., "A survey on numerical methods for spectral space-fractional diffusion problems," arXiv:2010.02717v1 (2020).

8. Agrawal O. P., "Solution for a fractional diffusion-wave equation defined in a bounded domain," Nonlinear Dyn., 29, 145-155 (2002).

9. Garrappa R. and Popolizio M., "Computing the matrix Mittag-Leffler function with applications to fractional calculus," J. Sci. Comput., 77, 129-153 (2018).

© 2020 V. I. Vasil'ev and A. M. Kardashevskii

10. Zhuang P. and Liu F., "Implicit difference approximation for the time fractional diffusion equation," J. Appl. Math. Comput., 22, No. 3, 87-99 (2006).

11. Alikhanov A. A., "A new difference scheme for the time fractional diffusion equation," J. Comput. Phys., 280, 424-438 (2015).

12. Janno J., "Determination of the order of fractional derivative and a kernel in an inverse problem for a generalized time fractional diffusion equation," Electron. J. Differ. Equ., 199, 1-28 (2016).

13. Li Zh. and Yamamoto M., "Uniqueness for inverse problems of determining orders of multi-term time-fractional derivatives of diffusion equation," Appl. Anal., 94, 570-579 (2015).

14. D'Ovidio M., Loreti P., Momenzadeh A., and Ahrabi S. S., "Determination of order in linear fractional differential equations," Fract. Calc. Appl. Anal., 21, No. 4, 937-948 (2017).

15. Bondarenko A. N., Bugueva T. V., and Dedok V. A., "Inverse problems of anomalous diffusion theory: the artificial neural network approach," J. Appl. Ind. Math., 10, No. 3, 311-321 (2016).

16. Dedok V. A., "Neural network solution of the inverse anomalous diffusion problem," in: Proc. 2017 Sib. Symp. Data Science and Engineering (SSDSE 2017), pp. 93-98, IEEE (2017).

17. Prilepko A. I., Orlovsky D. G., and Vasin I. A., Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics, Marcel Dekker, New York (2000).

Submitted August 28, 2020 Revised November 25, 2020 Accepted November 29, 2020

Vasiliy I. Vasil'ev

Department of Computing Technologies, North-Eastern Federal University, 58 Belinsky Street, Yakutsk 677000, Russia vasvasil@mail.ru

Anatolii M. Kardashevkii North-Eastern Federal University,

Yakutsk Branch of the Regional Scientific and Educational Center "Far Eastern Center for Mathematical Research", 58 Belinsky Street, Yakutsk 677000, Russia kard123@gmail.com