CC BY
6
УДК 51
Маришина А.А. студент Бугай Н.Р. студент
факультет «Физико-математический» Воронежский государственный педагогический университет
Россия, г. Воронеж
ЧИСЛА Е И п
Аннотация. Математиками изучены последовательности цифр е и п, и выяснено, что все цифры в этом числе встречаются с одинаковой частотой. Эти числа могут заворожить своей непокорностью, в особенности п. Этому числу удавалось в течении тысячелетий держать в плену мысли и чувства не только математиков и астрономов, но и философов и художников. Тратились годы для вычисления нескольких десятичных знаков числа п.
Ключевые слова: числа, история чисел, свойства чисел.
Marishina A.A. Bugai N.R. students
faculty of Physics and mathematics» Voronezh state pedagogical University, Voronezh NAMBER е END n
Abstract. Mathematicians studied the sequence of digits e and п, and found that all the digits in this number occur with the same frequency. These numbers can fascinate with their rebelliousness, especially п. This number has managed for thousands of years to hold captive the thoughts and feelings of not only mathematicians and astronomers, but also philosophers and artists. It took years to calculate a few decimal places of the number п.
Keywords: numbers, history of numbers, properties of numbers.
Числа много тысячелетий назад вошли в жизнь и быт людей. Человек их использует не только при счёте и вычислениях, он придумал различные игры с числами и шарады. Среди бесконечного множества действительных чисел существуют ещё особенные, и не только для математиков, числа п и е. Эти числа имеют свои собственные обозначения, так как их нельзя записать точно с помощью цифр. Числа 3,14 и 2,7 лишь одни из приближённых значений чисел п и е. Эти числа являются иррациональными и трансцендентными, для их точного определения не хватило бы и триллиона десятичных знаков.
Обозначение числа п происходит от греческого слова «пергфереш» ("окружность"). Впервые это обозначение использовал в 1706 году английский математик У. Джонс, но общепринятым оно стало после того, как его (начиная с 1736 года) стал систематически употреблять Леонард Эйлер".
В конце 18 века И. Ламберт и А. Лежандр установили, что п иррациональное число, а в 1882 году Ф. Лидерман доказал, что оно трансцендентное, т.е. не может удовлетворять никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами. На протяжении всего существования числа п, вплоть до наших дней, велась своеобразная "погоня" за десятичными знаками числа р. Леонардо Фибоначи около 1220 года определил три первых точных десятичных знаков числа п. В 16 веке Андриан Антонис определил 6 таких знаков. Франсуа Виет (подобно Архимеду), вычисляя периметры вписанного и описанного 322216-угольников, получил 9 точных десятичных знаков. Андриан Ван Ромен таким же способом получил 15 десятичных знаков, вычисляя периметры 1073741824-угольников. Лудольф Ван Кёлен, вычисляя периметры 32512254720-угольников, получил 20 точных десятичных знаков. Авраам Шарп получил 72 точных десятичных знаков числа п. В 1844 году З. Дазе вычисляет 200 знаков после запятой числа п, в 1847 году Т. Клаузен получает 248 знаков, в1853 Рихтер вычисляет 330 знаков, в том же 1853 году 440 знаков получает З. Дазе и в этом же году У. Шенкс получает 513 знаков. "С появлением ЭВМ количество верных знаков десятичных знаков резко возрастает: 1949 год - 2037 десятичных знаков (Джон фон Нейман), 1958 год - 10000 десятичных знаков (Ф. Женюи), 1961 год - 100000 десятичных знаков (Д. Шенкс), 1973 год - 10000000 десятичных знаков (Ж. Гийу, М. Буйе),
1986 год - 29360000 десятичных знаков (Д. Бейли), 1987 год - 134217000 десятичных знаков (Я. Канада), 1989 год - 1011196691 десятичных знаков (Д. Гудновски и Г. Гудновски)"
При вычислении верных десятичных знаков числа п пользовались различными способами, некоторые, как и Архимед вычисляли периметры вписанных и описанных n-угольников, но позднее стали прибегать к помощи рядов.
Число е = lim (1 + -)п « 2,71828 ... появилось сравнительно недавно.
П^ет п
Его иногда называют "неперовым числом" в честь изобретателя логарифмов
шотландского математика Джона Непера (1550-1617), однако необоснованно,
так как нет твёрдых оснований для утверждения, что Непер имел о числе е
чёткое представление.
Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Якоб
Бернулли в ходе решения задачи о предельной величине процентного дохода.
Он обнаружил, что если исходная сумма $1 и начисляется 100% годовых один
раз в конце года, то итоговая сумма будет $2. Но если те же самые проценты
начислять два раза в год, то $1 умножается на 1,5 дважды, получая $1,00 • 1,52
= $2,25. Начисления процентов раз в квартал приводит к $1 •
1,254 = $2,44140625, и так далее. Бернулли показал, что если частоту
начисления процентов бесконечно увеличивать, то процентный доход в
1
случае сложного процента имеет предел: lim (1 + -)п и этот предел равен
П^ет п
числу e ~ 2,71828. Таким образом, константа e означает максимально
возможную годовую прибыль при 100% годовых и максимальной частоте
капитализации процентов.
Первое известное использование этой константы, где она обозначалась
буквой b, встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690—1691 годы.
Впервые обозначение "е" ввёл Леонард Эйлер (1707-1783). Он также
вычислил точные 23 десятичные знака этого числа, использовав
i i
представление числа е в виде бесконечного числового ряда: е = 1 + + 2! + i
—+ - + полученное Даниилом Бернули (1700-1782).
В 1873 году Эрмит доказал трансцендентность числа е. Л. Эйлер получил замечательный результат, связывающий числа е, п, и i = V-1: eix = -1. Ему принадлежит и заслуга определения функции W = ez для комплексных значений z, что положило начало математическому анализу в комплексной области - теории функций комплексного переменного". Эйлером были получены следующие формулы: е1^ = cos <р + i sin ^ и е-1^ = cosy- isin^. Рассматривают логарифмы по основанию е, называемые натуральными и обозначаются ln х.
Число п используется не только в геометрии, математическом анализе или теории вероятности, но и во многих других отраслях науки, говорят, что учёные пытаются расшифровать человеческое ДНК с помощью этого магического числа. И даже есть много трагических историй, которые связаны с этим магическим числом. Говорят, что многие учёные разговаривали с этим числом, и говорили, что оно может думать. Но эта информация не подтверждена.
Число e играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении, а также во многих других разделах математики. Поскольку функция экспоненты ex интегрируется и дифференцируется «в саму себя», логарифмы именно по основанию e принимаются как натуральные. В реальной жизни число e проявляет себя понятней всего при росте какой - либо величины, например банковского счета.
Использованные источники:
1. Дедекинд Р. Непрерывность и иррациональные числа. М.: Дрофа, 1923. 44 с.
2. Кымпан Ф. История числа пи. М.: Наука, 1971. 216 с.
3. Симонов Р. А. Математическая мысль древней Руси. М.: Наука, 1977. 120 с.
