ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ С ЧИСЛОМ π В ФИЗИКЕ И МАТЕМАТИКЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ С ЧИСЛОМ р В ФИЗИКЕ И МАТЕМАТИКЕ

Аннотация

Рассматриваются вычислительные алгоритмы числа р в физике и математике. Приводятся результаты компьютерных экспериментов с числом р. В частных случаях доказано нормальное свойство фундаментальной константы.

Ключевые слова: число р, вычислительный алгоритм, фундаментальная константа, нормальное свойство числа.

Модельный характер всех наших знаний приводит к сближению физической и математической компонент развиваемых моделей. Характерной чертой научной деятельности является исключительная трудность, а порой и невозможность разделения физической и математической модели при рассмотрении достаточно сложных реальных явлений. «Мне кажется, что на самом деле современная математика и физика - это просто одна и та же наука. Вовсе не много-много разных наук, как часто думают, а с достаточно глубокой физико-математической точки зрения - просто одна и та же наука», - считает академик В.П. Маслов [4].

Похожая точка зрения выдающегося математика В.И. Арнольда: «Математика, подобно физике, - экспериментальная наука, отличающаяся от физики лишь тем, что в математике эксперименты очень дешевы... Математика является экспериментальной наукой - частью теоретической физики и членом семейства естественных наук. Основные принципы построения и преподавания всех этих наук применимы и

© А.И. Ходанович, 2010

к математике... Умение составлять адекватные математические модели реальных ситуаций должно составлять неотъемлемую часть математического образования... При всем огромном социальном значении вычислений (и computer science) сила математики не в них, и преподавание математики не должно сводиться к вычислительным рецептам» [6]. Ситуация очень напоминает ту, которая существовала во времена Ньютона, когда физик и математик очень часто воплощались в одном ученом, а вся проблематика теоретической физики составляла важнейшую, определяющую часть чисто математических исследований.

Рассмотрим мысленный, модельный эксперимент под названием «В бездонном колодце». О сквозном туннеле через земной шар мечтали в 18 веке математик Мо-пертюи и философ Вольтер [5]. Предположим, что Земля просверлена по диаметру (рис. 1). В образовавшийся колодец опустили небольшой предмет. Определить характер движения тела и скорость в центре Земли без учета сопротивления воздуха.

Характер движения можно получить из геометрических соображений. Вращение

Занимательные эксперименты с числом р в физике и математике

представляет собой суперпозицию перпендикулярных гармонических колебаний, поэтому решение совпадает с периодом кругового вращения спутника

Т = 2р ,

а скорость в центре Земли совпадает с первой космической скоростью. Аналогичный результат дает динамический метод решения «экспериментальной» задачи. Физическую формулу, содержащую число р можно рассматривать в качестве способа вычисления фундаментальной математической константы.

Законы колебательного движения обладают универсальностью, общностью для колебаний различной физической природы. Академик Л.И. Мандельштам отмечал: «Теория колебаний объединяет, обобщает различные области физики... Каждая из областей физики - оптика, механика, акустика - говорит на своем «национальном» языке. Но есть «интернациональный» язык, и это - язык теории колебаний... Изучая одну область, вы получите тем самым интуицию и знания совсем в другой области».

В XVII в. X. Гюйгенс (1629-1695) установил формулу для малых колебаний математического маятника

Т = 2р ■ Щ \ё

и предложил использовать ее для определения эталона длины (маятник с периодом колебаний 2 с); в этом случае р2 »g (с учетом зависимости g от широты). Формула Гюйгенса для числа р, полученная методом многоугольников

2 1

Р » — Р„ + — , п > 3 3 п 3 п

обсуждалась в физико-математическом журнале «Квант» [2].

В 1923 г. ленинградский физик А.А. Фридман (1888-1925) получает циклоиду в космологии с периодом р ■ а, где коэффициент а =13 109 лет был вычислен Э. Хабблом в 1929 г. Известный физик Р. Фейнман высказал важную космологичес-

кую гипотезу: 1 год = р^ 107 с. Формула экспериментально доказана в 1975 г.

Фундаментальной является постоянная тонкой структуры, введенная в 1916 г.

А. Зоммерфельдом

а =

» _ Не ~ 137 .

В 1936 г. В. Гейзенберг предложил соотношение а = 2-4 ■ 3-3 ■р. В 1971 г. Уайлер опубликовал следующее выражение для а [1]:

.5

а = -

9

р

8р

4

«24Т5Г >

1/4

В статье [1] обсуждаются фундаментальные константы в Стандартной модели физики элементарных частиц и их возможные изменения во времени.

Физики продолжают «лепить» фундаментальные физические постоянные из числа р. Так X. Уотсон выражает отношение масс протона и электрона

1 2 тп

4р ■ (4р--)(4р--) .

р р те

Ю.И. Рогозин находит довольно точную комбинацию констант р, е, Ф для постоянной тонкой структуры [3] 1 256■е

а р^ Ф

История и современные алгоритмы вычисления числа р (ряды, интегралы, рекурсии) подробно обсуждаются в учебной ли-

Рис. 1. Мысленный эксперимент в физике

Ходанович А. И.

тературе [2], [3]. Актуализировать экспериментальную деятельность, развивая познавательный интерес, позволяют исторические факты.

Вспомним то, что отношение длины окружности к ее диаметру постоянно, было известно еще в глубокой древности. Первое обозначение этого числа греческой буквой p содержится в работе «Synopsis Palmoriorum Matheseos» («Обозрение достижений математики») английского преподавателя Уильяма Джонса (1675-1749), вышедшей в 1706 году. Обозначение p для отношения длины окружности к диаметру широко распространилось после того, как его стал использовать в своих трудах Леонард Эйлер (1707-1783).

С появлением компьютеров темпы погони за точными десятичными знаками числа p резко ускорились.

В июне 1949 года Джон фон Нейман (1903-1957) и его сотрудники вычислили 2037 знаков на одной из первых вычислительных машин ENIAC. Рубеж в 10000 знаков достигнут в 1958 году Ф. Женюи с помощью компьютера IBM 704. Сто тысяч знаков p вычислили в 1961 году Дэниэл Шенкс и Джон Ренч с помощью компьютера IBM 7090. В 1973 году Жан Гийу и М. Буйе преодолели отметку в 1000000 знаков, что заняло меньше одного дня работы компьютера CDC-7600.

По алгоритму Джонатана и Питера Бор-вейнов в январе 1986 года Дэвид X. Бейли получил 29360000 десятичных знаков p на суперкомпьютере Cray-2, а в 1987 году Я. Канада и его сотрудники - 134217000 знаков на суперкомпьютере NEC SX-2. Результат Дэвида и Грегори Чудновски из Колумбийского университета в Нью-Йорке, вычисливших в 1989 году 1011196691 знак числа p, попал даже в книгу рекордов Гин-неса. Для своих расчетов они использовали суперкомпьютер Cray-2 и сеть компьюте-

ров IBM-3090. К октябрю 1995 года сотрудниками Токийского университета Ясумасой Канадой и Дайсуке Такахаши было вычислено свыше 6 миллиардов цифр. Они же в 1999 году на компьютере HITACHI SR 8000 вычислили 206158430000 цифр числа p [3].

В конце прошлого столетия посетители одного из сайтов встречали объявление, приглашающее их принять участие в глобальном проекте «Pi-Hex». Любой житель Земли, подключив свой компьютер к сети Интернет, мог стать участником коллективных вычислений отдельных цифр двоичной записи числа p. Координатором этого глобального проекта выступил студент университета Симона Фрезера (США).

К настоящему времени доказано, что число p иррационально и трансцендентно. Свойство иррациональности числа p то есть непредставимость его в виде отношения двух целых чисел, доказали Иоганн Ламберт (1728-1777) и Адриен Лежандр (1752-1833) в конце XVIII века. Свойство трансцендентности означает, что число p не является корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами. Это свойство было доказано немецким математиком Фердинандом Линдеманом (1852-1939) в 1882 году. В настоящее время ведутся исследования по уточнению «тонкой структуры» числа p [3].

Экспериментируя с алгоритмами на компьютере, можно познакомиться с нормальным свойством мантиссы числа, которое определил французский математик Эмиль Бо-рель в 1909 году.

Положительное число, меньшее единицы, называется нормальным, если в его десятичной записи любая комбинация цифр встречается одинаково часто. Это определение можно распространить и на другие, недесятичные системы счисления.

Если для последовательности десятичных цифр дробной части числа p (рис. 2) выполняется равенство

p:= 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459236 816406286208998628034825342117068

Рис. 2

Занимательные эксперименты с числом p в физике и математике

Рис. 3. Статистическая проверка математической гипотезы на компьютере

lim

N(8, n) 1

n g

для любой цифры 8 = (0, 1, ..., 9) и g = 10, то в этом случае дробная часть числа p по терминологии Э. Бореля, представляла бы собой вещественное число, слабо нормальное к основанию 10. Естественно, что число p можно представить в системе счисления с другим основанием g, например, в двоичной (g = 2), восьмеричной (g = 8) или шестнадцатиричной (g = 16) системе.

Наконец, чтобы ввести понятие нормального числа, нужно рассмотреть не одиночные цифры, а произвольные кортежи из цифр (двухзначные, трехзначные и т. д.). Если частота появления кортежей для заданного числа символов сохраняется, то есть выполняется равенство

к•N(8,n) 1

lim ч -= —т ,

n®¥ n gk

то число p называется нормальным.

В настоящее время неизвестно, является ли дробная часть числа p слабо нормальной к основанию 10 или к какому-либо другому основанию в общем случае [3].

Тем не менее, результаты учебных компьютерных экспериментов в системе символьной математики Maple доказывают слабо нормальное свойство мантиссы числа p для частных случаев (n = 105, g = 2, 8, 10, 16) с точностью до 1% и нормальное свойство (n = 105, g = 10; к = 2, к =3) с

точностью до 2 %. Статистические результаты исследования нормального свойства числа р, проверка математической гипотезы о нормальном распределении частоты символов приведены на рис. 3.

На рис. 4 представлен сюжет «Черно-белое поле числа р», наглядная графическая иллюстрация одномерных и двумерных кортежей в структуре фундаментальной константы на компьютере. Цифры двоичной кодировки представлены белым и черным цветом. Примечательно, что при заданной выборке массива данных число белых квадратиков примерно совпадает с числом черных. Это одно из проявлений нормального свойства числа р.

Рис. 4. Двоичное представление числа p в компьютерной графике

Ходанович А.И.

Творческая деятельность при решении занимательных задач предполагает не простой «набор», а различные сочетания ин-

теллектуальных умений. Более того, в процессе решения новых проблем, постановки новых экспериментов развиваются новые умения.

Литература

1. Фритцш X. Фундаментальные физические постоянные. Успехи физических наук. Т. 179, № 4, 2009.

2. Журнал Квант. 1985, № 11.

3. Жуков A.B. Вездесущее число Р. М.: Едиториал УРСС, 2004.

4. Кондратьев A.C., Филиппов М.Э. Физические задачи и математическое моделирование реальных процессов. Учебно-методическое пособие для учителя. СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2001.

5. Перельман Я.И. Занимательная физика. М.: ООО «Фирма «Издательство АСТ», 1999.

6. Арнольд В.И. Математика и физика: родитель и дитя или сестры. // УФН, 1999. Т. 169, № 12.

Abstract

The computing algorithms of p in physics and mathematics. The results of computer simulations with the number p. In the particular case of the normal properties of the fundamental constants.

Keywords: number of p, computer experiment, the computing algorithm, fundamental constants, normal property of number.

© Наши авторы, 2009. Our authors, 2009.

Ходанович Александр Иванович, доктор педагогических наук, профессор кафедры методики обучения физике РГПУ им. А.И. Герцена, akhodanovich@yandex.ru