Частотный анализ колебаний планетарного колесного редуктора Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.833:62.652

ЧАСТОТНЫЙ АНАЛИЗ КОЛЕБАНИЙ ПЛАНЕТАРНОГО КОЛЕСНОГО РЕДУКТОРА

В. П. ЯГЛИНСКИЙ, С. С. ГУТЫРЯ, А. Н. ЧАНЧИН

Одесский национальный политехнический университет, Украина

Введение

Установление резервов снижения виброактивности силовой трансмиссии в составе пассажирского и грузового колесного транспорта на основе совершенствования расчетных моделей и методов динамического анализа планетарных зубчатых передач является одной из актуальных научных задач машиноведения. Исследование влияния основных параметров колебательной системы на собственные частоты и формы колебаний вращающихся звеньев обеспечивает возможность предотвращения резонансов на рабочих скоростях, минимизации функции отклика и оптимизации конструкции передачи. На практике проектирование планетарной передачи всегда связано с многоцелевым подбором компонентов инерции подвижных звеньев, а также жесткости зубчатых зацеплений, валов, опор, корпуса, соединений.

Обеспечение равномерного распределения нагрузки между сателлитами, предотвращение резонанса, минимизация массы и габаритов передачи при заданном уровне показателей надежности - три основные взаимосвязанные цели проектирования. Не менее актуальной является задача вибродиагностики технического состояния планетарных колесных редукторов (ПКР) в составе трансмиссии автобусов, троллейбусов, большегрузных автомобилей и других современных транспортных средств повышенной проходимости, решение которой значительно упрощается на основе результатов динамического анализа колебательной системы без повреждений и с учетом особенностей их проявления [1], [2].

Анализ известных исследований

Влияние отдельных параметров расчетной модели планетарной передачи на собственные частоты крутильных колебаний зубчатых колес рассмотрено в ряде современных исследований [3]-[5]. Наиболее полное системное исследование поперечных и крутильных колебаний планетарной передачи выполнено в работе [6]. Разработаны как циклически симметричные, так и асимметричные динамические модели, учитывающие переменную жесткость многопарных зубчатых зацеплений, усредненную жесткость подшипников, неравномерное по окружности расположение сателлитов и другие параметры упругой системы. При этом разработанные модели непосредственно не применимы для целей вибродиагностики технического состояния ПКР, так как не учитывают системное влияние переменной жесткости эпицикла при возникновении усталостной трещины.

Постановка задачи

Целью исследования является формирование математической модели колебаний системы ПКР с «плавающей» конструкцией солнечной шестерни, опорами которой являются сателлиты, с учетом поперечных и крутильных колебаний шестерни, водила, эпицикла и сателлитов. При этом планетарная передача принята «точной под нагрузкой», что обосновано анализом типовых режимов нагружения ПКР в составе

трансмиссии троллейбусов [7]. Основной задачей исследования является определение спектра главных частот ПКР с учетом параметров жесткости основных элементов системы, включая переменную жесткость эпицикла при наличии повреждения.

Определение спектра главных частот ПКР

Рассмотрена динамическая модель планетарной передачи (рис. 1), каждое из кинематических звеньев которой (водило, эпицикл, солнечная шестерня и сателлиты) имеет две поступательные и одну вращательную степень свободы.

Рис. 1. Обобщенная расчетная модель ПКР: 1 - солнечная шестерня; 2 - водило; 3 - сателлиты; 4 - эпицикл

Приняв коэффициенты жесткости элементов упругой системы постоянными, для моделирования свободных колебаний зубчатых колес принять систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в виде:

Aq + Bq + Cq = 0, (1)

где A, B, C - квадратные симметричные матрицы, соответственно, обобщенных коэффициентов инерции, сил сопротивления и жесткости; q, q, q - матрицы-столбцы обобщенных координат, скоростей и ускорений.

Частотное уравнение для колебательной системы без учета сил сопротивления имеет вид:

C - Аш2| = 0. (2)

Корни частотного уравнения - главные частоты свободных колебаний, зависят от инерционных и упругих параметров системы, задаваемых матрицами А и С, определяемых из выражений для потенциальной и кинетической энергии в виде:

1 9+3N 9+3N i 9+3N 9+3N

п=2 Z Zc',jqqj; T=2 Z Zajiqj, (3)

^ i=1 j=1 ^ i=1 j=1

где qt, qj; q, qj; ci j и af j - соответственно, обобщенные координаты, скорости, коэффициенты жесткости и инерции элементов системы.

При упругом отклонении подвижных звеньев ПКР от установившегося движения с постоянной скоростью уравнение для определения потенциальной энергии системы имеет вид:

П = П с +П г +П p +П +П си +П „ +П ^^ +П ^, (4)

где индексы соответствуют следующим элементам: s - солнечной шестерне (sun); c -водилу (carrier); r - эпициклу (ring); p - сателлитам (planet); Пc, Пr, П - потенциальная энергия поперечных деформаций опор, соответственно, водила, эпицикла и сателлитов; Пsu, Пcu, Пru - потенциальная энергия крутильных деформаций шестерни, водила и эпицикла; Пsp, Пp - потенциальная энергия деформаций зацеплений

«сателлит-шестерня» (sp) и «сателлит-эпицикл» (rp).

Для дальнейших преобразований введены следующие обозначения (рис. 1): xs, ys, xc, Ус, xr, Уг, Лг, (i = 1-N) - поперечные смещения осей шестерни, водила, эпицикла и сателлитов вследствие упругих деформаций; N - число сателлитов; rs, rc, rr, rp - радиусы основных окружностей шестерни, водила, эпицикла и сателлитов; сс, cr, cp - коэффициенты жесткости подшипников в опорах водила, эпицикла и сателлитов; csp, crp - коэффициенты жесткости зацеплений шестерни и эпицикла с сателлитами; csu, ccu, cru - коэффициенты приведенной крутильной жесткости шестерни, водила и эпицикла; Xc, Xr, Xр - поперечные деформации осей водила, эпицикла и сателлитов; Xsp , Xrp - деформации зубчатого зацепления сателлитов с шестерней и эпициклом; us, uc, ur, ui - упругие перемещения по дугам основных

окружностей шестерни, водила, эпицикла и сателлитов. В качестве обобщенных координат приняты:

q = xs; ъ = ys; Ч3 = xc; Чл=yc; q = xr; Чб = Уг ; 4i = us; q8 = uc; Ч9 = ur; Ч10 = Чи =Л:; qu = ui; Ч13 = т2; Ч14 = Л2;

qi5 = U2; q16 =^3; q11 = Л3; Ч18 = U3; ... q9+3N

С учетом принятых обозначений уравнение (4) преобразовано к виду:

(5)

П = -2

1 i N NN \

■ X2 + c X2 + c u2 + c u2 + c u2 + V c X2 + V c X2 + V c X2

c c r r su s cu c ru г / ,1)1) / , sl} sp / , TU rp

V 1=1 1=1 1=1 J

В соответствии с расчетными схемами упругих перемещений (рис. 2 и 3) деформации элементов системы связаны следующими уравнениями:

xK = (ycsin 0 + xccos 0 - лг )2+(yccos 0 - xcsin 0 - + uc )2; XsPi = xssin(0 -аw)-ys cos(0 -аw)-us -u cos«w + Лг sin«w;

Xp = xrsin(0 + аw)-Уг cos(0 + аw)+ui -ur cosаw - Лг sin«w;

X2c = xc2 + yc2; X2r = xr2 + Уг2; 0i =01 +(i-1)N; i = 1...N

(1)

где 91 и 9г. - угловая ориентация оси первого и /-го сателлита относительно оси х; а№ - угол зацепления.

Рис. 2. Схема деформаций зубьев шестерни Рис. 3. Схема деформаций зубьев эпицикла

и сателлитов (упругий элемент жесткостью срр), и сателлитов (упругий элемент жесткостью ср),

поперечных перемещений оси шестерни (, у5), поперечных перемещений оси эпицикла (хг, уг),

осей сателлитов (^, т.)и окружных осей сателлитов (^, т.) и окружных

деформаций (ыз, п1) деформаций п1

В результате подстановок (7) в (6) получено

п =1 cc (x2c + y\)+2 c (x2 + y\)+2 (

=2 cc (xc+yc)+2 cx+y2)+2 (cuus+сУс + сУг)+

2 S cv b.sin 0 + xccos 0 - Ц)2 + (yc cos 0,- - xc sin 0г - тг + uc )2 ]

^ 2 S~ P LV c ^ i=1

N

1 N

2 S csp [xs sin(e, -aw) - ys cos(e, -aw)

+ 2 S csp\xs ,=1

N

-a w) - us - u, +x, cos a w + sin a

,r+

1N

+ 2 S crp [xr sin(0i +aw) - Уг cos(0i +aw )

2 i=1

+ a w) + ut - ur +x, cos a w -ц sin a

(8)

В последующих уравнениях приняты следующие обозначения:

Sw = sin a w; kw = cos a w; ^ = sin 0,; k2¡ = cos 0,; s3¡ = sin(0,-a w); k3 = cos(0, -aw); s4. = sin(0, +aw); k4 = cos(0, +aw)

(9)

При равномерном по окружности расположении сателлитов выполняются следующие равенства:

S V4 = 0; S S32, = 0; S *3 = 0; S < = 0; S k4, = 0;

i=1 i=1 i=1 i=1 i=1

S < =S kj = 1,5; S s2, = 0; S k2l = 0; S *З, = 0; S h = 0

i=1

i=1

i=1

i=1

]

2

w

В результате преобразований уравнения (8) с учетом (9) и (10) определены обобщенные коэффициенты жесткости (элементы матрицы С) для ПКР модели Raba 118/76 с тремя сателлитами (N = 3) в виде:

C3,3 Cc + 3cp; c4,4 C3,3; c5,5 cr; C6,6 C5,5; C7,7 Csu + 3Csp; C8,8 Ccu + 3Cp;

rp )Sw; C12,12 = Csp + crp;

C9,9 Cru + 3crp ; C10,10 Cp + (csp + Crp )kw;

rp)'vw; C11,11 Cp + \Csp

(csp + Crp )

(11)

C1,10 = CspkwS3,1; C1,11 = CspSwS3,1; C1,12 = _CspS3,1;

C1,13 = CspkwS3,2; C1,14 = CspSwS3,2; C1,15 = _CspS3,2; C1,16 = CspkwS3,3; C1,17 =CspSwS3,3; C1,18 = _CspS3,3; C2,10 = ~Cspkwk3,1; C2,11 = ~CspSwk3,1; C2,12 = Cspk3,1;

C2,13 = ~Cspkwk3,2; C2,14 = ~CspSwk3,2; C2,15 = Cspk3,2; C2,16 = ~Cspkwk3,3; C2,17 = ~CspSwk3,3; C2,18 = Cspk3,3 ; C3,10 = CpS2,1; C3,11 =_Cpk2,1; C3,13 = C pS 2,2; C3,14 = ~Cpk2,2; C3,16 = CpS2,3; C3,17 = ~CPk2,3; C4,10 = _Cpk2,1;

C4,11 =_CpS2,1; C4,13 =~Cpk2,2; C4,14 = ~C pS 2,2; C4,16 =~Cpk2,3; C4,17 = _CpS2,3;

(12)

C5,10 CrpkwS 4,1; C5,11 =_CrpSwS4,1; C5,12 =CrpS4,1; C5,13 = CrpkwS4,2; C5,14 =_CrpSwS4,2; C5,15 CrpS 4,2; C5,16 = CrpkwS 4,3; C5,17 =_CrpSwS4,3; C5,18 =CrpS4,3; C6,10 = ~Crpkwk 4,1; C6,11 CrpSwk4,1; C6,12 =~Crpk4,1; C6,13 = ~Crpkwk 4,2; C6,14 =CrpSwk4,2; C6,15 = ~Crpk 4,2; C6,16 =~Crpkwk4,3; C6,17 =CrpSwk4,3; C6,18 = ~Crpk4,3; C7,10 = ~Cspkw; C7,11 =~CspSw; C7,12 = Csp ; C7,13 =C7,10; C7,14 C7,11; C7,15 = C7,12; C7,16 = C7,10; C7,17 C7,11; C7,18 = C7,12;

C8,10 Cp; C8,13 C8,10;

C8,16 C8,10; C9,10 Crpkw; C9,11 CrpSw; C9,12 Crp;

C9 13 C

9,10 > 9,14

C9 14 C

9,11> 9,15

C9 15 C9

C9,16 = Crpkw; C9,17 C9,11; C9,18 =C9,12;

C10,11 =Swkw (csp Crp );

C10,12 kw (csp Crp); C11,12 Sw\~sp

fe + crp);

rp f; C13,14 C10,11;

(13)

Элементы матрицы С, не приведенные в (12) и (13), равны нулю. Кинетическая энергия упругой системы (рис. 1) представлена в виде:

т=2 k fe + у2 )+m fe + y2)+m fe + y 2)]+

+1 2

f Лй2 + JU2 + JrU2 ^

r

V s

2

r

2

r

2

1 3 f

+17

r

i=1

•2 + -2 + JpU mp ^ + mp -

2

V

r

p У

(14)

где т!1, тс, тг, тр и /, 3с, /, 3 р - массы и осевые моменты инерции шестерни,

водила, эпицикла и сателлитов; точкой вверху обозначены производные соответствующих перемещений по времени.

С учетом выражений для обобщенных скоростей получены элементы матрицы А в виде:

C13,13 c10,10; C14,14 C11,11; C15,15 C12,12; C16,16 C10,10; C17,17 C11,11; C18,18 C12,12;

C13,15 C10,12; C14,15 C11,12; C16,17 C10,11; C16,18 C10,12; C17,18 C11,12

au = ms; a2,2 = m; аз,з = mc; a4,4 = mc; a5,5 = mr; a6,6 = mr; a7,7

= Л/r2;

a

= J c¡rC; a9,9 = J r¡ rr2; a10,10 = mp; a,,,, = mp; a,.

*p> "11,11

= JJr

2

a13,13 mp;

a14,14 mp; a15,15 a12,12; a16,16 mp; a17,17 mp; a18,18 a12,12; a¿, j 0, * ^j

Матрица А диагональная, следовательно, колебательная система ПКР не является связанной по коэффициентам инерции. По результатам формирования матриц С и А, согласно (11), (12), (13) и (15) определены главные частоты системы ПКР в виде корней частотного уравнения (2). Исследование спектра главных частот системы (рис. 1) выполнено для конструкции ПКР модели Raba 118/76 (см. таблицу).

Параметры элементов динамической модели ПКР

Элемент модели

Параметр Обозначение Солнечная Эпицикл Водило Сателлит

шестерня (s) (r) (c) (p)

Масса, кг m 1,9 6,8 13,8 0,85

Приведенная масса, кг I/r2 1,16 5,36 13,88 0,52

Диаметр основной

окружности, мм db 79,404 195,45 157,5 58,026

Жесткость зубьев, Н/м csp crp 3,0 • 108

Жесткость опор, Н/м cp Cr Cc 108

Приведенная крутильная жесткость, Н/м cru 106

Угол зацепления, град a w 25,28

Определен следующий спектр главных частот (с 1) ПКР:

¡75; ш6 =6575;

(16)

Qj = 337; q2 = 537; ш3=4010; Q4 = 4010; Q5 =6575; ш6 =6575;

ш7 =8090; ш8 =10440; ш9 =10870; и10 =10870; =13520; и12 =13520; и13 = 28250; и14 = 28250; ш15 =31760; и1б =37840; и17 =37840; и18 =43330

Поскольку рабочий диапазон частот возбуждения вибраций ПКР в составе троллейбуса на эксплуатационных скоростях движения существенно ниже значения ш1 =337 с"1, следовательно, нормативная вибростойкость конструкции при технически исправном состоянии всех ее элементов обеспечена.

Для обоснования эффективности вибродиагностики технического состояния деталей ПКР на фоне резонансных процессов выполнено исследование функций главных частот (сги ) от приведенной крутильной жесткости эпицикла (рис. 4).

Изменение приведенной крутильной жесткости эпицикла сп в процессе развития

усталостной трещины приводит к понижению в 2-3 раза значений первой и второй главной частоты ПКР. Следовательно, подтверждена возможность моделирования на испытательном стенде резонансных процессов в рабочем диапазоне частот ПКР троллейбусов с целью вибродиагностики их технического состояния [8].

Рис. 4. Графики функций ю. (cm ) (i = 1, 2,

I n ,F:/m

18 номер главной частоты спектра)

Заключение

1. По результатам моделирования и исследования спектра главных частот планетарного механизма с плавающей солнечной шестерней в составе ПКР троллейбусов ЮМЗ-Т1, -Т2 и ЗИУ-9 установлено, что рабочий диапазон частот возбуждения вибраций на эксплуатационных скоростях движения существенно ниже значения первой главной частоты, следовательно, нормативная вибростойкость конструкции при технически исправном состоянии ее деталей обеспечена.

2. Установлено, что снижение приведенной крутильной жесткости эпицикла в диапазоне значений (106-105) Н/м приводит к уменьшению в 2-3 раза значений первой и второй главной частоты, что позволяет моделировать на испытательном стенде резонансные процессы в рабочем диапазоне частот ПКР троллейбусов с целью вибродиагностики их технического состояния.

3. Разработанная динамическая модель обеспечивает возможности исследования и оптимизации взаимовлияния основных параметров колебательной системы при проектировании конструкций ПКР с пониженной виброактивностью.

Литература

1. Samue, D. Paul. Planetary Transmission Diagnostics / Paul D. Samue, Jоseph К. Сопгоу, DаrryИ J. Piras // G^nn Rеsearch Се^ет, NASA/CR - 2004-213068 82. - 2004. - 83 р.

2. Гутиря, С. С. Моделювання вiброактивностi i дiагностика ушкоджень колюних редукторiв тролейбусiв / С. С. Гутиря, Д. М. Борденюк, А. М. Чанчш // Проблеми обчислювально'1 механiки i мiцностi конструкцш : зб. наук. праць. - Дншропет-ровськ : Наука i освгга, 2010. - Вип. 14. - С. 134-140.

3. Гутиря, С. С. Моделювання частотних характеристик планетарного колюного редуктора / С. С. Гутиря, В. П. Яглшський, А. М. Чанчш // Вюн. Нац. техн. ун-ту «ХП1» : зб. наук. праць. Cерiя : Машинознавство та САПР. - Х. : НТУ «ХП1». -2013. - № 1 (975). - С. 35-43.

4. Моделирование динамических процессов в планетарных редукторах мотор-колес карьерного самосвала при трогании и разгоне / В. В. Михайлов [и др.] // Наука и техника. - 2012. - № 4. - С. 64-68.

5. Lin, J. Structured vibration characteristics of planetary gears with unequally spaced planets / J. Lin, G. Parker // Journal of Sound and Vibration. - 2000. - № 233 (5). - P. 921-928.

6. Parker, R. G. Vibration modes of planetary gears with unequally spaced planets and elastic ring gear / R. G. Parker, Wu Xionghua // Journal of Sound and Vibration. -2010. -329. - P. 2265-2275.

7. Гутиря, С. С. Режими навантаження колюних редукторiв тролейбуав / С. С. Гутиря, Д. М. Борденюк, А. М. Чанчш // Методи розв'язування прикладних задач мехашки де-формiвного твердого тша. - Днiпропетровськ : 1МА-прес. - 2009. - Вип. 10. - С. 91-96.

8. Борденюк, Д. М. Стенд для вiбродiагностики планетарних колюних редукторiв / Д. М. Борденюк // Серiя Механiка, енергетика, еколопя : зб. наук. праць. - Севастополь : СевНТУ. -2011. - Вип. 120. - С. 322-328.

Получено 27.04.2015 г.