Частотный анализ эквивалентных электрических схем по моделям, состоящим из фазовых параметрических макромоделей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Частотный анализ эквивалентных электрических схем по моделям, состоящим из фазовых параметрических макромоделей

Н.И. Борисов, М.А. Гришкин

Московский государственный институт электроники и математики, каф. ИТАС

Mgrishkin@GMail.com

Постоянное усложнение задач проектирования приводит к увеличению объема вычислительных работ с применением ЭВМ, связанных с анализом разнородных взаимосвязанных процессов. В полной мере это относится к эквивалентным электрическим схемам. Методы искусственных аналогий позволяют свести множество задач различной природы (механической, тепловой и т.п. ), описываемых системами дифференциальных уравнений, к эквивалентным схемам обычно большой размерности. Это делает актуальной задачу разработки эффективных и высокопроизводительных методов их анализа.

По исходной электрической схеме строится модель, которая в случае частотного анализа имеет вид системы линейных уравнений:

где р=]ю - чисто мнимое число, ю - частота. А - матрица размерности МхМ, как правило имеющая разреженную структуру. б - вектор варьируемых параметров. х -вектор неизвестных фазовых и потоковых переменных, а г - вектор входных сигналов.

Электрические схемы во многих задачах состоят из слабо связанных между собой подсхем. Это дает основания для разработки методов их анализа, основанных на макромоделировании. Макромоделью называют модель многополюсника, влкючающую в себя в явном виде только его внешние узлы и некоторые варьируемые параметры. За счет исключения внутренних узлов модели происходит значительное уменьшение ее размерности, что повышает скорость вычислений [1].

Для построения макромодели в аналитическом виде модель (1) в расширенном координатном базисе разбивают на две части:

А(р,б)х = У, (1)

А (р)Х 1 +А12 (р)Х2 =¥ 1

где только х2 содержит внешние узлы подсхем. Выразив х 1 из первого уравнения и подставив его во второе получим макромодель в виде:

[-A21 (pК11 (p)Ai2 (p) + ^22 (p)] X2 =72 - A21 (p) A-11 (p) Y1 (3)

или в сокращенной форме:

A (p, Q )X 2 =Y 2, (4)

где A- матрица размерности mxm, m«M, Q- варьируемымые параметры, включенные в макромодель явным образом.

Основной сложностью при построении такой макромодели выступает

обращение полиномиальной матрицы A11 1 ( p ). Установлено, что эта задача может решаться при помощи нахождения спектра обращаемой матрицы, для чего применяются методы итераций и LQ-разложения.

Такая макромодель может быть построена для любой подсхемы, входящей в более крупную схему. Возникает задача объединения их в модель или построения модели, включающей в себя не только отдельные элементы, но и макромодели. В общем случае подсхемы могут быть связаны между собой свободными ветвями, либо через общий узел [3]. При этом любые две подсхемы могут соединяться последовательно, параллельно или смешанным образом, причем для двухполюсников возможны только первые два случая.

Предположим подсхемы соединены только через ветви с пассивными

элементами последовательным образом. Тогда матрицу модели (1) можно

представить в виде [2]:

[ An(p) 0 -

0 O

0 — 0

_ An+1i1(p) — —

, где An(p) - матрица модели подсхемы, A¡,n+i(p) и An+1,1(p) - матрицы связей между подсхемами, состоящие из коэффициентов 0, 1, -1, а An+1,n+1(p) - диагональная матрица с коэффициентами R, 1/pc, pL. Для построения такой модели вводятся дополнительные потоковые переменные в соединительных ветвях. Случай соединения подсхем через общий узел может быть сведен к рассматриваемому введением дополнительных резистивных элементов малой величины.

0 0

Ann (p)

An+1, n (p)

1( p)

An,n+1( p) An+1,n+1 (p )

[ X1 " [ Y1 "

X n = Yn

X n+1 Y n+1

(5)

Модель в форме (4) можно записать как:

Л„ (pQ ))1 + Aln+1 = Y1

i - - - (6)

Лпп (p,Qn )х„ + Л„„+1 = Yn

4+nX1 + - + AnnnXn + An+ln+l Xnn =Yn+

Разобьем каждый из векторов х1 на два подвектора X и х1 внутренних и внешних фазовых переменных. Первые п подсистем из (6) запишем в виде:

~4(П)(р) 4(12)(р)

A(21) (Р) Д (22)(Р, Q )

i (21) или

Г X," Г 0 " "Y1" "Y 2 j

1 l_ X2 _ + Л ^in+1(2) X =

(7)

4(п) ( р) х+4 и ( р) (8.1)

4(21) (рРуХи + А(12) (р)ха=Уа (8.2) 4(21) (р)Х" + 4(22) (рщ) X* + 4+1(2)Хп+1 = У2 (8.3) Исключив из этих уравнений вектор Xи получим: -4(21) (р)4-1) (р)4(12) (р)+4(22) (рЩ х + 4п+1(2) Хп+1 = У - 4 21^ р) 4(и){ р)у(9) Или с учетом обозначений, введенных в (4):

4 (р,Щ )Х12 + 4ш+1(2) Хп+1 = ^(10)

Подсистема связей между подсхемами будет иметь вид:

п _____

2 4+1 ,(2) Х г2 + 4п+1п+1 Х+ = Уп+1 (11)

i=1

Из приведенных выкладок следует, что модель (5) можно представить в виде:

0

0

1,n+1(2)

( Р)

n,n+1(2)

( Р)

An + 1 n(2) (р) An+1,n+1(2) (р)

" X1 " Г 4 "

X n = Yn 2

X n+1 Y _ n+1 _

(12)

4ц( Р)

0 О М

: О 0

0 ■■■ 0 \п (р)

4п+1,1(2)(р) ■"" "" 4п+1,п (2) ^

, где 4н(р)- матрица макромодели. Эта модель в свою очередь может быть

редуцирована за счет исключения дополнительных фазовых переменных потокового типа. Запишем ее следующим образом:

" Bu(p, Q) Bn

_ B21 An+1n+1(p Qn+1)

где

Bn( P, Q) =

Исключив из (13) вектор получим для случая Yn+1 = 0:

Xm =YM (14)

Матрица A-+1n+1 диагональная, следовательно обратная от нее вычисляется тривиальным образом. Матрицы B12 и B21 состоят только из нулей и единиц.

Построение модели в окончательном виде может быть произведено по следующему алгоритму [7]: 1. Разбиение модели на подсхемы (в данной работе не рассматриваются методы такого разбния, предполагается, что оно задано изначально). 2. Построение макромоделей подсхем независимо друг от друга в аналитическом виде. 3. В процессе анализа модели при заданном p формируется численная модель следующем образом: строится блочно-диагональная матрица с матрицами макромоделей на главной диагонали, затем к ней добавляются связующие узлы модифицированным методом узловых потенциалов: каждый элемент ü¡ связывающий узлы с номерами u и v, добавляется к элементам матрицы с индексами uu vv и вычитается из элементов с индексами uv и vu.

Полученная модель позволяет решать те же задачи, что и исходная, в том числе частотный и спектральный анализ, нахождение динамических характеристик. Задача оптимизации схемы по варьируемым параметрам может решаться с применением методов нулевого или первого порядков. При применении методов первого порядка вычисляются производные характеристик по варьируемым параметрам. Порядок трудоемкости их вычисления такой же, как и для вычисления самой характеристики. Для нахождения частотных характеристик и их производных можно использовать те же методы, что и при анализе моделей не содержащих в себе макромоделей.

Частотная характеристика определяется комплекснозначной функцией

*j(J°) = j (15)

XM Y m

Xn+1 Y n+1

A 0 ••• 0

: O 0

0 ••• 0 An

Д.

f А Л

1n+1(2A

A

y nn+1(2) J

B2

A •■■ A

n+11(2) n+1n(2)

B„ (p,Q)-B12A-hn+1 (p,Qe))

Ее действительная часть образует амплитудно-частотную характеристику, комплексная - фазо-частотную. Функция вычисляется в пю точках из диапазона

0е [а1, аПд> ] на каждом шаге параметрической оптимизации.

Основной процедурой, определяющей трудоемкость процесса оптимизации, является процедура многократного решения системы линейных алгебраических уравнений при многократном изменении коэффициентов ее матрицы и/или правой части. Количество решаемых систем уравнений определяется числом шагов оптимизации, числом точек вычисления АЧХ и/или ФЧХ, числом вычисляемых производных по варьируемым параметрам. Трудоемкость анализа модели, состоящей из слабо связанных между собой подсхем равна:

Тм 1 « N 2п + [4И3 + (V + 1)6Ж2 + (2у +1> + 4Иу]п + 4[Ж3 + 6И2с] + [6Ж2 + 2v(v +1) + 4у3 + 6у2 + sv]nq

ВМО (вещественных мультипликативных операций), где N - размерность матриц подсхем, Nс х V - размерность матриц связей подсхем, п - количество блоков подсхем, щ - размерность вектора варьируемых параметров модели,s<N - число вычисляемых коэффициентов векторов производных по варьируемым параметрам. Трудоемкость анализа модели, состоящей из макромоделей: Тм2 « пш[2^ - т)(3 + 2т) + 3да2] + (пт)2 [4пт + 6] + ппда[2пда + 45] ВМО т - размерность матрицы макромоделей.

Таким образом, при применении макромоделирования время вычислений уменьшается на 2-3 порядка. Для решения поставленных задач требуется разработка соответствующего программного обеспечения[4,5,6].

Список литературы

1. Борисов Н.И. Исследование и разработка методов снижения размерности и трудоемкости задач анализа и оптимизации линейных эквивалентных электрических схем на основе макромоделирования в САПР // Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук, Москва, 1996. - 207 с.

2. Разработка методов блочно-иерархической редукции динамических моделей для обеспечения качества продукции на этапе проектирования. Отчет по теме №101427. Научный руководитель темы, д.т.н., профессор Борисов Н.И., Москва 2003

3. Г.Е. Пухов Методы анализа и синтеза квазианалоговых электронных цепей // Издательство «Наукова думка», Киев 1967, 568 с.

4. М.А. Гришкин, К.В. Винниченко Разработка интерфейса программы моделирования и макромоделирования систем // Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. - М.: МИЭМ,2005. - 429 с. - с. 75

5. М.А. Гришкин, К.В. Винниченко Разработка системы анализа эквивалентных электрических схем // «Новые информационные технологии». Тезисы докладов XIII Международной студенческой школы-семинара - М.: МГИЭМ, 2005 -361с. - с. 59-60

6. М.А. Гришкин Визуализация системы оценки эффективности математических методов анализа и оптимизации моделей // Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. - М.: МИЭМ, 2006. - 404с. - с. 75

7. М.А. Гришкин Разработка методов анализа эквивалентных электрических схем, состоящих из фазовых параметрических макромоделей // Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. - М.: МИЭМ, 2007. - 469с. -с. 59