Построение и использование макромоделей линейных эквивалентных электрических схем Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПОСТРОЕНИЕ И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАКРОМОДЕЛЕЙ ЛИНЕЙНЫХ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СХЕМ

DOI 10.24411/2072-8735-2018-10229

Борисов Николай Иванович,

Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", Москва, Россия, nborisov@hse.ru

Касаткин Александр Дмитриевич,

Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", Москва, Россия, adkasatkin@hse.ru

Пресняков Семен Андреевич,

Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", Москва, Россия, spresnyakov@hse.ru

Ключевые слова: макромодель, эквивалентная электрическая схема, метод конечных элементов, метод конечных разностей, оптимизация.

Ставится задача резкого сокращения трудоемкости анализа, многовариантного анализа и параметрической оптимизации линейных и линеаризованных эквивалентных электрических схем. Источником таких схем являются не только линейные электронные схемы, но и схемы, сформированные на основе искусственных электроаналогий. Они могут формироваться на основе методов конечных элементов и методов конечных разностей, используемых при решении дифференциальных уравнений в частных производных. Снижение трудоемкости вычислений проводится формальными методами преобразования модели в макромодель, отражающей лишь соотношения типа "вход-выход" исходной модели. Суть работы заключается в формальном преобразовании модели линейной или линеаризованной эквивалентной электрической схемы, сформированной с помощью методов искусственных электроаналогий, в макромодель, по которой с той же точностью, но с увеличенной на несколько порядков скоростью, могут вычисляться те же выходные характеристики, что и по модели. Приведены алгоритмы подобных преобразований. По макромодели можно вычислять статические характеристики, частотные характеристики, нули и полюсы системных функций, динамические характеристики, собственные значения и векторы матрицы макромодели, позволяющие определить устойчивость и запас устойчивости исходной схемы по первому методу А.М. Ляпунова, ее собственные резонансные частоты и длительность переходного процесса, а также частные производные вышеперечисленных характеристик по небольшому количеству варьируемых параметров схемы для замены оптимизации схемы методами 1-го порядка ее оптимизацией по макромодели. Кроме того, макромодели могут использоваться для создания новой элементной, конструктивной и технологической базой проектирования. Макромодель может служить элементом модели более высокого иерархического уровня. Возможен блочно-иерар-хический процесс макромоделирования.

Информация об авторах:

Борисов Николай Иванович, д.т.н., профессор, Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", Москва, Россия Касаткин Александр Дмитриевич, инженер, Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", Москва, Россия Пресняков Семен Андреевич, ассистент, Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", Москва, Россия

Для цитирования:

Борисов Н.И., Касаткин А.Д., Пресняков С.А. Построение и использование макромоделей линейных эквивалентных электрических схем // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2019. Том 13. №2. С. 4-10.

For citation:

Borisov N.I., Kasatkin A.D., Presnyakov S.A. (2019). Building and use of macromodels of linear equivalent electrical circuits model. T-Comm, vol. 13, no.2, pр. 4-10. (in Russian)

г Г\

У

1. Вычисление частотных характеристик

Пусть модель схемы построена в расширенном координатном базисе в блочном виде [1,2, 3,4]

Глг." >1~

[х2_ Уг_

(1-1)

А\{р) Л\2 (р)

А1\(р) А22 (Р*0)_

что соответствует двум подсистемам уравнений

\А2Х(р)Хх+Аъ(р,0)Хг = Гг.

Здесь А^Р) = СэР+вг -1,2, Хх- (МП) -

вектор «внутренних» переменных; - Хг- (т*1) - вектор «внешних» переменных схемы, отражающих соотношения типа «вход-выход» и, если необходимо, малое количество варьируемых параметров, содержащихся в малом количестве уравнений £) = (дг,,...,^)7", М » ш, т+М=М, р = ]со,

/' — V—1, СО - круговая частота.

Выделение подвектора Х\ из первой подсистемы Х\ - А^{р)[Ах2)р)-У|] и подстановка его во вторую приводит к искомой макромодели

[-(/ОД-1 {рЩр)+Л22(Р,<2)]*2 =Уг-' 0.2)

содержащей всего лишь ]11«N уравнений.

Ясно, что основной проблемой построения макромодели является вычисление в аналитическом виде матрицы А:}(р). Для этого необходимо вычислить все собственные значения и правые и левые собственные векторы матрицы Ап(р) = С,+ Си. При условии, что матрица

СцР + Сц является регулярной, т.е. с^бц^О, вид обратной матрицы определяется следующим образом

(СпР + С,,)"1 - ВпфпР + £„)"%,

-1 рГ

(1.3)

(1-4)

Fíi = ак1Эп +... + акк5ц<,

А нормирующие множители аи (I = \,к; Т = 1,к)

определяются в результате решения системы линейных алгебраических уравнений

^чСц Ва

8пС,, В ^

Э^Вп

Я/кС,, В ¡к

а,

а.

а,

а

кк

= Ек-

где В-, - матрица правых собственных векторов, £ — матри-

ца левых собственных векторов, £) --(Иа^Я^ ,...,ЛМ),

<1е1(СПу1( + (7ц) = 0, 1 = 1,М, Еи - единичная матрица

соответствующего размера. 1 [ри этом длины правых и левых собственных векторов должны удовлетворять условию следующей нормировки

51' пСУп-Вп = Е,,.

При построении макромодели предполагается, что алгебраическая кратность собственных значений не превышает геометрическую, т.е. обращаемая матрица не является дефектной. В этом случае каждую клетку в матрице £> , отвечающую собственному значению геометрической кратности к , можно превратить в единичную подматрицу этого же размера. Для этого соответствующая часть левых собственных векторов заменяется на новые левые собственные векторы

Если т^Сп = Г < М, то в спектре матрицы Аи(р)

существует собственное значение Д. =ос кратности к=М-г. Ему отвечают к правых и к левых собственных векторов, определяемых выражениями

Сп[Ви,...,Ви] = ,0к] [5п ,..Лк]тСи=[0х,..Л]Т>

где в правой части находятся нулевые матрицы соответствующего размера, а нормирование собственных векторов проводится указанным выше способом.

Подстановка вычисленной обратной матрицы в макромодель (1.2), а также перемножение окаймляющих обратную матрицу матриц на матрицы собственных векторов, приводит к окончательному виду макромодели [3, 4, 5, 6|

[~(и21р + У21)(А р+Ег)~1(и12р+Г12)+ у2р2 + +У>р+У0 + А22(р,®]Х2 =

= г2 - (и21р + У21)(Пгр+Ет Г1 Г|, - Ум-г,\р - Гд/-г,(ь

(1.5)

Макромодель получена с учетом того, что гаи^С, [ = г < М ■ Вследствие этого левая верхняя диагональной матрицы (£),, р + Е] ( )-1 является единичной ранга г-М,

Тогда и21, У21,ип, Уг - числовые вещественные

(гхМ) и (А/хг) - матрицы соответственно, а матрицы

V-,,У\,Уа и векторы Ум-г,\,Ум-г$ являются матрицами и

векторами соответствующего размера.

Частотные характеристики могут вычисляться по макромодели (1.5) заменой буквы р на переменную Лапласа ]со, а

градиент выходной характеристики вычисляется гривиаль-ным образом.

Трудоемкость построения макромодели примерно равна

МА вещественных мультипликативных операций (ВМО), т.е. трудоемкости вычисления собственных значений и векторов матрицы А1 ,(/?)-

Трудоемкость вычисления одной точки частотных характеристик по макромодели состоит из двух частей;

Т-Сотт Уо!.13. #2-2019

Тх = Ьтг + 4т2г + Зт1 ВМО - трудоемкость формирования числовой системы уравнений по макромодели;

Т-, ~ 4П1 /3 + 6!И' ВМО - трудоемкость решения комплексной системы линейных алгебраических уравнений с помощью нормализованного ЬО - разложения с использованием матриц отражения.

Из последних формул видно, что при т«М выигрыш во времени при использовании макромодели вместо модели может составить несколько порядков.

2. Вычисление корней характеристического

уравнения модели по ее макромодели

При определенных условиях корни характеристического уравнения модели Ср + С могут трактоваться как нули и

полюсы системных функций, устойчивость и зйпас устойчивости исходной модели, ее собственные резонансные частоты [Ь2], Дня вычисления собственных значений матрицы по матрице макромодели предлагается использовать два численных метода [4.5]:

- метод, основанный на идее интерполяции;

- метод, основанный на вычислении производных матрицы макромодели.

Для упрощения выражений примем обозначение

[-(У^р + У1ЛОгр + ЕгУ\ипр + Уп) + +У2р2 + У]Р + У1) + Л22(/л0] = = [о2Лр) + А21(РШ

В первом случае используется метод Мюллера [4]. Отличие от метода в чистом виде заключается в том, что определитель матрицы вычисляется по матрице макромодели и используется нормирующий функциональный множитель. Так, на 1-ом шаге процесса оптимизации при значении вектора варьируемых параметров процесс вычисления собственных значений /?)(£?.)...../?,(£?,)' определяется выражением

/ЛрЧ ) = [Ар-) • ^р)) -р,у

где к - номер итерации вычисления /-го собственного значения,

=<1ш®г. цр), ). $ {Р)

~~ (т*го) - нижняя треугольная (трапециевидная, если р* - корень детерминант!¡ого уравнения) матрица, Q(.pi 1 £? ) — (т*т) " ортогональная (унитарная и комплексном случае) матрица, р^—<рг^ г= ¡-1, — ранее найденные интерполяционным методом собственные значения.

Очередное приближение к корню ищется методом квадратичной интерполяции по (fk 1 ( рк~2). ... , ( fk, рк,). Собственные векторы являются соответствующими столбцами матрицы Qip) >£?■)• / = 1, а ес-'1И р, является корнем детерми-

нан гного уравнения det(D22(pl'j ) +A22(pij ,Qr)) = О-

Использование функционального нормирующего множителя d(p) обусловлено тем, что определитель матрицы макромодели {в отличие от определителя матрицы модели) является дробнорациональной функцией от р. При вычислении без d{p) по мере нахождения корней степень многочлена знаменателя начинает превышать степень многочлена числителя, что приводит к срыву вычислительного процесса (после нахождения первых двух собственных значений интерполяционный метод сходится к корню р — сю).

Трудоемкость решения спектральной задачи определяет-' ея, главным образом, трудоемкостью вычисления определителя матрицы макромодели. В вещественном случае она составляет

Tdel = (3mr + m2r + 3nr ) + — + m

вещественных мультипликативных операций. Слагаемое в круглых скобках определяет трудоемкость формирования числовой матрицы макромодели. В комплексном случае для вычисления определителя требуется операций в четыре раза больше. Рассмотренный выше интерполяционный метод за счет эвристических приемов позволяет искать большинст во вещественных собственных значений с помошыо вещественных приближений и требует в среднем 6-8 итераций на поиск одного корня. Таким образом, если в спектре матрицы треть собственных значений комплексные, трудоемкость вычисления всех собственных значений по макромодели составит примерно 8п вещественных мультипликативных операций.

Во втором случае для вычисления собственных значений матрицы модели использовался метод, основанный на вычислении производной матрицы макромодели |5|. В качестве конкретного метода был выбран итерационный алгорит м Кублановской В.Н. Для вычисления собственного значения P,(Q ) 01 Начального приближения p:(Q ,) на ¿-ой

итерации, математические выражения метода применительно к матрице макромодели приобретают вид

022(р))+ Ап(р);д*L{p),Qj)*Q'\pkj:Q^

Метод предназначен, по сут и дела, для уточнения корней и работает от начального приближения, задаваемого интерполяционным методом. Поскольку в основу алгоритма положен метод Ньютона, выбор приращений ДQ / = 1,2,3.... должен проводиться так, чтобы обеспе-

m

чить его сходимость. Трудоемкость одной итерации в данном случае примерно в два раза больше, чем в интерполяционном методе, поскольку требуется вычисление производной от матрицы макромодели. Метод обладает квадратичной скоростью сходимости и его применение целесообразно при решении частичной проблемы собственных значений, т.е. для вычисления лишь отдельных собственных значений, определяющих целевую функцию задачи оптимизации. Для стабилизации вычислений при определении наталогически близко расположенных друг к другу корней, превращении простых корней в кратные и т.д., должен использоваться интерполяционный метод.

3. Численно-аналитический метод определении динамических характеристик на основе полиномиальной аппроксимации входных сигналов

Исходная модель в данном случае имеет вид [7, 8j

C(Q)~X(t) + G(Q)X(t) = Y(t), X(0) = Xo ■ at

Решение системы ищется в виде суммы общего решения однородной системы и частного решения неоднородной

1-1 * = ] Макромодель ищется в следующем виде

(i) = + Riit) ■

1=1 к=\

где подвектор Xi{t) составляет лишь м«М уравнений

вектора X(t)-

Поскольку вычисление соответствующих подвекторов правых собственных векторов B(i) и собственных значений Я. рассматривалось в предыдущих разделах, рассмотрим

лишь вычисление частного решения и констант, учитывающих текущие начальные условия [61-

При этом будем считать, что отрезок [toi,tKOHl,

на котором с шагом At должны вычисляться динамические характеристики, разбит на п подотрезков

где К =С*> {¡ yti-i i =

и для ¿-го подотрезка вектор входных сигналов может быть представлен в виде

Y{t,i) = Yztz +... + Г i (i)t + Го (/), / = йп ■ В

этом случае исходная система разбивается на н последовательно решаемых систем вида

C(0^X(Í) + G{Q)X{t) = YS +...+Yi(í)t + 7o (г) ■ at

X(0) = Z(íí_1,i-l), i = ün-

с разными правыми частями и начальными условиями. Следовательно, решение задачи будет получено в виде аналитических выражений, справедливых для своего отрезка.

Вычисление по макромодели учитывающих начальные условия констант.

Для нормирования правых и левых собственных векторов, необходимых для построения макромодели, может быть

использовано не только выражение 57 СВ — Е, но и выражение 8ТСВ = —(Иа^{Х[1,...,^1). В этом случае нормирование соответствующих подвекторов задается выражением

8а):{(и2]Я, +У2тЛ + £ИГ'[(АД +ЕиГ\ипЛ, + У12)~ -ип]+и2,(Оиг1+Еиу\и]2Я,+Уи) + 2У2Я+^+С22}Ва)1=-Я;1-

Тогда искомое выражение для вычисления констант, учитывающих начальные условия, имеет вид

= Я, С/ + ^¡2)^2,

I -1,/, у = \,п,

где

+7(2)0 (/ -1)-УюоЦ) - 4"%), С/).

Вычисление по модели частного решения

Ограничимся пока случаем кусочно-линейной аппроксимации входных сигналов, так что для каждого подотрезка [7. ,,?.] вектор входных сигналов будет иметь вид

Этот вид аппроксимации целесообразно использовать для негладких входных сигналов.

Частное решение будем искать в виде /?(2)1/ + К< 2)0 • Оно для каждого отрезка по оси I определяется выражениями

щщмл-гыл,

гд е^(р) = -К2/12+С12(0),

Для вычисления компонентов макромодели требуется

Тктт ж 2>\ [кт(5г2 + Ътгг + 9т / 2 + иг / 3)+V / 3] /

3+тг\ (2 г, +тг\ + т + 2)+5т2п / 2+т313+4г,т / 3.

Вещественных мультипликативных операций. При этом Г, = rangC, г2 = rangCu, п - количество отрезков времени.

4. Использование разреженности матрицы модели для построения макромодели

Как видно из (1.5), трудоемкость построения макромодели для плотной матрицы пропорциональна примерно М4 арифметических операций.

Если матрица исходной модели (1) является разреженной, то это в равной мере может быть использовано как при анализе модели, так и при построении макромодели.

В этом случае модель (1.1) методом определяющих величии формируется в виде [7|

0

Fu(P) Fn(p)_

ШР) Р.0.

ч> Z = 0 ~Yl~

У*.

МР) Аг(р) Ки(р)

Аг\(Р) ЫР). Azi (Р)

~KU(J>) ШР) ~Мр)

АМ K22(pi A2¿P)

или в виде системы уравнений

'En 0 "

_ 0 р 22

№ о "

0 £*22

Ап(р)Ки(р) + Аг(р)К2](р) = Еи Аи(р)К]2(р) + Ап(р)К22(р) = О А21(р)Ки{р) + А21(р)К2,{р) = О

(P)

Здесь 0,4* - (N х N) матрицы перестановок строк и столбцов исходной матрацы А(р)- По сути дела, это одномерные массивы натуральных чисел. В результате перестановок (МхМ) - матрица Ри(р) становится диагональной. а (тхш) - матрица (р,0) аддитивно входит в

формируемую макромодель. При этом N=m+M, X = .

Собственные значения макромодели вычисляются без погрешности и находятся на диагонали матрицы Еи(р) -

Собственные векторы вычисляются путем решения систем линейных алгебраических уравнений с матрицей Еи(р) и

затем нормируются. Критерии перестановки егрок и столбцов исходной матрицы А (Р) выглядят следующим образом

1. Формируемая треугольная полиномиальная матрица должна быть не дефектной.

2. Выходные характеристики модели включаются в под-

вектор 2 2 ■

3. Необходимо минимизировать размер окаймления, то есть количество переменных, исключаемых па втором шаге редукции. г>го позволит сократить объём необходимых вычислений,

4. Диагональные элементы треугольной полиномиальной матрицы по возможности должны иметь большие по величине корни, что позволит уменьшить погрешность вычисления её собственных векторов.

За счет использования разреженности трудоемкость построения макромодели требует не более М~ арифметических операций,

5. Вычисление в аналитическом виде матрицы, обратной от матрицы макромодели

Если от полиномиальной матрицы А(р) вычислена обратная, т.е. А(Р)К(р) = К(р)А(Р) = Е. то в блочной форме этот факт выглядит следующим образом

( Ки(р)Аи{р) + К]2(р)А2]{р) = Еп' ^и(р)Ап(р)+К12(р)Ап(р) = О К21(р)Аи(р) + К22(р)А2,(р) = О К2^р)А]2(р) + К22(р)А22(р)

Решая приведенные системы, приходим к выводу, что

[А2]{р)А^ Ах2(р) + А22{р)]К22{р) = Е22.

К22 {р)\А2,{р)А;1 Ап(р) + А22 (;?)] = Е12.

Таким образом, матрица, обратная от матрицы макромодели, существует и для ее вычисления необходимо:

- построить по макромодели большую полиномиальную матрицу 1-й степени;

вычислить от нее обратную (как было указано в 1-м разделе);

- взять от нее правый нижний блок.

Поскольку матрица, обратная для матрицы макромодели, может использоваться в иерархическом макромоделировании, целесообразно вычислять обратную матрицу по матрице макромодели [9, 10, И, 12]. В простом случае (с!е1С^б>, (1е10' ^о) по матрице макромодели вычисляются все собственные значения матрицы модели, а также соответствующие подвекторы правых собственных векторов.

Определение правого собственного вектора дается выражением

АМ) А]2(Л1)

ЛМ-) ■'МЛ).

Следовательно, В] =—А^'А]2В2- Аналогичное выражение справедливо и для левых собственных векторов. Тогда условие нормировки правых и левых собственных подвекторов, вычисленных по макромодели, имеет вид

-(С/^ + ^ХД^.+Е,,)-1^--М^пЯ,- + £,,)"' Шщ + К2) + с22]В1.- = ]

Если модель составлена из и макромоделей по правилам диакоптнки, то она будет иметь вид

ГА"

[Вг_ 0

«Ш, 0 0

О 0 0

О тт

- д.

л

пп \п

>Г

Хп = Yn

[хс Y L

где тт,, - обозначение макромодели, A trAíc топология связей между макромоделями, Ас ~ электроэлементы связен

между макромоделями, i = \,п, то макромодель второго уровня будет иметь вид

п ^^ м п

[-£4 • г,щ • 4с+4 - -14 • пщ* * У' ■

¡=1

í=i

Заключение

Суть работы заключается и формальном преобразовании модели линейной или линеаризованной эквивалентной электрической схемы, сформированной с помощью методов искусственных электроаналогий, в макромодель, по которой с той же точностью, но с увеличенной на несколько порядков скорость [о, могут вычисляться те же выходные характеристики, что и по модели. К таким характеристикам относятся:

- статические характеристики;

- частотные характеристики;

- нули и полюсы системных функций;

- динамические характеристики (в виде одного либо нескольких анапитичееких выражений, а также в численном виде);

- собственные значения и векторы матрицы макромодели (полиномиальной нерегулярной матрицы высокой степени и относительно малого порядка), позволяющие определить устойчивость и запас устойчивости исходной схемы но первому методу Л.М. Ляпунова, ее собственные резонансные частоты и длительность переходного процесса;

- частные производные перечисленных выше выходных характеристик по небольшому количеству варьируемых параметров схемы для замены оп тимизации схемы методами 1-го порядка ее оп тимизацией по макромодели.

Макромодель может служить элементом модели более высокого иерархического уровня. Возможен блоч по-иерархически й процесс макромоделнрования.

Статья подготовлена в ходе/в результате проведения исследования/работы (№ 19-04-005) в рамках Программы «Научный фот) Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики» (НИУ ВШЭ)» в 2019 - 2020 гг. и в рамках государственной поддержки ведущ их у н иверситето в Росс и йско й Федерс щни «5-100».

Литература

1. Borisov N.. Starykh, V. Мacromodeling of linear equivalent elec-irical circuits / The Sixth China-Russia Conference on Numerical Algebra with Applications (CRCNAA 2017). Moscow, 2ÜI7.

2. Борисов И.. Шрамков И. Метод построения фазовых макромоделей линейных эквивалентных схем / Математическое моделирование в САПР: Межвуз. сборник науч. трудов. М.: Изд-е МИЭМ, 1990. С. 169-178.

3. Борисов Н.И. Исследование и разработка методов снижения размерности и трудоемкости задач анализа и оптимизации линейных эквивалентных электрических схем на основе макромоделирования в САПР: Автореферат диссертации на соискание учёной степени д.т.н. М.: МИЭМ, 1996.

4. Борисов НИ.. Mamúa A.C. Разработка методов определения частотных свойств линейных электрических эквивалентных с использованием макромоделнрования // Качество. Инновации. Образование. 2013. № 3. С. 44-49.

5. У ил ки неон Дж. Алгебраическая проблема собственных значений / Пер. с англ. М.: Паука, 1970. 564 с.

6. Кублановская В Н.. Михайлов В.Б.. Казанов В.Б. К проблеме собственных значении нерегулярной матрицы. В: Записки научного семинара ЛОМИ (Ленинградского отделения Математического института им. В. А. Стекло на АН СССР). Л.: Наука, !978. Т.58. С. 80-92.

7. Борисов НИ. Определение динамических характеристик линейных схем при многовариантном анализе на основе макромоделнрования. Интеллектуальные интегрированные САПР РЭА и БИС: Сборник науч. трудов. М.: Наука, 1990. С. 101-105,

8. Баскаков А.Е.. Борисов Н.И. Алгоритм построения макромодели, основанный на идее метода определяющих величин / Новые информационные технологии в автоматизированных системах: материалы одиннадцатого научно-практического семинара М: МИЭМ, 2008. С. 93-98.

9. Крон Г. Исследование сложных систем по частям - дна копти ка. М.: Наука, 1972. 542 с.

10. Баталов Б.В.. Егоров Ю.Б.. Русаков С.Г. Основы математического моделирования больших интегральных схем на ЭВМ. М.: Радио и связь, 1982. 167 с.

1]. Абрамешин А.Е.. Борисов Н И.. Кравченко НИ., Малина A.C. Метод иерархического макромоделирования в задачах анализа линейных электрических эквивалентных схем в САПР // Качество, Инновации. Образование. 2013. № 11. С. 40-46.

12. Борисов Н И.. Востриков A.B.. Кравченко Н И.. Малина A.C. Разработка метода редукции модели линейной эквивалентной электрической схемы, построенной в однородном координатном базисе //. Технологии ЭМС. 2014. Том 51(4). М.: Нзд-во «Технологии». С. 49-57.

BUILDING AND USE OF MACROMODELS OF LINEAR EQUIVALENT ELECTRICAL CIRCUITS MODEL

Nikolay I. Borisov, National Research University Higher School of Economics, Moscow, nborisov@hse.ru Alexandr D. Kasatkin, National Research University Higher School of Economics, Moscow, adkasatkin@hse.ru Semyon A. Presnyakov, National Research University Higher School of Economics, Moscow, spresnyakov@hse.ru

The article was prepared within the framework of the Aca-demic Fund Program at the National Research University Higher School of Economics (HSE) in 2019 - 2020 (grant № 19-04-005) and by the Russian Academic Excellence Project "5-100"

Abstract

The task is to sharply reduce the complexity of analysis, multivariate analysis and parametric optimization of linear and linearized equivalent electrical circuits. The source of such schemes are not only linear electronic circuits, but also circuits formed on the basis of artificial electrical analogies. They can be formed on the basis of finite element methods and finite difference methods used in solving partial differential equations. The reduction in the complexity of computations is carried out by formal methods of transforming the model into a macromodel, which reflects only the input - output type relations of the original model. The e

ssence of the work lies in the formal transformation of the model of a linear or linearized equivalent electrical circuit, formed using artificial electrical analogies methods, into a macromodel, according to which the same output characteristics can be calculated with the same accuracy but with increased speed by several orders of magnitude. Algorithms for such transformations are given. Using a macro-model, one can calculate static characteristics, frequency characteristics, zeros and poles of system functions, dynamic characteristics, eigenvalues, and vectors of a macromodel matrix, which make it possible to determine the stability and stability margin of the original circuit using the first А.М. Lyapunov method, its resonant eigenfrequencies and the duration of the transition process, as well as partial derivatives of the above characteristics for a small number of variable circuit parameters to replace the optimization of the circuit with the methods of the 1st order with its optimization by the macro model. In addition, macromodels can be used to create a new element, constructional, and technological base for design. Macromodel can serve as an element of a model of a higher hierarchical level. Block hierarchical process of macromodelling is possible.

Keywords: macromodel, equivalent electrical circuit, finite element method, finite difference method, optimization. References

1. Borisov N., Starykh V. (2017). Macromodeling of linear equivalent electrical circuits. The Sixth China-Russia Conference on Numerical Algebra with Applications (CRCNAA 2017). Moscow.

2. Borisov N., Shramkov I. (1990). Method for constructing phase macromodels of linear equivalent circuits. Mathematical modeling in CAD: Interinstitutional collection of scientific works. Moscow: Izd-e MIEM, pp. 169-178.

3. Borisov N. (1996). Research and development of methods for reducing the size and complexity of the tasks of analyzing and optimizing linear equivalent electrical circuits based on macromodelling in CAD: Abstract of dissertation for the Doctor of Technical Sciences degree. Moscow: MIEM.

4. Borisov N., Malina A. (2013). Development of methods for determining the frequency properties of linear electrical equivalent using macromodelling. Quality. Innovation. Education. No.3. Moscow, pp. 44-49.

5. Wilkinson J. (1970). Algebraic problem of eigenvalues. Trans. from English. Moscow: Nauka. 564 p.

6. Kublanovskaya V., Mikhailov V., Khazanov V. (1978). On the eigenvalue problem of an irregular matrix. Notes of the scientific seminar of the LOMI (Leningrad Branch of the Mathematical Institute named after V.A. Steklov of the Academy of Sciences of the USSR). Leningrad: Nauka, vol. 58, pp. 80-92.

7. Borisov N.I. (1990). Determination of the dynamic characteristics of linear schemes with multivariate analysis based on macromodelling. Intellectual integrated CAD of REE and LIC: Collection of scientific works. Moscow: Nauka, pp. 101-105.

8. Baskakov A., Borisov N. (2008). Algorithm for constructing a macromodel based on the idea of the method of determining quantities. New information technologies in automated systems: materials of the eleventh scientific and practical seminar. Moscow: MIEM, pp. 93-98.

9. Krohn G. (1972). The study of complex systems in parts - diakoptika. Moscow: Nauka, 542 p.

10. Batalov B., Egorov Yu., Rusakov S. (1982). Fundamentals of mathematical modeling of large integrated circuits on a computer. Moscow: Radio and communication, 167 p.

11. Abrameshin A., Borisov N., Kravchenko N., Malina A. (2013). The method of hierarchical macromodelling in problems of the analysis of linear electrical equivalent circuits in CAD. Quality. Innovation. Education. No. 11. Moscow, p. 40-46.

12. Borisov N., Vostrikov A., Kravchenko N., Malina A. (2014). Development of a reduction method for a linear equivalent electrical circuit model built in a uniform coordinate basis. Tekhnologii EMS [EMC Technologies. Vol. 51 (4). Moscow: Tekhnologii Publishing House, pp. 49-57.

Information about authors:

Nikolay I. Borisov, D.Sc., Professor, National Research University Higher School of Economics, Moscow, Russia Alexandr D. Kasatkin, Engineer, National Research University Higher School of Economics, Moscow, Russia Semyon A. Presnyakov, Assistant, National Research University Higher School of Economics, Moscow, Russia

г Г\