Быстрая трассировка лучей при расчёте отраженного поля в геометрической оптике Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.391

Радиоэлектроника и системы связи

БЫСТРАЯ ТРАССИРОВКА ЛУЧЕЙ ПРИ РАСЧЁТЕ ОТРАЖЕННОГО ПОЛЯ

В ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКЕ

Д.В. Асотов, В.Б. Авдеев

Рассмотрен вопрос автоматизированного построения траекторий распространения электромагнитных волн в приближении геометрической оптики (трассировка лучей). Изложены недостатки широко применяемого метода Shooting and Bouncing Rays (SBR, пер. c англ. «стрельба с рикошетом» или в вольном переводе «пробного запуска»). Приведены примеры его программных реализаций. Предложен метод и алгоритм трассировки отражённых лучей, не имеющий приведённых недостатков и ускоряющий процесс трассировки

Ключевые слова: геометрическая оптика, трассировка лучей, быстрая трассировка лучей

Геометрическая оптика

Геометрическая оптика (ГО) - один из разделов электродинамики, развиваемая как отечественными [1], так и зарубежными учёными [2, 3]. ГО совместно с теорией дифракции составляет математический аппарат, альтернативный сеточным методам решения задач электродинамики при анализе электрически больших объектов. Информацию о сеточных и оптических методах можно, в частности, найти в [4]. Основное преимущество ГО перед сеточными методами заключается в минимизации необходимых вычислений, а следовательно снижению затрат времени на моделирование.

В общем случае моделирование методом ГО можно разбить на два условно независимых этапа: трассировка лучей и расчёт параметров поля (напряжённости, мощности и т.д.) основываясь на известных траекториях.

В «классической» литературе основной акцент сделан на определение параметров поля, а вопрос трассировки лучей практически не рассматривается. Однако для моделирования поля, особенно для автоматизированного моделирования с использованием ГО [4-9], трассировка лучей необходима. Поэтому данная теория также получила развитие.

Программные реализации

ГО совместно с другими лучевыми и сеточными методами используется в нескольких известных программах для моделирования процессов распространения радиоволн, а именно в Wireless Insite и FEKO. Оба программных пакета являются многоме-тодными, т.е. содержат несколько различных методов анализа. Причём в FEKO ГО является вспомогательным методом. Кроме того разработчики FEKO идут по пути гибридизации различных методов моделирования и формирования единого вычислительного механизма внутри программы [4]. Поэтому метод ГО применяется лишь в тех случаях, в которых без него не удастся получить решение в приемлемые сроки. Для Wireless Insite ГО базовый метод

Асотов Дмитрий Валериевич - ВГТУ, аспирант, тел. 8-951-540-52-05, e-mail: pifagor1905@mail.ru Авдеев Владимир Борисович - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. 8-903-65-35-520

[7, 8]. Поэтому её выбор в качестве объекта сравнения наиболее актуален в рамках данной работы.

Для трассировки лучей в ней используются либо метод Shooting and Bouncing Rays (SBR), основанный на синтезе (запуске) большого количества лучей от источника под дискретными углами друг к другу и прослеживании траектории каждого из них, либо метод Eigenray, основанный на принципе наименьшего времени Ферма [8], согласно которому «из всех возможных путей между двумя точками свет проходит по тому, по которому время прохождения наименьшее» [10]. Вероятнее всего метод сводится к решению векторных уравнений, которые можно найти в [11]. К сожалению более конкретной информации о данном методе не приводится. Существенным является то, что метод Eigenray имеет ограничение в 3 отражения, против 30 отражений в методе SBR. Это существенно ограничивает применимость Eigenray в сложных проектах. В результатах же моделирования с использованием SBR присутствует ряд ошибок трассировки, а именно:

1) вдоль границы инцидентной тени наблюдается провал поля, обусловленный «потерей» прямого луча;

2) в области отражённых лучей присутствуют провалы и выбросы в отдельных точках.

Таким образом, вопрос, который казался тривиальным, до сих пор не решён. Это вынуждает исследователей формировать частные лучевые модели [12, 13], не позволяющие решать широкий круг прикладных задач. Однако существует возможность создания альтернативного метода, основанного на геометрическом решении и сокращающего объём вычислений.

Метод быстрой трассировки отражённых лучей

В данной статье предлагается метод трассировки отражённых лучей без использования «пробного запуска». Исходными данными для данного метода являются координаты передающей и приёмной антенн, а также геометрия проекта.

В данном контексте мы получаем следующую постановку задачи:

1. Определить, существует ли в данной геометрии ломаные траектории с заданным числом отражений, начальной и конечной точкой которой являются передающая и приёмная антенны (в дальней-

шем для простоты будем писать передатчик и приёмник), все вершины лежат на поверхности геометрических объектов, а все смежные лучи удовлетворяют первому закону Снеллиуса относительно данного объекта (угол падения равен углу отражения [10]).

2. Определить координаты всех точек отражения для каждой из существующих траектории.

Рассмотрим решение поставленных задач на простейшие примере - отражение от плоской поверхности (препятствия) конечного размера (А на рис. 1). Очевидно, что отражение возможно, только если передатчик и приёмник лежат по одну сторону от препятствия. Это необходимое условие существования отражённого луча. Оно справедливо как для бесконечных, так и для конечных препятствий. На рис. 1, при зафиксированном положении передатчика Тх, условие соблюдается для приёмников Их2 и Их3, и не соблюдается для Их1. Для окончательного определения координат точек отражения достаточно для каждой пары приёмник передатчик построить два прямоугольных подобных треугольника с общей вершиной в точке отражения К.2 (для случая Тх-Их2) и гипотенузами, лежащими на трассе луча (рис. 1: ДТхЯ2Тхо и ДИх2К2Их2о). Ответ можно получить с помощью аналитической геометрии как решение уравнения = -8*г:

fa^

ß1 II

g0

1 - 2L

- 2LM

- 2LN

- 2LM 1 - 2M:

- 2MN

- 2LN

- 2MN 1 - 2N 2

fa 1

ß

J 0

где (Ь, М, М) - компоненты единичного вектора 8 нормали к препятствию, а (а, в, у) и (а', в', у') -компоненты векторов гиг' подающего (ТхЯ2 рис. 1) и отражённого (Я2Их2 рис. 1) лучей [11, с. 1.28]. Координаты векторов определяются как

a 1 f x A R 2 X Tx

ß = yR 2 - У Tx

g 0 ^Z R 2 - ZTx

Vö f ßb

f

Х Rx 2 Х R 2 У Rx 2 - У R 2

В данной задаче (хт2, Ут2, 2Т2) и (хяХ2, уях2, 2^2) исходные данные, а (хя2, уя2, 2^2) искомые данные.

Однако более простое решение можно получить, если воспользоваться тем фактом, что фронт волны, отражённой от объекта, тождественен фронту волны от мнимого передатчика, зеркального исходному относительно этого объекта (Тх1 рис. 1). Этот факт отражён в [2, с. 761, рис. 13-8; 3, с. 137, рис. 5-5; 10].

Тх

Rxl

ч

\

i Л \R2

Txoi «4>ч Rx2 I

+ X I \ I

I Чч I

\/ I М

I

Тх » Йх2 КхЗ

Рис. 1. Трассировка лучей при отражении

от конечного плоского препятствия

Отрезки, соединяющие мнимый передатчик Тх' и приёмники Ых1, Их2, Кх3, определяют точки отражения, которые совпадают с точками пересечения данных отрезков и данного объекта. Как видно из рис. 1, препятствие А не пересекается с лучом Тх'Их1, следовательно, не существует отражённого луча, что уже было установлено выше. Кроме того, объект А не имеет точки пересечения с лучом Тх'ЯхЗ (точка пересечения прямой а и луча Тх'Их3 - Я3 лежит за пределами объекта А). Только Я2 -точка пересечения прямой а и луча Тх'Их2 лежат на препятствии А.

Таким образом, для расчёта координат точки отражения луча, распространяющегося между заданными приёмником и передатчиком, от заданного препятствия необходимо проделать следующие операции:

1. Рассчитать координаты расположения мнимого передатчика;

2. Рассчитать координаты точки пересечения луча от мнимого передатчика к приёмнику, с прямой, на которой лежит рассматриваемое препятствие;

3. Проверить принадлежность точки пересечения препятствию. В случае принадлежности - отражение имеет место.

С помощью предложенного метода можно определить границы области, в которой принимается отражённый луч, при заданном препятствии и передатчике. Способ определения отражательной тени идентичен способу определения тени прямых лучей: необходимо провести прямые линии через передатчик и края объекта, только вместо фактического передатчика используется его зеркальная копия [12] (рис. 2).

Тх

Область отражательной тени

.а.....и

! ■ ! ■

w Тх

Рис. 2. Определение области существования отражённого луча

Основное преимущество данного метода в существенном упрощении алгоритмов трассировки. Нет необходимости строить избыточное количество лучей, как в методе SBR или решать системы уравнений с возрастающей сложностью, как в методе Eigenray. В результате получаем выигрыш во времени вычислений. Особенно наглядно преимущества предложенного метода проявляется при трассировке лучей с многократным отражением.

Рассмотрим распространение отражённых лучей от передатчика к приёмнику, расположенных между двух бесконечных препятствий а и б (рис. 3). Передатчик расположен в нулевой точке внутренней системы координат посередине между двумя преградами, приёмник - в 60 метрах от передатчика

и

также равноудалён от двух преград. Координаты для всех исходных данных и всех результатов приведены в таблице.

Метод построения отражённых лучей реализуется следующим образом. Выбираем препятствие, отражённый луч от которого мы будем искать (прямая а на рис. 3). Строим точку, зеркально симметричную передатчику относительно выбранной преграды (1 на рис. 3 - мнимый зеркальный передатчик). Соединив точку 1 и приёмник, находим точку отражения на пересечении данного отрезка и преграды (И1 на рис. 3). Далее выбираем препятствие для второго отражения (прямая Ь рис. 3). Строим зеркальное отражение точки 1 относительно прямой Ь (2 на рис. 3 - мнимый зеркальный передатчик второго порядка). Соединив точку 2 и приёмник, находим точку второго отражения на пересечении данного отрезка и преграды Ь (И22 на рис. 3). Соединив точки И22 и 1, находим точку первого отражения (И21 на рис. 3) на пересечении с преградой а. Для построения траектории отражённых лучей более высокого порядка достаточно продолжить построение зеркальных точек при выбранной последовательности отражающих поверхностей (а-Ь-а-Ь) до соответствующего числа с последующим определением точек пересечения преград и вспомогательных отрезков. Для наглядности на рис. 3 построены траектории с тремя и четырьмя отражениями. В общем случае для построения траектории, имеющей N отражений нужно построить мнимый зеркальный передатчик ^го порядка и находить точки отражения в обратной последовательности: от до И^. Кроме того, существуют зеркальные траектории, для которых последовательность отражений противоположная (для рассматриваемого примера а-Ь-а-Ь... заменяем на Ь-а-Ь-а...). Также следует помнить, что если хотя бы 1 точка построенной траектории лежит вне своего препятствия, то такой траектории не существует.

Координаты точек на рис. 3

Имя х, м У, м название

Тх 0 0 передатчик

Их 0 60 приёмник

а 15 препятствие

Ь -15

1 0 30

2 0 -60 мнимый

3 0 90 передатчик

4 0 -120

30 15

И21 15 15

И22 45 -15

И31 10 15

И32 30 -15 точка

И33 50 15 отражения

И41 7,5 15

И42 32,5 -15

И43 47,5 15

И44 52,5 -15

\3

А А V

з»

у Л

\ \ \ \ \ \ \ \ \ N \ \

А7у

Ь Р!42' 1*4' \

4'2 Вставка 2

НЛ/ /1^3 /КГ/ЪАГ Ь

/ /

/ / /

ш

Ь К42 Ч 1*4 \ \

\ 4 \

\

м

Вставка 1

60

Рис. 3. Трассировка лучей при расчёте многократными отражениями

Предложенный метод можно модифицировать следующими способами: 1) строить зеркальные от-

ражения приёмника вместо зеркальных отражений передатчика, 2) использовать совместно зеркальные отражения приёмника и передатчика. В первом случае алгоритм полностью идентичен изложенному выше, с инверсией следования отражающих поверхностей (а-Ь-а-Ь заменяем на Ь-а-Ь-а для случая на рис. 3 вставка 1) и с прямой последовательностью определения точек отражения, т.е. первой будет найдена точка Я41, с её помощью будет найдена точка Я42 и т.д. до точки Я4М.

Во втором случае для построения траектории с N отражениями необходимо построить М зеркальных точек для передатчика и Ь зеркальных точек для приёмника, причём Ь + М = N. Причём для передатчика следование поверхностей отражения будет прямым (а-Ь-а-Ь), а для приёмника обратным (Ь-а-Ь-а). В примере на рис. 3 вставка 2 используются мнимые зеркальные передатчик и приёмник второго порядка. Первый вспомогательный отрезок (отрезок 2-3 вставка 2) позволит определить Ь-ую и ^ - М)-ую точки отражения (Я42 и Я43 в данном примере).

Заключение

Предложенный в статье метод быстрой трассировки лучей может быть применён при численном решении задач электродинамики в частности в рамках систем автоматического проектирования. В его основе лежит идея использования мнимых излучателей. Метод применим не только к двухмерным случаям, но и к решению 3Б задач. Его основное достоинство - простота, обеспечивающая быстродействие, основанных на нём алгоритмов.

Но данный метод нуждается в дальнейшем развитии и проработке. В частности необходимо разработать методику определения лучей после дифракции, разработать аналогичный метод для расчёта траекторий преломлённых лучей. Конечная цель -создание алгоритма полной трассировки лучей, способный восстанавливать трассы между передатчиком и приёмником с заданным набором препятствий.

Большой интерес представляет программная реализация данных алгоритмов для автоматического расчёта распространения радиоволн. Программную реализацию можно будет использовать в задачах проектирования радиосвязи, расчёта зон покрытия базовых станций, радиоконтроля и оценке побочных электромагнитных излучений.

С другой стороны потенциал теории ГО и других разделов лучевой оптики до настоящего момента не раскрыт. Нет чёткой определённости в границах её применимости. При современном уровне внедрения электронных устройств и средств беспроводной связи потребность в развитии этой теории существует, а её внедрение вполне целесообразно.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (Грант РФФИ №13-08-9 7538-р-центр-а.)

Литература

1. Боровиков В.А., Кинбер Б.Е. Геометрическая теория дифракции. - М.: Связь, 1978. - 248 с.

2. C. Balanis. Advanced Engineering Electromagnetics. New York: Wiley, 1989.

3. H. L. Bertoni, Radio Propagation for Modern Wireless Systems. Prentice Hall, 2000.

4. Учебные материалы компании «Родник» {URL: http://www.rodnik.ru}

5. Моделирование процессов распространения радиоволн в условиях городской застройки [Текст] / В.Б. Авдеев, Д.В. Асотов, В.А. Сладких, Б.В. Матвеев // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2013. - Т. 9. - № 2. - С. 4-7.

6. Асотов Д.В. Трассировка лучей в асимптотических методах решения задач распространения радиоволн в интересах оценки побочных электромагнитных излучений // Труды междунар. науч.-техн. конф. и Российской научной школы «Инноватика-2013». - М.: Энерго-атомиздат, Ч2. 2013. - С. 43 - 45.

7. Банков С.Е., Курушин А.А. Расчет и моделирование распространения радиоволн в городской среде и пересеченной местности с помощью программы Wireless InSite // EDA Express. - 2004. - № 9. - С. 35-39.

8. Сайт компании Remcom. {URL: www.remcom.com}.

9. Официальный сайт программы FEKO. {URL: www.feko.info}

10. Кикоин А.К. Принцип Ферма //Квант. - 1984. -№ 1. - С. 36-38. {URL: http://www.physbook.ru / index. php/Kvant_Принцип_Ферма}

11. Goodman D.S. Geometric optics, электронное издание, {URL: www.photonics.intec.ugent.be}

12. Панычев А. И. Алгоритм трехмерной трассировки радиоволн локальной беспроводной сети // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2012. - № 11 (136). - С. 3141.

13. Чжо Чжо Ньян Лин Разработка гибридной модели распространения радиоволн внутри помещений с учетом затенения фиксированными и подвижными объектами, Автореферат на соискание учёной степени к.т.н., Москва: МГИЭТ. - 2011, 24 с.

Воронежский государственный технический университет

THE FAST RAY TRACING IN GEOMETRICAL OPTICS AT CALCULATION

OF THE REFLECTED FIELD

D.V. Asotov, V.B. Avdeev

The question of the automated construction of trajectories of distribution of electromagnetic waves in approach of geometrical optics (ray tracing) is considered. Method shooting and bouncing ray (SBR) lacks are stated. The method and algorithm of trace of the reflected beams, not having the resulted lacks and accelerating process of trace is offered

Key word: geometrical optics, ray tracing, fast ray tracing