CC BY
63
УДК 621.371
ТРАССИРОВКА ЛУЧЕЙ ПРИ МНОГОКРАТНЫХ ДИФРАКЦИЯХ И КОМБИНАЦИОННЫХ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ
Д.В. Асотов, Б.В. Матвеев,В.Б. Авдеев,А.В. Останков
Рассмотрена задача трассировки дифракционных лучей. Приведена обобщённая система определения координат точек дифракции на прямолинейных рёбрах. Проанализирована задача трассировки дифракционных лучей в приближении хут. Рассмотрена задача трассировки лучей для случаев комбинированных трасс. Подробно рассмотрены все важнейшие частные случаи решения рассматриваемых задач
Ключевые слова:трассировка лучей,многократнаядифракция, комбинированные трассы
Введение
Расчёт поля рассеянного препятствиями произвольной формы одна из сложных задач электродинамики вследствие того, что при этом необходимо учитывать дифракцию. Согласно [1, с. 61] такие задачи при строгой математической формулировке сводятся к интегрированию волнового уравнения или уравнений Максвелла с учетом граничных условий на поверхности тела. Но аналитические решения можно-получить лишь для тел простейшей геометрической формы. При этом полученные результаты позволяют эффективно вычислить дифракционное поле только при условии, если длина волны больше или сравнима с размерами тела. В случае же, когда длина волны много меньше размеров тела, строгие решения обычно теряют практическую ценность. Численные же методы решения граничных задач здесь также становятся неэффективными. Поэтому в теории дифракции большое значение приобретают приближенные методы, позволяющие изучить дифракцию коротких волн на различных телах, в частности метод физической оптики, рассматриваемые в [1-2].
При этом перед расчётом поля необходимо произвести трассировку лучей. Базовые задачи трассировки (трассировка при отражении, дифракции, преломлении, рассмотренные в [3]) имеют простые аналитические решения [4]. Более сложной задачей является поиск лучевых трасс при многократных дифракциях на рёбрах. Предложенный в [5]методимеет лаконичную форму записи в виде системы векторных уравнений, но её решение оказываетсядостаточно трудным, т. к. для её составления требуется вычислять длину трасс. Поэтому следует рассмотреть вопрос с другой стороны.
Как известно из [2-3] существует несколько видов дифракции с различными законами порождения лучей. В данной статье будет рассмотрена лишь один - дифракция на прямолинейных рёбрах. Дифракция на остриях имеет тривиальное решение задачи трас-
Асотов Дмитрий Валериевич - ВГТУ,аспирант,е-шаП: азо-1оу^и@шаП.ги,тел. (473) 243-76-65 Матвеев Борис Васильевич - ВГТУ, канд. техн. наук, профессор, тел. 8-960-138-45-61
Авдеев Владимир Борисович - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. 8-903-65-45-520
ОстанковАлександрВиталиевич- ВГТУ,д-р техн. наук, профессор, тел. (473) 243-76-65
сировки, т. к. дифракционные лучи распространяются во всех направлениях. Решение задачи трассировки на выпуклых телах не имеет решения в рамках данной теории.
Общий случай трассировки лучей при многократных дифракциях
Для решения задачи поиска лучевых траекторий на нескольких рёбрах удобно воспользоваться принципом, примененным в [4] для трассировки при однократной дифракции - точка дифракции делит отрезок, ограниченный проекциями точки излучения и точки наблюдения на ребро дифракции, на два отрезка пропорциональных расстояниям между соответствующей точкой и её проекцией. Для случая многократной дифракции точкой излучения может являться точка предыдущей дифракции, а точкой наблюдения - последующей. Этот принцип также соблюдается для проекций рёбер дифракции на оси декартовой системы координат. Таким образом, можно записать систему из N векторных (3Ж скалярных) уравнений
а21 ' ГТх + аТх ' Г21 Г + г
' п„ + а,.
г + г
а(¡+1)1 • Г(|-1)| + а(|-1)| • Г(|+1)| г( ¡+1)1 + Г(1-1)1
а Вх ' Г(N-1) N + а (N-1) N ' ГВх
Г + г
(N-1) N Вх
(1)
где а 1 - вектор (х, у,г)ткоординат соответствующих точек дифракции( Т ), аТх и аВх -векторы координат проекций точек излучения и наблюдения на первое и Ы-е ребрадифракции соответственно, ад - векторсодержащий координаты проекции точки
Т на ]-е ребро (Т*), гТх и гВх - расстояния между точками излучения и наблюдения и их проекциями на первое и N-e ребра соответственно, г- расстояние
между точками Т и, причём г^ Ф 0, т.е. точка излучения не лежит на ребре первой дифракции, точка
а, =
а
а2 =
а=
а=
наблюдения не лежит на ^-м ребре, точки дифракции /-го ребра не лежат на /—1 и / + 1 ребрах. Для случая^ = 1 система уравнений (1) сводится к прямым формулам, приведённым в[4], т.к. все входящие в них переменные зависят только от исходных данных и не зависят от координат точек ТТ. Для случаев N > 1(1), как правило, является системой нелинейных уравнений.
ъ
Рис. 1. Наименование геометрических примитивов
В частных случаях число уравнений в системе может уменьшаться. Так если/'-е ребро дифракции лежит в плоскости X = const(y = const или z = const), то уравнение из системы (1) упрощается до вида
*
;(/'-1)/'
* *
X = const, Т.К X* = Х/'(/'+1)(У*/-I)/ = У/(,.1Ч или z
г(/+1)
*
(/'-1)/'
ч (/'+1)
). В случае если ребро параллельно коорди-
натной оси,сразу два из трёх уравнений становятся тривиальнымии выпадают из системы.
Приближение ху1
В компьютерных моделях распространения радиоволн в помещениях или городской местности с ними часто используется допущение, что все преграды моделируются прямоугольными фрагментами плоскостей, которых могут располагаться только параллельно трём опорным плоскостям (ху, уг, xz) Декартовой системы координат. Как следствие все рёбра параллельны трём осям координат. В соответствии с этим будем обозначать их как х-, у- или г-рёбра. В такой постановке система уравнений (1) теряет 2N уравнений, как было сказано выше. В зависимости от взаимного расположения рёбер дифракции(см. табл. 1, такие последовательности будем называть моделями дифракции)возникают разные сочетания уравнений общим числом N. Для каждой модели можно записать свою систему уравнений с учётом особенностей конкретного случая. Для примера рассмотрим дифракцию с моделью ху.
х =
У2 =
ГТх + Г21
У*х • Г12 + У1 • ГЯх
(2)
r + r
где r
= 4(Z2 - z>)2 + (y2 -
Г12 =4(Z2 - Z1)2 + (X2 - X1)2 , ^Тх = 4(Z1 - )2 + (У1 - УУх )2 Г =4(- z2)2 + (^XRx - X2)2
Таблица 1
Возможные виды двукратной дифракции
1 2 3
1 XX Xy XZ
2 Xy УУ yz
3 XZ zy zz
Заметим, что в системах (2) и (3) не используется знак "*", т.к. входящие в уравнения координаты прямых будут совпадать с координатами проекций точек дифракции на рёбра для любых моделей ди-фракции.В данном случае х*х = хГх , х^ = Х2 ,
Увх = Уях , У12 = У1 . Решение полученнойсистемы в общем случае получить невозможно, т. к. система преобразуется в уравнениевосьмой степени. Однако, имеет смысл рассмотреть частный случай, когда оба ребра дифракции лежат в одной плоскости (см. рис. 2). В данном примере это сводится к г2 - = 0, т.е.
Г21 = |У2 - у\ , г12 = |х2 - х^ . Тогда система (2) примет вид
|У2 - Ух|
ГТх +| У2 - Ух|
(3)
У2 =
Рассмотрим задачу подробнее. На рис. 2 изображён прямоугольный параллелепипед и две точки в пространстве Тхи Ех. Для заданных точек построена лучевая траектория с моделью ВВ. При этом ребро первой дифракции - х-ребро ( Рх ), второй - у-ребро (Рг ). Нам априорно известны четыре из шести координат искомых точек Т и Тг ( ух , У2 и 22 — координаты рёбер). Оставшиеся две определим из системы (3). Для этого необходимо раскрыть два модуля. Очевидно, что х всегда заключена между хп и х2 , а у2 -между у1 и уЕх , т. к. точки излучения и приёма лежат на противоположных сторонах конуса с вершиной в точке дифракции [4]. Это свойство справедливо как для системы (2) так и для системы (3). Следовательно, существует четыре возможных варианта решения системы (3). Все решения приведены в табл. 2. Выбор решения осуществляется сравнением двух пар чисел: х^ и х2 , ух и у^ . Если хтх > х2 , то хх > х2 , если ух > уКх, то ух > у2, как в рассматриваемом примере на рис. 2. Полученное решение приведено в первом столбце первой строки табл. 2 вместе с другими возможными вариантами решения. В случае равенства хотя бы одной пары координат траектория не реализуется, т.к. дифракцион-
*
х. • r + X
2 Tx
X
2 - X1 + У1 ^ Г
X
Xl\ + Г
X
2
X2 ^ Г + XTX • Г21
ныи конус вырождается в плоскость и попадание луча на второе ребро невозможно (все лучи идут параллельно ребру).
Рис. 2. Иллюстрация к системе уравнений (3)
Таблица 2
Решения системы уравнений (3)
ху Увх < У 2 < У1
х2 < х1 < хТх х = х г хТх - х2 + ГВх л-1 Л.тх гТх У1 - Увх + гТх У1 - Увх + гтх У 2 = У Вх + ^Вх + хТх х2 + гВх
хТх < х1 < х2 х = х 1 г х2 - хТх + ГВх ^Тх ~ 'Тх У1 - Увх + гТх У = У + г У1 - ^Вх + У 2 У Вх Вх х2 - хТх + ГВх
ху Ух < У 2 < Увх
х2 < х1 < хТх х = х г хТх - х2 + гВх Х1 ~ Тх 'Тх Увх - У1 + гТх У2 = УВх - гвх^- У + хТх х2 + гВх
хТх < х1 < х2 х = х 1 г х2 - хТх + ГВх Л1 Тх Тх , УВх - У1 + ГТх У2 = УВх - гвх^-у1 + х2 хТх + гВх
Наиболее простой случай соответствует моделям, включающим только один тип рёбер. В табл. 1 им соответствуют модели расположенные на главной диагонали. Рассмотрим решение задачи дифракции на примере модели тт. Будем называть такие модели гомогенными.Система уравнений (1) принимает вид
2, = -
г + г
'Тх 1 21
' г, + 2, ' П
(4)
2, =-
г + г
* 1 О 1 * Р»
где г2
= г12 =4(х2 - х1)2 + (У2 - У1)2
гТх =4(х1 - "^Тх )2 + (У1 - Ух )2
гВх = ">/(^ х2)2 + (^х ^ У 2 ) 2
Учитывая равенство г21 и г12 (обозначение гп нижеопускается, что остаётся справедливым при любом числе рёбер), система (4)легко сводится к аналитическим решениям
' (г12 + гВх ) + 2В
гТх + г12 + гВх ' гВх + 2Вх ' (г12 + гТх )
(5)
к + к, + г
Система уравнений для #дифракций, аналогичная (5) может быть легко получена из (1), путём идентичных преобразований. Т.к. система является линейной, её также можно решить аналитически. Нетрудно показать, что общий вид решения не меняется с ростом числа рёбер и может быть записан как
' I г
т. = -
2п ' I Гг0+1) + 2Вх ' I гкj+l)
_£0_
I
j=0
(6)
j( j+1)
где го1 соответствует тТх и г^^) - гРх . Идентичные формулы можно записать для х- и у-рёбер. Предельный случай данного решения достигается при 2Тх = 2вх = 2 . В таком случае^выносится за скобку, а гу сокращаются. При этом 2¡ = 2 . Решение является тривиальным, но имеет практическую ценность: трассировка лучей между двумя приёмопередатчиками, расположенными ниже высоты зданий, вне прямой видимости, в условиях городской застройки.
В общем случае можно сформулировать следующее правило: задача трассировки лучей на ортогональных или параллельных (приближение хух) рёбрах при многократных дифракцияхимеет аналитические решения в случае гомогенной модели и в случае гетерогенной модели при условии, что соседние ортогональные рёбра лежат в одной плоскости.
Построение комбинированных траекторий
При решении практических задач наибольший интерес представляет синтез трасс, на которых встречаются несколько различных преобразований. При распространении радиоволн в городских условиях подавляющее значение имеют отражения и дифракции. Однако аналитических методов построения таких трасс до настоящего времени, за исключением [7], не предложено.
Но, на самом деле, получить эти методы, опираясь на изложенный и цитируемый материал достаточно просто. Для построения трассы, содержащей одну дифракцию, воспользуемся методом из [6]. Необходимо найти последовательности зеркальных точек для передатчика и приёмника в соответствии с числом отражений до и после дифракции. Например,
2
21 =
2
2 2 =
2 2 ' гТх + 2Тх ' г21
2
для модели ЯПЯЯ (или RDDRRи т.д.)необходимо найти зеркальную точку для передатчика и вторую зеркальную точку для приёмника. Затем решается задача дифракции.
Более сложный случай, когда отражение происходит между двумя дифракциями ("внутреннее" отражение), например DRD. В этом случае первая операция, которую необходимо проделать — нахождение зеркального отображения тех препятствий, которые порождают преобразования до (после) внутреннего отражения, а также точку передачи (приё-ма)относительно поверхности, порождающей "внутреннее" отражение. Для случая нескольких "внутренних" отражений необходимо находить последовательность отражений всех объектов.
Тх * \
Лд-
Рис. 3. Реализация траектории с моделью DRD
Для рассматриваемого примера, проиллюстрированного на рис. 3, дифракции ищутся на вертикальных рёбрахЛ и В, "внутреннее" отражение на плоскости а. Расчёт начинается с нахождения зеркальных отражений ребра В (В') и точки Rx(Rx') относительно плоскости а. Эта операция подготовит исходные данные для решения задачи дифракции на двух параллельных рёбрах, разобранной выше (формула (6)). Определяются точки D1 иD2. После этого путём обратного зеркального отражения находится точка D2. По завершению расчёта точек дифракции " внутреннее" отражение определяется с помощью известной методики, используя точки дифракции как приёмник и передатчик.
Воронежскийгосударственныйтехническийуниверситет
Заключение
Предложенные алгоритмы в совокупности могут стать основой для создания системы автоматизированного расчёта распространения электромагнитного поля. При этом для расчёта поля по известным траекториям можно воспользоваться соотношениями, полученными в [1]. Предложенные методы содержат как универсальное решение, так и несколько част-ныхдля типовых ситуаций. Решение предложенных систем уравнений может быть получено с помощью численных методов, в частности с помощью метода простых итераций. Предложенная постановка задачи и различные методы её решения значительно упрощают нахождение лучевых трасс по сравнению с методом [5].
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (Грант РФФИ №13-08-97538-р-центр-а.)
Литература
1. Теория дифракционных краевых волн в электродинамике / П.Я. Уфимцев; пер. с англ. А.В. Капцова. - М.: Бином. Лаборатория знаний, 2007. - 366 с.
2. Боровиков В.А., Кинбер Б.Е. Геометрическая теория дифракции. - М.: Связь, 1978. - 248 с.
3. Асотов Д.В. Построение модели трассировки лучей системы моделирования процессов распространения радиоволн в реальных условиях. Тезисы доклада. 18-й Международный форум «Радиоэлектроника и молодёжь в XXI веке». Сб. материалов форума Т.2. - Харьков: ХНУРЭ. 2014. - С. 109-110.
4. Алгоритмы трассировки лучей на основе аналитических решений [Текст] / Д.В.Асотов, Ю.Е.Калинин, Б.В.Матвеев, В.Б. Авдеев // Радиотехника. - 2014. - № 6. -С. 8-11.
5. Tsingos N., Funkhouser T., Ngan A., Carlbom I., Modeling Acoustics in Virtual Environments Using the Uniform Theory of Diffraction, Proceedings of the 28th annual conference on Computer graphics and interactive techniques, 2001. pp. 545-552.
6. Асотов,Д.В. Быстрая трассировка лучей при расчёте отражённого поля в геометрической оптике [Текст] / Д. В. Асотов, В. Б. Авдеев // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2014. - Т. 10. -№ 2. - С. 36-39.
7. L. Aveneau, Y. Pousset, R. Vauzelle, M. Meriaux,Development аnd Evaluations оf Physical аnd Computer Optimizations For The 3d UTD Model // AP2000 Millennium Conference on Antennas & Propagation (Poster), April 2000.
RAY TRACING AT MULTIPLE DIFFRACTIONS AND COMBINATIONAL
TRANSFORMATIONS
D.V. Asotov, B.V. Matveev, V.B. Avdeev, A.V. Ostankov
The problem of trace of diffraction ray is considered. The generalized system of calculation of diffraction points coordinates is given in rectilinear edges. The problem of trace of diffraction beams in xyz approach is analyzed. The problem of trace of beams for cases of the combined routes is considered. All major special cases of the solution of considered tasks are in detail considered
Keywords:ray tracing, multiple diffractions, combined routes
