Boundary representation for Lobachevsky spaces Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.988.6, 517.965

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-1963-1968

О ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВАХ

© Т. В. Жуковская , И. А. Забродский 2) , И. Д. Серова 2)

Тамбовский государственный технический университет 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Советская, 106 E-mail: t_ zhukovskaia@mail.ru 2) Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33 E-mail: zh-imfi.tsu@yandex.ru

Рассматривается функциональное уравнение вида g(t,x(h(t)),x(t)) =0, относительно измеримой существенно ограниченной функции x(t), t £ [a,b]. Получены условия, гарантирующие, что если для некоторой существенно ограниченной функции u(t), t £ [a,b] выполнено неравенство g(t,u(h(t)),u(t)) > 0, t £ [a,b], то имеет место оценка x(t) < u(t). Используются результаты Е.С. Жуковского об антитонных возмущениях упорядоченно накрывающих отображений.

Ключевые слова: функциональные уравнения и неравенства; накрывающие отображения; пространство с векторнозначной метрикой

Введение. В исследовании уравнений важную роль играют оценки решений. Для получения оценок часто используется подход, основанный на том, что если элемент u удовлетворяет неравенству F(u) > y, то при некоторых дополнительных условиях на отображение F для решения x уравнения

F (x) = y (1)

выполнена оценка x < u. Для интегральных и дифференциальных уравнений такие утверждения называют теоремами типа Чаплыгина (см. [1], [2]). Для операторных уравнений в произвольных упорядоченных пространствах подобные утверждения получены в работах [3]—[7] на основе понятия упорядоченного накрывания отображений. Здесь предлагается использовать полученную в [7] теорему об антитонном возмущении упорядоченно накрывающего отображения для исследования функционального уравнения с отклоняющимся аргументом и получения для такого уравнения теоремы типа Чаплыгина.

1. Основные понятия. Частично упорядоченное пространство, т. е. множество X с заданным на нем порядком ^ обозначаем через (X, ^) или X. Для элементов u,v £ X будем обозначать

OX(u) = {x £ X : x < u}, [u,v]X = {x £ X : v ^ x ^ u}.

Используем также обозначения x ^ u в случае, если u h x, и x — u, или u У x, если x ^ u, x = u.

Пусть заданы пространства (X, <), (Y, ■<). Отображение F: X — Y называют (см., например, [8], с. 329) изотонным на множестве V С X, если для любых x,u £ V из x h u следует F(x) h F(u), и антитонным на V С X, если для любых x,u £ V из x h u следует F(x) ^ F(u). Изотонное (антитонное) на всем X отображение называют изотонным (антитонным).

В [3] введено следующее

1963

Определение 1. Отображение Р : X — У называется упорядоченно накрывающим множество Ш С У, если если для любого и € X выполнено включение

Оу (Р(и)) П Ш С Р(Ох(и));

или, что то же самое,

V и € X V у € Ш у < /(и) ^ Зх € X Р(х) = у & х ^ и.

Отображение, упорядоченно накрывающее все пространство У, называется упорядоченно накрывающим.

Сформулируем теорему из [7], существенно используемую в данной работе (приведем здесь это утверждение несколько в менее общем виде, чем в цитируемой статье, но достаточном для нашего изложения).

Рассмотрим уравнение (1) с заданными правой частью у € У и отображением Р : X — У, представимом в виде

Р(х) = Т(х,х), Vx € X,

где отображение Т : X2 — У по одному аргументу обладает свойством упорядоченного накры-вания, а по другому — монотонности.

По отображению Т : X2 — У множеству и С X и элементу у € У определим множество S(Т,и,у) всех цепей Б С и таких, что

V х € Б Т(х,х) У у, Vх1,х2 € Б х1 — х2 ^ Т(х\,х2) у.

Теорема 1 [7]. Пусть существует такой элемент и0 € X, что Т(и0,и0) У у, и выполнены условия:

(1.1) при любом х € Ох(и0) отображение Т(-,х): X — У упорядоченно накрывает множество Ш = {у};

(1.2) при любом х € Ох(и0) отображение Т(х, ■): X — У является антитонным на множестве [х,ио\х;

(1.3) любая цепь Б €8(Т, Ох(и0),у) ограничена снизу, и существует нижняя граница ш €X, удовлетворяющая неравенству Т(ш,ш) У у.

Тогда множество решений уравнения (1) не пусто, и в нем существует минимальный элемент, который принадлежит Ох (и0) .

В теореме 1 утверждается, что в множестве решений уравнения (1) есть минимальный, но не наименьший элемент; в [7] приведен пример, подтверждающий, что предположений этого утверждения недостаточно для существования наименьшего решения, и доказано

Следствие 1. Пусть выполнены предположения теоремы 1 и, кроме того, для любых х1 ,х2 € Ох (и0), справедливо

(1.4) если /(х\) = /(х2)= у, то существует элемент х € X, удовлетворяющий неравенствам х х1, х ^ х2, /(х) У у.

Тогда в множестве принадлежащих Ох(и0) решений уравнения (1) существует наименьший элемент.

2. Условия упорядоченного накрывания оператора Немыцкого. Предлагаемое здесь утверждение устанавливает связь между упорядоченным накрыванием оператора Немыцкого и порождающей его функции. Этот результат позволит далее применить теорему 1 и ее следствия к исследованию функциональных уравнений.

1964

Для измеримого многозначного отображения I :[а,Ь\ ^ Кп обозначим через Ьр(1) пространство суммируемых в р -ой степени, 1 < р <ж, функций (при р = ж существенно ограниченных функций), являющихся селекторами многозначного отображения I. В частности, "стандартное" пространство суммируемых в р -ой степени функций х : [а,Ь\ — Кп обозначаем символом Ьр(Кп). В пространстве Ьр(1) определим порядок: для х,и € Ьр(1) считаем выполненным неравенство х < и, если х(Ь) < и(Ь) при п.в. (почти всех) Ь € [а,Ь\. Таким же образом упорядочим множество 2(Кт) измеримых функций г : [а, Ь\ — Кт.

Пусть функция / : [а, Ь\ х Кп — Кт удовлетворяет условиям Каратеодори (т. е. по первому аргументу измерима, а по второму непрерывна). Эти предположения позволяют определить действующий в пространствах измеримых функций оператор Немыцкого (оператор суперпозиции) ( )

(Щх)(Ь) = /(Ь,х(Ь)), Ь € [а,Ь\. (2)

Далее, пусть заданы измеримые функции у0 :[а,Ь] — Кп, у : [а, Ь\ — Кт. Положим

1о : [а, Ь\ ^Ып, 1о(Ь) = { х : х > Уо(Ь)} € [а, Ь\

(здесь и везде ниже символ V означает "при почти всех"). Обозначим через /о сужение функции / на множество Б0 = { (Ь,х): Ь € [а,Ь\, х € 10(Ь) } и определим соответствующий оператор Немыцкого ( )

(Щ0 х)(Ь) = /(Ь,х(Ь)) ,Ь € [а,Ь\. (3)

Теорема 2. Пусть у0 € Ьр(Кп), ж< р < 1. Если при п.в. Ь € [а,Ь\ функция /0(Ь, ■) : 10(Ь) — Кт упорядоченно накрывает одноточечное множество Ш (Ь) = {у(Ь)}СШ.т, то определенный равенством (3) оператор Немыцкого, как действующий из Ьр(10) в 2(Кт), является упорядоченно накрывающим множество Ш(■) = {у(^)} С 2(Кт).

В связи с приведенным утверждением, отметим, что заданный соотношением (2) оператор N : Ьр(Ып) — 2(Кт) может не быть упорядоченно накрывающим множество Ш(■) = {у(^)} С С 2(Кт), если функция /(Ь, ■):Ып — Кт упорядоченно накрывает множество Ш(Ь) = {у(Ь)}С С т. Приведем соответствующий

Пример 1. Определим функции / : [0,1\ ^ К ^ К, /(Ь, х) = Ьх; у : [0,1\ — К, у(Ь) = = -1. При любом Ь функция /(Ь, ■) упорядоченно накрывает множество Ш(Ь) = {-1}СК, однако, соответствующий оператор Немыцкого Щ : Ьр(Ш) — 2свойством накрывания множества Ш(■) = {у(^)} С 2не обладает ни при каком р > 1. Действительно, для функции и(Ь)=0 выполнено (Щи)(Ь)=0 > -1, и существует единственное решение х(Ь) = -Ь-1 уравнения (Щи)(Ь) = -1, которое, хотя и удовлетворяет неравенству х(Ь) < и(Ь), но не является элементом Ьр(Ы).

3. Функциональные неравенства. Здесь на основании теорем 1,2 получены утверждения о существовании и оценке решения функционального уравнения с отклоняющимся аргументом.

Пусть заданы функции д : [а, Ь\ х Кп х Кп — Кт и Н :[а,Ь\ — [а, Ь\. Рассмотрим уравнение

д(Ь,х(Н(Ь)),х(Ь))=0, Ь € [а,Ь\. (4)

Решением уравнения (4) считаем функцию х € Ьр(Шп), удовлетворяющую этому уравнению при п.в. Ь € [а, Ь\.

Теорема 3. Пусть выполнены условия:

(3.1) при любых х,и € Кп функция д(^,х, и) : [а, Ь\ — Кт измерима;

(3.2) при п.в. Ь € [а,Ь\ и любых и € Кп функция д(Ь, ■,и):Кп — Кт по каждому аргументу х1, . . . , хп не возрастает и непрерывна справа;

1965

(3.3) при п.в. £ € [а,Ь] и любых х € Кп функция д(Ь,х, ■) п т непрерывна;

(3.4) существует функция у0 € Ьр(Кп) такая, что при п.в. £ € [а,Ь] для любого х € Кп, удовлетворяющего неравенству х > Уо{Ь(Ь)), сужение д0(Ь,х, ■) : 10(Ь) ^ Кт функции д(Ь, х, ■) :Кп ^ Кт на множество 10(Ь) = { и € Кп : и > у0(Ь)} упорядоченно накрывает одноточечное множество Ш(£) = {у(£)} С Кт;

(3.5) существует функция и0 € ЬР(Ш.п) такая, что

иа(г) > Уо(г), /(г,ио{Нг)),ио(г)] > о Ш € [а,ь].

Тогда существует решение х € ЬР(Ш.п) уравнения (4), удовлетворяющее неравенству

Уо(Ь) < х(Ь) < ио(Ь) Ш € [а, Ь];

в множестве таких решений существует наименьший элемент.

Доказательство разрешимости уравнения (4) основано на его представлении в виде (1) с отображением

^(х) = Т(х,х), (Т(х,и))(г) = /(г,х(н(г)),и(г)),

где Т : Ьр(Ып) х ЬР(Ып) ^ Z(Кт) удовлетворяет предположениям теоремы 1 (проверка условия (1.1) основана на теореме 2, применяемой к оператору Немыцкого, порожденному сужением на множество О0 = { (Ь,и): £ € [а,Ь], и € 10(Ь) } функции /(Ь,и) = д(£,х(Н(£)) ,и) (см. условие (3.4) данной теоремы). Для доказательства существования наименьшего решения необходимо воспользоваться следствием 1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Чаплыгин С.А. Основания нового способа приближённого интегрирования дифференциальных уравнений. М., 1919 (Собрание сочинений I. Гостехиздат, 1948. С. 348-368).

2. Избранные труды Н.В. Азбелева / отв. ред. В.П. Максимов, Л.Ф. Рахматуллина. М. Ижевск: Ин-т компьютер. исслед. 2012. 808 с.

3. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for mappings in partially ordered spaces // Topology and its Applications. 2015. V. 179. № 1. P. 13-33. DOI: 10.1016/j.topol.2014.08.013

4. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for set-valued mappings in partially ordered spaces // Topology and its Applications. 2016. V. 201. P. 330-343. DOI: 10.1016/j.topol.2015.12.044

5. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. О точках совпадения отображений в частично упорядоченных пространствах // Доклады Академии наук. 2013. Т. 453. № 5. С. 475-478.

6. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Точки совпадения многозначных отображений в частично упорядоченных пространствах // Доклады академии наук. 2013. Т. 453. № 6. С. 595-598.

7. Жуковским Е.С. Об упорядоченно накрывающих отображениях и неявных дифференциальных неравенствах // Дифференциальные уравнения. 2016. Т. 52. № 12. С. 1605-1621.

8. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969. 448 с.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 15-11-10021) и Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 14-01-00877).

Поступила в редакцию 21 октября 2016 г.

Жуковская Татьяна Владимировна, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, е-mail: t_ zhukovskaia@mail.ru

1966