Бизнес-единица в стохастическом окружении: задача оптимального реинвестирования Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

БИЗНЕС-ЕДИНИЦА В СТОХАСТИЧЕСКОМ ОКРУЖЕНИИ: ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО РЕИНВЕСТИРОВАНИЯ

Соколов Д.Г.

(МФТИ, Москва)

1. Введение

Одной из наиболее важных проблем, характерных для большинства российских предприятий в настоящий момент, является острая нехватка оборотных средств, причем в большинстве случаев эту нехватку невозможно скомпенсировать заемными оборотными средствами. Как следствие, задача оптимального управления собственными оборотными средствами имеет первостепенное значение для эффективной работы предприятий и фирм. Методы и модели управления оборотными средствами в строго детерминированном окружении достаточно хорошо изучены ([2], [3]), для них получены рабочие методики и механизмы, позволяющие значительно повышать эффективность работы как отдельных бизнес-единиц, так и всего предприятия в целом. Что касается управления в стохастическом окружении, когда результат работы бизнес-единиц не известен заранее, а зависит от множества случайных факторов, то в настоящее время практически не существует работ, рассматривающих построение оптимальных механизмов управления финансовыми потоками.

В данной работе предлагается модель финансового потока бизнес-единицы, функционирующей в стохастическом окружении. Рассматривается задача оптимального управления собственными оборотными средствами бизнес-единицами, которая формулируется как задача минимизации риска функционирования бизнес-единицы при заданном уровне ожидаемой отдачи от нее. Показано, что данная задача может быть сведена к стандартной задаче выбора оптимального портфеля.

Работа построена следующим образом. Во второй части рассматривается модель бизнес-единицы, функционирующей в стохастическом окружении, вводится множество переменных (рычагов) управления, формулируется критерии работы бизнес-единицы (ожидаемая отдача, риск). Во третьей части формулируется задача оптимального управления бизнес-единицей. Четвертая часть предлагает методику сведения задачи

оптимального реинвестирования к задаче выпуклого программирования. В заключительной части предлагаются возможные направления продолжения исследований.

2. Бизнес-единица в стохастическом окружении

В данной части предлагается модель финансового потока бизнес-единицы, функционирующей в стохастическом окружении. Базовой моделью финансового потока является модель бизнес-процесса с детерминированным результатом, предложенная в работе [2]. Построение модели начнем в формализации основных понятий.

Под бизнес-процессом далее понимается деятельность, приносящая фирме финансовые результаты (в противоположность вспомогательным бизнес-процессам). Рассмотрим типичную для многих российских предприятий ситуацию. В одноуровневой организации, реализующей один основной БП, имеются ограниченные финансы, избыточные мощности и обеспечивающие службы, т.е. дополнительные расходы на расширение бизнеса не нужны. Для увеличения притока денежных средств нужно нарастить объем продаж, на что в данной ситуации требуются только дополнительные прямые (переменные) затраты. То есть будем предполагать, что бизнес-единица не имеет накладных расходов - все затраты на производство прямо пропорциональны объему выпуска.

Элементарный стохастический бизнес-процесс (ЭБП) - это одна операция продолжительностью Т , в начале которой вкладывается (расходуется) сумма С0, а через время Т возвращается большая сумма $ (т ),

которая не известна заранее, а является случайной величиной.

Это упрощенное описание на практике соответствует последовательному изменению оборотного капитала по финансово-производственной цепочке "денежные средства - сырье и материалы - незавершенное производство - готовая продукция - дебиторская задолженность - оплата обязательств - денежные средства". Такая идеализированная картина достаточно хорошо описывает перетоки капитала на предприятиях, хотя возможно добавление других промежуточных звеньев (бартер, взаимозачеты и т.д.). При этом "движение оборотного капитала в течение полного срока оборачиваемости эквивалентно описанию последовательности бизнес-процессов" [1].

Важнейшим показателем эффективности ЭБП является его рентабельность г = $(т )- С°, которая также является случайной величиной. По Со

сделанному выше предположению в С0 учитываются только прямые

затраты, т.е. г - это маржинальная (стохастическая) рентабельность ЭБП.

Рассмотрим цепочку из п последовательно выполняемых ЭБП. В конце каждой операции (ЭБП) полученную маржинальную прибыль руководство может вложить в финансирование следующего ЭБП, либо потратить в данный момент времени всю сумму или ее часть (например, на выплату коммерческих расходов, на финансирование других бизнес-единиц и т.д.). Любое снятие денег после окончания ЭБП будем называть потреблением.

Таким образом, функционирование бизнес-единицы происходит следующим образом. В начальный момент времени бизнес-единице передаются оборотные средства в размере С0 , которые вкладываются в производство, а произведенная продукция продается. При этом отдача (оборотные средства после реализации бизнес-процесса) не известны заранее, являются случайной величиной: F1 = (1 + г )• С0. Из имеющейся

суммы оборотных средств на конец первого периода часть V снимается на потребление корпорации, а оставшаяся часть F-l — V реинвестируется. Соответственно, оборотные средства бизнес-единицы на начало первого периода равны С1 = — V = С0 • (1 + Г) — Уг. Эти средства вкладыва-

ются в производство, результат (оборотные средства) на конец первого периода равны ^2 = С1 • (1 + г2), часть этих средств реинвестируется, а часть снимается на потребление. Для произвольного момента времени можно записать движение оборотных средств в следующем виде:

теми параметрами, с помощью которых Центр может повышать эффективность реализации бизнес-процесса.

В следующей части в явном виде рассматривается понятие оптимальности функционирования бизнес-процесса и формулируется задача оптимального управления.

3. Постановка задачи оптимального реинвестирования

Основное отличие задача оптимального управления в детерминированном окружении и стохастическом состоит в том, что в случае детерминированного окружения результат реализации бизнес-процесса известен

При этом переменные {V } являются “переменными управления”, т.е.

заранее, в стохастическом окружении результат также стохастичен, поэтому кроме среднего ожидаемого чистого приведенного дохода следует принимать во внимание и риски, ассоциированные с тем или иным решением по снятию средств на потребление, т. е. риск (дисперсию) этого дохода. Другими словами, задача оптимального управления реализацией бизнес-процесса в стохастическом окружении должна также учитывать дополнительное ограничение по рискованности бизнес-процесса.

Очевидно, что понятие оптимальности управления бизнес-процессом должно основываться на усредненных по различным возможным реализациям случайных величин критериях. В качестве естественных критериев оптимальности работы бизнес-единицы в данной работе рассматриваются математическое ожидание отдачи от реализации бизнес-процесса и риск этой отдачи, измеряемый дисперсией этой отдачи. При этом математическое ожидание отдачи понимается в смысле математического ожидания чистой приведенной стоимости бизнес-процесса (КРУ) за плановый период Т, которая включает сумму дисконтированных снятых на потребление величин V К—1 и дисконтированного остатка оборотных средств на конец планового периода ¥Т за вычетом начальных вложений С0.

Максимизация производится по набору переменных [а, }=!, где а, -доля снимаемых на потребление средств в периоде , .

Сформулируем задачу оптимального управления финансовым потоком бизнес-единицы в стохастическому окружении. Задача формулируется как задача выбора оптимальных долей снимаемых средств, которые минимизируют дисперсию финансового результата бизнес-процесса при заданном уровне ожидаемого дохода (двойственной задачей является задача максимизации ожидаемого дохода при заданном уровне риска).

Если й - коэффициент дисконтирования, С0 - начальный уровень

оборотных средств, [г, }^=1- (стохастические) коэффициенты рентабельности, то в общем случае задача имеет вид:

(1) Var0 [NPV ] ® шт,

(2) Е0 [NPV ]> ЕЯ,

Т—1 V ^

(3) NPV = Х^— +

£ (1+а) (1+а )Т

где ЕК - заданное (минимальное) значение ожидаемого дохода, через

Е0 [...] обозначено математическое ожидание в нулевой момент времени,

причем оптимизация ведется с учетом ограничений (балансов) на движение финансовых средств:

(4) ^ = С(_ (1 + г) ,

(5) у = а,Е(,

(6) у = у(+ С.

Первое уравнение отражает изменение оборотных средств в результате реализации бизнес-процесса в один период, второе выражает величину снимаемых на потребление средств через долю в общей сумме оборотных средств, третье выражение отражает разбиение всей суммы оборотных средств на потребление и реинвестирование.

Здесь и далее предполагается, что случайные величины (гг не мо-

гут принимать значения меньше -1, так что величина оборотных средств, полученных в результате реализации бизнес-процесса, всегда положительна.

Используя формулы (4)-(6), выражение для ЫРУ (без учета начальных вложений С0, которые являются аддитивной константой и не влияют на оптимизацию) можно преобразовать к следующему виду:

т _1 а П(1 _ а )П(1+г) П(1 _ а )П(1+г)

г=1______г=1____+ г=1 г=1

(7) ЯРУ = С,

Таким образом, задача оптимального управления финансовым потоком бизнес-единицы представляет собой задачу оптимального выбора

долей реинвестирования {СХ( }=!, 1 > (Хг > 0, таких, что дисперсия

результата от работы бизнес-единицы минимальна при заданном математическом ожидании результата.

В следующей части показано, что данная задача может быть сведена к стандартной задаче выбора оптимального (в пространстве доходность -риск) портфеля инвестиций с помощью преобразования переменных управления.

г=1

4. Задача оптимального реинвестирования как задача выбора оптимального портфеля

Сформулированная выше задача при соответствующем преобразовании переменных управления есть задача построения оптимального инвестиционного портфеля, получившая широкое распространение в литературе (см. [4], [6]).

Введем следующие обозначения. Пусть Яі - дисконтированный доход на инвестиции в бизнес-единицу (случайная величина) за і периодов (дисконтированный коэффициент наращения бизнеса), т.е.

(8) Я =■

П(1 + гк)

і = 1..Т .

Пусть также «веса», соответствующие различным Я обозначаются

через

(9) у{ =

«і-П(1 - «к), і = 1..т -1

к=1

1-І (1 - «к), і = Т

Тогда ЫРУ финансового потока бизнес-единицы имеет вид (см. формулу (7), без учета начальных вложений):

(10) ЫРУ = £ у, Я,.

{=1

Можно показать, что при этом между наборами переменных управ-1Т-1 г лт

Ч Л=1 и {Уt

ления {«t К-1 и {уt К 1 существует и обратное соответствие

(11)

ук

к-1

1-ХУі

і=1

для значений

(у11,:

удовлетворяющих

(12) 0 < Ук < 1"к = 1..Т, XУк = 1.

к=1

Другими словами задача максимизации (1)-(3), (7), сформулированная в терминах исходных переменных управления {«1}=!, 1 ^ «t ^ 0,

к=1

к=1

эквивалентна задаче (1)-(3), (10), сформулированной в терминах {у( }Т

удовлетворяющих (12). При этом решение исходной задачи получается как преобразованное по формуле (11) решение задачи

(13) ¥аг0

(14) Е0

I у, Я

І =1

I у, Я

=1

> ЕЯ,

(15) I у, = 1, у, > 0 .

=1

Заметим, что задача (13)-(15) есть задача выбора оптимального портфеля инвестиций, если под Я, (дисконтированный стохастический коэффициент наращения бизнеса) понимать «доходности активов», а под уі - веса этих активов в портфеле. При этом ограничение (15) соответствует частному случаю задачи выбора оптимального портфеля (см., например, [6]) с запретом на «короткие позиции». В литературе также показано, что задача выбора оптимального портфеля является задачей выпуклого программирования (при нахождении портфеля, лежащего на эффективной границе), а также предложены методы решения данной задачи (см. [6]).

5. Заключение

В данной работе предложена модель бизнес-единицы, функционирующей в стохастичном окружении (с недетерминированным уровнем рентабельности). Сформулирована задача оптимального управления финансовым потоком бизнес-единицы как выбор долей снятия, которые минимизируют дисперсию результата от работы бизнес-единицы при заданном уровне ожидаемого дисконтированного дохода. Показано, что сформулированная задача сводится к стандартной задаче формирования оптимального портфеля инвестиций.

Среди возможных продолжений исследования можно выделить два направления. Первое связано с поиском алгоритмов решения задачи, учитывающих специфику задачи (таких, что их можно было бы применять в режиме реального времени при финансовом анализе на предприятиях). Также интересно рассмотрение задачи с ограничением по максимально возможному уровню производства (режим «пила», см. [3] для детерминированного случая).

Второе направление состоит в изменение понятия оптимальности. Так, например, в финансовой литературе и литературе по оценке эффективности инвестиций в стохастическом окружении (см., [5], [7]) получила широкое распространение такая мера эффективности, как отношение Шарпа (отношение ожидаемого дохода к риску). Данная мера эффективности позволяет перейти от многокритериальной задачи к задачи оптимизации одного критерия, что может найти более широкое применение на практике.

Литература

1. ВИННИК А.А., ИРИКОВ В.А., ПАРФЕНОВА А.А. Подготовка и принятие решений по управлению финансовыми потоками бизнес-единиц. М.: ИПУ РАН, 1999. - 95 с.

2. ВИННИК А.А., ДРАНКО О.И., ИРИКОВ В.А. Движение оборотного капитала. Подготовка и принятие решений по управлению пассивами и активами. М.: ИПУ РАН, 1999. - 87 с.

3. СОКОЛОВ Д.Г. Параметрическое исследование реализации бизнес-процесса. Магистерская диссертация, МФТИ, 2000.

4. COCHRANE J.H. Asset pricing. Princeton: Princeton University Press, 2001, - 530 p.

5. COCHRANE J.H. The risk and return of venture capital. Working paper, University of Chicago, 2001.

6. FAMA E.F. Foundations of finance. Portfolio decisions and securities prices. New York: Basic Books, Inc., Publishers, 1976. - 389 p.

7. PESARAN M.H., TIMMERMANN A. Predictability of stock returns: robustness and economic significance // The Journal of Finance. Vol. 50. 1995. № 5. P. 1201 - 1228.