CC BY
137
УДК 636.03+512.581
БИОМАШСИСТЕМЫ, ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ И КАТЕГОРНАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ
B.И. Черноиванов, академик РАН ФНАЦ ВИМ
Е-mail: vichernoivanov@mail.ru
C.К. Судаков, член-корреспондент РАН, директор НИИ нормальной физиологии им. П.К. Анохина E-mail: nphys@nphys.ru
Г.К. Толоконников, кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник ФГБНУ ВНИИМЖ E-mail: gktolo@mail.ru
Аннотация. Работа посвящена проблеме создания систем управления машинами с повышенной автономностью. Исследования проводятся в рамках нейробионического подхода к биомашсистемам, являющимся важным типом функциональных систем по П.К. Анохину и общих систем по М. Месаровичу. Поставлены задачи явного включения биомашсистем в теорию функциональных систем на основе категорного подхода, на базе которого развивается теория биомашсистем и так называемая категорная теория систем. Изучаемые нейробионические модели основаны на моделировании нейронов и их связей в виде полистрелок, что позволяет по сравнению с обычным представлением нейронов объектами со стрелками в виде синаптических связей использовать многократно большие возможности высших поликатегорий. Приведены точные математические результаты моделей, касающиеся дуальности полиграфов, которые образуют нейроны и их связи, а также формализация системообразующего фактора П.К. Анохина в рамках категорной теории систем.
Ключевые слова: системы управления машинами, нейроны, искусственный интеллект, категории, поликатегории, сверточные поликатегории, исчисление гиперграфовых математических конструкций, решатель, функциональные системы, когнитом.
Современные проблемы сельскохозяйственного машиностроения, как и других машиностроительных отраслей, общеизвестны [1 и др.] и включают как одну из ключевых обостряющуюся ситуацию с фактической неспособностью операторов машин (комбайнеров и др.) оптимально управлять усложняющимися машинами и механизмами, а также автоматизированными производствами, в частности, «умными фермами» и им подобными комплексами в животноводстве. Традиционные подходы совершенствования техники становятся все менее эффективными, необходимы новые, причем, скорее всего, нестандартные шаги. Всевозможные санкции, известное на сегодня отставание отечественного производства наряду с обострением международной обстановки переводят указанную проблему во главу угла современной научно-технической политики,
фактически, как это следует из руководящих документов, в заказ президента, правительства и соответствующих ведомств Минсель-хоза и Минпромторга России отечественной науке и инженерному корпусу найти ответы и существенно продвинуться в решении указанных проблем.
Ключевая задача устранения известных негативных моментов в «человеческом факторе» эргатических систем состоит в резком повышении автономности интеллектуальных систем управления машинами, переносе профессиональных знаний и навыков квалифицированных операторов в систему управления машиной. Чем больше предметных знаний и навыков вложено в соответствующей форме в систему управления машиной, тем большую отдачу будет давать машина в реальном производстве. Повышение автономности, со своей стороны, также приведет
Машина
не только к резкому повышению производительности, но и уменьшению затрат, поскольку сократит расходы на ремонт и дона-стройку, которые возникают при неправильном или недостаточно квалифицированном обращении с машиной.
Внимание к проблематике взаимодействия человека и машины переросло в 60-е годы прошлого века в появление направления эргатических систем, или человеко-машинных систем. Термин «эргатическая система» впервые был принят в 1960 г. на Первом конгрессе Международной федерации по автоматическому управлению с целью обозначения систем, включающих человека, который функционирует в совокупности с комплексом технических средств. Позднее содержание данного понятия расширилось. Человеческий фактор важен во многих областях техники, в авиации и других областях, и первые сформировавшиеся представления об эргатиче-ских системах уже оформились в учебные курсы. В аграрной отрасли акцент был перенесен на учет наличия в системе агропроизводства не просто человека и машины, но и продуктивного животного, то есть, как ее принято называть, к системе «человек-машина-животное» [2].
В первую очередь это касается животноводческой отрасли, при этом включение в эргатическую систему целевого объекта «животное» - продуктивного животного, фактически приблизило понятие эргатической аграрной системы к понятию функциональной системы по П.К. Анохину.
Осознание кажущихся уже непреодолимыми в традиционных рамках указанных выше трудностей привело к обобщенному понятию эргатических систем [3], к треугольной триаде «человек-машина-живое» и далее
Человек
Живое
к биомашсистемам [4] и парадигме биомашсистем [5, 6].
В теории биомашсистем основной упор делается на изучение с дальнейшим использованием связей отдельных элементов, связей между связями и т.д., что выливается, с точки зрения математического моделирования биомашсистем, в распространение на биомашсистемы категорного подхода, известного в математике. Именно здесь, на уровне взаимодействия отдельных составляющих эргатических систем, были обнаружены значительные резервы и новые возможности для резкого увеличения производства продукции, в особенности, в животноводстве, как это уже неоднократно рассматривалось и обсуждалось [4, 5, 6].
Сигналы и воздействия среды на БМС
ОКРУЖАЮЩАЯ СРЕДА Обратная связь
БИОМАШСИСТЕМА
(БМС)
Снгналы
и воздействия Л БМС на среду
Формализованное моделирование систем управления, как правило, представляет собой тот или иной раздел искусственного интеллекта, конструктивной основой которого традиционно является наличие решателей, осуществляющих поиск вывода в пространстве состояний системы из начального состояния в целевое.
В теории био-машсистем применяются новые виды решателей, названные блоком Поста и биоблоком и основанные на новых методах нейробионики, теории поликатегорий, гиперграфовых конструкций и их исчислений. Существенным аспектом бионических моделей является гиперграфовая модель неокортекса млекопитающих [7] и, в последних исследованиях, нейрографовая модель сети живых нейронов, в которой предыдущая модель является подмоделью [6].
Биомашсистемы являются функциональными системами по П.К. Анохину, поскольку содержат системообразующий фактор как обязательный элемент. Возникает задача интеграции теории биомашсистем и теории общих функциональных систем по П.К. Анохину, результат может оказаться полезен для обеих теорий; с одной стороны, теория биомашсистем реально начнет использовать результаты, имеющиеся для функциональных систем, а с другой - в функциональных системах возникнет, в частности, вариант формализации, связанный с категорным подходом, используемым в биомашсистемах. Более того, включение биомаш-систем в теорию функциональных систем является тем важным развитием теории функциональных систем в других областях науки и техники, о котором говорил П.К. Анохин [8].
Включив в определение системы обязательное наличие системообразующего фактора, причем на основе многолетних экспериментальных нейробиологиче-
ских исследований, П.К. Анохин сделал значительный вклад в саму теорию систем, появившуюся как отдельное научное направление в работах Л. Берталанфи и М. Месарови-ча. В то время, когда М. Месаровичем была разработана математическая теория систем, включение системообразующего фактора в эту математическую теорию систем не было осуществлено. Эту формализацию удалось сделать в так называемой категорной теории систем, предложенной в [6]; эти результаты также приведены в данном докладе. Общая архитектура функциональной системы задается известной схемой, данной П.К. Анохиным (см. выше) и схемой (см. ниже), отражающей однотипную организацию различных функциональных систем [9].
Рис. Однотипная организация функциональных систем
Отметим, что обе схемы отражают наличие глубокой обратной связи (обратная аф-ферентация), позволяющей организму корректировать достижение запланированного результата.
Научное направление функциональных систем продолжили ученики и последователи П.К. Анохина, в т.ч. в рамках работы НИИ нормальной физиологии им. П.К. Анохина [9]. Среди значительных, ставших уже классическими, продвижений следует указать на мультипараметрический принцип взаимодействия функциональных систем, системное квантование физиологических процессов, в последнее время появился развиваемый К.В. Анохиным подход, названный «когнитомом», как продолжение теории функциональных систем [10].
Формализация и моделирование функциональной системы представляет весьма непростую задачу, тем не менее, появились успешные математические модели [11], однако остаются неразработанными вопросы взаимосвязей с системными подходами в искусственном интеллекте, с общей теорией систем и теперь уже с категорной теорией систем. Развитие биомашсистем как функциональных систем приводит к дальнейшему повышению эффективности их внедрения в производственный процесс, включая различные животноводческие автоматизированные комплексы. Для успешной реализации указанного внедрения необходимы дальнейшие теоретические исследования математических моделей нейронных сетей и категорное моделирование нейробиологических основ решателей в биомашсистемах как типа блока Поста, так и типа биоблока. Этим вопросам посвящена следующая часть настоящей работы.
Основные связи нейронов в мозге осуществляются с помощью синапсов между дендритами одного нейрона и аксоном другого, упомянем также соединения нейронов, когда аксон одного нейрона прикрепляется к соме другого нейрона. Отметим, что нейроны, как клетки, участвуют в множестве других видов связи, изучаемых в теории межклеточной коммуникации.
Таким образом, мозг и нервная система млекопитающего представляются в виде огромного направленного графа, если учесть что спайки (электрические сигналы между нейронами) распространяются от аксона к дендритам, и тем самым, синаптические связи являются стрелками указанного ориентированного графа. В теории категорий как раз изучаются графы с некоторыми специальными свойствами и моделирование мозга категорией с объектами в виде нейронов и стрелками в виде синаптических связей; можно сказать, идея, лежащая на поверхности. По-видимому, первая, помимо работы [7], попытка систематического изучения подобной модели мозга осуществлена в работе [12]. Однако, хотя теория категорий глубоко развита, она естественным образом не охватывает возможных соединений нейронов друг с другом (вместо стрелки здесь возникают мультистрелки, имеющие несколько входов и один выход, и полистрелки, сущности с многими входами и многими выходами). Первый случай в математике соответствует теории мультикатегорий, которая в настоящее время довольно глубоко и разносторонне разработана. Второй случай соответствует теории поликатегорий [13], систематическое изучение которой только начинается [14], так что для нужд моделирования мозга поликатегориями необходимые разделы приходится развивать своими силами, математическая часть статьи как раз относится к такому случаю.
Одним из краеугольных камней теории категорий является понятие дуальности или двойственности: если в категории заменить направление стрелок на противоположное, то получим снова категорию, так называемую дуальную или двойственную категорию. Для мультикатегорий такого типа дуальности нет (мультистрелка переходит не в мультистрелку, а в полистрелку при замене направлений).
В сверточных поликатегориях [6], обобщающих поликатегории Сабо [13], такой вид дуальности имеется, но кроме него в [6] открыт новый вид дуальности - дуальность «полистрелка-полиобъект», когда полистрел-
of VNIIMZH №2(26)-2017
35
ки меняются с полиобъектами местами. Подобную дуальность иллюстрирует приведенный ниже пример.
Пусть задан направленный граф, вершины перенумеруем и назовем полиобъектами. Тогда ребра будут обычными стрелками с соответствующими началами и концами. Стрелки будем обозначать, учитывая ин-
а
дексы начал и концов, через ->
полиграф
граф
е {1,..., к}, ц е Щ, q - номер ребра, соединяющего вершины (если ребро одно, то индекс q будем опускать). Теперь объявим новыми объектами полистрелок сами имеющиеся стрелки и построим новые полистрелки, «разламывая» очевидным образом с сохранением направлений «пополам» исходные стрелки а^. Пример неформально поясняет, что имеется в виду.
А Ж
Я4]
Л V
и V-
Полиграф и граф в рамках двойственности свёрточных поликатегорий являются дуальными или двойственными друг другу.
Предлагаемое моделирование нейронных сетей (нейроны рассматриваются как полистрелки, а не как объекты) с помощью поликатегорий многократно увеличивает возможности модели по сравнению с упоминавшимся моделированием с помощью категорий. В частности, указанный выше случай нейрона, аксон которого присоединяется непосредственно к соме другого нейрона, может представлять собой полистрелку, соединяющую другие нейроны, являющиеся полистрелками. Это позволяет использовать возможности высших поликатегорий и моделировать связи между связями в мозге и
других нейронных сетях. Безусловно, приведенные варианты взаимосвязей нейронов не исчерпывают возможности других способов соединений. Неформально поступая, можно говорить обо всех возможных сетевых образованиях нейронов, включая высшие полиграфы, как о нейрографе, введя в употребление этот новый термин.
Что может означать на нейробиологиче-ском эксперименте наличие дуальности «полистрелка-полиобъект»? Если мы имеем в наличии некоторый полиграф (или нейро-граф), образованный нейронами и их связями, то модель утверждает, что возможно существование двойственного нейрографа из нейронов, свойства которого заранее известны в том же объеме, в котором установлены
A>V~>V A ... Л _ - Л
к
Л (й ,,,-й „Л 5 (11 - А ,„Л... Л J ,,, -Ь А
fl Vi iWc|ir}-l Cc;f)
свойства исходного нейрографа. Здесь мы Свяжем с полиграфом р = Рф следую-затрагиваем смысл всякого моделирования - щую формулу ф(р) (истинную при интер-установив модель для объекта, мы, изучая претации для заданного полиграфа) (или используя уже известные) свойства модели, получаем свойства
объектаруемог° реального АС1(;,)=»1Л..АС.(р)=4,А.01(р)=Я,А-АВ.(р)=Ч.А
Перейдем к изложению результатов о дуальности «полистрелка-полиобъект» и других видов дуальности,
начав с введения языка [6]
„ АО-,П\- йт'ТГ] А -йтШ А ... А —Г/ ,. V . )).
сверточных поликатегорий.
Опираемся на обычную классическую Полистрелки есть полиграфы рг, кото-
математическую логику и теорию алгебраи- рым соответствуют формулы ^ (р),./=1,2,...,* ческих систем.
Язык теории свер-точных поликатегорий (с равенством) состоит из:
- букв полиграфов р,..., д,..., г,... (и они же с индексами);
- буквы 0;
- функциональных символов кообластей
def
и Р)=(V"'^ А ■ ■■А AV;1=V Л
ШАн( р) Л... Л = Л
Л р) = &циЛ... Л Cüh( р) = Daw (р) = ЯАмЛ... Л Dai.] (р)=ЯА-.]Л
АГ
AJC !»] — X j»i — X i.iA... Л X — X |«]Л
Й №' JJ: Й ii^-i ML '
Л Л'м=Га„Л л... Л Д.;,, = V,:.,).
■а J 1 _ у—J v
- функциональных символов n;
- функциональных символов областей Di;
- функциональных символов Mi;
ß - двуместных предикатов сверток (Sß(p,q)) с индексами в виде естественно упорядоченных наборов натуральных чисел; формулы строятся обычным образом в классическом первопорядковом исчислении предикатов с применением кванторов и связок; за логические аксиомы теорий с равенством возьмём для определенности вариант из книги Мендельсона (стр. 65 и 86) и правила вывода из классической логики, включающие модус поненс MP и обобщение Gen.
Введем определения
Пусть задана свертка = (аъ, ...,аи),
Р = (Р1, — ,Ру) и полиграф р, к которому она применима. Тогда свертке для этого р можно сопоставить следующую формулу
Свойства сверток формализованы в аксиомах.
Постулируем нелогические аксиомы, мы не будем стремиться к независимости или оптимальному выбору аксиом, больше обращая внимание на аксиоматизацию интуитивных представлений о предмете.
Если задана конъюнкция А нескольких формул и вторая конъюнкция В из некоторых из этих формул, то через А\В обозначаем конъюнкцию из тех формул первой конъюнкции, которых нет во второй.
В частности, область от области совпадает с областью (соответственно, кообласть от кообласти), при этом у каждой из областей и кообластей имеется совпадающая с ними всего одна область и, соответственно, одна кообласть.
Аксиома 2.
Свертки единственны, если они определены.
Аксиома 3.
Аксиома 4.
Свертки существуют тогда и только тогда, когда не пусты соответствующие области и кообласти исходного полиграфа. При этом, как для заданной свертки может иметься несколько полиграфов, на которых она определена, так и для заданного полиграфа может быть несколько выполнимых на нем сверток.
Как и в категориях, если заданная свертка возможна (имеются непустые области и ко-области полиграфа), то она считается выполненной.
Перед подстановкой в аксиому «слеш-операция» в 05 должна быть явно выполнена, ее выполнение является конструктивным, аксиома, как формула языка, строится эффективно.
Аксиома 5.
Для любых двух сверток с непересекающимися областями и кообластями выполняется
Неформально говоря, свертки с непересекающимися областями и кообластями ассоциативны, если определены.
В случае невыполнения аксиомы 5 получаем формальную систему неассоциативных сверточных поликатегорий.
На этом формулировка формальной теории сверточных поликатегорий закончена. Сверточные ассоциативные (соответственно, неассоциативные) поликатегории определяются как модели данной формальной теории.
Дуальный по объектам полиграф и сверточная поликатегория. Пусть дана модель М формальной системы сверточной поликатегории. Построим так называемые дуальные по объектам полиграф и сверточную поликатегорию МоЪ. Формулы, соответствующие полиграфам р ^ Д(р) = связаны следующим образом:
и так далее, другими словами р ^ Ц,С^ ^ ^ ^ П), Ш] ^ С] при применении Д.
Полистрелки полиграфа Д(р) определятся наборами равных а^ и Ь), если они имелись в исходном полиграфе.
Если задана свертка , то Ь ^ 8г,хг ^
°ъУ] ^ Р],а] ^У].
Определим дуальную свертку(Бд)р, как и в исходной с отсутствующими аир проекциями, именно, Щд = А(т]3), а остальные компоненты определим, потребовав коммутативности диаграммы
правильно построенную формулу этого языка, называемую дуальной к исходной. При этом формулы аксиом 1-5 переводятся данным преобразованием в тот же набор формул аксиом 1-5.
Объектом называется такая полистрелка, которая является одновременно областью и коообластью других полистрелок.
Теперь рассмотрим дуальность по полистрелкам.
Дуальный по полистрелкам полиграф и сверточная поликатегория.
Пусть дана модель М формальной системы сверточной поликатегории. Теперь построим в виде отображения V (аналог Д), так называемые дуальные по полистрелкам полиграф и сверточную поликатегорию Маг.
Формулы, соответствующие полиграфам р -> У(р) = д, связаны следующим образом:
Здесь ^ - унарная частичная операция, соответствующая предикату свертки.
Определение.
Пусть заданы формулы ¥, А, В языка сверточных поликатегорий. Преобразованием дуальности по полиобъектам, по определению, являются отображения формул и термов для каждой или отдельных предметных переменных р, удовлетворяющие
/ g - термы.
Следующая лемма подтверждает, в частности, корректность определения.
Лемма.
Преобразование дуальности по полиобъектам переводит правильно построенную формулу языка сверточных поликатегорий в
и так далее, другими словами р ^ q,Ct ^ Di, ut ^ Mt, Dj ^ Cj, Mj ^ Uj при применении V. Полистрелки полиграфа V(P) в качестве областей (кообластей) имеют кообласти (области) исходного полиграфа.
Если задана свертка Sp, то bt ^ 8i,xi ^ Oi,yj ^ pj,aj ^ Yj.
Определим дуальную свертку (Sv)p, как и в исходной с отсутствующими аир проекциями, именно - t^sv = V(tjs), а остальные компоненты определим, потребовав коммутативности диаграммы
Мы определили преобразование дуальности по полистрелкам на полиграфах, продолжим его на произвольную формулу языка и правила вывода для теории сверточных поликатегорий.
Определение.
Пусть заданы формулы ¥, А, В языка сверточных поликатегорий. Преобразованием дуальности по полистрелкам V:F ^ в по определению являются отображения формул и термов для каждой или отдельных предметных переменных р, удовлетворяющие
V V
ттЛя пЛ
л=Б^уи)=у(ПУ{/(£Ы))=У{/ХУЫ;>))),
У{МР{А,А^В)=В)=МР{У{А),У(А)^У{В))=У{В), У(Оеп(А)^хА)=веп(У(А))=УУ(х)У(А),
£ g - термы.
Следующая лемма, как и в случае дуальности по полиобъектам, подтверждает, в частности, корректность определения.
Лемма.
Преобразование дуальности по полистрелкам переводит правильно построенную формулу языка сверточных поликатегорий в правильно построенную формулу этого языка, называемую дуальной по полистрелкам к исходной. При этом формулы аксиом 1-5 переводятся данным преобразованием в тот же набор формул аксиом 1-5. По заданной правильно построенной фор-муле (ППФ) А языка сверточных поликатегорий мы можем построить дуальные по полиобъектам и по полистрелкам ППФ АоЬ и Ааг.
Теорема.
Пусть задана А, доказуемая (имеющая вывод из аксиом 1-5) ППФ в формальной теории сверточных поликатегорий. Тогда дуальная по полиобъектам формула АоЪ и дуальная по полистрелкам формула Ааг также доказуемы в этой теории.
Для теории категорий подобная теорема доказана Хетчером [15]. Стоит отметить, что дуальность по полиобъектам соответствует п ^ Б,ш ^ С, дуальность по полистрелкам соответствует п ^ ш,С ^ Б, но имеется также еще одна симметрия аксиом, соответствующая преобразованию Однако нового здесь не возникает, так как последнее преобразование получается применением первых двух.
На этом мы здесь остановимся в изучении сверточных поликатегорий, являющихся частным случаем нейрографов.
Приведенные определения и теоремы формализуют и дают, в частности, точное описание возможных дуальностей структур, которые могут образовывать нейроны в подобных обобщенных нейронных сетях. По крайней мере, видно, как выглядит строгое доказательство факта инвариантности сети нейронов, как полиграфа, при замене полиобъектов на полистрелки и наоборот. В результате можно поставить для экспериментальной проверки следующую задачу: пусть задан образованный нейронами, синапсами и т.п. полиграф, в котором часть нейронов играет роль полиобъектов, а часть нейронов играет роль полистрелок. Тогда существует (или можно построить) дуальный полиграф, в котором указанным нейронам соответствуют нейроны-полистрелки (соответственно, нейроны-полиобъекты), причем каждому свойству первоначального полиграфа соответствует явно сформулированное дуальное свойство дуального полиграфа.
Указанные и другие свойства нейронных сетей, основанные на наличии новых видов дуальности, играют важную роль в проектировании решателей систем управления в био-машсистемах как в иерархическом варианте модели неокортекса для блока Поста, так и при создании решателей типа биоблока.
Обсудим теперь предложенную в [6] ка-тегорную теорию систем - общий категор-ный подход к теории систем, биомашсистем и функциональных систем, в рамках которого, в частности, формализуется системообразующий фактор П.К. Анохина.
Теория систем по М. Месаровичу. Напомним сначала кратко основные определения теории систем [17, 18].
Определение. Пусть заданы два множества: множество X входов и множество Y выходов. Тогда системой S, или системой по Месаровичу, называется отношение на декартовом произведении S £ X X Y. Как и в [17, 18], будем использовать функциональные обозначения S\X —» Y. Если задана совокупность S систем Si, причем индексное множество < частично упорядочено, тогда пара (S, <) называется иерархией систем. Выделяется три вида иерархии систем: стратификация, слои и эшелоны.
Стратификация. Если X = X1 X ... X Xn и Y= Y1 X .X Yn, то i-й стратой системы S называется система Si :
Sn: Xn X Wn ^ Yn;
Si:XiXLiXWi^Yul<i<n;
S1:X1 XL± ^ Y1, имеются сюръекции hi\Yi ^ Wi+ъ Ci\Yi ^ Li-1, такие, что
Уп = Sn(xn, hn-1(yn-1));
yi = Si(xi,Ci+1(yi+1),hi-1(yi-1));
У1 = S1(x1,C2(y2)). Li,Wi~ множества стимулов, hi - информационная функция i-й страты, распределительная функция i-й страты.
Система S в этом случае называется стратифицированной системой.
Слои. Если система S может быть представлена подсистемами Si\Mi ^ Mi-1, то эти подсистемы называются слоями системы S.
Эшелоны. В иерархии, составленной из упорядоченных по номерам 1, 2, 3 ,..., n страт или слоев, на каждом уровне i Е {1,2,3, ...,n} находится по одной подсистеме, в случае эшелонной иерархии на каждом уровне может присутствовать по несколько подсистем. В этом случае уже нет строго порядка на множестве индексов I. В соответствии с упорядоченностью в I имеем следующие эшелоны J(1\ ... ,J(k\ ..., на которые разбивается исходная система:
= {SiU Е мл -набор минимальных элементов в I; ... ; ](k) ={SiliE Ik], Ik -
набор минимальных элементов в I — { 1г и .и1к-1}ит.д.
Определение закончено. Ниже приводится категорное обобщение понятия систем и их иерархий по М. Месаровичу.
Системообразующий фактор по П.К. Анохину и категорная теория систем.
Основная идея П.К. Анохина, достраивающая теорию систем, состоит в том, что по совокупности систем из них может быть собрана новая система только при наличии системообразующего фактора, имеющего двойственную природу. С одной стороны, фиксируется результат (цель и т.п.) для составной системы, с другой стороны, имеется некоторый «оператор», меняющий соответствующим образом каждую из систем, которые станут в результирующей системе подсистемами. В категорной реализации набор подсистем ...,5П} суть некоторый полиграф, представляющий собой сверточную предпо-ликатегорию, а системообразующий фактор суть пара Р = (Р, °р), где F - эндофунктор в категории полиграфов, а °р является сверткой, соответствующей фактору Р. В частности, иерархии по Месаровичу переходят в соответствующие свертки преобразованных функтором подсистем исходной системы, на чем остановимся после введения поликатегорий. Перейдем к применению сверточных поликатегорий к теории систем.
Определение. Пусть задана сверточная предполикатегория как набор полиграфов (полистрелок и др.) и применяемых к ним сверток. Тогда всякий полиграф называется категорной системой или просто системой. Система называется составной, если она представима в виде сверток других систем, называемых подсистемами исходной системы. Если систему нельзя представить в виде свертки других систем, то она называется простой системой.
Теорема. Всякая система по Месаровичу является категорной системой с пустым набором сверток.
Системы, которые М. Месарович представляет в виде иерархии систем (стратифицированные, послойные и эшелонные), в ка-тегорном исполнении представляются в виде
соответствующих сверток подсистем.
На рисунке изображена часть из трех слоев иерархии по слоям. Стратифицированные и эшелонные системы по Месаровичу представляются категорными системами аналогично [6] с учетом нескольких входов и выходов.
Г» 1
Процедуру соединения систем в качестве подсистем составной системы М. Месаро-вич, по-существу, не обсуждает, смотрит на составные системы как на данные, можно сказать, не рассматривает динамику реорганизации систем в новые системы в зависимости от изменяющейся внешней и внутренней ситуации. Объективная критика в этом отношении проведена в известных работах П.К. Анохина, обосновавших необходимость введения системообразующего фактора, но не дававших формализации этого понятия. Системообразующий фактор находит естественную модель в категорных системах.
Определение. Пусть задана совокупность систем (5а, а Е /}, I - индексное множество, эндофунктор F в категории систем и свертка Д. Тогда, если свертка применима к совокупности преобразованных систем [FSa, а Е /}, то пара (F, Д) называется системообразующим фактором составной системы S =
Д({га«}).
Итак, каждая система имеет набор подсистем и связанный с ней функтор и свертку. Отдельный нейрон является системой, что, в частности, соответствует моделям А.А. Жданова [18]. Теперь можно задать математически строго поставленный вопрос: поскольку каждый нейрон мозга является системой и в мозге осуществлены связи нейронов, моде-
лируемые свертками, то каков системообразующий фактор мозга как системы, при этом охватывающий также и ментальные потоки по [10]?
С помощью формализма сверточных поликатегорий, как показано выше, удается дать обобщение теории систем с включением и формальным описанием системообразуще-го фактора по П.К. Анохину. Нейрон является системой в категорном смысле, различные соединения нейронов моделируются свертками поликатегории, а системообразующий фактор преобразует с помощью эндофункто-ра набор исходных систем, применяет к преобразованным системам соответствующую свертку, превращая их в подсистемы вновь образованной составной системы. В частности, такой системой, уже в строго математическом смысле, является мозг млекопитающих и человека.
Дано категорное определение системы, далеко обобщающее известное определение систем по М. Месаровичу. Даны определения и основные свойства сверточных поликатегорий, сформулированные в виде теорем, в частности, описывающие новые виды дуальности и принцип двойственности для сверточных поликатегорий, являющийся аналогом принципа двойственности для теории категорий, доказанного Хетчером в [14].
В рамках категорных систем даны описания стратификации, слоев и эшелонов, а также системообразующего фактора П.К. Анохина. В ближайшие планы входит установление математических взаимосвязей систем, функциональных систем и биомашсистем на категорном уровне.
Отметим в заключение, что основные идеи, изложенные здесь, докладывались (двумя из соавторов) 16 февраля 2017 года на расширенном Ученом Совете НИИ нормальной физиологии им. П.К. Анохина, куда переданы текст доклада и математическое обоснование результатов. Учитывая это, можно увидеть уже состоявшееся развитие этих идей в настоящем докладе. Стоит и в дальнейшем приветствовать научное взаимодействие наших институтов.
Литература:
1. Черноиванов В.И., Ежевский А.А., Федоренко В.Ф. Интеллектуальная с.-х. техника. М., 2014. 124 с.
2. Повышение надежности системы человек-машина-животное / Карташов Л.П. и др. Екатеринбург, 2000.
3. Черноиванов В.И. Ресурсосбережение и машины с элементами человеческого интеллекта - ответ на кризисные вызовы современности и будущего // Прикл. матем., квант. теория и программ. 2013. Т.10, №3.
4. Бионический подход к решению проблемы автономности систем управления животноводческих производств // Вестник ВНИИМЖ. 2015. №3. С. 76-91.
5. Парадигма биомашсистем / Черноиванов В.И. и др. // Вестник ВНИИМЖ. 2016. №2(22). С. 56-61.
6. Черноиванов В.И. Биомашсистемы. Т. 1,2. М., 2016.
7. Толоконников Г.К. Вычислимые и невычислимые физические теории по Р. Пенроузу // Прикл. матем., квант. теория и программ. 2012. Т. 9, №4.
8. Анохин П.К. Принципиальные вопросы общей теории функциональных систем // Принципы системной организации функций. М., 1973. С. 5-61.
9. Судаков К.В. Общая теория функциональных систем. М., 1984. 224 с.
10. Анохин К.В. Когнитом: в поисках общей теории когнитивной науки // Тр. 6-й межд. конф. 2014. С. 26.
11. Улучшенный алгоритм семантического вероятно -стного вывода в задаче 2-мерного анимата / Мухортов В.В. и др. // Нейроинформатика. 2012. Т. 6, №1.
12. Ramírez J.G. A New Foundation for Representation in Cognitive and Brain Science. Springer. 2014. Vol. 7.
13. Szabo M. Polycategories // Com. Algebra. 1975. №3.
14. Garner R. Polycategories via pseudodistributive laws // Advances in Mathematics. 2008. №218. Р. 781-827.
15. The logical foundations of mathematics. L., 1982.
16. Месарович М., Мако Д., Такахара И. Теория иерархических многоуровневых систем. М., 1973.
17. Месарович М. Общая теория систем. М., 1978.
18. Автономный искусственный интеллект. М., 2012.
Literatura:
1. CHernoivanov V.I., Ezhevskij A.A., Fedorenko V.F. In-tellektual'naya s.-h. tekhnika. M., 2014. 124 s.
2. Povyshenie nadezhnosti sistemy chelovek-mashina-zhi-votnoe / Kartashov L.P. I dr. Ekaterinburg, 2000.
3. CHernoivanov V.I. Resursosberezhenie i mashiny s ehlementami chelovecheskogo intellekta - otvet na kri-zisnye vyzovy sovremennosti i budushchego // Prikl. ma-tem., kvant. teoriya i programm. 2013. T.10, №3.
4. Bionicheskij podhod k resheniyu problemy avtonom-nosti sistem upravleniya zhivotnovodcheskih proizvodstv // Vestnik VNIIMZH. 2015. №3. S. 76-91.
5. Paradigma biomashsistem / CHernoivanov V.I. I dr. // Vestnik VNIIMZH. 2016. №2(22). S. 56-61.
6. CHernoivanov V.I. Biomashsistemy. T. 1,2. M., 2016.
7. Tolokonnikov G.K. Vychislimye i nevychislimye fizi-cheskie teorii po R. Penrouzu // Prikl. matem., kvant. teoriya i programm. 2012. T. 9, №4.
8. Anohin P.K. Principial'nye voprosy obshchej teorii fun-kcional'nyh sistem // Principy sistemnoj organizacii funkcij. M., 1973. S. 5-61.
9. Sudakov K.V. Obshchaya teoriya funkcional'nyh sistem. M., 1984. 224 s.
10. Anohin K. V. Kognitom: v poiskah obshchej teorii kog-nitivnoj nauki // Tr. 6-j mezhd. konf. 2014. S. 26.
11. Uluchshennyj algoritm semanticheskogo veroyatnost-nogo vyvoda v zadache 2-mernogo animate / Muhortov V.V. I dr. // Nejroinformatika. 2012. T. 6, №1.
12. Ramirez J. G. A New Foundation for Representation in Cognitive and Brain Science. Springer. 2014. Vol. 7.
13. SzaboM. Polycategories // Com. Algebra. 1975. №3.
14. Garner R. Polycategories via pseudodistributive laws // Advances in Mathematics. 2008. №218. R. 781-827.
15. The logical foundations of mathematics. L., 1982.
16. Mesarovich M., Mako D., Takahara I. Teoriya ierar-hicheskih mnogourovnevyh sistem. M., 1973.
17. Mesarovich M. Obshchaya teoriya sistem. M., 1978.
18. Avtonomnyj iskusstvennyj intellekt. M., 2012.
THE BIOMACHSYDTEMS, FUNCTIONAL SYSTEMS AND CATEGORICAL THEORY OF SYSTEMS V.I. Chernoivanov, RAS academician FNAZ VIM
S.K. Sudakov, RAS corresponding member, director NII of normal physiology after P.K. Anokhin
G.K. Tolokonnikov, candidate of physico-mathematical sciences, leading research worker FGBNY VNIIMJ
Abstract. The work is devoted to the high autonomy machines control systems creation. Research is conducted in the framework of neuron-bionic approach to biomach systems, which are an important type of functional systems of P.K. Anokhin and common systems of M. Mesarovich. There was set the tasks of biomach systems explicit inclusion in the theory of functional systems based on the categorical approach, on its ground are developing the biomach systems theory and the so-called categorical theory of systems. Studied neurobinical models are based on neurons modeling and its connections in the poly arrows form that allows in comparison with the neurons' usual representation like the multiple synaptic connections form that gives large opportunities of more large opportunities of high poly categories. The precise mathematical results of models concerning the duality of polygraphs, that have made the neurons and its connections, as well as formalizing of P.K. Anokhin system-forming factor in the framework ofcate-gorial theory of systems are given.
Keywords: systems of machines' control, neurons, artificial intelligence, categories, poly category, convolution poly categories, calculating of hypergraphic mathematical structures, solver, functional systems, cognitome.
