Биномиальная байесовская модель бескупонной облигации Текст научной статьи по специальности «Математика»

Прикладная эконометрика, 2016, т. 42, с. 100-120. Applied Econometrics, 2016, v. 42, pp. 100-120.

Р. О. Богомолов, В. М. Хаметов1

Биномиальная байесовская модель бескупонной облигации

Статья посвящена построению стохастической однофакторной модели, описывающей эволюцию стоимости бескупонной облигации в дискретном времени. В качестве базовой последовательности использовано несимметричное геометрическое случайное блуждание. Показано, что такая последовательность является марковской при условии наблюдения не только предыдущих значений блуждания, но и его состояния в последний момент времени. Для этого случая выведены формулы переходной вероятности за один шаг, условного среднего и дисперсии. На основе этих фактов построена стохастическая модель бескупонной облигации, для которой найден явный вид ее волатильности, риск-нейтральной стоимости, временной структуры процентных ставок. Приведены результаты имитационного моделирования, которые показали хорошее совпадение с реальными данными.

Ключевые слова: модель бескупонной облигации; геометрическое случайное блуждание; процентная ставка; доходность; калибровка модели. JEL classification: C1; C5; C6.

1. введение и обзор литературы

Статья посвящена построению однофакторной стохастической модели в дискретном времени, описывающей эволюцию стоимости бескупонной облигации. Потребность в моделях ценообразования облигаций существует у трейдеров, хеджеров, риск-менеджеров, поскольку они позволяют:

а) установить явный вид кривой доходности облигации;

б) понять временную структуру процентных ставок;

в) осуществить прогноз будущих значений цен облигации.

Описанию различных однофакторных эволюционных моделей бескупонных безотзывных облигаций посвящено много работ, см., например, (Халл, 2008; Бьорк, 2010; Панджер и др., 2005; Ширяев, 1998; Black et al., 1990; Heath et al., 1992; Ho, Lee, 1986; Andersen, Piterbarg, 2010). В них в основном рассматриваются непрерывные модели процентных ставок, описываемые стохастическими уравнениями Ито (Ширяев, 1998). В этой теории предполагается, что текущая стоимость бескупонной облигации является заданной функцией, зависящей от текущего момента времени, процентной ставки и момента погашения. В предположении гладкости этой функции доказывается, что стоимость облигации удовлетворяет обратному

1 Богомолов Ростислав Олегович — ЦЭМИ РАН, Москва; [email protected].

Хаметов Владимир Минирович — НИУ ВШЭ, Москва; [email protected].

уравнению Колмогорова (Бьорк, 2010). При этом установлено, что если коэффициенты сноса g и диффузии в уравнении Колмогорова являются линейными функциями процентной став- § ки, а граничное условие — экспоненциальной функцией процентной ставки, то в каждый * момент времени логарифм стоимости облигации является линейной функцией процентной ^ ставки. Из этой конструкции следуют модели Васичека, Кокса-Ингерсолла-Росса, Хо-Ли, о" Халла-Уайта и ряда других (Ширяев, 1998). Современное описание непрерывных марков- § ских моделей бескупонных облигаций можно найти в (Andersen, Piterbarg, 2010). Основным ¡J недостатком этих моделей является то, что для их описания требуется априорное знание ^ рыночной цены риска (Бьорк, 2010). Я

Известны и другие подходы к описанию бескупонных облигаций. Так, в (Heath et al., 1992) с помощью бесконечномерных стохастических уравнений Ито предлагается описывать эволюцию форвардной процентной ставки. Эта модель получила название HJM-модель. В работе (Dong et al., 2016) рассматривается модель корпоративной бескупонной облигации в непрерывном времени. В ней предполагается, что эволюция стоимости фирмы описывается геометрическим процессом Леви, а моментом дефолта фирмы является момент первого достижения этим процессом нуля. Стоимость корпоративной бескупонной облигации фирмы определяется как взвешенная сумма ожидаемой вероятности ее дефолта и ожидаемой рыночной стоимости до момента дефолта. В работе показано, что при некоторых предположениях задача нахождения ожидаемого значения стоимости бескупонной облигации фирмы сводится к решению интегро-дифференциального уравнения второго порядка, приведены примеры численного решения этого уравнения и экономическая интерпретация.

Известно, что практическое использование моделей, описываемых стохастическими уравнениями Ито, затруднительно. Поэтому, как правило, применяется дискретная аппроксимация, которая превращает их в модели случайного блуждания (Ширяев, 1998).

В случае дискретного времени однофакторные марковские модели бескупонных облигаций подробно описаны в (Халл, 2008; Панджер и др., 2005) и других работах. Обычно эти модели подразделяют на биномиальные и гауссовские (условно-гауссовские). К биномиальным относят модели Хо-Ли, Блэка-Дормана-Тоя и ряд других (Панджер и др., 2005). Как и в случае непрерывного времени, в качестве базовой последовательности используют согласованную марковскую случайную последовательность, описывающую эволюцию процентных ставок (Панджер и др., 2005). При этом оказывается необходимым введение дополнительного эвристического рекуррентного соотношения, обеспечивающего выполнение условия погашения облигации. Следует также отметить, что процедура калибровки таких моделей, как правило, является сложной задачей, см. (Панджер и др., 2005, §§ 7.6-7.7).

Гауссовские модели (Халл, 2008), например, Васичека, Халла-Уайта и ряд других, имеют простое описание и допускают простую калибровку. Основным их недостатком является то, что доходность в таких моделях может принимать отрицательные значения с положительной вероятностью.

Отметим работу (Muzik, 2013), в которой строится многомерная регрессионная модель для бескупонных облигаций фиксированного дохода на примере бондов, обращающихся на австралийском финансовом рынке. В ней большое внимание уделяется экономической интерпретации полученных результатов.

Результаты работ (Халл, 2008; Бьорк, 2010; Панджер и др., 2005; Ширяев, 1998; Black et al., 1990; Heath et al.,1992; Ho, Lee, 1986; Andersen, Piterbarg, 2010) позволяют сформулировать

основные требования, предъявляемые к описанию стохастических моделей бескупонных облигаций: 1) простота, 2) высокая точность, 3) неотрицательность и убывание доходности по времени, 4) простая калибровка.

Перейдем к краткому изложению предлагаемого в статье подхода к построению в дискретном времени эволюционной модели стоимости бескупонной облигации. В каждый момент времени у облигации доступно наблюдению не только текущее значение ее стоимости, но и номинал (Халл, 2008). Для описания динамики ценообразования бескупонной облигации в качестве базовой последовательности было выбрано геометрическое несимметричное случайное блуждание (Ширяев, 1980; Спицер, 1969). Для такой последовательности с помощью формулы Байеса можно вычислить условное распределение будущих значений стоимости при условии, что наблюдались ее текущее и финальное состояния. Это замечание позволило построить простую модель, описывающую эволюцию стоимости бескупонной облигации, найти ее риск-нейтральную стоимость, волатильность, а также установить временную структуру процентных ставок.

Под моделью бескупонной облигации далее будем понимать последовательность случайных величин ^, 0 < t < N}, у которой заданы начальное и финальное состояния = а,

= А, 0 < а < А, обладающую следующими свойствами:

1) существует дисконтирующая последовательность, относительно которой у модели отсутствует арбитражная возможность (Ширяев, 1998);

2) доходность является неотрицательной убывающей последовательностью;

3) существуют процедуры, позволяющие оценить волатильность модели и провести ее калибровку.

В качестве базовой модели в данной работе рассматривается последовательность положительных случайных величин ^, 0 < t < N}, удовлетворяющих рекуррентному соотношению S0 = а, St+1 = StЛ м, где , 0 < t < N -1} — последовательность независимых случайных величин, принимающих два значения {0,1} с положительными вероятностями, а Л > 1 — параметр (шаг решетки). В статье найден явный вид условных вероятностей Р (St+1 = , SN ), который позволяет описать механизмы ценообразования бескупонной облигации (раздел 2). В третьем разделе устанавливаются условия отсутствия арбитража у этой модели. Четвертый раздел посвящен нахождению волатильности модели. Одним из важных этапов в построении модели является ее калибровка, которая в данном случае сводится к задаче выбора шага решетки, и в разделе 5 предложен способ ее выполнения (см. формулу (21)). Шестой раздел посвящен исследованию временной структуры процентных ставок бескупонной облигации. Здесь получен явный вид доходности, ее свойства неотрицательности и невозрастания, а также явные формулы для форвардной и мгновенной форвардной процентных ставок.

В работе также обсуждается проблема практической реализации полученных результатов. В седьмом разделе дается описание имитационной модели. В нем сформулированы условия применимости имитационной модели и описание процедуры прогнозирования. В разделе 8 приведены результаты имитационного моделирования, показавшие хорошее совпадение теоретических результатов с реальными данными.

Наконец, в Приложениях 1 и 2 излагаются некоторые свойства однородных марковских цепей, используемые при моделировании облигаций, а также приводятся доказательства сформулированных в статье теорем и утверждений.

2. Описание модели бескупонной облигации

Пусть на вероятностном пространстве (О, F, P ) задана последовательность независимых бернуллиевских случайных величин , 1 < t < N}, принимающих значения {0,1} с вероятностями q и p = 1 - q соответственно. Пусть ^, 0 < t < N} удовлетворяет рекуррентно- о* му соотношению ¡3

^ = Л, ^с > 0, (1) °

со

где Л > 1 — шаг решетки. Известно (Спицер, 1969), что (1) описывает несимметричное случайное блуждание, а последовательность ^, 0 < t < N} является марковской. Если Л > 1, то она является неубывающей, т. е. > , где 0 < t < t + т < N . Основываясь на рекуррентном соотношении (1), будем строить вероятностную модель бескупонной облигации.

Важную роль в наших построениях будет играть следующее утверждение.

Теорема 1. Для любых t <т < N справедливо следующее равенство:

Р(= х^,...,«,^) = Р(= х^,SN), (2)

а условная вероятность Р (Бг= х|£т-1, ) допускает представление

о

CL

P (5 = х^, 5„) =

0, если |logA х - kg 5T-1 > 1,

log д5N - logA-i

1 -

N-т + i

log д5N - logA I

N-т + i

если х = 5,

если х = 5т-1Д,

(3)

причем при т = N Р (= х| , ) = 3(х, )2.

Доказательство этого утверждения приведено в Приложении 2.

Соотношение (2) устанавливает следующее свойство геометрического случайного блуждания. Условная вероятность события {^т = х}, где t < т < N, если наблюдались ,..., , SN, не зависит от наблюдений «0,..., , что «напоминает» марковское свойство (Ширяев, 1998).

Из (3) выводится вид условной вероятности Р +1 = , SN ) .

Следствие 1. Для любых 1 < t < N -1 условная вероятность Р (дм = , SN ) имеет представление

P (5t+i = *|5,, 5n ) =

1 - to^5N - lo^5t, если к = 0,

N -1

log д5N - log X5t

(4)

N -1

если к = 1,

причем при т = N -1 P 5 = к| 5n-i , 5n ) = 5(к,logд 5n - logд 5n_x ).

Здесь и далее 5(х, у) — функция Кронекера, принимающая значение 1 при х = у и 0 иначе.

2

Из утверждения следствия 1 следует, что

ЕР (¿,+1 = к^, SN ) = Р (б = к) = {9, еСЛи к = 0,

[ р, если к = 1.

Действительно, из (4) имеем

ЕР (¿,+1 = 1| St, SN) = Е'°ёл SN - '°ё ^ = Е У б, = — У Еб, = р.

Полное описание свойств случайной последовательности (1) дают их условные распределения вероятностей. Утверждения теоремы 1 и следствия 1 позволяют вывести соотношения, описывающие их эволюцию. Обозначим пт, (х|а, А) = Р (Sт = = а, SN = А).

Основываясь на теореме 1 (равенство (3)), приведем рекуррентное соотношение, а также начальное и граничное условия, которым удовлетворяет пт( (х|а, А).

Теорема 2. пт( (х|а, А) удовлетворяет рекуррентному соотношению

( I с /с "Л

м л\ ( 3-м sn/st) , ( i j, lo§nsn!st)

( x\a, A) = ( xN a A)-N-t + n,t ( xlа, --N-t

при t +1 <t< N -1, (5)

начальному условию (при т =,)

п (х|а, а) = б(х,а) (6)

и граничному условию (при т = N)

Пт (х|а, А)| д = б(х, А). (7)

4 1 '\т=N

Доказательство теоремы 2 содержится в Приложении 2.

Таким образом, если последовательность , 0 <, < N} удовлетворяет рекуррентному соотношению St+1 = StЛ¿t+1, S0 > 0, SN = А , где независимы и принимают два значения {0,1}, то условные вероятности Р (б,+1 = , SN = А) имеют следующее представление: для любых , е {0,...,N -1}

Р (б,+1 = 1, А) = 10ё4-°^ = 1 - Р (б,+1= 0| 3,, А)

и Р = к|«„_1, А) = б(к ,1свл(А«»-1)). (8)

Обратим внимание, что условные распределения Р (б,+1 = k\St, SN ) зависят только от шага решетки и значений стоимости облигации в текущий и финальный моменты времени, и не зависят от безусловных вероятностей Р (б,+1 = к).

Представление (8) будет играть основную роль в дальнейших построениях и выводах (в рамках данной статьи). Примем теперь следующее определение.

Определение. Последовательность , 0<, < N}, имеющую представление (8), будем далее называть моделью бескупонной облигации.

Свойства этой модели устанавливаются ниже.

3. Условия отсутствия арбитража модели бескупонной облигации

Bo - I Bt+i - Bt

)logzSN - log,.У, +1 V ' N -1

(9)

So Bo1 = So, St+i Bt+i = StBtl

l°g,SN - l°g,S' + 1

V ' N -'

(10)

В этом разделе для модели бескупонной облигации будут установлены условия отсут- *

со

ствия арбитража.

Определение. Положительная случайная последовательность (Вг, 0 < t < N} называет- о" ся дисконтирующей для последовательности ^, 0 < t < N}, если для любого 0 < t < N -1: §

о

а) Вм определяется только значениями S0,...,,SN; (3

б) е (^д—!) So,..., St, sN ) = ад-1. °

Предложение 1. Пусть последовательность (В(, 0 < t < N} удовлетворяет рекуррентному соотношению

Тогда она является дисконтирующей для модели бескупонной облигации А}. Кроме того, последовательность , 0 < t < N1 удовлетворяет рекуррентному соотношению

Доказательство этого утверждения содержится в Приложении 2.

Будем говорить, что у неотрицательной случайной последовательности ^, 0 < t < N}, где gt является функцией от St и SN, причем g0 = 0, имеется арбитражная возможность

при наблюдениях (St, SN ), если Р (gt, > 0 St, SN )> 0 (Р-п.н.) для некоторого ¿'е(1,..., N -1}.

Установим теперь, что у дисконтированной последовательности (ЗД-1,0< г < N} отсутствует арбитражная возможность.

Теорема 3. Пусть ^ ,0 < t < N} есть модель бескупонной облигации. Тогда у дисконтированной последовательности (10) арбитражная возможность отсутствует.

Доказательство этого утверждения содержится в Приложении 2.

Утверждение теоремы 3 позволяет говорить о риск-нейтральной стоимости бескупонной облигации.

Если выполнены условия теоремы 3, то для любых t,т <е (0,..., N -1}, t <т, справедливо равенство

stв;l = е ^, Sn). (11)

Если St удовлетворяет соотношению (11), его называют риск-нейтральной стоимостью бескупонной облигации в момент времени t е (0,...,N — 1} (Ширяев, 1998).

Формула (11) интересна тем, что значение дисконтированной стоимости бескупонной облигации в момент времени t совпадает с ожидаемым значением дисконтированной стоимости облигации в любой момент времени т > t при условии, что в момент времени t наблюдаются ее стоимость, а также финальная стоимость (номинал).

4. волатильность модели бескупонной облигации

Пусть } — модель бескупонной облигации. Тогда, очевидно, последовательность {1п St, 0 <, < N} имеет следующее представление:

1п St+l =1п St +б,+11п Л, Р (б,+1 = 1 St ,1п SN)= 1ПЛ = 1 - Р (б,+1 = 0| St, SN), 1 <, < N -1, (12)

Р б = к^N-1, SN ) = б(к ,(1п Л)-11п( SN-1)).

Пусть , 0 <, < N} удовлетворяет рекуррентному соотношению

1п S»г - 1п St

= dt exp I ln N

N -1

= 1.

(13)

Рассмотрим последовательность {1п (Stdt 1), 0 <, < N} . Из (13) следует, что для любого 0 <, < N -1 она удовлетворяет соотношению

гДе 8М = St+1 -

ln (St+id-i) = ln (Std-) + St+i ln N, ln (S0d0-1) = ln S0, ln S,r - ln St

(14)

N -1

Из следствия 1 имеем

E (4i| St, Sn ) = 0, 0 < t < N -1.

Поэтому из (14) следует, что для любого 0 <, < N -1

Е

(15)

(16)

1П ( St+1ё-1 )| ^, SN \ = 1П ( ^ ^ ) .

Теперь можно найти значение волатильности последовательности {1п (Std—), 0 <, < ^ , обозначаемой у°1, (1п (St)). Для этого сначала надо найти условную дисперсию Бм (б) случайной величины {б,+1} при условии, что наблюдали (St, SN ) . В силу (15) и следствия 1 имеем

Dt+1 (С) = E (4+11 St, Sn ) = E

/ \2 - ln SN - ln St

, 1

(N -1) ln N

St, SN

= E

2 - 2 с ln SN ln St

t+1 t+1

(N -1) ln N ^ (N -1) ln N

ln SN - ln St

St, SN

= E

С+1 -

(ln SN - ln St Л (N -1) ln N

St, SN

ln SN - ln St

1 ln SN - ln St

D

/ 4 - / 4 • (!7)

(N -,) 1п Л^ (N -,) 1п Л J

Из (12) следует, что условная дисперсия случайной величины 1п (St+1dt-11) , обозначаемая (1п (Sd -)) , в силу (14) и (17) имеет вид

D

(ln (Sd-1 )) = E j[ln (S' ^)-E (ln (S'+id-i )| S', Sn )'

2 ] Г/ ~ \2 -

St, SN | E (4+i ln X) St, SN

/ ~ \2

(4 +i ) St,SN

= ( 1П l)21" SN - 1П S'

ln SN - ln St^

j

(N - ^ 1п (N - ^ 1п 1

Из определения волатильности (Ширяев, 1980; Халл, 2008), (17) и (18) следует, что

volt +i (ln (Sd-i )):

1

Dt+i (ln (Sd-i))

= ln X.

Dt +4

(19)

<u §

£ §

03

(0 О

is §

e

о щ

О a

Следовательно, волатильность последовательности (1п (Sí+1dí;11)} не случайна и не зависит от t е{0,..., N -1}.

Аналогичным образом легко установить, что волатильность последовательности (1п St ,0 < t < N} также равна 1п Л.

5. Калибровка модели бескупонной облигации

У рассматриваемой модели облигации имеется всего один параметр 1 — шаг решетки, который необходимо оценить. Поэтому калибровка модели эквивалентна выбору шага решетки 1. Отметим, что наблюдению доступна двухкомпонентная последовательность

((, SN ), 0 < t < N}, а поскольку значение 1 неизвестно, то последовательность (^, 1 < t < N}

недоступна наблюдению. Так как Л > 1, то для любого í е (1,...,N} имеем равенства:

8 = 1(8, > 0} = 1 ((1п Л)-11п (SJ$-1) > о} = 1 (1п £ > 1п }3.

Обозначим

Р N =

i N 1 N л л

NN ^ = N S ^>ln -i}.

(20)

N1=1 ' N1=1

Значение рм может быть вычислено по результатам наблюдений ,...,S)N . Поскольку

Ы

для модели облигации 1п (SN ) = (1п Л) ^ 6 = 1п Л, отсюда незамедлительно следует,

/=1

что оценка параметра Л , обозначаемая Л0 , имеет вид

Л =( SnI So )

v (np n )

(21)

3 Здесь и далее 1{С} — индикаторная функция множества С.

6. временная структура процентных ставок

Сначала для модели бескупонной облигации вычислим доходность к погашению. Известно (Панджер и др., 2005; Халл, 2008), что для любого , е{0,...,Щ доходность бескупонной облигации к погашению в момент времени ,, обозначаемая Y (,, N) , является решением уравнения

= & N (1 + Y (,, (22)

Из (22) и структуры модели следует, что Y (,, N) имеет вид

Y (,, N) = (S^St )1/(^ -1 = ехр ( ^ У б )-1. (23)

Из (23) следует, что доходность к погашению является неотрицательной случайной последовательностью, а при каждом т — невозрастающей функцией времени, т. е. Y (г, N )> Y (г +1, N).

Выведем соотношение, которому удовлетворяет Y (,, N) . Из (22) следует равенство

St+1_ (1+Y k n))n

St (1 + Y ^ +1, N )) которое можно переписать в виде

Лб+1 = (1 + Y (,, N (1 + Y (, +1, N )У+"N.

Отсюда следует рекуррентное соотношение:

Y ('+1, ^N)=[(1+Y (,, щл ^ -1, 1 <, < N,

(1 + Y (,, N)) 1Л ^ " \ (24)

Y ( 0, N ) = 1.

Из (24) немедленно следует, что:

1) 0 < Y (, +1, N)< Y (,, N) для любого 0 <, < N -1;

2) ^ (^ N) = ( ^ )VN -1;

3) шип Y(,,N) = Y(N,N) = 0.

Теперь для модели бескупонной облигации можно описать эволюцию форвардной и мгно-

венной форвардной процентной ставки. Форвардная процентная ставка (ФПС), обозначаемая ЕЛ (,,N,I), для любого целого I > 1 определяется формулой (Халл, 2008):

(1 + Y (t, N +1))(N -t+lVl (1 + Y (t, N))(

Можно также формально определить F2 (t,N,0) = 0. Из (23) и (25) следует, что для лю- g бых l > 1 и со ФПС модели бескупонной облигации допускает представление |

(]„ 2 N+l I ^

FÄ{t,N,l) = (SnJSn f -1 = expl^-2 X 4 I-1. (26) *

V l i=N +1 J О

§

§

Из (26) следует, что ФПС для рассматриваемой модели бескупонной облигации облада- g

о

ет следующими свойствами: щ

\ О

а) неотрицательна; ^

б) не зависит от t;

в) не убывает по l, поэтому min Fx (t, N, l) = Fx (t, N,0) = 0 .

В заключение данного раздела приведем для нашей модели явный вид мгновенной форвардной процентной ставки (Халл, 2008), обозначаемой f2(t,N):

л(t, N) = Fx (t, N,1) = 2+' -1. (27)

7. Алгоритмы имитационного моделирования и прогнозирования

бескупонной облигации

Основываясь на результатах предыдущих разделов, приведем здесь описание алгоритмов имитационного моделирования и прогнозирования для модели бескупонной облигации. Предположим, что:

1) в соответствии с формулой (21) вычислено значение Л ;

2) для любого 0 < 7 < N -1 по наблюдениям « и вычислена условная вероятность

р '1 = 1 « ■ ^ =1 - Р ^ '1 = 0«' 4);

3) «0 = а, SN = А, причем 0 < а < А.

Теперь можно описать по шагам процедуру симуляции этой модели бескупонной облигации.

Шаг 0. Генерируем равномерно распределенную на отрезке [0,1] случайную величину

и.

Шаг 1. Вычисляем значение 1п «1 по формуле

1п «1 = 1п «0 + (1п Л )1 (и) < 1п N «0 }.

Шаг 7 (I > 1) . Генерируем равномерно распределенную на отрезке [0,1] случайную величину # (и), не зависящую от {# (и), у = 1,...,7 -1} . Далее, в соответствии с формулой

1п« = 1п« 1 +(1пЛ0)1 {# И)< (28)

' ^ ! [ Л ' (N - 7 + 1)1п Л

вычисляем значение 1п.

Рекуррентное соотношение (28) является другой формой описания модели бескупонной облигации, удобной для применения метода Монте-Карло (Ермаков, 1971).

Для обоснования применимости алгоритма (28), а также для построения имитационного алгоритма прогноза потребуется явный вид условного математического ожидания т(,,т) = Е(1п5т|,) и условной дисперсии ^(,,т) = Е (1п5т -т(,,т)) 0 <, < т < N . Основным содержанием данного раздела является следующее утверждение.

Теорема 4. Для любых , < т < N справедливы соотношения:

St, SN

, где

m

(t,r\ = N—— ln S, +——- ln S,, V ' N -1 t N -1 N

Y{t,r) =

_(N -t)(t- t) ln Sn - ln St f1 - ln Sn - ln S^

N -1 (N -1) ln N ^ (N -1) ln N

(29)

(30)

Доказательство теоремы приведено в Приложении 2.

Утверждение теоремы 4 дает решение задачи построения оптимального (в среднеквадратичном смысле) прогноза стоимости бескупонной облигации

E (ln St- X^ )

■ inf,

где нижняя грань берется по множеству оценок X, являющихся измеримыми функциями от наблюдаемых данных, т. е. 1п S0 ,.. ,,1п St ,1п SN. Известно (Ширяев, 1980), что в классе квадратично-интегрируемых случайных величин оптимальная оценка существует и допускает представление в виде Е (1п Sт| 1п S0 ,...,1п St ,1п SN ). Кроме того, в силу «расширенного» марковского свойства последовательности {1п , 0 <, < N} (см. определение П1 в Приложении 1), имеем

Е (1п 5т|1п &0 ,.,1п ,1п ) = Е (1п , ) = т (,,т).

Дисперсия оптимальной оценки имеет вид

inf E

Xt

(ln St- X ^ t )2

ln S0 ,...,ln St ,ln Sn

= E

(ln Sr- m (t, t))2

St, SN

= Y(t, t).

Поэтому из утверждения теоремы 4 следует, что оценка оптимального прогноза и ее дисперсия имеют представления (29) и (30) соответственно.

Установим достаточные условия применимости имитационной модели бескупонной облигации.

Пусть {1п , 0 <, < N} — последовательность цен, описывающих эволюцию стоимости некоторой облигации, торгуемой на рынке, положим 1п 50 = 1па и 1п ^^^ = 1п А. Пусть имеется п х (N +1) -матрица, (I,,) элемент которой имеет вид 1п S(1 , где 0 < I < п, а 0 <, < N, причем:

а) для любого I 1п ^^ = 1п а и 1п 1 = 1п А ;

б) строка I — это результат I -й реализации последовательности {1п ^, 0 <, < N -1} по алгоритму (28).

5 (l )-i

Tt

Используя формулы (20) и (21), для любой строки этой матрицы по наблюдениям «,..., можно вычислить значения р(Ы) и Я0). Возьмем произвольное £ > 0 . По неравенству Че-бышева имеем

(

P

1

n —

-X ln S(')- ln S,

1 ^

J >Е <— E

Е2

-X ln Sfln S

n 7=

S0, SN

(31)

Для правой части неравенства (31) имеем

E

1X ln Si')- ln S

n

S0, SN = E

1X ln S'') - m (0, *) J + (m (0, *) - ln S)'

1 y( 0, t) + ( m ( 0, t)-ln St )2,

V) \ /

S0, SN

где т (0, t) и у( 0, t) имеют представления (29) и (30) соответственно. Таким образом, из (31) вытекает неравенство

maxP

0<i < N

1

n '=i

-X ln s()- ln S^*

Л

>Е

maxY 0, t) +

nsZ 0<t<N v '

(

max

0<t < N

m ( 0, t)- ln St

(32)

Следовательно, если для любого £ > 0 выполняется соотношение

-^г max y( 0, t) +

nsz 0<t<N v '

(

max

0<t < N

m ( 0, t)- ln St

Y

<<1,

(33)

lnSm* = lnS^ +(lnЛ)1 \4t+i <

ln SM - ln SA.

N -1

ln S

t|t>

= ln S,

(34)

<u §

£ §

03

(0 О

is §

2

о щ

О a

то имитационная модель, описываемая рекуррентным соотношением (28), с вероятностью, близкой к единице, воспроизводит рыночные цены облигаций.

Теперь опишем имитационный алгоритм прогнозирования цен бескупонной облигации. Заметим, что рекуррентное соотношение (28) имеет единственное решение. Поэтому, в силу независимости случайных величин , 1 < t < N}, последовательность {«, 0 < t < N} при заданных значениях {^0,..., } является марковской. Тогда рекуррентное соотношение

где 0 < t0 < t < N, «! — заданная начальная рыночная стоимость облигации в момент времени t0, а — ее номинал, является одним из возможных вариантов описания имитационного способа прогнозирования логарифма стоимости бескупонной облигации.

8. Результаты имитационного моделирования

Основным содержанием этого раздела является описание результатов, полученных при применении алгоритмов имитационного моделирования из предыдущего раздела, к реальным данным.

В качестве исходной статистической информации были использованы данные по бескупонной облигации SU21159RMFS7, обращавшейся в течение 128 дней в 2002-2003 гг. Ее ежедневные котировки приведены на сайте http://www.micex.com.

В данном разделе приводятся результаты первичной обработки статистических данных для вышеуказанной облигации, которые подтверждают возможность применения модели, описываемой соотношением (28), а также описание результатов имитационного моделирования.

Первичная обработка информации. Сначала котировки цен облигации были нормированы на значение ее номинала. В результате была построена выборка ,...,} . Затем над

этими данными было проведено нелинейное преобразование, в результате которого была получена новая выборка объема N

{1п (Sl|S0) ,...,1п )}. (35)

С помощью тестов Спирмена и Смирнова (Ивченко, Медведев, 2010) было установлено, что с вероятностью 0.95 гипотезы о независимости и однородности элементов выборки (35) согласуются со статистическими данными. Критерий Колмогорова-Смирнова позволил установить, что с вероятностью 0.95 гипотеза о том, что элементы выборки

(1{ln ( Sj S0 ) >0},..., 1{ln ( sj Sn-1) >0})

имеют распределение Бернулли, согласуется со статистическими данными.

Приведенные факты устанавливают возможность применения алгоритма (28) для описания модели бескупонной облигации.

Из результатов первичной обработки информации и раздела 7 (см. соотношение (33)) следует, что для построения имитационной модели бескупонной облигации SU21159RMFS7 можно использовать метод Монте-Карло.

Для этого понадобилось провести дополнительные вычисления: по выборке (35) в соответствии с (20) было найдено pN, а затем с помощью формулы (21) вычислен шаг решетки 10, который оказался равным 1.000881. Далее к исходным данным был применен алгоритм (28).

На рисунке 1 представлены зависимости от времени:

а) котировок облигации SU21159RMFS7 {St, 0 < t < 128} (сплошная линия);

б) одной из реализаций алгоритма (28) для {St, 0 < t < 128} (пунктирная линия).

На рисунках 2 и 3 приведены зависимости от времени доходности и мгновенной форвардной процентной ставки (МФПС) соответственно: для одной из реализации последовательности {St, 0 < t < 128} с помощью алгоритма (28) — пунктирная линия, а также для облигации SU21159RMFS7 — сплошная линия.

На рисунке 4 приведены результаты имитационного моделирования 103 реализаций последовательностей {St(l), 0 < t < 128, 1 < i < 103} (заштрихованная область), а также зависимость {St, 0 < t < 128} котировок облигации SU21159RMFS7 от времени (сплошная линия).

Из них, в частности, следует, что max ln S, - ln S, < 0.017 и max P ( ln S, - ln S, > 0.1) < 0.21.

0<t<128 0<t<128 V )

Результаты имитационного моделирования прогноза стоимости облигации SU21159RMFS7 отражены на рис. 5. По первым 90 наблюдениям за котировками стоимости облигации была проведена калибровка модели. Далее, в соответствии с алгоритмом (34), было сгенерировано 103 реализаций 37 будущих значений ее цен. Оказалось, что max lnS - ln ST < 0.01,

л 91<t<128 Tt

где ST — рыночные котировки цен рассматриваемой облигации.

1

0.99 0.98 0.97 0.96 0.95 0.94 0.93 0.92 0.91

09 ,

1 21 41 61 81 101 121

Рис. 1. Зависимость стоимости реальной и модельной облигации от времени

<о

(о

о §

§ S

о щ

о

CL

121 <

Рис. 2. Временная зависимость доходности облигаций

Рис. 3. Временная зависимость МФПС для реальной и модельной облигаций

Рис. 4. Результаты имитационного моделирования стоимости облигации

Рис. 5. Моделирование прогноза стоимости облигации

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0

21

41

61

81

101

121

21

41

61

81

101

121

Сплошной кривой на рис. 5 обозначена временная зависимость стоимости облигации SU21159RMFS7, а заштрихованная область образовалась в результате генерации 103 последовательностей по алгоритму прогноза (34).

Был также проведен вычислительный эксперимент, который реализовал алгоритм прогноза на один шаг. Он показал, что для любого t е {1,.. .,126} график прогнозируемых значений «практически полностью» совпал с графиком реальной стоимости облигации SU21159RMFS7.

9. Заключение

В работе построена новая модель бескупонной облигации. В качестве базовой последовательности было взято несимметричное геометрическое случайное блуждание с конечным горизонтом. В предположении, что наблюдению доступно не только текущее, но и финальное значение стоимости, с помощью формулы Байеса для базовой последовательности найдены условное распределение вероятностей, переходные вероятности за один шаг, условные среднее и дисперсия. На этой основе была построена стохастическая модель, описывающая эволюцию стоимости бескупонной облигации. Для предложенной модели описана процедура ее калибровки, найдена волатильность, временная структура процентных ставок, а также риск-нейтральная стоимость. Приведено описание имитационной модели. Результаты имитационного моделирования показали хорошее совпадение теоретических результатов с реальными данными.

Список литературы

Бьорк Т. (2010). Теория арбитража в непрерывном времени. М.: МЦНМО.

Ермаков С. М. (1971). Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука.

Ивченко Г. М., Медведев Ю. И. (2010). Введение в математическую статистику. М.: ЛКИ.

Панджер Х. (редактор издания) и др. (2005). Финансовая экономика с приложениями к инвестированию, страхованию и пенсионному делу. М.: Янус-К.

Спицер Ф. (1969). Принципы случайного блуждания. М.: Мир.

Халл Д. (2008). Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты. Вильямс.

Ширяев А. Н. (1998). Основы стохастической финансовой математики. Том 2. Теория. М.: Фазис.

Ширяев А. Н. (1980). Вероятность. М.: Наука.

Andersen L. B. G., Piterbarg V. V. (2010). Interest rate modeling. Vol. 1-3. Atlantic Financial Press.

Black F., Derman E., Toy W. (1990). A one-factor model of interest rates and its application to Treasury bond options. Financial Analysts Journal, 46 (1), 33-39.

Dong Y., Wang G., Wu R. (2016). Pricing the zero-coupon bonds and its fair premium under a structural credit risk model with jumps. Journal of Applied Probability, 48, 404-419.

Heath D., Jarrow R., Morton A. (1992). Bond pricing and term structure of interest rates: A new methodology for contingent claims valuation. Econometrica, 60 (1), 77-105.

Ho T. S. Y., Lee S. (1986). Term structure movements and pricing interest rate contingent claims. Journal of Finance, 41, 1011-1029.

Muzik V A. (2013). Bond pricing with of zero-coupon yeilds. Accounting Finance, 53, 497-512.

Поступила в редакцию 16.02.2016; принята в печать 24.05.2016.

Приложение 1.

Свойства однородной марковской цепи по наблюдениям за ее текущим и финальным состояниями

<о

Здесь приводятся обозначения и определения, необходимые для строгого изложения ре- о*

зультатов. §

Пусть на стохастическом базисе (Ft )о<,<ы ,Р) задана согласованная однородная мар- ¡2

ковская последовательность (Х(, 0 < t < N) со значениями в конечном или счетном множе- ^

стве Б. Я

Приведенное ниже утверждение следует из марковского свойства случайной последовательности.

Предложение П1. Для любых 1 < t <т < N и х е Б

Р (Хт = х|Х о,..., Xt, Хы ) = Р (Хт = х|Х,, XN ), (П1)

причем

Р(X = х|Х,,Хы) = У У ^(= *Хт = Х)Р(Хт= = Х) ч 1{г = Хы}1{X, = X }. (П2) ^ т 1 " && УР (Х„ = *|Хт= у) Р (Хт= у|Х, = х, ) 1 ^ '

уеБ

Доказательство. Известно (Ширяев, 1980), что для любых 1 <, <т< N и х е Б условная вероятность допускает представление

Р(Хт= х|Хо,...,Х,,ХN) = У У ... У У Р(Хт= Ххо,.,^^,^^)х

ХоеБх1еБ х,еБ XNеБ (П3)

х 1{хо = Хо }•... • 1{х, = Х, = ХN },

где Р (Хт = х|хо,..., х(, xN ) = Р (Хт = х|Хо = хо,..., Х( = х(, XN = xN ). Поэтому достаточно установить равенство Р (Хт = х| хо,..., х(, xN ) = Р (Хт = х| х,, xN ) . В силу марковского свойства последовательности (Хг, 0 <, < N) и определения условной вероятности, имеем равенства

( _ | )_ Р(Х1 = х1,...,Х, = х,,Хт = х,XN = XN |Хо = хо)_

Р (Х = ххо^^ Xt, ^) Р ( Х = х Х = хХ = х X = х )

1 V. 1 N о~Ао)

= Р (XN = XN, Хт = х|Хр = хо,., X, = х,) = Р (Хы = х^ Хт = х) Р (Хт = х\Х, = х,) = Р (XN = XN | Хо = хо Xt = ^ ) Р (XN = XN | Xt = ^ )

Р (Х„ = х„| Хт= х) Р (Хт= XX, = X,) , , ,

= -^г1--Аг1-V-^т = Р ( Хт = АХ, = X,, Хм = хм ). (П4)

УР (Хы = XN| Хт= х) Р (Хт= XX, = х,) ^ т 1 , " N »> ^

хеВ

Поэтому (П3) с учетом равенства (П4) примет вид:

Р(Хт = х|Хо,...,X,,XN) = У У Р(Хт = XX, = х,,XN = XN) х

х1 еВxNеБ (П5)

х 1{х, = X, }1{XN = XN } = Р (Хт = XX,, XN ).

Таким образом, (П1) установлено. Из (П3) и (П4) следует (П2). Доказательство закончено.

2016, 42 |_ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА / ДРРИЕР ЕСОМРМЕТМС5

Соотношение (П1) приводит нас к следующему определению.

Определение П1. Будем говорить, что цепь (Х(, 0 < t < N) является марковской относительно наблюдений (Х0,..., Хг, XN ), если для любых у е В, 1 <т< N -1 и т > t

Р ( Х = у|Х 0,..., X ,, XN ) = Р ( Х = у|Х,, XN ).

Из Предложения П1 и Определения П1 следуют два полезных утверждения.

Следствие П1. Марковская последовательность (X,,0 < t < N) является марковской и в смысле Определения П1.

Следствие П2. Для любых t <т< N их е В условная вероятность Р (Хт = X Х0,..., Х(, XN ) удовлетворяет рекуррентному соотношению

Р (Хт+1 = у|Х 0,..., X,, XN ) =

= УР(х = х|Х х х )У Р(ХN = XN|Хт+1 = у)Р(Хт+1 = у|Х, = х) 1{х = Х } (П6)

= ^ = ХХ0 ,.,Х,,XN ) I Ер (= ^ = Н) Р (т+1 = *|Х т= X) 1Х = XN} , (П6)

геО

причем

Р(Хт= х|Х0,...,X,,XN)| = 8(х,X,), Р(Хт= х|Х0,...,X,,XN)| = 8(х,XN). (П7)

х 1 71т=г х 1 /lт=N

Доказательство следствия П2.

В силу (П4), (П5) условная вероятность Р (Хт+1 = хт1\ Х0,..., Х(, XN ) допускает представление

Р (Хт+1 = х|Х0 ,., Х1, XN ) =

- У У Р (ХN = XN| Хт+1 = х) Р (Хт+1 = х|Хт = хт) 1{х = Х }1{х = Х } = У У У Р ( Х = х |Х = х ) Р ( Х = х |Х = х ) 1{хт = Хт}1{^ = Х N}.

xIеDxN еВ У Р N = XN | Х т+1 = хт+1 ) Р (,Х т+1 = хт+1 | Хт = хт )

хт+1еВ

Беря условное математическое ожидание Е (-| Х0,..., Х(, XN ) левой и правой частей последнего равенства и используя «телескопическое» свойство условного математического ожидания и теорему Фубини, получим (П6). Наконец, (П7) сразу вытекает из определения условной вероятности и Предложения П1:

P (Хт = *|х0,..., X, XN )L=( = X X P X = X, XN ) 1{x = X }1{Xn = XN }

xeD Xn sD

P(Xt= XX0,...,Xt,Xn)| n = X X P(X= Xx,Xn)1{x = X}1{xn = Xn}

\t=N

xsd xa tsd

= 8( x, Xt), = 8( x, Xn ).

т=N

Доказательство закончено.

Приложение 2. Доказательства теорем

Доказательство теоремы 1.

Равенство (2) сразу следует из Предложения П1. Установим соотношение (3). Рассмотрим (П2), в котором положим T = t + 1:

P(S„1 = .S„) = S^P^ ^ = *»(П8)

x« La M S» ~ X»l St+1 _ Xt+1)P\ St+1 ~ Xt+l| St)

Заметим, что:

P (St+i = xt+i|S ) = ps(x+ )+qS(x+, St),

Í0, если x > x.

P (SN = Xn| Sr = xz)=<

C N py (1 - p)

N —t—i—y

если xr < x.

(П9) (П10)

гДе y = log^ xN — logi X.

oa

(o

o §

§ s

o щ

O a

Подставив (П9) и (П10) в (П8), после простых, но громоздких выкладок получим (3). Равенство Р (SN = х^^, SN ) = 3( х, SN) очевидно. Доказательство закончено.

Доказательство следствия 1. Утверждение следствия следует из (3) и рекуррентного соотношения (1).

Доказательство теоремы 2. Утверждение теоремы 2 вытекает из следствия 1 и формулы (П6).

Доказательство Предложения 1. Для условного математического ожидания стоимости облигации имеем

Е (St+1| St, SN ) = Е (StЛs'+1| St, SN ) = St Е St, SN).

Отсюда и в силу формулы (4) имеем

Я St, SN ) = St

(Я — 1) l0g^VN — l0g^St + 1

N — t

(П11)

Поскольку

log;_ SN — log я Si

N — t

> 0 и Л -1 > 0, то для любого 0 < t < N -1 выражение в ква-

дратных скобках в правой части равенства (П11) больше 1. Следовательно, для любого о <, < N случайная величина В, > о, и поэтому определено отношение ^StB-l. Последовательность , 0 <, < т} удовлетворяет рекуррентному соотношению (10). Беря условное математическое ожидание Е (•] St, SN) левой и правой частей (10), имеем

i S+i ^ St, SN ) = ЗДТ'Е

(Я—1)

log Я SN — l0g Я SI + 1

N — i

St, SN

= SB\

Доказательство закончено.

Доказательство теоремы 3 выводится из Предложения 1 и теоремы А в (Ширяев, 1998, с. 529).

Доказательство теоремы 4.

Пусть т >,. Из определения т (,,т) , следствия 1 и формулы (9) имеем: т (, ,т +1)-Е (1п «т+1|8, ^ )-Е (1п «т+^т+11п , ^ )-- Е (1п т, ^ ) + (1п А) Е (т 8, ^ )-т (, ,т) + 1П ^«

(П12)

m

1п « 'п «

Очевидно, что--- > 0 для любого , < N . Поэтому из (П12) следует неравенство

(,, т +1) > т (,, т) . Легко показать, что для любых 0 < т < N имеет место равенство

(

ln SAr - ln S,

Л

ST, SN

ln SN - ln ST

N-т-1 т " ) N-т Из теоремы 1 для любого 0 < т < N следует равенство

^ 1п Б,г - 1п Б,

N-т-1

S0 ,"•, St, SN

J ( = E

ln Sn - ln S+i

N -т-1

ST, SN

(П13)

(П14)

Итерируя (П13) и (П14), для любых т >, легко установить равенство

ln SN - ln ST

N-т

St,SN

ln SN - ln St

N -1 '

(П15)

Из (П15) немедленно следует (29), а также равенства т (,,т)| - 1п Б,, т (,,т)| - 1п .

Установим теперь (30). Для этого сначала покажем, что условная дисперсия удовлетворяет следующему рекуррентному соотношению, где 0 <, < т < N :

Y( t ,т +1) = ^1- -2-У(*,т) +

Y( t Л =

ln SN - ln St

1 ln SN - ln St

(N -t) ln 1 (N -t) ln 1

(П16)

Поскольку Y(t,т) — Е (1п 8т) , SN - т2 (,,т) , выведем сначала соотношение для

E

(ln S^i )2

St, SN

. Из (9), теоремы 1 и следствия 1 имеем

E

(ln ^ )2

S0,., Sт, SN

= E

(ln ^ )2

Sт, SN

= E

(ln ST+8t+i ln 1)2

^^т, SN

■■ (lnSт)2 + E[(2lnSт + ln 1)8+i ln 1\ST,Sn] = (ln^)2 + (ln 1)[2ln^ + ln 1]lnSn lnSт

N-т

Беря условное математическое ожидание Е (-| , SN) левой и правой частей последнего равенства и учитывая (29), получим

E

(ln ^+1 )2

St,SN

= 1 1 -

= 1 1 -

N-т

(ln S)2

N-т

St, SN

(ln SJ

St, SN

+ ^^E[lnS \St,SN] + lnSN -lnSt = ¡1 N-т [ т " N] N-t §

ln Sn - ln S^ ln Sn • 2-

N -1

N-т

N-т N -1

ln Sт

т-1

N -1

ln SAi

(П17) *

Из (П17) и (П12) следует, что /(1,т) удовлетворяет рекуррентному соотношению

о о

S3 §

е

о LQ

2 J , ч lnSN - ln S. f ln SN - lnSt У(*,т + 1) = | 1 - —-|y( t ,т) +-N-4 1 - N '

N-т

N -1

N -1

о

(П18) *

Второе равенство в (П16) очевидно. Непосредственной проверкой легко убедиться, что решение (П18) имеет вид (30). Доказательство закончено.

Bogomolov R., Khametov V. Bayesian binomial zero-coupon bonds model. Applied Econometrics, 2016, v. 42, pp. 100-120.

Rostislav Bogomolov

Central Economics and Mathematics Institute, Moscow, Russian Federation; [email protected]

Vladimir Khametov

National Research University Higher School of Economics, Moscow, Russian Federation; [email protected]

Bayesian binomial zero-coupon bonds model

The article is devoted to construction of stochastic one-factor evolutional model for zero-coupon bond in discrete time. As the base sequence it was used an asymmetric geometric random walk. It is shown that in case of observing not only the previous values of the walk, but his value at the final time the walk is Markovian. In this case derived formulas for the transition probability in one step, as well as for the conditional mean and variance. Based on these facts, the article describes a stochastic model of zero-coupon bonds. For this model of bond were also find explicit formulas of its volatility, risk-neutral price, temporal structure of interest rates. Results of simulation display good match with real data. Keywords: zero-coupon bond model; geometric random walk; interest rate; yield; model calibration. JEL classification: C1; C5; C6.

References

B'ork T. (2010). Teorija arbitrazha v nepreryvnom vremeni. M.: MCNMO (in Russian).

Ermakov S. M. (1971). MetodMonte-Karlo i smezhnye voprosy. M.: Nauka (in Russian).

Ivchenko G. M., Medvedev Ju. I. (2010). Vvedenie v matematicheskuju statistiku. M.: LKI (in Russian).

Pandzher H. (redaktor izdanija) i dr. (2005). Finansovaja jekonomika sprilozhenijami k investirovaniju, strahovaniju i pensionnomu delu. M.: Janus-K (in Russian).

Spicer F. (1969). Principy sluchajnogo bluzhdanija. M.: Mir (in Russian).

Hall D. (2008). Opciony, f'juchersy i drugie proizvodnyefinansovye instrumenty. Vil'jams (in Russian).

Shirjaev A. N. (1998). Osnovy stohasticheskoj finansovoj matematiki. Tom 2. Teorija. M.: Fazis (in Russian).

Shirjaev A. N. (1980). Verojatnost'. M.: Nauka (in Russian).

Andersen L. B. G., Piterbarg V. V. (2010). Interest rate modeling. Vol. 1-3. Atlantic Financial Press.

Black F., Derman E., Toy W. (1990). A one-factor model of interest rates and its application to Treasury bond options. Financial Analysts Journal, 46 (1), 33-39.

Dong Y., Wang G., Wu R. (2016). Pricing the zero-coupon bonds and its fair premium under a structural credit risk model with jumps. Journal of Applied Probability, 48, 404-419.

Heath D., Jarrow R., Morton A. (1992). Bond pricing and term structure of interest rates: A new methodology for contingent claims valuation. Econometrica, 60 (1), 77-105.

Ho T. S. Y., Lee S. (1986). Term structure movements and pricing interest rate contingent claims. Journal of Finance, 41, 1011-1029.

Muzik V A. (2013). Bond pricing with of zero-coupon yeilds. Accounting Finance, 53, 497-512.

Received 16.02.2016; accepted 24.05.2016.