CC BY
5
УДК 514.182.7
DOI: 10.25206/1813-8225-2023-186-19-27
В. А. КОРОТКИМ Е. А. УСМАНОВА
Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск
БИКУБИЧЕСКАЯ
ЛЕНТОЧНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ_
Бикубической лентой называют вытянутую вдоль оси Ох поверхность постоянной ширины, образованную набором прямоугольных в плане бикубических порций, соединенных между собой с гладкостью О1 (непрерывность градиента между порциями) или С2 (непрерывность кривизны). Каждая порция ограничена кубическими параболами, лежащими в вертикальных плоскостях х=со^, у=со^. В статье представлены алгоритмы расчета бикубической ленты, основанные на использовании уравнений граничных кривых в качестве основных граничных условий. В качестве дополнительных граничных условий принимаются условия «плоские углы». Предлагаемый подход позволяет уменьшить размер характеристической матрицы системы линейных уравнений относительно коэффициентов, входящих в уравнения бикубических порций. Например, расчет 16 коэффициентов уравнения бикубической порции, проходящей через фиксированные граничные кривые, сводится к решению системы четырех линейных уравнений. Сформулированы (в виде теорем) критерии гладкого соединения бикубических порций. В теореме 1 сформулированы и доказаны условия непрерывности градиента. Теорема 2 содержит условия непрерывности кривизны. Представлены примеры расчета и визуализации С1 и С2-гладких ленточных поверхностей, состоящих из двух или трех бикубических порций.
Ключевые слова: бикубическая порция, кубическая парабола, условия гладкости, градиент, плоские углы, закрепленные концы.
Введение. Бикубической ленточной поверхностью (бикубической лентой) называют вытянутую вдоль оси Ох поверхность постоянной ширины, образованную набором прямоугольных в плане бикубических порций (сегментов) АБСО, БММС, МКЬМ, ..., соединенных между собой по наперед заданным поперечным швам БС, ММ, ... с гладкостью С1 или С2 (рис. 1). Гладкость С1 означает непрерывное изменение градиента (отсутствие изломов на поверхности ленты). Гладкость С2 означает непрерывное изменение кривизны поверхности. Иными словами, бикубическая лента — это прямоугольная в плане, вытянутая вдоль оси Ох кусочно-гладкая поверхность, проходящая через наперед заданные поперечные направляющие АО, БС, ММ, КЬ, ..., лежащие в плоскостях х = сом1;. В качестве поперечных направляющих и продольных границ используются сегменты кубических парабол. Некоторые направляющие могут вырождаться в прямые линии (например, отрезок ММ на рис. 1).
Порции ленты описываются бикубическими уравнениями [1, 2]:
Рлбсв (х УУ = X X аа(х - х0)3 (У - Уо)3 3 1=0 >0
хе[хо,х1]з (1)
: ( х М = ХХЬк (х- Х1)3(У - Уо)3,
1=0 ;=0
хе[ х., х2], (2)
Рис.1. Бикубическая лента
ч(х, У) = X X сч (х - Х2 )3 (У - У0 )3 1=0 7=0
х е [х2, х3],
(3)
Диапазон изменения ординаты У е [у0 , у1 ] одинаков для всех порций. Количество порций может быть любым.
Постановк= задачи. В декартовой системе координат Бщх зафиксирован на-ар попеае-аых направляющих (кубических парабол) АО, БС, ММ, КЬ, ... (рис.с). Продольнвсе границы С)ормируются с учетом заданных граничных условий. Требуется найти уравнения (1), (2), (3), ... бикубических порций АБСО, БММС, МКЬМ, ..., удовлетво ряющ их за -данным граничным уславидм( уст0вдам тладаоста.
Бикубическая подция. На аломкосаи Оху декаа-товой системы координат Охуг отмечена прямо-
Н
угольная ячейка hx X hy, где hx = Xj— x0, hy = y1 — y0 zB), C(x1, yv zc), D(x0, y1, zD). Даны уравнения гранич-(рис. 3). угловые точки А(х0, y0, ((), В(xjr у0, ных кривых:
АВ = zАВ(х) = аАВ + Pab(k- xo) + Yab(k - xo)2 + Sab(k - xc)3. к A [x0, xl],
AD = ZAü(y) = aAD + Рк3(У - Уо) + Y AD(y - Уо)2 + S AD (У - Уo)3, У A [Уо , У(],
BC = ZBC = aBC + PBC(y- Уo) + YBC (y - Уо)2 + SBC (y - Уo)3, У A [Уo, У(],
DA = Z DC (к]) = ] + P DC (к xo) + Y DC (к - xo)2 + S DC (к - X^ K A ^ K( ]-
(4)
Здесь и дазеи твободяын член уравнения кубр-ческой параболы обозначен фуквой а, а яоиЯс]эици-енты при возрастамцих степенях иртумента — буквами в, у,- соответственна. Т поыстрочном инрекси указаны граничные точки соответствеющей пара-
болы. Требуется найти уравнение бикубической ыоверхностя (позиции) АВЯВ, «натянутой» на заданные гроничныо кртвые.
Иравнение (1) бокубической порции АВСВ в развернутой форме имеет вид
Fabcd^ У ) = z H+oo + +0ЛУ - У o) + +02(У- У o)2 + +03(У- Уo)3 + + [++ ++(((У-У]) ++(2(У - У0)2 + ai3(D У У0 )3](x - к0) + + [+oo +а2((У-У0) А+22(У-У0)2 +а^3(У У У0)3Кк- xo)2 + + [+30 + +3((У - У0) + a32(У - У0)2 у+зз(У-Уo23]у]-кo)3;кA[кo, к(Ь У A[Уo, У(]-
(5)
ПоложИ13 у + у0 , -ыде++ем из (5) уравнетие г]з--ничной кривой АВ:
S(K
+ +10 + X - x0o +
+ +2o(x - Xo+ 2 + +у(x-x- )3 , xa [ Xo
-6)
Прир)онивая кoиффициeиты, хххо+ящи]) в первое уравнениy из (++, и к(оэ(+ фициентьу o(xодящие в уравнение (6), получаем:
"00 "+AB'
+20 И YaB -
и Р AB ,
- 15
- a a
+02 У AD, 2
-i.
Свободньый чхен этого уравнения известен из (7). Приравнивая остальные коэффициенты уравнения (В) уадынным коэффициентам граничной кривой ВС (третьо уравнение из (4)) и учитывая (8), по лу1 аем:
0iihx + 0Э,н2 + a3iн3 = Pbc - P ad -
«+2 hx + «22 h2 + «32 hX = Y BC - Y AD -C213 hx + «23 h2 + «33 h3 = 8BC - 8 AD .
(10)
((y
Анал+тчньш oбраи)м, -кложka x = xg, выде)яем из (5) ура+13ение гpaнхчн+х icp2гxl^в^ -oУ^ и приравниваем хoэИфA[Iрг^^IИ2(ы nj3];i кдинаковых степенях перемений у
](далдгhi^im образом, положd- -=AB-- выделяем из (5) ВО авнение граничной кривой DC и, учитывая (7Д (8), пjohjhыосмваеыо 1^оэс|5с|эицв^^нтьапа)и одинаковых степоопп пег^бзб1бнном jc:
О11по -X М1Эб= + 013р3у = РDC - Р AB -
0Э1Но + мээ бЭ + мэур3у = YDC - Y AB -
(8)
у . ^22 У ' 2^ Ly «31 hy + «32hy + «33 К = 8DC - 8 AB .
(11)
Подставоы1я os (5) x = xj, получаезу^ у^равнение граничной криво is ВС:
таз Ы) в (к,уу е екЛд е Кк(ЛЛ е ы(уЛ)( е е(Ку1 ее1(ДД)0 е К21ДД)Е е е(1Л()(Ы я Ыы()е
+ (+02 + +22 hK + +22 hi + +32 -^(У - У o)2 + + (+03 ++(3-к + +23++33-3)(У - У o)3-
(9)
Можно ^01^азагг^]ь, что любое из шести уравнений
(10), (11) яоаяется сле;дствием пяти остальных, поэтому одно из ураанештй (напт^ме]р, последнее уравнение из ( 11)) ис^ослюч^уть, из рассмотрения. Получаем пя сь линейно независимых уравнений (1 ),
(11), кот^]В1^1е соаержат д,евя[ть, не1^;зввеличин
{al1, al2, «1 3 ( а21, «22. «23, aзl, ^ «33}. АУЬ иХ °пределе"
ния следуо^ добавьть четыре граничных условия.
oo
20
В качестве дополнительных граничных условий могут бегсь приняты условия «плоские углы»: равенство булю первых смешанных производных фужцит (5) в еловых тллках яонструируемой тсфции [3, 4]. Дипференцируя (5) и при]вавнивав нулю вервыл смешанные производные , яолпбгаом псбО]зл]о ззостих улув:
и2п
дтду д2П дтду д2 И дтду д2П дтду
(Т0,У0) 3 б(е 3 О,
(т(, Уо) 3 :0о2) п лбтбл( 3 о,
(Т1,У() 3 Сб22 "У 6То623 П 6бтб32 П 0ИтИуб33 3 0( (Т0'Ут) 3 2б(2 п 3Ирб13 3 33 (12)
Дополнительно лртнимаится условии плоских углов (раюенсевп бутю 3ервых смешабных производных в углах порции). Требуется сформировать бикубичесюую птюероность (5), удоюлеевортющую заданным граничным условиям.
Решение. Иопуогавпяя у (15) граеичные условия и значения Лх = Л =10, наводим ко эффициенты аАБ = 2,5; $аб = ~ 0,пУ Уаб = ^И 53б= ,004 уравнения граничной кривой АВ. Аналогич ным образо м, вычисляя кп эффициент п уравнен уй граничн у х кривых АО, =С и ОС, получаем:
гАВ(т) 3 2,5 а 0,4т п 0,(05т2 а 0,004т3, аВс (У) 3 5 а у п 0,255у2 а 0,008у3,
адс (у) 3 2,5 п (,7у а 0,09у2 а 0,003у3 авс (т) 3 7,5 п (,7т - 0,(9т2 п 0,007т 1
(16)
Выполнив 13б^котяи>ые алгебраичесаие преобра-зованиу, ип (т0), (31), (12) получаем (с учетом а11 = 0):
3 2
б12 3 и ^ 2 Уф] ~~ РяиИ (Со 3 03З ПпУ а (Иясо)'
3 2
е2( 3 а—я (Iепо -IйпсО ^31 33 -^л (Рпя - РУИ ) (13)
Подставляя коэффициенты уравнений (16) в выражения (13), получаем:
а = 0,063;
= -0,0042;
а21 = -0,081; а31= 0,0054.
Система уравнений (14) приобретает вид
Учиты воя (Щ, система иpтонeний (10), (11), (12) сосращаетюя то четырех ураюнеюий относительно неизвлсоных козффициентов а22, (т23, а32, а33:
б22Ит п «К66
а„б1( п а,1)!11
бууИВ п ПаК
На,
У ви -бло -б(у К -44 в3 -4пя б(3Ит 4
УяИ -УбУ б2(Иу ,
п 6б23ИУ п 6б3УИт 0бО(ИтИу
0.
(14)
Уравнпния ]7(г (¿З]! ф ((7} , (1=1) позволяют опртде-лить впе кпэффыциенты, 3хтдящие в уравненю (1) Иик=6ин3ской поририос т°б8ЗтаС0, 3аданной сво3ми границам. Кнмпнето этих opoвнУний пpeдотaвля-ет сабот вычитлительный алгоритм, рквивалентный решению сису^]мы (6 xинейнoьу уравнений относительно 16 не и ввес тных и^o;^E(э ф ицит нт ов уравнения (3) исаомор б3куУическуй порции 35].
Еяии ^ку^хтсктя порист задона ^ловыми точкааи ф4, В, С, _0 и градиентами (углами наклона кас а тельных в ухлпяых то чках п о л ся м Ох, Оу), то уравнения (4) г]танхц порции определяются простым расчютои [6].
Например, если заданв! углы наклона каса-
тельных ах
апв п впвИх п УпвИТ( п 4авХ° 3 ав,
Рпв п2УввК пЛ4пвИТ уtхxв,
100а22 + 1000а23 = 0,515,
Решив эту систе му уравнений, получаем:
а22 = -0=0075; а32 = - 0,00001; а23 + 0,0(а009; (г33 = —(3,000022.
Из (7)0 (8) ностальные коэффициенты, входящие в в а внение (5):
а00 = аТ5 = 2,Т; а10 = рт
а20 = У Т5 = 0.10Т; (
ам = рао 081]0; (
(03 =5 то = о0,003.
-0,4;
: 5т5 = о0,004; : у то = о0,09;
Все 14 коэ=фициентов (с учетом а 11 = 0) уравнения (5) бикубичкской порции А5СБ определены. На рис. 4 кредставлена аетка обра21 ующих (кубических параб об), = остроен ная сбглосно (5). Например, в сечении поверхности плоскостью у=3 получаем продольную о браз(ю щую
в конечных точках граничной
кривой АБ (рес. 31, то коэффациентр уы, , входящие о ур авнен—е этой кривоЧ, выгисляются из системы уу ап нониИ
2(х( = 6,709 5- 0,0536х -- 0,12882х2+ 0,009716х3.
(17)
(15)
где 01^ = ^^Р^ 3 "Уравуeния =cтауьных гран3ц
опредрляютси £1 налогичтым об]зыхом,
Пример 1. Даны коо^.г.инаты угловых точек А(0; 0; 2,5), В^0; 0, 53, (С(ГХ; 20 ; 0(0.5), 0{0, ОС, 7,5). В угловых точках заф3кснуох£12вь^1 градттнты (рис. 3):
tga. о -Ь,Д; tcIa^ = 1,7; ^ау о 00,5; tga! о tgaВ о Ь; tgaус о 1,7; tga. о 1,7; tgaгв о-,.
Ди^с|эб;реоцируя (17)и х= 10, оолучаем:
dz/dx = 0,392; й2г0 8х2 = 0,32532. Эти величины будут использов п(имере 2.
С'-глед оо е то о^инение бикубических сегментов.
Требуется соединить «левую» и «правую» бикубические порц ии АВСВ }и БММС )б о ш ву Б С. Покажем, что гладкость С1 дочтигается чери равенстве первых производтк в стыкэвых ч^отках н, С соединяемых порций.
Теорема 1. Если у «левой» и «правой» бикубических порций 8оэ(х, у) и Р^и{х, у) имеется общий шов БС, причем в точкаэ Б, С совпадают частные производные
а
3
100а22 + 1000а32 = о0,28Т
100а23 + 1000^ = 0,030
4а22 + Ь0^ + 60^ + 900^ = 0
Б
Рис. 4. Бикубическийсегмент
ТВ,,
ад,..
ТШ
ТР„,
дх
дх
дх
дх
а т.кже совпадают первые смешанные произво-д ны е
дгХ.°
дхду дхду
ед
дга.„
дхду дхд.
Тд„
дх
функхид дд „
0°):
ду
алев + Ьле,У + сШ,У + йш,У
Фуноцоя в'(У) тунознвчнт апрсделеуа свои'
дСш, | ССдС+хс дх дх
Си
ми з начениями
У I = д ,ддах . I == д Р сх
'3 V х ' 13 -и 13 -в 1С „^
ду ду дх ххУу ду ду дх
дхду
Пример 2. К порции бикубической поверхности АВСВ, рассмотренной в примере 1, требуется присоединить (с гладкостью С1) бикубическую порцию ВМЫС с угловыми точками М(25; 0; 0), N(25; 10; 7,5) и фиксированными градиентами в этих точках tga хм = -0,6; tgа^ = 2; tga X = 1; tga °м = -1,6.
Решение. Уравнение (2) бикубической порции ВМЛТС в =азвернутгой фор)ме gмeет ]вид
Рвмж (Х' й) = м = Ь00 + Ь„,(у - йо) + Ь0р(й - Й0)2 +
+ Ь0з(й -й0)3 + [Ь10 + Ь11(й-Ус) + Ь12(й - йо )2 + Ьр13(й - й 0)3](х1 - х1) + [Ь20 + Ь21 (й - й о ) +
+ Ьррй- йо)2 + Ьрз(й - йо)3](х - Х1)2 +
+ [Ь30 + Ь31(й - й 0) + Ь32(й - йо )2 +
+ Язз(0-0оp](и-xе3;xя[xl, Х2]гйе[йог йА- )18)
Соглэсно теореме 1, для С+гладкого сое-инения сегментов по шву ВС надо обеспечить равенство первыхпроиз=однск в стыковых точках В, С. Сле-дователыю,для «прввяй» пopоии ДMNе в точках X, С долмны быте выgоянтны yеgовия:
1стаХ = 0,5; tgаO = 0;
д 2Р
ч 1 Р.
д2Р 1 1 ,
то в любой иозке [тнзв^ 13ш выпоззняется равенство
дхдй
длгдй
!в=0
(19)
дх хх
Дотла з а тел зс тс х . (СЛвло ^асрно (5), производную Сд[" вцсoоо линюи шва ВС шожно записать в виде
(см. п=им ер 1).
Дополнительно пйимем у-лихий «плоские углы» в точдлх М, N0
д2Ро
д2Р„ [
: 0,
|с и пх оизводными
с .ддс,д дтд„, .
в кр айних точксзлл шва В С.
дд
Произвхдную —¡^ вдоль уезии шва ВС таких
дх
можво ееписать х в иде кубической функции
дхВ =хдй что позвяляет яcпoлозoвамa aетпpием в7), (8), (13), (14)для расчета «правой» по мся^о.
Coгоаснo (, лaxт>мxм у^янения п°>лдельныx гртних ВМ, С1^Я и н-правояющей паха-ол!)1 М№
СЯ = М3в,(х) = 5 + 0,5(х - хр) -- И,093(;л^ = - х )2 + 0,002Я 1 113) (х - )г1)-,
вв ямс.0 1 с^,.^ -: 0,1 - х-)2 +
+ T,TTПеO)Ье)(x-Xl)Я яв я Mл.lвT(= = ру-олис -с 0,013й3. (СЯ)
х( у) в ■
ор„.
0а
в а + е у + с у2 + d у3
еров ер/в* ер/ви е„/в0 ■
Эта функциу тауже вдввзнaчнo определена сво-
ими значениями
0д дд еиш | ¡¡„..¡д и производными
., .х, тх
С0и дт д Су ТтР .
| в ¡„д. ) °шс I Св еда( ) в крайнихточках шва
-.13 л уТ ' с С л л дТ
Су То0y Ту То0y
ВС. Со главно услов ию те оремы, т шачения функци1 ¥(у), Х^) и значения их смешанных производных
г, ^ То I Ту , То I Ту .
в точках В, С совпадают: — |яв —^ |я. —|св — |с .
0у 0у 0у Ту
Следовательно, вдоль линии шва ВС функции у(у), Х(у) совпадают. Это означает, что в любой точке шва соединяемые бикубические порции имеют общую касательную, параллельную фронтальной плоскости Ozx.
Кроме этого, в любой точке шва ВС существует касательная к линии шва. Эта касательная также является общей для соединяемых порций. Две общие касательные в любой точке шва определяют общую касательную плоскость, что доказывает С1 — гладкое соединение бикубических порций.
У°авняние шявс ес 3меет вс31)) ВС = ZlC1y) = 5 — -у С 0,у55у2 гс 0,0081^^ )((-^, (Iьи^йер В). '
/^ййя расо[оТ(^ ломффици5нтов ;^в)'lво(18) ж-полья)игем íзгй(^lс,](,йTfйlB]=,з;йь,^й 1;\1,ор)лтм 10), ^^о), (13), (14), где вместо ибтеoтчeт5Й а1 ^pиI9TTIJI 1 лoзтaче-ния Ь.., а таюке с^ооявe,^I:]T5l(юпг:з]- обр^хом изменены ^fТoзнач^ш^я тсривых (оая^нaчпнoe АВ зсменяем на ЛШ, и т-^к далее^ = ыр>ажлнмяI13) приобрелавт два сраввго сегмента твeьyющоь вии:
3 2
Ь(2 = ~С0Лвсе Р сввЬ^з = ""С (Р^ех - 11 вв)
32 2
Я2Т = ь^O (Рсв - Рев ) язт 3= С3 ^сс - Рев -
Пoдcтттляя С15дга |ЗBмпI0,0] 1СМ = 0; 2^=—1, полу-
:о0l0l5; ^ = 0,001;
Л21 = о,ое; Ьз
-0,0017 (П),
Систем а яр е:зне1^и й 314= для -ор ци- ЯММС приобретает в йд:
b22 hl 3 b32 hi = 1mn - у bc - bn hx,
b23 К 3 b33 hX = 7MN - 7ВС - b13 hx , b22h'y 3 Ь2зК = Inn - уbm - b21hy -4 К 3 6b23 hy 3 6b32-x 3 9b33hxhy = 0.
Подсеавля-м сю да рассчитанные еначения br b, b24 b2i, a также 3HabeHHh
Y mn = -0,015; y BN = 0,255; 5 MN = -0,011; 5 „c = -0,008, h x = 15, h v = 10 .
Рис. 5. С^гладкая лента (к примеру 2)
Решив полученную систему уравнений, находим:
Ь22 = -0,0048; Ь32 = 0,000306(6);
Ь23 = 0,00004; Ь33 = -0,000008.
Из выражений (7), (8) применительно к порции БММС ролучарм:
а00 р 8ьн р П Ч(10 р Льн р 0,П:
Ь20 р увм р -0,093 (3); а30 р бвм р 0,002518 (П18);
Ь01 р льс р ->: Ь02 р У ьс р 0,2пп: Ь03 р 8ьс р -0,008.
Согласно уcлoвию «члoскиe папью, — юем Ь 11 = 0.
Все коэф фициентыур авнения (18) б икубической порции БМИС oпч2дe«eньL Не ])ис. 5 пэ^идставле-на лента, построенная согласно (18). Бикубические порфии АИЗСВ и ВММФ соединини б гладиоктью С1. В сэыкоьой нэ^»]^е С поиу1б;н неэытественно уьсо-щенный участок поверхности вследствие того, чти и вочке С уарана энф1иронталькая касательная (1да» = 0). Этот недостаток будет исп(:^авлен в примере 3.
Проверка. Пбложив в (17) у=3, пвлучаем продольную о браь^иу щую «у6]оу:е^ой » порции
z = 4,079 + 0,392(х - 10) - 0,01РЗРС(х - 10 )2 --0,0002701В 1Р(х-10 )3 .
лее,.
лм„,
лм.,
се7.
Сх
Сх
Сх
1рав I
|С ,
а также совпадают первые и вторым смешанные п.оизво дные
(24)
С2М_ | д2еправ | с2М_ 1 з2еправ
СхИу ' дхду дхду СитСу
с сМшв С сМ | „„а5 | с=m_ с=еправ
ЛС'СуВ 1е ф 2^2 1- Сх Су е у Сх^уы2 0 Сх2C^2
(25)
то в сю бой точке шва выполняются равенства
dF„
сем c„m
орав v 1 лз
с2м „,
(21)
Диффеуенцоруя (21 ) и положио х= 10, получаем: dz/dx=0,»е)2. В кн»]н(^^1нон[ точке о Кра^^ющей (17) «левой» порции бы—а п—л^ена такая же величина (со. пфииер 1 ). Следоюнолыио, о бфузрющие (17) и (21) имеют общыю касаииньную в точке их со-единерия 2на ли—икс шва БС», что подыверждает гладкость О состав3сш поверхности. Вторая производная функциы (21) пры х= 10 ра вна й22/ёх2 = = — 0,0а0а1, что от—иеается ет зюачения d2z/dx2 = = 0,Я1236 дея функуии ((7). Следотательно, на линии БС происходкт икачкообрузное измунение кривизны бокпбичеокоо леоты.
C2(Глaдкoe 00^о^1якд^(рние бикубичeских порций. Для C2-ГЛaДKOЧЧ CЧВДИHeHИЯ (зикубических порций по шв) 02<С надо по—ребоиото —авенсови первых и вторых п ряизводн ых нр п)я анкил ЬЯ (58) по пере -менным у в тотках В, С.
Теоааlчeо я »сcеJe —а «левой» и «пфавойи бийyбичe-ских порций Рдев(х, у) и О^яЯх— уы ипеется оыщий по-перечнйIK Ш00 ^П*!^, ори—ем е —очкае В, ы — отпадают первые и вторые чaчтны2 пропзв—дные
, , , . Это означает, что кри-
Сх Сх Сх Сх визна любой про+ольной о(2)]^;2зующей бикубической ленты +зм-няе4ся непреры0н0 (без скачкообразного изменуния в стыковых тoчяеx на линии шва). Доказательство теоремы 2 выполняется аналогично доказателпствм0 тыорсмы 1.
Пусть тр0буется c^еуo]|^]миp)c^в.;]■:г:Eз двухсеыционную С2-гладкуE<]] биыубичезс-^!;: лынту ы фнксмрованны-ми попер-чнымп хгаправп^хющими AD, BC, MN (см. рис. 5). Соплыыню усс0вию ы-оремы б, просхлейя граница ABM, oбяязбвамнау кубинскими параболами AB и ММ, Д00Ж0С -ыть С^уладкотй составной кривой.Это же т^бохтрие отнмсится к сеодольной границе DCN. I5аскмытрим унлквия СС2-гл0,0К0Р0 сне единения кк-ических пкха+ол.
Условпк Iе2-I^oa,г]2^02;^^IЯ состаноой K-^it^
кривой. В выртикс+ьнхй ]]^^ocкooти ipiPOj деKc^jai^o-вой системы кoopд+кaт 0]xy;o Е0)азтроки 0l(X), у0, z0), B(x1, y , С°)г х^ы2, (ЛI, 00+). 7[х]:(ез уoЕ;I)^н+o^ю точ^и требуется провезти составного С2-гладкую крив1^;), образов^н-СЕсекз тсо2б]и1^е^с:^иму е<араб020_лми фДх) =AB и ф2(х) = OM. М б]Iани^нсы-с т-пхах ы и ТИ ;>ос<тзаны угл^1 наклона аАх и ымх кacaтfэ]уo]ных к конструир°-емой крито(ззак^пм^ер^ные К2)нцы»)ы
Условие x02вгламко со с^с^еэд^нелн[и50 пар абол срДх) и ф2(х) имеет лзид [7]
+ 2(П1х + П2х]0Е +П2х0 б(П2 ПЕ] б(ПЕ Z0]
(26)
где S, S1, -Тф — р^ночт^е^ия о'еорзых производных по перем^IП^]вП х функци0Ф z = qi° (:sb) г z = ф1(x) в узлах A, B, M. Зде х ь иш хльто х аны о бозначения h1x = x —
х0, -^х = х2 ~XV
Условие гл0^дб^(псти (Т6) дплжк^о б^геь дополнено условиями «за^епл-пные к^оп-ы»:
h
Сх
(22)
0 0 - ■
h,
S ы tga
С2 Мз СхZ
с2 м„,
Сх2
К!Пз
Сх2
с2 м„,
Сх2
zi п П0x о . п2х
(23)
^3^0 2+ -fO0 =tgga С O б
пЕх0 0
0
с
о
23
Из системы уравнений (26), (27) находим значения 50, И, 52 и подставляем в уравнения
Ф1(х)
2о(х1 - х)0 + 21(х - хо)0
6И.,
6 /Х1 - Х) + 1 ИЬ х е [х0, Х1],
21И1х
(х - х0),
Ф2(Х)
в(х2 - х)0 + в2 (х - х )о
6И
2х
- ^ > 2 - х)+(ит
2х
2^|(х - х1),
х е [Х1, х2 ]■
(28)
д2С
^ ' И)
дхдиу
д2Р
^ 1 пмм/
дхду
' 1« = Ь11 + ЩхЬ21 + ^хК = 0,
■ А = 2Ь12 + 33 ЛуЬ1з + 4^2хЬ22 +
+ 6^хЛуЬ23 + 6Л22+Ьз2 + ^хЛАз = 0.
Шаг 5. Записываем условия С2-гладкого соединения бикубических порций по шву ВС (см. теорему 2):
д2 с„
дхду
1х
д2 С
Ч 1 в?
дхду
д2 с„
д2С
^ 1 к,
Вычислительный алгоритм (26), (27), (28) позволяет найти уравнения сегментов С2-гладкой кубической кривой с закрепленными концами. Этот алгоритм будет в дальнейшем использован для формирования продольных границ С2-гладкой бикубической ленты. Если С2-гладкая кубическая кривая формируется из п сегментов (п-1 стыковых точек), то указанный алгоритм будет содержать п-1 условий гладкости вида (24) и п уравнений вида (28).
Расчет двухсекционной С2-гладкой бикубической ленты. Даны координаты узловых точек А, В, С, В, М, N и уравнения поперечных направляющих АВ, ВС, MN (см. рис. 5). В угловых точках А, В, М, N заданы продольные градиенты ,даС, ,да«, ,да», ,даА . В этих же точках заданы граничные условия «плоские углы». Требуется найти уравнения (5), (18) бикубических порций АВСВ, BMNC, соединенных по шву ВС с гладкостью С2.
Шаг 1. Используя алгоритм (26), (27), (28), находим уравнения кубических парабол АВ и ВМ,со-единенных в точке В с гладкостью С2. Аналогичным образом находим уравнения кубических парабол ВС и CN, соединенных в точке С с гладкостьюС2.
Шаг 2. Согласно (7), (8), вычисляем 14 коэффициентов уравненид (5),(18):
а00, ИЮ' а20' И(У' «01' «ОС «03'
дхду дхду
в ^ + зеуС1з + 4е^а22 + бе1хега23 +
+ бе,2„<с, + 9Л2, Лад = 2Ь,, + 3ЛЪ
д4 С„
дх2 ду2 д4 С
Ч 1 йПГП
дх2ду2 1 у
"1х* V 33
д4С
и 1 БМАС
дх2ду2 д4С
. 1 БМ АС
2 дх2ду2
у" 13'
(311)
Получена система 18 линейных уравнений (29), (30), (31) относительно 18 неизвестных коэффициентов, входящих в (5), (18). Остальные 14 коэффициентов определены непосредственным расчетом (см. шаг 2). Исключая из (29), (30), (31) коэффициент а11 = 0, получаем систему 17 уравнений. Комплекс «этих уравнений представляет собой вычислительный алгоритм, эквивалентный решению системы 32 линейных уравнений относительно 32 неизвестных коэффициентов, входящих в уравнения (5), (18).
Пример 3. Требуется повысить гладкость бикубической ленты, рассмотренной в примере 2 (рис. 5), до степени С2, сохранив поперечные направляющие
АВ о тАС (у) о 2,5 + 1,7у - 0,09у2 - 0,003у \ ВС = твс (у) о 5 - у + 0,255у2 - 0,008у3,
ВС
МН О тмн(у) О 2у - 0,015у2 - 0 , 011у33
Шаг 3. Составляем систему десяти ли+ейно но-зависимых уравнлний ^aIC0еL (1°С1°),. (°=) озноеигельно восемнадцаЬИ коэффициьнтоь а,, Ас
^Ах + ^ЛО + изlеl = Рхи " РеШ'
«12 Л1х + «К ЛЛ + aB32001+ = 1= = !='
^Л1х + И230!12x + «зз02!32 = 8 °С - 8с«'
«иЛ + ««-Л2 + «к-0у3 = Рвс - Рс ^Л + «-П000 + И2a0lа = 1=3 - Тех ' Ь11 Л2х + 'п-0 + К-3- = Р»А "с Рхс
' пЛа + Ь22Л0х + Ь32Л 23х = У МИ - 1 БС '
Ь11 Лу + 'пК + Ь13Лу3 = Р3А - Р.М. Ь 21 Лу + Ь22Лу + Ь23 Лу3 = У СИ - У ВМ
(2 9)
Шаг 4. Дифф е=as:н[=ируя функции (5), (1А-, записываем граничные умловиа етз^оские углы»:
д г.
<дхду д2Сх
(дхду
1с= «11 = 0,
«= 2иl2 +3еyУз = 02
и градаснты в угловых точ-ах 000 о —0,-4; Я—о-С о -,7; ЯнМ. = -0,6; ТаХу = о .
Решивио. А-огмсН2 02-0 (27+ (,)-3) г нах-дим ур(4в-нения ceуменоoв нродольной гманиц!0! АЫМ\
АВ о т АВ(м) = 2,5 - 0,422 + 0)280хй - 0,006РОх3 = е [0, )0]-ВМ 2 2ВМ (2°) о 0 + 0,260(х - -01 -- о ,062(а - - 0)2 + 0,Ц0-4^7^03г4t(;JC - 2 0)Р, 2) е [-0, 20].
К^foи=eсI^иe птз^р+бовы 22 ВМ цз)eдиненывточ-ке В сгладкистую С2. Ц,1нa,íоoгицпу4^м об°>(хзу]мнaзcо-дим уравнинио се-менто- ]:,0)<J2[0^íн^(0У[Icр)mой ВCN, соединенные в точке С с гxaйкocтaю С2:
-С о твс (х) о 7,2 + -,7х - 0Г44,х2 + 0,002(12гР, хс [0 ,10], СН о Т0-2) о -2,0 - (0,4 6(2: -00) -- 0оТ72(х - -О)2 ((,000РУ29У(2- - -0=, х с о -0, 25].
Согласно (00, о8), г^0,о40сляем семь ко,^сУфициен-тов, входящих в цц62нeния ^ о биccц0^и:(f(c;кo);( порции A,E¡CJЦ>:
+
z
+
И
6
+
в
в «и + дух«^ + ^х^ = Ь
«И + -^х«!! = Ь
«К + Ах^з = ЬC3
Ь13Л2х + Ь23Л2х + Ь33Л2х = 8се - 8
24
а00 = алв = 2^-5; «10 = Рлв = -0,4;
a20 = YAB = <0,1 285; a^ = 8°, - -0,00635; «oí = P. =1,а; íz02 = Yad = -0,09; a03 = ^AD = -0,003.
Аналогично н-хвдим C53^]=, юоэ-{з(0|^циентов уравнения (18) = икубиченкох п о]з ции ВМ000
b00 = asw = 5: 1ую = Рвм = 120 = YB2 = -0,022; b30 = 5BJIt = 0,001474074;
1г01 = Рве = -7 b0i = YBC = c1,255; 1оз = - ^ 0б,008.
Подгтавлхем в (29), (301, (°1) з0^0^2^е,ния коэффициенте; Р, 0, 2 а иьюб2 .jX0210), x,,x= 15, Лу= 710. Решив гоьуч60400)=) остему 0 yc>=ib-0 hhííi относительно 18 нетзвестных a.«, b н-xoдим:
(b3 o 0; 00 33 0,063; г 13 = -^0, 00(122;
г2 = 0 -0,0332 7; г22 = d0.001425 ;
г2= = 0,000557; гг31 1= 0,0041 7;
03= 0 -0,000141225; г33 0 -0200312 7,
Ьп = -0,1П 3; bi2 и -0,00225 ;
b13 2,0'001;33; b2jn 0,05054; 1?00 = -0,0057;
b23 = -0,000004; b31 н ^0,002324;
b« = 0,000336; b0 = -000000653.
Oпеeделeны все ЗП yoпффитиeнта ура-нений (5), (18) бикубических п 1 °>ций AOOD и BMNC, соединенных с гладкостью С2. На рис. 6 предс тавлена сетка ofópa350Ющен С2-г0адк0Й 4икy0нчрcкoй ленты, по3тр0ен0а3 coroac н0 (55 4 (1 i-í).
Пpoвopкa. Поьожик 0 (0а) x^C, yн- ^случаем продоль0ую з6о0хyющyю «0(^0^» 0000ии:
zabcd (ф = 6,70Д и 0,0536 н - 0,07532- н2 и 0,0043726 н3,
н ю [0,10].
оемтс (x) и 8,0С9 у О08Р38 (x у Об) + + 0,0--С9Р (x у 0б)р у 0,0026396- (x у Об)3 x е [00, Р5].
(32)
Диф,olэeнцо00^ (ф2), п°)и х00!0) нахидим: dz/ й =-ee,lД734, d2z0Xx2 = 0:11100Д. ^aAonramiM образом, положив в (18) ^ = 10, у=С= ]aoлxчаем 0р0-дольную образующую «правсш» порции:
(33)
Дифференцируя (33) и положив х=10, получаем те же самые значения первой и второй производных. Следовательно, образующие (32) и (33) имеют общую касательную и одинаковую кривизну в точке их соединения на линии шва БС, что подтверждает С2-гладкость бикубической ленты.
Рис. 6. С2-гладкая лента (к примеру 3)
Обобщение на случай трех и более бикубических порций. Пусть требуется соединить п бикубических порций (с гладкостью С2). Для решения задачи требуется рассчитать 16л коэффициентов, входящих в уравнения (1), (2), (3), ... соединяемых порций.
Решение. Находим уравнения продольных границ ленты, образованных составными С2-гладкими л-секционными кубическими кривыми, используя алгоритм (26) ... (28). Указанный алгоритм содержит л-1 условий гладкости вида (26).
Непосредственным вычислением по формулам вида (7), (8) находим 7л коэффициентов, входящих в (1), (2), (3), ..., после чего составляем систему 5л уравнений вида (29), содержащих остальные 9л коэффициентов. Дополняем эту систему уравнений четырьмя граничными условиями вида (30) (плоские углы) и 4(л-1) условиями гладкости вида (31). Получаем систему 9л линейных уравнений относительно 9л неизвестных коэффициентов. Совместно с ранее найденными 7л коэффициентами получаем 16л коэффициентов, входящих в искомые уравнения (1),
(2), (3), ... соединяемых бикубических порций.
Пример 4. Перекрытие свободной формы (архитектурный проект). К двухсекционному перекрытию АБСО + БММС, рассмотренному в примере 3, требуется присоединить входной портал РАОЯ с горизонтальной направляющей РЯ, расположенной на высоте z = 2,5 (рис. 7, слева). Уравнения направляющих АО, БС, ММ и продольные градиенты tgaхм = -0,6; tgaЛ =1 в углах М, М представлены в примере 3. В угловых точках Р, Я портала заданы градиенты tgaЛ = 0,44; tgaЛ = —1 . Требуется вычислить 48 коэффициентов уравнений (1), (2), (3) сегментов РАОЯ + АБСО + БММС трехсекционной С2-гладкой бикубической ленты, принимая граничные условия «плоские углы Р, Я, М, М».
Решение. Выполняем расчет С2-гладких продольных границ РАБМ и ЯОСМ, используя условия гладкости вида (26) и условия (27) (закрепленные концы). Найдя уравнения продольных границ, непосредственным вычислением по формулам вида (7), (8) находим 21 коэффициент уравнений (1), (2),
(3). Остальные 26 коэффициентов (с учетом а11 = 0)
Рис. 7. Трехсекционная С2-гладкая бикубическая лента (к примеру 4)
определяются из системы 26 линейных уравнений вида (29), (30), (31). На рис. 7 справа представлен общий вид сооружения с перекрытием свободной формы.
Заключение. Актуальность. Задача моделирования ленточных поверхностей возникает в современной архитектуре при проектировании сооружений, обладающих большой пространственной свободой формообразования. В частности, поиски новых нелинейных форм привели к появлению «тентовой архитектуры» [8] и «архитектуры складок» [9], использующих перекрытия со сложными криволинейными очертаниями. Если конструируемая поверхность не имеет больших градиентов относительно некоторой базовой плоскости xy, то для ее моделирования могут быть эффективно использованы бикубические полиномы от скалярных величин x, У [10].
Научная новизна
1. Уравнение бикубической порции содержит 16 неизвестных коэффициентов, для определения которых требуется решить систему 16 линейных уравнений, задающих граничные условия. Предлагается алгоритм, согласно которому решение системы 16 уравнений сводится к решению системы четырех линейных уравнений.
2. Составлены вычислительные алгоритмы формирования гладкой (с гладкостью С1, С2) бикубической ленты, отличающиеся использованием уравнений продольных границ и поперечных направляющих в качестве граничных условий, что позволяет почти вдвое уменьшить размер характеристической матрицы системы линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов, входящих в уравнения бикубических порций.
Программное обеспечение. Матричные вычисления (решение систем линейных алгебраических уравнений) выполнены с помощью свободно распространяемой программы SMath Studio. Расчет образующих бикубической ленты и ее визуализация выполнены с применением языка программирования AutoLISP в среде AutoCAD.
Библиографический список
3. Gallier J. Curves and Surfaces in Geometric Modeling: Theory and Algorithms. University of Pennsylvania. Philadelphia, PA, USA. 2018. P. 61-114.
4. Шикин Е. В., Плис А. И. Кривые и поверхности на экране компьютера. Руководство по сплайнам для пользователей. Москва: Диалог-МИФИ, 1996. 240 с.
5. Голованов Н. Н. Геометрическое моделирование. Москва: ДМК-Пресс, 2020. 406 с.
6. Короткий В. А. Незакономерные кривые в инженерной геометрии и компьютерной графике // Научная визуализация. 2022. Т. 14, № 1. С. 1-17. DOI: 10.26583/sv.14.1.01.
7. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве. Москва: Мир, 1982. 304 с.
8. Удлер Е. М., Тостов Е. Проектирование тентовых оболочек // CADmaster. 2001. № 1 (6). С. 43-47.
9. Киричков И. В. Преломление категории складки сквозь призму архитектуры // Архитектура и дизайн. 2018. № 3. С. 1-11. DOI: 10.7256/2585-7789.2018.3.29422.
10. Готовцев А. А. Autodesk alias: с чего начать? // CADmaster. 2012. № 5 (66). С. 42-44.
КОРОТКИЙ Виктор Анатольевич, доктор технических наук, доцент (Россия), профессор кафедры «Инженерная и компьютерная графика» ЮжноУральского государственного университета (национального исследовательского университета), г. Челябинск.
SPIN-код: 7576-1921 AuthorlD (РИНЦ):777039 AuthorlD (SCOPUS): 57170871600 ReseacherlD: ABF-6205-2020 ORCID: 0000-0002-5266-4701 Адрес для переписки: korotkiiva@susu.ru УСМАНОВА Екатерина Александровна, кандидат технических наук, доцент (Россия), доцент кафедры «Инженерная и компьютерная графика» Южно-Уральского государственного университета (национального исследовательского университета), г. Челябинск. SPIN-код: 3351-0017 AuthorlD (РИНЦ): 777188 AuthorID (SCOPUS): 55346094500 ReseacherlD: AAL-1653-2021 Адрес для переписки: usmanovaea@susu.ru
1. Jarke J. V. Bicubic patches for approximating non-rectangular control-point meshes // Computer Aided Geometric Design. 1986. Vol. 3, № l. P. 456-459. DOI: 10.1016/0167-8396(86)90021-X.
2. Levner G., Tassinari P., Marini D. A simple general methods for ray tracing bicubic surfaces // Theoretical Foundations of Computer Graphics and CAD. New York: Springer-Verlag, 1988. P. 805-820.
Для цитирования
Короткий В. А., Усманова Е. А. Бикубическая ленточная поверхность // Омский научный вестник. 2023. № 2 (186). С. 19-27. Б01: 10.25206/1813-8225-2023-186-19-27.
Статья поступила в редакцию 19.01.2023 г. © В. А. Короткий, Е. А. Усманова
UDC 514.182.7
DOI: 10.25206/1813-8225-2023-186-19-27
V. A. KOROTKIY E. A. USMANOVA
South Ural State University (National Research University), Chelyabinsk, Russia
BICUBIC RIBBON SURFACE
A bicubic ribbon is a surface of constant width extended along the Ox-axis and formed by a set of rectangular bicubic portions connected to each other with smoothness C1 (continuity of gradient between portions) or C2 (continuity of curvature). Each portion is limited by cubic parabolas lying in vertical planes x=const, y=const. The article presents algorithms for calculating a bicubic band based on the use of boundary curve equations as the main boundary conditions. The «flat corners» conditions are accepted as additional boundary conditions. The proposed approach makes it possible to reduce the size of the characteristic matrix of a system of linear equations with respect to the coefficients included in the equations of bicubic portions. For example, the calculation of 16 coefficients of the equation of a bicubic portion passing through fixed boundary curves reduces to solving a system of four linear equations. Criteria for smooth joining of bicubic portions are formulated (in the form of theorems). Theorem 1 formulates and proves the continuity conditions for the gradient. Theorem 2 contains conditions for the continuity of curvature. Examples of calculation and visualization of C1 and C2-smooth ribbon surfaces, consisting of two or three bicubic portions, are presented. Keywords: bicubic portion, cubic parabola, smoothness conditions, gradient, flat corners, pinched ends.
References
1. Jarke J. V. Bicubic patches for approximating non-rectangular control-point meshes // Computer Aided Geometric Design. 1986. Vol. 3, no. l. P. 456-459. DOI: 10.1016/0167-8396(86)90021-X. (In Engl.).
2. Levner G., Tassinari P., Marini D. A simple general methods for ray tracing bicubic surfaces // Theoretical Foundations of Computer Graphics and CAD. New York: Springer-Verlag, 1988. P. 805-820. (In Engl.).
3. Gallier J. Curves and Surfaces in Geometric Modeling: Theory and Algorithms. University of Pennsylvania. Philadelphia, PA, USA. 2018. P. 61-114. (In Engl.).
4. Shikin E. V., Plis A. I. Krivyye i poverkhnosti na ekrane komp'yutera. Rukovodstvo po splaynam dlya pol'zovateley [Curves and surfaces on a computer screen. A guide to splines for users]. Moscow, 1996. 240 p. (In Russ.).
5. Golovanov N. N. Geometricheskoye modelirovaniye [Geometric modelling]. Moscow, 2020. 406 p. (In Russ.).
6. Korotkiy V. A. Nezakonomernyye krivyye v inzhenernoy geometrii i komp'yuternoy grafike [Irregular Curves in Engineering Geometry and Computer Graphics] // Nauchnaya vizualizatsiya. Scientific Visualization. 2022. Vol. 14, no. 1. P. 1-17. DOI: 10.26583/sv.14.1.01. (In Russ.).
7. Foks A., Pratt M. Vychislitel'naya geometriya. Primeneniye v proyektirovanii i na proizvodstve [Computational geometry. Applications in design and production]. Moscow, 1982. 304 p. (In Russ.).
8. Udler E. M., Tostov E. Proyektirovaniye tentovykh obolochek [Designing awning covers] // CADmaster. CADmaster. 2001. No. 1 (6). P. 43-47. (In Russ.).
9. Kirichkov I. V. Prelomleniye kategorii skladki skvoz' prizmu arkhitektury [Reflecting the category of the fold through the prism of architecture] // Arkhitektura i dizayn. Architecture and Design. 2018. No. 3. P. 1-11. DOI: 10.7256/2585-7789.2018.3.29422. (In Russ.).
10. Gotovtsev A. A. Autodesk alias: s chego nachat'? [Autodesk alias: Where do I start?] // CADmaster. CADmaster. 2012. No. 5 (66). P. 42-44. (In Russ.).
KOROTKIY Viktor Anatolyevich, Doctor of Technical
Sciences, Associate Professor, Professor of Engineering
and Computer Graphics Department, South Ural State
University (National Research University), Chelyabinsk.
SPIN-code: 7576-1921
AuthorlD (RSCI):777039
AuthorlD (SCOPUS): 57170871600
ReseacherID: ABF-6205-2020
ORCID: 0000-0002-5266-4701
Correspondence address: korotkiiva@susu.ru
USMANOVA Ekaterina Aleksandrovna, Candidate
of Technical Sciences, Associate Professor, Associate
Professor of Engineering and Computer Graphics
Department, South Ural State University (National
Research University), Chelyabinsk.
SPIN-code: 3351-0017
AuthorID (RSCI): 777188
AuthorID (SCOPUS): 55346094500
ReseacherID: AAL-1653-2021
Correspondence address: usmanovaea@susu.ru
For citations
Korotkiy V. A., Usmanova E. A. Bicubic ribbon surface // Omsk Scientific Bulletin. 2023. No. 2 (186). P. 19-27. DOI: 10.25206/1813-8225-2023-186-19-27.
Received January 19, 2023. © V. A. Korotkiy, E. A. Usmanova
