CC BY
9
Проблемы теории упругости
БИФУРКАЦИОННАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ «СООРУЖЕНИЕ - ОСНОВАНИЕ» НА БАЗЕ МОДЕЛИ ВАРИАЦИОННОГО МЕТОДА В.З. ВЛАСОВА
В.К. ИНОЗЕМЦЕВ, д-р техн. наук, профессор О.В. ИНОЗЕМЦЕВА, канд. техн. наук К.А. СТРЕЛЬНИКОВА, аспирант
Саратовский государственный технический университет
Рассмотрим постановку задачи бифуркационной устойчивости упругого процесса деформирования системы, объединяющей сооружение с высокорасположенным центром тяжести, фундаментную плиту и основание.
В данном случае строится математическая модель системы, объединяющая абсолютно жесткое сооружение на деформируемой фундаментной плите, взаимодействующей со слоем основания [1].
Рис. 1
Модель позволяет свести проблему устойчивости сооружения к задаче о собственных значениях в форме
М(х) = Щх). (1)
Здесь х - неизвестная собственная функция, X - собственное значение, М и N линейные дифференциальные операторы с соответствующими граничными условиями.
Иллюстрацией такого подхода будет модель, объединяющая уравнения для слоя основания на базе вариационного метода В.З. Власова [2] и уравнения изгиба балки (или балки-полоски выделенной из плиты), представленная в рамках плоской задачи в приращениях. В уравнениях модели вариационного метода В.З. Власова, описывающих докритическое состояние системы, следует положить равным нулю параметр шага нагружения, то есть считать приращение АРк и Ар(х) равными нулю. Тогда получим:
dЛW
d 2ЛW;
2 (Е22 ^ + £(2Е£ )-+- +1 -Г1-) = Мх)
dx
(2)
]=о ]=о их ]=о dx
где Ад(х) в рамках плоской задачи теории упругости определяется уравнением равновесия балки и имеет вид:
Лд(х )= Лр(х)+ ЫЛ]¥{
IV
где Ад(х) - отпор основания, Ар(х) - нагрузка, Ш- изгибная жесткость балки.
В итоге уравнение бифуркационной устойчивости упругого эквивалента системы представляется дифференциальными уравнениями в обыкновенных производных.
Граничные условия системы уравнений модели В.З.Власова задаются на функции приращений перемещений А Щ. При этом для поверхности слоя основания при решении уравнения (2) необходимо удовлетворить двум граничным условиям (по Щ) на границах области интегрирования (рис. 2):
при х1 = -L1 ^ А Щ0 = 0; при х1 = Ь + Ь2 ^ АЩ0 = 0. (4)
Рис. 2. Границы областей интегрирования
Выполнение данных граничных условий обеспечивается автоматически, если заданы границы области интегрирования и принято допущение, что перемещения поверхности основания в этих точках равны 0. Размеры области интегрирования в каждом конкретном случае зависят от характера решаемой задачи и требуемой точности расчета. Кроме того, необходимо задать условия по концам (0, Ь) фундаментной конструкции (балки или плиты), которые имеют смысл так называемой «сшивки» граничных условий на границах областей I, II и III (рис. 3). Для балки или плиты свободно лежащих на основании полагаем, что приращение изгибающего момента равно нулю и имеет место неразрывность эпюры приращений обобщенных поперечных сил и эпюры приращений вертикальных перемещений балки (или балки-полоски) и основания:
АМ°'Ь = 0; АS0L,. = -АР
0, Ь
,0. Ь
балки
+ АS 0 Ь; АЩббаЛки = АЩ°:,Ь
осн '
(5)
Рис. 3. Расчетная схема балки, свободно лежащей на однослойном основании
При расчете докритического состояния системы приращение левой и правой опорных реакций сооружения на &-том шаге нагружения:
АР,
0,т
АРи
2
1 - ^ - л<)!+^ ^Ат-Х
L п=о I „_п 2
Т2
1 п=0
АЖкТ - АЖк° )
к
(6)
При сведении задачи устойчивости к проблеме собственных значений АРк в (6) необходимо считать равным нулю.
Полученные уравнения бифуркационной устойчивости модели вариационного метода В.З. Власова для упругой системы не требуют пошаговой процедуры поиска бифуркационной критической нагрузки. Наиболее просто численную реализацию поиска бифуркационной критической нагрузки можно проиллюстрировать на примере модели вариационного метода В.З.Власова для однородного однослойного основания. В этом случае уравнение (2) принимает вид для слоя основания
- Е + Я3030
а 2лж0
ёх 2
= 0
(7)
Для слоя основания со свободно лежащей на нем фундаментной балкой или балкой-полоской получим:
- е™лж0 + я
0
00 '33
а 2лжп
EJ
а 4лж.
(8)
ёх ёх
Граничные условия для балки свободно лежащей на основании, учитывающие, что приращение изгибающего момента равно нулю и имеет место неразрывность эпюры приращений обобщенных поперечных сил и эпюры приращений вертикальных перемещений балки и основания, примут вид
Лм0,Т = 0' лш0,Т - лш0,Т
ЛЖ!аТи = ЛКс„
0
ля0 - ля0 =-НрУпР экв (
балки осн т2 КР V
ЛЖ0 - ЛЖ0° )
0
ЛЯТ - ЛЯТ = + _НрУ"Р эке (
балки осн Т2 КР
ЛЖ0Т - ЛЖ00 )
0
\4>сн(х) =Л\У0ё~
1=3
X
\=2 1=4
с1х
Рис. 4
Сведение проблемы устойчивости сооружения к задаче о собственных значениях произведем на основе метода конечных разностей. Для этого область интегрирования вдоль оси Х под балкой разобьем на конечные отрезки длиной ёХ и представим уравнение (8) для внутренних точек области интегрирования (2 < I < п - 1) в конечно-разностной форме (рис. 4):
Щ-2 - (4 + г Ж- + (6 + 2г + к- (4 + г У+1 + Ж+2 = 0, где Ж, - неизвестные метода конечных разностей,
г =
Е0 К
ёх
_:_:__• к = _Г_:_\
6(1 + у) Ы' Кс(1 -у02)
Е0 ёх
К (1 -у„2 ) EJ
Учтем граничные условия по концам балки. Дифференциальное уравнение для слоя основания со свободно лежащей на нем фундаментной балкой или балкой-полоской выражает обобщенные условия равновесия грунта, рассматриваемого совместно с балкой, расположенной на его поверхности. Вследствие этого функция АК0 (х) представляет собой обобщенный прогиб, который в данном случае совпадает с действительным прогибом. Обобщенному прогибу соответствует обобщенная поперечная сила, отличающаяся от балочной поперечной силы:
Г й 3АЖ0°,Ь Е0 Ъс 1
йх3 6(1 + у)ш йх
А баши = -Е , 3
611 + V НУ их
У
Поперечная сила основания АБ^ , учитывающая влияние свободного основания за пределами балки, порождает по концам балки сосредоточенную реакцию
= КМ = А^Г
осн 6(1 + у) йх 6(1 + у) 0 .
Согласно физическому смыслу задачи, обобщенная поперечная сила в месте приложения сосредоточенных опорных реакций сооружения по концам фундаментной балки, терпит разрыв на величину
НРк7экв(а< - АКо0).
С учетом этого получим на левом конце фундаментной балки для первой и второй точек (/' = 1) и (/' = 2) следующие конечно-разностные уравнения в безразмерной форме:
(2 + 2г (1 + йха) + к - ХРКр;рэКв К - (4 + 2г )К2 + 2К3 + АР^^К = 0 ,
(- 2 - г)К1 +(5 + 2г + к)К2 +(- 4 - г)К3 + К4 = 0, а = 4кГг . Для правого конца фундаментной балки конечно-разностные уравнения получаются аналогично. Структура конечно-разностных уравнений имеет вид:
(2 + 2г(1+йха)+к - ЛРррэквК - (4 + 2г)К2 + 2К3 + ЛРррэквЖ„ = 0;
(-2 - г) К + (5 + 2г + к)К2 + (-4 - г)К3 + К4 = 0;
К -(4 + г)К2 +(6 + 2г + к)К3 -(4 + г)К4 + К5 = 0;
К-2 - (4 + г )Г- + (6 + 2г + к % - (4 + г )К+1 + К+2 = 0;
Кп-4 - (4 + гУ„-3 + (6 + 2г + кК-2 - (4 + г)Кй-1 + Ж„ = 0; Шп-3 + (-4 - г К-2 + (5 + 2г + к Х-1 + (-2 - г К = 0; ЛРр^Щ + 2Ж„-2 - (4+2г)Жп-1 + (2+2г(1+йха)+к - АР^К = 0;
А =
2Нйх3
где I2 ЕУ •
Полученная система представляет собой задачу на собственные значения. Собственное значение в виде критической нагрузки определяет точку бифуркации исходного состояния равновесия системы. При приближении к этой
точке по параметру нагрузки решение, описывающее равновесные состояния для реальных систем с наличием малых начальных несовершенств, устремляется в бесконечность. Рассмотрим в качестве примера идеализированную упругую систему и упругую систему с начальным несовершенством в виде малого начального эксцентриситета, при этом приращение нагрузки АРк будет неравно нулю и система конечно-разностных уравнений, в связи с этим, будет неоднородным.
Для идеализированной системы с размерами, показанными на рис. 5, определим эпюру осадок слоя основания для докритического состояния, а для аналогичной системы с несовершенством построим решение, описывающее эпюру осадок при наличии начального эксцентриситета. При этом, возможно произвести численное сравнение результатов с аналитическим решением для фундаментной балки бесконечной жесткости полученной в [2].
ъ
Рис. 5
Аналитическое решение имеет вид:
2 Р
Ж0 =
Е,
о
6(1 +
6
1 -У0
+
ЕрЬ 2^ (1 — у0)
При единичной нагрузке безразмерный параметр вертикального перемещения, вычисляемый из аналитического решения:
_ . 1
4РК (1 -Vо2)'
^о =
1 + К(1 -Уо )
3Ь
]1
6
1 — У г
Численное решение уравнений докритического состояния системы дает полное совпадение с аналитическим решением для балки большой жесткости и отличающийся от аналитического решения результат численного расчета для балки малой жесткости при которой происходит заметная изгибная деформация балки (рис. 6). На рис. 6 показаны прогибы балки на слое основания различной толщины 1м; 1,5 м; 2 м; 4 м. При увеличении толщины балки изгибные деформации уменьшаются. При толщине 4 м результаты совпадают с аналитическим решением для абсолютно жесткой балки.
Для идеализированной системы с размерами, показанными на рис.7, определим бифуркационную нагрузку, а для аналогичной системы с несовершенством построим решение, описывающее возрастание эксцентриситета системы при ее нагружении.
E0=10I,H/m2
Рис. 6
Рис. 7
Модуль упругости слоя основания Е0 = 1,8-104 КН/м2 , коэффициент Пуассона - 0,3; модуль упругости материала фундаментной балки - 2Д-107 КН/м2. Безразмерный параметр критической нагрузки XPkr = 3,598-10-3.
По результатам расчета видно, что критическая бифуркационная нагрузка идеализированной системы совпадает с предельной нагрузкой для системы с начальными несовершенствами.
Л и т е р а т у р а
1. Иноземцев В.К. Общая устойчивость сооружений на неоднородном нелинено деформируемом основании// Саратов: Изд-во Сарат. гос. техн. ун-та, 2008/ Н.Ф.Синева О.В.Иноземцева.
2. Власов В.З. Избранные труды: В 3 т. - М: Наука. 1964. - Т. 3. - 407с.
BIFURCATIONAL STABILITY OF THE "STRUCTURE AND FOUNDA-TION"SYSTEM ON THE BASIS OF V.Z. VLASOV'S MODEL OF VARIATIONAL METHOD
Inozemtzev V.K., Inozemtzeva O.V., Strelnikova K.A.
A model joining the equations for a layer of the ground on the basis of Vlasov's variational method and the equations of bending of beam strip used for a plane problem in displacements is presented.
