CC BY
44
УДК 539.3
А.С.Зиновьев
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ СИСТЕМЫ «ПЛИТА - СЛОЙ ОСНОВАНИЯ»
НА БАЗЕ ИНКРЕМЕНТАЛЬНОЙ МОДЕЛИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ
Предлагается модель системы «плита - слой основания», построенная на фундаментальных соотношениях механики деформируемого твердого тела в инкрементальной форме. Даны результаты численного решения плоской задачи в нелинейной постановке, проводится сравнение некоторых из них с аналогичными для случая линейно деформируемого основания.
Наведенная неоднородность, инкрементальная модель, напряженно-деформированное состояние, плита, слой основания, напряжения, деформации.
A.S. Zinoviev
DEFLECTED MODE OF «PLATE - FOUNDATION LAYER» SYSTEM BASED ON INCREMENTAL MODEL OF DEFORMATION
The author presents the system «plate - foundation layer», based on fundamental correlations of mechanics of solids written in incremental form. Numerical solutions of two-dimensional problem in the case of nonlinear setting are given. A comparison of some of obtained results with the same in the case of linear setting is done.
Induced heterogeneity, incremental model, mode of deformation, plate, foundation layer, stresses, deformations.
Одной из проблем при расчете оснований является учет физически нелинейных свойств деформируемой среды основания. Здесь возможны и более сложные постановки задачи, когда наряду с физической нелинейностью учитывается изменение деформационных свойств основания, возникающее вследствие внешних воздействий техногенного или природного характера [1]. Такой вид нелинейности носит название наведенной неоднородности. Для учета физической нелинейности и наведенной неоднородности деформируемых сред применение находит инкрементальная теория наведенной неоднородности [2]. В основе ее лежат гипотезы деформационной теории пластичности. Одним из основных положений инкрементальной теории наведенной неоднородности является понятие о пошаговом процессе решения задачи, когда для перехода к следующему шагу по параметру процесса необходимо знание о напряженно-деформированном состоянии в точках объема деформируемой среды, накопленном за все предыдущие шаги процесса деформирования. Это обстоятельство накладывает
определенные требования к модели основания конструкций. Если ставится задача учета физической нелинейности и наведенной неоднородности деформируемой среды основания, то необходимым условием применимости инкрементальной теории наведенной неоднородности к описанию работы физически нелинейного основания с наведенной неоднородностью является использование такой модели основания, которая позволяет определить напряженно-деформированное состояние в точках объема деформируемой среды основания. В качестве такой модели может быть использована модель основания В.З. Власова [3]. Несомненным ее достоинством является то, что в основе дифференциальных уравнений модели основания лежат фундаментальные соотношения механики сплошной среды. Другим достоинством является вариационный метод решения, позволивший построить систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Вместе с этим проблемным для этой модели является учет горизонтальных перемещений. Дело в том, что задать аппроксимирующую эти перемещения функцию по толщине слоя основания гораздо сложнее, чем аппроксимировать вертикальные перемещения, так как эпюры горизонтальных перемещений по толщине слоя основания оказываются гораздо более изменчивыми. В связи с этим при численных исследованиях обычно вводят гипотезу о малости горизонтальных перемещений по сравнению с вертикальными перемещениями при действии строго вертикальной нагрузки. Это снимает проблему аппроксимации горизонтальных перемещений по толщине слоя. Как показывают расчеты, при достаточно незначительной толщине слоя основания пренебрежение горизонтальными перемещениями мало влияет на расчет вертикальных осадок основания. Однако характер напряженно-деформированного состояния в точках объема основания, особенно для зон концентрации напряжений, с увеличением толщины слоя становится все более условным. Напряженно-деформированное состояние при этом по-прежнему удовлетворяет принципу возможных перемещений Лагранжа в части равенства нулю суммы работ на любом возможном перемещении всех внешних и внутренних сил, приложенных к выделенному элементу. Однако в части напряженно-деформированного состояния для точки объема среды основания получаемый результат не может быть использован. Причина этого очевидна, это пренебрежение горизонтальными перемещениями при возрастании толщины слоя основания. Ведь модель в этом случае представляет собой систему связанных пружин. Ее отличие от модели Винклера в этом случае лишь в связности пружин, то есть в учете работы касательных напряжений. В работе [4] даются рекомендации по аппроксимации горизонтальных перемещений, однако качество принятого вида аппроксимации и толщину слоя, для которого эта аппроксимация удовлетворительно описывает напряженно-деформированное состояние в точках объема слоя основания, необходимо подтверждать сравнением с результатами расчета по модели, свободной от влияния введенных аппроксимаций для функций перемещений. Примером такой модели может служить модель основания, объединяющая уравнения равновесия Навье и уравнения равновесия фундаментной конструкции. Рассматривая систему «плита - основание» в случае плоской задачи уравнения статики основания будем объединять с уравнениями изгиба «балки - полоски» (рис. 1).
Рис. 1. Расчетные схемы плоской задачи
Геометрические и статические уравнения для плоской задачи, следующие из фундаментальной системы уравнений механики деформируемого твердого тела, запишем относительно приращений:
Ае1 =
дx
Ає3 =
дАW
дz
дАо1 дАа
дx дА о3
Ає13 = —
13 2
дАW дАU
+
дx
дz
(1)
■ + ■
13
- + -
дz
дАа3
= 0;
= 0.
(2)
дx дz
На поверхности основания задаются граничные условия для касательных и вертикальных нормальных напряжений, а величина вертикального давления, передаваемого на поверхность основания со стороны «балки - полоски», будет равна вертикальному отпору Rz(x) (3). В данном случае будем пренебрегать трением и считать поверхность контакта плиты и основания гладкой (4), а реакции контакта -направленными по нормали к этой поверхности. Полагаем также, что вертикальные перемещения поверхности основания и нижней поверхности балки происходят совместно без отрыва. Тогда функция вертикальных перемещений поверхности основания и линия прогиба оси «балки - полоски» тождественны и решение задачи находится на основе совместного решения системы уравнений Навье с уравнением изгиба «балки - полоски», входящим в систему уравнений через граничные условия, записанные для участка поверхности основания, контактирующего с плитой.
д4АW(x).
А^ (x) = Аq( x) - Ш -
дx4
Аа13 = 0.
(3)
(4)
В итоге модель системы «плита - слой основания» представлена системой дифференциальных уравнений в частных производных и отпадает необходимость во введении аппроксимирующих функций. Принимая в качестве дискретизации такой модели метод «сеток», можно определить вертикальные и горизонтальные компоненты (Ж^,г), Ц^г)) вектора приращений перемещений. Отметим, что граничное условие на поверхности контакта плиты и основания, записанное в виде (3), само по себе является дифференциальным уравнением четвертого порядка, следовательно, требует введения дополнительных граничных условий. Такими условиями являются выражения для внутренних усилий по краям балки, свободно лежащей на основании (рис. 2):
М (
x=Ь - а; Ь + а
= 0; <2(
x=Ь- а;Ь+а
= 0.
(5)
Рис. 2. Расчетная схема системы «плита - слой основания»
Система определяющих уравнений будет замкнутой, если ввести общее понятие -объективная диаграмма деформирования, отражающая связь между интенсивностью напряжений ог и интенсивностью деформаций ег:
О = Ео(! - О(ег, ф(Р/, Я(°г]X)))ег. (6)
Этот закон использует функцию понижения О (ег,Ф(ру-,^(ог7),С/), связанную с напряженно-деформированным состоянием и степенью изменения физико-механических свойств деформируемой среды, зависящих от Ф-функции, описывающей влияние изменения физических параметров р/ на диаграмму деформирования, от Я(о/) -комбинации компонент тензора напряжений, определяющей характер и уровень напряженного состояния, при котором наиболее существенно влияние внешних воздействий на физико-механические параметры деформируемой среды и С/ -совокупности параметров, определяющих характер внешнего воздействия (например, повышение влажности грунтовой среды основания).
Рассмотрим численное решение задачи при следующих параметрах расчетной схемы (см. рис. 2): а = 10 м, Ь/а = 3, Н = 3, высота балки-полоски НЬ = 0,5 м, модуль упругости материала балки ЕЬ = 21-10 кПа. При описании закона деформирования среды основания исключим внешнее воздействие, приводящее к деградации деформационных свойств. В качестве диаграммы деформирования будем использовать зависимость, построенную на основе экспоненциального закона:
ЛЛ
е.
1 - ехр —- + Оеі, (7)
е8 JJ
где е^, G - коэффициенты, которые могут быть определены на основании имеющихся экспериментальных данных. Для рассматриваемой расчетной схемы примем: = 100 кПа; е$ =0,01; G = 750 кПа. В силу симметричности задачи при построении эпюр ограничимся половиной исходной области. На рис. 3 представлена эпюра отпора основания при различных значениях величины действующей нагрузки.
Рис. 3. Эпюры отпора основания
Отметим, что в процессе увеличения нагрузки на фундаментную конструкцию концентрация вертикальных напряжений непосредственно под краем балки уменьшается, тем не менее величина действующих напряжений при этом продолжает возрастать (рис. 4).
Рис. 4. Эпюры интенсивности (ст,), нормальных (ст3) и касательных (ст?) напряжений
под угловой точкой балки-полоски
Рассмотрим процесс развития зон пластичности в основании. Для этого на диаграмме деформирования (кривая стг- - е на рис. 4) условно выделим два характерных участка: первый, по очертанию близкий к прямой, соответствует работе основания по схеме линейно-деформируемого слоя, и второй, который будем характеризовать как участок, соответствующий появлению и развитию зон пластических деформаций. Рассмотрим процесс развития зон пластичности при увеличении внешней нагрузки ц. В качестве критерия появления и развития зон пластичности примем условие
р1 = 100 • (ег. - ер ) > 0, (8)
где ер - уровень деформаций, соответствующий началу развития зон пластичности. На рис. 5 представлены изополя функции р1 при различной величине действующей нагрузки.
На начальном этапе зоны пластичности развиваются под краем балки. При увеличении нагрузки до 110 кПа зона наибольших пластических деформаций по-прежнему расположена непосредственно под краем балки, кроме того, зоны пластичности развиваются в области под балкой, распространяясь вглубь основания.
Покажем влияние нелинейных свойств основания на вертикальные перемещения, для этого сравним результаты расчета осадок балки с решением, полученным по схеме линейно деформируемого слоя (ст^ = 0). На рис. 6 представлены эпюры вертикальных
перемещений балки Ж при нагрузке q = 130 кПа, здесь через Ж0 обозначена осадка средней точки балки.
б
а
Рис. 5. Изополя функции р1 при различной величине нагрузки: а - д = 60 кПа; б - д = 110 кПа
Рис. 6. Эпюры вертикальных перемещений балки
Нетрудно видеть, что учет нелинейной работы основания приводит к меньшим изгибным деформациям балки. Концентрация напряжений под краем балки приводит к тому, что в этих зонах уровень начального критического давления достигается раньше, образующиеся в результате зоны развитых пластических деформаций хуже сопротивляются внешней нагрузке и, как следствие, разность осадок краев балки и ее середины уменьшается.
Таким образом, предлагаемая модель, построенная на базе инкрементальной модели наведенной неоднородности, может быть использована для описания напряженно-деформированного состояния системы «плита - слой основания» без априорного задания законов изменения перемещений. Кроме того, при использовании соответствующей функции аппроксимации закона деформирования, применение методов инкрементальной
теории позволяет учитывать неоднородность деформационных свойств среды основания как по объему, так и во времени.
ЛИТЕРАТУРА
1. Иноземцев В.К. Математическая модель деформирования геомассивов применительно к деформационным процессам в основаниях сооружений /
В.К. Иноземцев, В.И. Редков. Саратов: СГТУ, 2005. 412 с.
2. Петров В.В. Теория наведенной неоднородности и ее приложения к расчету конструкций на неоднородном основании / В.В. Петров, В.К. Иноземцев, Н.Ф. Синева. Саратов: СГТУ, 2002. 260 с.
3. Власов В.З. Избранные труды: в 3 т. / В.З. Власов. М.: Наука, 1964. Т. 3. 477 с.
4. Власов В.З. Балки, плиты и оболочки на упругом основании / В.З. Власов, Н.Н. Леонтьев. М.: Физматгиз, 1960. 324 с.
Зиновьев Александр Сергеевич —
аспирант кафедры «Промышленное и гражданское строительство»
Саратовского государственного технического университета
Статья поступила в редакцию 28.10.08, принята к опубликованию 10.12.08
Zinoviev Aleksandr Sergeevich -
Graduate Student of the Department of «Industrial and Civil Building» of Saratov State Technical University
