БЕСКОНЕЧНЫЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ КАК ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС ШКОЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

БЕСКОНЕЧНЫЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ КАК ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС ШКОЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ Ахметзянова А.Т.1, Кургузов В.А.2

1Ахметзянова Айнара Тюлегеновна - учитель математики;

2Кургузов Виталий Александрович - кандидат географических наук, учитель географии, Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение Лицей № 1, г. Оренбург

Аннотация: некоторое время назад возрос интерес к теории чисел, так как многие красивые решения по математике можно выполнить, владея аппаратом цепных дробей. Иногда, чтобы научиться решать некоторые задания, нужно годы безупречной учебы, и работая в школе, задаешься порой вопросом: как научить решать задания через простое, через понятное ученику. Цепные дроби - это именно тот материал, с которым нужно познакомить школьника и откроется огромное многообразие решения, казалось бы, таких сложных заданий на ЕГЭ по математике.

Ключевые слова: цепные дроби, профильная математика, государственная итоговая аттестация.

Теория чисел является наукой о числовых системах с их связями и законами. При этом в первую очередь уделяется внимание числам натурального ряда, которые являются основой для построения других числовых систем: целых, рациональных и иррациональных, действительных и комплексных.

Теория чисел изучает числа с точки зрения их строения и внутренних связей, рассматривает возможности представить одни числа через другие, более простые по своим свойствам, между тем строгое логическое обоснование понятия натурального числа и его обобщений, а также с ним теория действий рассматриваются отдельно в основаниях арифметики.

Поскольку упомянутые вопросы изучаются в школьном курсе, они объединяются под одним названием арифметики, хотя, как наука, арифметика отождествляется с теорией чисел.

Следует отметить, что в последнее время бурно развиваются новые области математики. В связи с этим возрастает интерес к теории чисел.

Бесконечные цепные дроби - один из разделов теории чисел. Впервые цепные дроби были описаны в алгебре Бомбелли (около 1530-1572), вышедшей в 1572 году. Но современное обозначение для непрерывных дробей встречается у Катальди (1545-1626) в 1613 году, только вместо знака «+» он писал «^ж

Широкое применение цепные дроби получили, начиная с работ известного физика, астронома и математика Христиана Гюйгенса (1629-1695). Гюйгенс рассматривал цепные дроби в связи с задачей подбора зубчатых колес, у которых отношение числа зубцов было возможно ближе к некоторому заданному числу. Число зубцов в таких колесах нельзя было брать слишком большим, так что приходилось отыскивать два сравнительно небольших натуральных числа, отношение которых было близко к заданному числу. Решение задач такого рода, естественно, приводит к рассмотрению цепных дробей и подходящих к ним. Подбор таких зубчатых колес был нужен Гюйгенсу в связи с его намерениями построить модель, имитирующую движение планет в солнечной системе.

Также теория цепных дробей была систематически разработана Эйлером (17071783), а затем Лагранжем (1736-1813). Разложение в цепную дробь числа е также принадлежит Эйлеру.

Теория чисел изучает саму природу числа, то есть строение и внутренние связи, находит возможное представление одних чисел через другие, которые более простые по своим свойствам.

Непрерывные дроби широко применялись в работах известного астронома, физика, математика Христиана Гюйгенса. Теория цепных дробей значительно расширена и более глубоко изучена Леонардом Эйлером, а затем Лагранжем.

Конечной цепной дробью называется число, записанное в виде

а0 +-Ц- (1)

а1+-Й7+-

где а0,аг,..,,а5 — целые числа, а1 > 1 ,. . ,,а5_ г > 1 ,а5> 1 . [5,с. 59]

Справедлива следующая теорема: Любое рациональное число равно некоторой конечной цепной дроби. Выполняется и обратная теорема: Существует одна и только одна конечная цепная дробь, равная данному рациональному числу.

Теорема: Если а0, а1(. . ., ах — элементы цепной дроби (1), то последовательность чисел

Р = Р а + Р 1

Рп и <2И (б = 0 , 1 ,. . ,,к) , определенная формулами лп _ .П_ 1 п , ¡П _ 2 ' |,2 < п < б и

Чп ~ Чп-1ап + Чп-2)

Р0 = а0, <20 = 1 ,Р1= а0а¡¡^ + 1 , <2 1 = а¡¡^ , обладает тем свойством, что при всех этих б р

отношение равно п-й подходящей дроби.

Бесконечной цепной дробью называется выражение вида

1

а0 +-^--(2)

где целое число, а все остальные натуральные числа, т. е. при

1 ,2 ,. . ..

Бесконечная дробь (2) называется сходящейся, если существует предел ее подходящих дробей, то есть где а называют величиной бесконечной сходящейся цепной дроби.

Нтп_> ^ = а. [ 5 , с . 2 1 1 ]

Конечные и бесконечные цепные дроби объединяют общим понятием цепных или непрерывных дробей, понимая под этим выражения вида

[а0; а^аг,...],

где последовательность целых чисел может быть конечной или

бесконечной, если последовательность конечная, то последний член .

Теорема. Для любого действительного числа а существует одна и только одна цепная дробь, равная .

Данная теорема устанавливает взаимно-однозначное соответствие между действительными числами и цепными дробями: рациональное число однозначно раскладывается в конечную цепную дробь, иррациональные числа - единственно в бесконечную цепную дробь.

Одна из особенностей подходящих дробей: они являются лучшими приближениями к действительным числам по сравнению с десятичными дробями, имеющие примерно те же знаменатели, что и подходящие дроби.

Объяснение этому то, что непрерывные дроби более гибкие, так как знаменатели подходящих дробей зависят от природы самого числа, а знаменатели десятичных дробей имеют стандартный вид

Число а называется квадратической иррациональностью, если а — иррациональный корень некоторого уравнения

ах2 + Ьх + с = О (1)

с целыми коэффициентами, не равными одновременно нулю.

Цепная дробь [а0,,а1,а2,...] называется периодической, если периодической является последовательностью элементов а0, аг, а2,... .

Теорема 4 (Лагранжа). Любая квадратическая иррациональность разлагается в периодическую цепную дробь.

Теорема Лагранжа позволяет утверждать, что для любой квадратической иррациональности после некоторого количества действий обязательно получим совпадение двух неполных частных и, тем самым, найдем периодическую цепную дробь. [5, с. 218]

Результатом моей работы является элективный курс на тему «Цепные дроби».

Общая характеристика курса: программа курса предусматривает знакомство с новыми дробями - цепными, которые в школьном курсе математики не изучаются. Рассматриваются решения различных задач с применением цепных дробей, в частности вводится понятие диофантового уравнения, так как цепные дроби являются одним из способов решения уравнений такого вида. Данный материал направлен на расширение кругозора у обучающихся и повышение интереса к предмету математика.

Курс «Цепные дроби» может быть предложен учащимся 10 класса и отдельным обучающимся 11 класса для подготовки к олимпиадам. В процессе изучения этого материала могут быть использованы: индивидуальная работа, работа в парах и группах.

Методы обучения, используемые в процессе проведения занятий - школьная лекция, рассказ, беседа, метод упражнений и др. В ходе изучения курса используются современные информационные технологии.

Контроль и система оценивания проводится по завершению элективного курса в форме контрольной работы.

Цель курса - углубленная подготовка обучающихся по математике на этапе подготовки к государственной итоговой аттестации.

Задачи:

1. Познакомить учащихся с понятием цепной дроби, и историей их возникновения.

2. Рассмотреть применение цепных дробей при решении диофантовых уравнений и олимпиадных задач.

3. Формирование познавательного интереса у обучающихся среднего общего образования.

4. Подготовка к успешной сдаче ЕГЭ на профильном уровне.

Программа курса предусматривает изучение темы цепные дроби: само определение, свойства дробей такого вида, расширение знаний о решениях неопределенных уравнениях первой степени в целых (натуральных) числах. Учитывается необходимость иллюстрации примерами при решении задач. Программа состоит из двух частей: программы минимум и программы максимум. Программа максимум предполагает объединение части I с частью II плана проведения занятий.

Форма проведения занятий - классно-урочная.

Содержание курса

Программа минимум

Находить по цепным дробям соответствующие несократимые дроби и задача обратная, сократить дробь, находить погрешность замены рационального числа подходящей дробью. Решение неопределенных уравнений первой степени с помощью цепных дробей, текстовых задач.

Программа максимум

Решать задачи олимпиадного уровня, задания из ЕГЭ.

Некоторые задания из элективного курса.

Задача 1. Сократить с помощью разложения в непрерывную дробь следующие обыкновенные дроби:

а 3653

3107

_ а 3653

Решение: - =-

Ъ 3107

3107|1

3653|3107 31071546

2730|5

546|377

377|1

3771169 338|2

169|39 156|4 39|13 39|3 0

3653

3107

= 1 +■

5 + ■

281 239

1 +■

2 +

„ 3653 281

Ответ: -= — •

3107 239

Задача 2. Решить уравнение 3 х + 7у = 2 . Решение:

4 + 1

3|7

0|0 7|3 6|2 3|1 3|1 о

= [0; 2,3]

-2 -1 0 1 2

<?5 0 2 3

Р5 0 1 0 1 3

<35 1 0 1 2 7

(х = <гп_1(-1)п-1с-К, Ъ = Рп-Л-Т-Т ■ с + ас. (х = -2- а, ( у = 4 + 3£;.

х = —2 ПУсть С = 0: у = 4.'

Ответ: (- 2 , 4) .

Задача 3. Имеются детали массой 8 кг и 3 кг. Сколько необходимо взять тех и других деталей, чтобы получить груз 32 кг?

Решение: Пусть х — деталей, массой 8 кг, тогда у — деталей, массой по 3 кг. По условию задачи известно, что необходимо получить груз 32 кг из деталей по 8 кг и по 3 кг.

8х + 3 у = 32

8|3

б|2 3|2 2|1 2|1 2|2 О

8

з = [2;1'2]

-2 -1 0 1 2

Чз 2 1 2

р5 0 1 2 3 8

& 1 0 1 1 3

1. Пусть £ = — 1 1 : (Х I ' {у = 6,

Гх = -32 - ъг, ( у = 96 + 8£\

= 1 деталей по 8 кг, 6 деталей по 3 кг. Ответ: (1 , 6 )

Задача 4. Решить уравнение Пелля: а) х2 — 2 6у 2 = 1 ; б) х 2 — 1 9у 2 = 1 . Решение: а)

Представим л/26> в виде цепной дроби:

а1 = л/26 = 5 Н--

«2

1 л/26 + 5 1

«г = -¡=-=-л-= Ю + —

л/26 - 5 1 аз

1 _ 1

а, = -==-= л/2 6 + 5 = 10 Ч--, а, = а7

л/26 - 5 а4

а = л/26 = [5; (10)]

к = 1

-2 -1 0 1

5 10

Рп 0 1 5 51

<2п 1 0 1 10

х = Рг = 51] У = (¿1 = ю|

(¿1

51 10

наименьшее положительное решение

Ответ: .

б) х2 — 1 9у 2 = 1

Представим //19 в виде цепной дроби:

а = л/19 = 4 + —

«2

1 л/19 + 4 1

«2 = -=---= 2 Н--

л/19 - 4 3 а3

Зл/19 + 6 л/19 + 2

йо =

«5 =

=

а7 =

л/19 + 4 3 15 2 5

1 5 л/19 + 3

л/19 + 2 5 л/19 - 3 2

1 2л/19 + 6 л/19 + 3

л/19 + 3 2 10 3 5

1 5л/19 + 10 л/19 + 2

л/19 + 3

- 1

15

1

Ь —

а4

1

«5 1

ь —

«6

= 2 + —

а7

л/19 + 2

Зл/19 + 12 ___1

---= л/19 + 4 = 8+ —

3 «я

1 л/19 + 4 1 ая = -=---= 2 Н--, а8 = а2

а9

л/19 - 4 3 а = л/19 = [4; (2,1,3,1,2,8)]

к = 6

^_&

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

4 2 1 3 1 2 8

0 1 4 9 13 48 61 170

<2п 1 0 1 2 3 11 14 39

х = Рг = 170] У = & = 39]

170 ~39~

наименьшее положительное решение.

Ответ: (1 70,39) .

Задача 5. Решить в натуральных числах уравнение х + —Ц- = —.

У+; 7

10 10 1 Решение: 1) способ. Разложим — в цепную дробь: — = 1 +

„ , 1 ю , 1 . , 1 3 Из уравнения х +--т = — получим х +--т = 1 +--т ,

У+г 2+з

и из единственности разложения рационального числа в цепную дробь следует х = 1 ,у = 2 = 3 .

г 3

2) способ. Преобразуем уравнение х + = 1 + -. Тогда х — целая, —дробная часть, поэтому

( х = 1 г 3

11 + уг 1 Из в

Ответ:

ТХ 1+У2 7 I 1 О I 1 о о

Из второго уравнения следует -= - или у + - = 2 + - откуда у = 2 , г = 3 .

Задача 6. Имеется 3 3 коробки массой 1 9 кг каждая и 2 7 коробок массой 49 кг каждая. Все эти коробки раскладываются по двум контейнерам. Пусть 5 — модуль разности суммарных масс коробок в контейнерах. Найдите наименьшее значение 5 :

а) если дополнительно требуется, что в контейнерах должно находиться одинаковое количество коробок;

б) без дополнительного условия пункта

Решение: а) Всего имеется 3 3 + 2 7 = 60 коробок. Значит, в каждом контейнере должно находиться по коробок.

Пусть х — количество лёгких (по 1 9 кг) коробок в первом контейнере. Тогда число тяжёлых (по кг) коробок в первом контейнере равно . Во втором контейнере лёгких коробок получается , а тяжёлых коробок:

27 - (30 - х) = х - 3. Суммарные массы коробок в первом и втором контейнерах равны соответственно: т1 = 19х + 49(30 - х) = 1470 - ЗОх; т2 = 19(33 х) + 49(х - 3) = 480 + ЗОх:

Отсюда:

5=|т2- т^ = |60х - 990| = 30|2х - 33| : Число | 2 х — 3 3 | является нечётным и принимает наименьшее возможное значение 1 при

или . Следовательно, наименьшее значение равно .

б) Пусть в первом контейнере находится лёгких коробок и тяжёлых коробок. Тогда во втором контейнере будет и лёгких и тяжёлых коробок соответственно. Имеем:

т1 = 19х + 49у; т2 = 19(33 - х) + 49(27 - у) = 1950 - 19х - 49у: При этом имеют место неравенства:

х < 33; у < 27 (1)

Величина равна:

5 = |38х + 98у - 1950| = 2|19у + 49у - 975|: Требуется найти минимальное значение при условии, что выполнены оба неравенства

(1).

Заметим, что возможен прямой перебор всех значений и

, то есть последовательное рассмотрение всех вариантов. Вообще, исчерпывающий перебор конечного числа вариантов — это полноценное решение задачи. Прежде всего, проверим, не может ли 5 равняться нулю. Для этого рассмотрим уравнение:

19х + 49у = 975 (2)

Будем использовать остатки от деления на 7. Перепишем уравнение (2) следующим образом:

5х + 14х + 49у = 975 (3) Нетрудно проверить, что 975 даёт остаток 2 (975 = 139 -7 + 2). Значит, и слагаемое 5х

даёт остаток 2 (ведь остальные слагаемые в левой части делятся на 7). Перебор остатков от

0 до 6 показывает, что единственная возможность — это остаток 6, то есть

х = 7к + 6 (4)

Подставляем (3) в (4)

19(7 к + 6) + 49у = 975; 19 ■ 7к + 49у = 861;

и после сокращения на :

19 к + 7у = 123 (5)

Благодаря этому сокращению уравнение (5) проще уравнения (3). Давайте повторим всю эту процедуру — теперь уже применительно к уравнению (5). Начинаем так же:

5к + 14к + 7у = 123

Правая часть 123 даёт остаток 4 (123 = 17-7 +4). Значит, и 5 к даёт остаток 4. Тогда к может давать только остаток 5:

к = 7т + 5 (6)

Подставляя (6) в (4), получим: х = 7 (7т + 5 ) + 6 = 49 т + 4 1 . Таким образом, оказывается, что х > 4 1 — вопреки первому неравенству (1). Итак, уравнение (2) не имеет решений, удовлетворяющих условию (1).

Поэтому S Ф О.Подставим (6) в (5):

19(7гп + 5) + 7 у = 123;

19 ■ 7т + 7у = 28;

19 т + у = 4:

Отсюда видно, что единственная возможность — это т = О и у = 4. Остаётся найти х. Из (6) и (4) последовательно получаем:

х = 7-5 + 6 = 41.

Итак, уравнение (3) имеет единственное решение (4 1 , 4) в натуральных числах. Это решение не удовлетворяет условию (1). Поскольку является чётным числом, имеем оценку: S > 2 . Равенство достигается, например, в случае х = 2 3 и у = 1 1: 5 = 2|19 ■ 23 + 49 ■ 11 - 9751 = 2|976 - 975| = 2

Следовательно, наименьшее значение S равно 2.

Ответ: а) 30; б) 2.

Цепные дроби имеют огромное значение в теории чисел, но также такого вида широко применяются и в других науках. Цепные дроби использовали: при решении задачи древности о построении квадрата, равновеликого данному кругу, это повлияло на нахождение значения числа , при составлении календаря, при построении модели Гюйгенса, имитирующей движения планет в солнечной системе, при вычислении затмений, с их помощью обобщены некоторые алгоритмы (Евклида, Остроградского, Эйлера). Решили классическую задачу об алгебраических иррациональностях высших степеней, отыскали некоторые решения диофантовых уравнений и их систем, применяются при приближенном нахождении корней квадратных уравнений, при решении сравнений первой степени. Помимо теоретического использования правильных цепных дробей существуют и практические приложения цепных дробей. Среди всего их множества можно отметить следующие:

• Решение обратных задач теплопроводности;

• Наблюдение механических колебаний в валопроводах различных энергетических установок;

• Синтез устройств частотной селекции на функциональных времязадающих элементах;

• Исследования: устойчивости, установившихся и переходных процессов, стабилизации систем, качества систем, случайных процессов, оптимизации параметров и ряд других проблем в технике, радиоэлектронике, приборостроении.

Пример применения наилучших приближений, полученных с помощью цепных дробей, -математическое объяснение того, почему со времен Баха в музыке используют равномерно темперированную шкалу, содержащую 12 полутонов в каждой октаве.

Применение цепных дробей в других науках огромное, своей статьей я хочу привлечь внимание учителей математики, работающих в старших классах и учеников, которые сдают ЕГЭ профильный уровень, для тщательной подготовки к этому испытанию.

Список литературы

1. Алфутова Н.Б., Устинов А.В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для

математических школ / Н.Б. Алфутова, А.В. Устинов. М.: МЦНМО, 2002.

2. Арнольд И.В. Теория чисел / И.В. Арнольд. М.: Издательство Московского центра непрерывного математического образования, 2001.

3. БалкМ.Б. Математика после уроков / М.Б. Балк, Г.Д. Балк. М.: Просвещение, 1971.

4. Боднарчук П.И. Успехи и задачи теории цепных и ветвящихся цепных дробей / П.И. Боднарчук, В.Я. Скоробогатько // Цепные дроби их применения: сб. научных трудов / под ред. В.Я. Скоробогатько. Институт математики АН УССР. Киев, 1976.

5. БухштабА.А. Теория чисел / А.А. Бухштаб. СП.: Издательство «Лань», 2008.

6. Виленкин Н.Я. Алгебра и теория чисел / Н.Я. Виленкин. М.: Просвещение, 1984.

7. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра. 8 класс. С углубленным изучением математики/ Н.Я. Виленкин, Г.С. Сурвилло. М.: Просвещение. 2010.

8. Виноградов И.М. Основы теории чисел / И.М. Виноградов. СП.: Издательство «Лань», 2008.