МАТРИЧНЫЙ АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

АПВПМ-2019

МАТРИЧНЫЙ АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ

В, А. Селезнев, Л, В, Пехтерева

Новосибирский государственный технический университет, 630073, Новосибирск

УДК 511.41

Б01: 10.24411/9999-016А-2019-10071

Рассматривается матричный алгоритм представления цепных дробей. Этот алгоритм, во-первых, позволяет вычислять цепные дроби как произведение двумерных матриц. Во-вторых, имеет геометрическую реализацию в виде морфизмов двумерной решетки с координатами из натуральных чисел, что дает некоторые его геометрические применения.

Ключевые слова: представления цепных дробей, вычисления цепных дробей.

Введение

Матричное представление конечных цепных дробей мы получаем, как алгебраическую формализацию алгоритма Евклида, представляющего рациональные числа в виде конечных цепных дробей. Полученное представление позволяет интерпретировать алгоритм Минковского «вытянутых носов» в виде действия композиции унимодулярных матриц, представляющих рациональные числа. В качестве приложений получено представление унимодулярных морфизмов целочисленной решетки, основанное на взаимно однозначном соответствии множества рациональных чисел и множества унимодулярных матриц второго порядка с элементами из натуральных чисел. Приводятся свойства полученного представления.

1 Матричное представление конечной цепной дроби

Напомним, [1], что любое рациональное число £ > 1 разлагается в конечную цепную дробь | = |ао; а., а2,..., ап}, где а^ € М, по правилу

Р 1 т

- = «о +---х-. (1)

^ «1 + а2 + ... + ^

Заметим, что это представление является суперпозицией дробно-линейных функций а+ - = а2+1, каждую из которых можно представить как действие оператора Ьа(х) в матричном виде

^ ^ - ;)(*) (2)

Используя (2), по индукции можно показать, что конечная цепная дробь (1) при условии | > 1 представляется в виде матричного произведения

р (ао 1\ (а. 1\ (ап-1 1

, (Т i) (I1 1) ("г1 1) (-) (3)

Если последний элемент в этом представлении ап = 1, то представим его в виде матричного действия

т-п = (а„ - 1) + 1 = (а„ - 1) + 1 = La^_i(l).

ISBN 978-5-901548-42-4

получаем следующее

Предложение 1. В(

виде матричного произведения

Учитывая, что взятие обратной величины представляется в виде матричного действия ^ = ^ (я),

Предложение 1. Всякая конечная цепная дробь (1) при | > 1 единственным образом представляется в

р <1

(т;)(? ¿Мт ^(1)=п^т ^(1)-" ^

а при | < 1

р <1

(; ¿)(? ох? о) ■■■(? 1)(1)=(; 1)п(? о)«-

(4)

(5)

Перемножая матрицы в представлениях (4) и (5), получаем Следствие 1. Представления (4) и (5) редуцируются к виду, соответственно

П (А В\ А + В

С + В

("1° 1) ('! 1) ■■■ (1 о)а) = (А В) (1) -

(0о)(ао;)(? ¡)~(? о)ИА В) (1) -

где по индукции несложно проверить, что

С + В А + В

("1° 1) ( <(о1)

°1 1 1 о

а0 1 10

а„ 1

(-1)»+1

Из предложения 1 и следствия 1 следует

Теорема 1. (Об унимодулярном представлении рациональных чисел). Всякое рациональное число | единственным образом представляется в виде действия унимодулярной матрицы на единицу по правилу

р <1

(А В) <1)=А+В

С + В

где

А В

С В

1

Единственность этого представления доказывается от противного.

Следствие 2. Теорема 1 устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством положительных рациональных чисел и множеством унимодулярных 2 х 2 матриц, элементами которых являются натуральные числа.

2х 2

А + В > С + В

[А В\ = (ао Л (°1 Л (ап Л

С В = 1 0 1 0 ■■■ 1 0

А + В < С + В

(А В)=(о о) ("1° ^ (а1 о) ■■■ (а- о)

Действительно, по теореме 1 такой матрице соответствует определенное рациональное число, а требуемое представление следует из следствия 1.

и

а

п

1

446

В. А. Селезнев, Л. В. Пехтерева

2 Представление у ни модул ярн ых морфизмов натуральной числовой решетки рациональными числами

Представление рациональных чисел, полученное в теореме 1, позволяет построить морфизмы натуральных числовых решеток. Натуральную числовую решетку {Ж х N} определим, как множество пар положительных натуральных чисел (р, д) € {К х N}.

Теорема 2. Для любой унимодулярной матрицы ^ ^, отображение

(Р, д) € {Ж х N} ^ ^ (Р,д) € {Ж х N}

определяемое как последовательности операций

(Р, Ч) ^

^ и Р) = (А ^ (Р^ = Аg +В = Ар + Bq ^

\С Dj\qj С £ + D Ср + Dq

= (А В) О -.

^ (Ар + Вд, Ср + Вд) = (Р, Q) €{М х N}, есть морфизм Ь : {М х N} ^ {М х N}. Из теорем 1 и 2 получаем

Следствие 4. Всякое рациональное число | определяет унимодулярный морфизм натуральной числовой

(1, 1) ( , )

Это следствие позволяет построить унимодулярный нормированный морфизм натуральной числовой решетки, отображающий точку (р1, д1) в точку (р2, д2) следующим образом.

Пусть Ь1 : (1,1) ^ (р1, д.), Ь2 : (1,1) ^ (р2, 42)> тогда, если дроби ^ и ^ не сократимы, то искомый морфизм есть композиция Ь2 ® Ь-1, для которой

^ =Ь2(Ь-1(^)) (6)

2

В случае точек решетки с взаимно сократимыми координатами (тр 1,тд\) ш (пр2,п(/2) имеем морфизм, отображающий точку (тр1,тд1) в точку (пр2,пд2) в виде

п1 ®12 «Ь-1 ® — I, (7)

1 т

где п1 и I — это 2 х 2 — матрицы растяжения в п и ^ раз, соответственно. Заметим, что морфизмы натуральной числовой решетки, определяемые рациональными числами в теореме 2 построены не на аффинных, а на дробно линейных отображениях. Тем не менее, учитывая унимодуляр-ность матриц в представлении (6) теоремы 1, несложно проверить, что образ и прообраз многоугольников с вершинами в точках решетки сохраняют площадь. Для проверки указанного свойства достаточно проверить, что площадь любого треугольника с вершинами в узлах решетки сохраняется при отображении задаваемом

а 1

действием матриц вида ^ ^ ), которые участвуют в представлениях следствия 3.

Заключение

1) О представлении бесконечных цепных дробей.

Известно три способа записи цепных дробей: Прингсгейма, Мюллера и Роджерса, [2]. Матричный способ представления (4), (5) позволяет записать бесконечную цепную дробь, представляющую иррациональные числа в виде

г= Й(? 1) (!)'«* 1; (8)

(9)

В случае приближения бесконечной цепной дроби подходящей конечной цепной дробью мы возвращаемся к представлениям (4) и (5).

2) О морфизме решеток натуральных чисел. Согласно следствию 2 рациональные числа генерируют унимодулярные морфизмы натуральной числовой решетки, сохраняющие площади многоугольных фигур на этой решетке.

Известный алгоритм Минковского «вытянутых носов», [3], стр.105, может быть реализован итерациями точ-

представлениях (8) или (9). Есть другие геометрические реализации, связанные с построенными упимоду-лярными морфизмами.

3) О приложениях к представлениям рациональных выражений.

Построенное матричное представление цепных дробей остается верным на формальных структурах, допускающих применяемые в полученном представлении операции.

Список литературы

[1] Хинчин А. Я. Цепные дроби. М.: Наука, 1978. — 111с.

[2] Хованский А.П. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа. — М.: государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. —203с.

[3] Арнольд В.И. Дополнительнвые главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1978. - 304с.

ки (i, i) натуральной числовой решетки последовательным действием унимодулярных матриц

Селезнев Вадим Александрович — д.ф.-м.н., зав. кафедрой инженерной математики Новосибирского государственного технического университета;

е-mail: seleznev@corp.nstu. ru;

Пехтерева Лина Вадимовна — к .т.н., старший преподаватель кафедры высшей математики

Новосибирского государственного технического университета;

e-mail: pekhterevaQcorp .nstu.ru; Дата поступления — 28 мая 2019 г.