БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ БИСТОХАСТИЧЕСКИЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ LI Текст научной статьи по специальности «Математика»

2022

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика и механика Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics

№ 76

Научная статья

УДК 517.983.33 MSC: 15B51, 37L55

doi: 10.17223/19988621/76/2

Бесконечномерные бистохастические квадратичные операторы в пространстве h

Аъзам Абдурахимович Имомов1, Абдумалик Искандарович Эшниязов2

1 Каршинский государственный университет, Карши, Узбекистан, imomov_azam@mail.ru 2 Гулистанский государственный университет, Гулистан, Узбекистан, eshniyozovabdumalik@yandex. com

Аннотация. Работа посвящена бистохастическим квадратичным операторам; введено понятие бистохастического оператора произвольного порядка. Найдено необходимое и достаточное условие бистохастичности бесконечномерного квадратичного стохастического оператора. Изучен аналог теоремы Биркгофа о крайних точках множества бистохастических матриц.

Ключевые слова: бистохастический квадратичный оператор, бесконечномерный бистохастический квадратичный оператор, крайние точки множества бистохасти-ческих матриц

Для цитирования: Имомов А.А., Эшниязов А.И. Бесконечномерные бистохастические квадратичные операторы в пространстве h // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2022. № 76. С. 20-31. doi: 10.17223/19988621/76/2

Original article

Infinite distohastic square operators in h

Azam A. Imomov1, Abdumalik I. Eshniyazov2

1 Karshi State University, Karshi, Uzbekistan, imomov_azam@mail.ru 2 Gulistan State University, Gulistan, Uzbekistan, eshniyozovabdumalik@yandex.com

Abstract. The article is devoted to bistochastic quadratic operators. The concept of a bis-tochastic quadratic operator is introduced and the property of such operators is studied. A necessary and sufficient condition for bistochasticity is given. An analogue of Birkhoff s theorem is studied for the class of bistochastic quadratic operators. A sufficient condition for the extremity of bistochastic quadratic operators is obtained, and a necessary condition is also obtained for small dimensions. The concept of bistochastic quadratic operators is generalized, and the concept of a bistochastic operator of arbitrary order is introduced.

© А.А. Имомов, А.И. Эшниязов, 2022

Keywords: bistochastic quadratic operator, infinite-dimensional bistochastic quadratic operator, extreme points of the set of bistochastic matrices

For citation: Imomov, A.A., Eshniyazov, A.I. (2022) Infinite distohastic square operators in /1. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika -Tomsk State University Journa/ of Mathematics and Mechanics. 76. pp. 20-31. doi: 10.17223/19988621/76/2

Введение

Динамическая система - это объект или процесс, который характеризуется своим состоянием как совокупностью характеристик в некоторые моменты времени, и определен закон эволюции состояния динамической системы во времени. Математическое моделирование нелинейных динамических систем является междисциплинарным инструментом исследования разнообразных процессов в природе и обществе. Первые результаты исследований динамических систем были получены при анализе моделей естественно-научных дисциплин - механики, биологии, метеорологии, синергетики, популяционной генетики, биофизики и т.д. К примеру, можно указать задачи отбора в локусах в генетике (см.: [1]), в биофизике - модели молекулярной эволюции, одна из которых называется гиперциклами П. Шустера (см.: [2]). Все эти модели в значительной мере основываются на качественно-топологических методах теории динамических систем в целом. В свою очередь, прикладные задачи, возникающие в различных отраслях естествознания, все чаще становятся источником развития математических теорий. Особенности изменения генетической структуры в органических популяциях снабжают нас задачами, где также приходится изучать нелинейные (в основном квадратичные) преобразования и их траектории.

Одной из основных задач теории квадратичных стохастических операторов (КСО) считают проблему С. Улама [3] о полной топологической классификации КСО базисного симплекса. Сравнительно хорошо изученными среди КСО являются так называемые вольтерровы отображения, введенные и разработанные в работах Р.Н. Ганиходжаева на основе сформулированной задачи С. Улама.

Интерес к изучению предельного поведения траекторий квадратичных отображений двумерного симплекса и их обобщениям возрос с появлением сообщений о результатах численных экспериментов, начатых Э. Ферми, С. Уламом, Дж. Пастой. В этом направлении, в теоретическом плане, наиболее содержательные и полезные результаты получены в работах Г. Кестена, Ю.И. Любича, С.С. Валландера, М.И. Захаревича, Н.П. Зимакова, Н.Н. Ганиходжаева, Р.Н. Ганиходжаева, Ф.А. Шахиди и др.

Другой класс квадратичных стохастических операторов - совокупность всех бистохастических квадратичных операторов (БКО) - введен в работе [4] по аналогии с определением линейного двояко-стохастического оператора посредством мажоризации Харди-Литтльвуда-Пойа. Проникновение мажорирования во многие теории, в частности в теорию КСО, придает особый акцент актуальности его применения. Следовательно, изучение класса БКО также становится актуальной задачей как в плане траекторной теории и теории многомерных матриц, так и с точки зрения теории мажоризации.

1. Определение бистохастических операторов в бесконечномерном симплексе

Определение 1. Множество

S = |х = (х15х2, ...) е /j : х; >0, ¿х; =lj

называется бесконечномерным симплексом.

Известно [5], что 5 = со (ех&(5)), где ех1т(Б) - множество крайних точек в 5, а со(А) - выпуклая оболочка множества А . Более того, каждая точка

е* =(0,0,...ДО,...), где 1 стоит в ^й позиции, является крайней в Б .

Определение 2. Оператор V: Б ^ Б называется квадратично стохастическим, если он имеет вид:

оо

('V).. к = 1,2,..., (1.1)

где коэффициенты Ру к удовлетворяют следующим условиям

ад

Рук = Р3гМ > 0, ЕРул = 1. (1.2)

к=1

Очевидно, что условия (1.2) обеспечивают сохранение симплекса, т.е КСО отображает симплекс в себя.

Пусть = (хщ,хщ,...) - невозрастающая перестановка точки х , т.е.

Х[1] — Х[2] ~ ■ ■

для точки х = (х1,х2,-..) из 5".

Определение 3. Говорят, что для точек х, у из симплекса Б х мажорируется у (или у мажорирует х), и пишут х~<у (или у>х), если выполняется следующее условие:

к к !=1 !=1

Напомним, что бесконечная матрица называется бистохастической, если все ее элементы неотрицательны и сумма элементов каждой ее строки и каждого столбца равна 1. Известно [6], что х<у эквивалентно существованию бесконечной бистохастической матрицы Р такой, что х^ = Ру^ . Таким образом, для бесконечной бистохастической матрицы Р имеем Ру^ = для каждого у е Б.

Теперь введем понятие бесконечномерного бистохастического квадратичного оператора.

Определение 4. КСО (1.1) называется бистохастическим, если

Ух<х. (1.3)

Например, линейные операторы, определенные в ^ с бистохастической матрицей, удовлетворяют (1.3).

2. Необходимое и достаточное условие бистохастичности оператора

Сформулируем необходимое и достаточное условие бистохастичности квадратичного стохастического оператора.

Теорема 2.1. Пусть V - БКО. Тогда коэффициенты Рук удовлетворяют

следующим условиям:

1) Х^М-Н' |а|< +оо,

i,j еа

m

pj,k

2) lim ^ Pijk = +oov0, /fceN.

Доказательство. 1) Пусть Vx < x. Тогда, согласно [6], существует бистохастическая матрица Р(х) = (/-^(х)) (которая зависит от х) такая, что (Ух)1 = Р(х)х1. Рассмотрим множество a0<zN, |а0|<со, и положим x0(a0) = (xj0, ..., ), где

d_J_ •

— I I , i е ао,

ы

x0 — 0 , i £ а0. Очевидно, что x0 е S. Имеем

W 1 Ы 1 со л л

vo )т — z j] А—z pj (xo А Pj (x0 А—^.

i, Jеа0 а0 i—1 |ао| i—1 |ао| |а0|

Так как а0 _ произвольное множество, то получаем

Z Р^щ <|а|, VacN, |а|<+оо, \fk = \,m,

то есть

Z VacN, |а|<+оо, \fh = \,m.

j,k

i,j еа

2) Пусть

т т

Очевидно, что x1 е S. Тогда из (1.1) имеем

л-i = I —, -, ...,-, О, 0, ... I.

m 1

V (x1)k — Z Pjk — .

i,j—i J m2

С другой стороны, так как (Vx— P(x)x^, тогда если föj ^ 0 , то лючаем

m 1

V (x1), — Z Ph (x1)- .

i—1

Приравнивая последние два уравнения, получаем

Далее, так как

то получаем

X Р,k = P (x1) .

i,j=\ 1=1

lim £ Pii (x) = 1,

lim

m—>со

",7=1

Теорема доказана. Обозначим Ак=\Рук|, /с еN. и

( Акх> х) - Е Ру,кх1х] ■

•,} -1

Тогда V переписывается следующим образом:

Гх = [(А1х,х), (А2х,х), ..., (Атх,х), ...]. С целью краткости перепишем оператор, в итоге

Г = (А1\А2\...\Ат...). (2.1)

Введем обозначение:

I т I

иЧА-(ау) : ач - аП - ° Е ау =Ф1' Н^ И™ Е ау(2.2)

[ г, у-1 ]

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.2. Если V = (Д | А2 \... | Ат ...) - БКО, то Ак е и.

Ниже будем исследовать структуру этого множества. Очевидно, что и является выпуклым множеством. Рассмотрим множество и как подмножество пространства

(НхН) = |х = (хп т): х„т е К. /;.шеМ, ЦхЦ^ =8ири>теМ|хя>))1|} . Известно [7], что пространство

/ЧНхК)= х = (хЙИ): хЙИеК, \\х\[= ^\хпт\<сс\

I п. т 1 J

является предсопряженным к /' (МхМ), т.е. Г (М/ М) = /' (М/ М). Поэтому в /°°(МхМ) можно рассмотреть ст(/°°(МхМ), /'(МхМ)) топологию; далее эту топологию обозначим как т . Согласно теореме Банаха-Алаоглу, единичный шар является ст(/°°(МхМ), Л(МхМ)) слабо компактным в /°°(МхМ). Так как все элементы матрицы и не больше единицы, и является подмножеством единичного шара (М / М). Так как и является замкнутым, то и является

ст(/со(МхМ), Л(КхМ)) слабо компактным в /°°(1ЧхН).

m

Введем некоторые понятия. Пусть \/асМ, |а|<+оо. Множество а будем называть насыщенным относительно матрицы А = (а.), если ^ ац -|а| . Со-

ответствующую подматрицу (а..), .еа будем называть насыщенной подматрицей. Обозначим

N =

0

1/ ч/2

1/ ^ /2

0

Подматрицу N матрицы А назовем свободной если она не содержится ни в какой насыщенной подматрице матрицы А . Введем обозначения:

М1 =

0

1/ 1/^ /2 /2

1/ 1/ /2 /2

0

М 2 =

0 /2

12 о о К

0

0

М3 =

0

1/Л /2

0 0

Пусть Q является подмножеством и, элементы которого содержат Mi для некоторого I = 1,2,3. Следующая теорема описывает все крайние точки множества и, т.е. ехгШ.

Теорема 2.3.

А = (а. ) е ехгШ

тогда и только тогда, когда А не имеет свободных подматриц и

аи = ^ 0 а.=^1V а а е е.

Доказательство. Необходимость. Пусть А = (а.) е ехгШ. Сначала докажем,

что аЙ = 1V 0, а = 1V1V 0. Докажем это утверждение относительно порядка

матрицы А . Для конечных матриц доказано (см. теорему 1.2). Докажем для бесконечных матриц.

Сначала докажем, что если А = (а.) е ехгШ, то аа = ¡V 0. Пусть 0 < ай < 1.

Если 1 содержится в некотором насыщенном множестве, то по предположению индукции заключаем, что а 1 = 0 V1, иначе матрицы

А' = {а11 = а11 + е а. = ал }

А" = {а

а =а.}

где е - достаточно малое число, принадлежат и, и более того, 2А = А + А", что противоречит крайности матрицы А.

Теперь докажем, что а^ = ^ 1V 0. Пусть существует а^ ф 1V1V 0

(о ф.о). Если {0,.0}са для некоторого насыщенного множества а, то по

и

предположению индукции следует, что = IV7V 0. Если не существует такого насыщенного множества, то матрицы

А' = {а' . = а . + г, а ■■ = а■■ 1

( loJo loJo Ч Р )

и

А' = {<Л = аЧ "8, аЧ = аЛ} принадлежат и, более того, 2А = А' + А'', что противоречит тому, что А = еХги.

Докажем, что А £ Q. Пусть А имеет подматрицу M1. Без ограничения общности обозначим ее через (а^ч-=1>2>3. Рассмотрим матрицы

А' = {а'г = + 8, а" 3 = % —е, а = ау, }

и

А' ' = {а12 = а12 — г а13 = а13 + е ач = ал } •

Для этих матриц выполняются 2А = А + А" и А', А" е и, что противоречит крайности А. Случаи, когда А имеет подматрицы, равные М2 и М3, рассматриваются аналогично.

Теперь допустим, что А имеет свободную подматрицу (а^), Ч=12. Положим

А' = [а[2 = а12 +8, аг] = aji}

А'' = {а12 = а12 —е, а = }. Так как (а у) , р=12 - свободная, то она не содержится ни в какой насыщенной

подматрице матрицы А, следовательно, А', А'' еи, т.е А не является крайней.

Достаточность. Докажем от противного. Допустим, что существуют матрицы В = (Ьу), С = (с у) е и такие, что 2А = В+С и В Ф С. Из аи= 1V 0 следует,

что Ьн = cll = Iv 0. Пусть существуют числа 10 и ч0, для которых Ь ^ ф ^ . Без

ограничения общности можно предположить, что (г0, у0 ) = (1,2). Из

' аи X ^

2

ч 72 а22,

и ^ ф получаем ап = а22 = 0. Так как А не имеет свободных подматриц, то существует множество а, такое что {1, 2} с а. Далее из

X ьч , X clJ

l,Jеа и Jеа

b11 b12 | | c11 c12 b12 b22

X bj + X cj =2 Xa j =2 lal

получаем

у

i, jea i, jea i, jea

и

и

X ЪИ = Х си =Н . (2.3)

'еа 'еа

Так как Ъ12 ф с12 , из (2.3.) получаем, что существуют числа ,') такие, что Ънл ф ^л • что (¿1, '1) = (3, 1) V (3, 4) .

Случай 1. Пусть, (^,') = (3, 1). Имеем

0

Л

23

^33

V b13 b23

bi3 > ( 0 C12 С Л c13

b23 + C12 0 С23

b33 J v C13 C23 c33 J

1

Так как Ъ13 ф с13, то получаем Ъ33 = с33 = 0 и а13 = —. Стало быть, А содержит

либо М , либо Ы2, что является противоречием.

Случай 2. Пусть, (¿1, '1) = (3, 4). В этом случае, по аналогии случаю 1, получаем, что А содержит одну из следующих матриц: М1, М2, М3. Теорема доказана.

Напомним, что бесконечная матрица называется перестановочной, если в каждых ее строке и столбце находится ровно один единичный элемент, а все остальные равны нулю.

Следствие 2.1. Пусть Р - бесконечная перестановочная матрица. Тогда Р е вх1ги. Следствие 2.2. Пусть, матрица А определяется следующим образом:

А = \аг, ■ «И =1> агк аг, = °> к £ N I.

Тогда А = ехги.

Рассмотрим множество

со со

I ;=1 \

По аналогии для множества и можно доказать, что множество Т является ст(/°°(МхМ), Л(МхМ)) - слабо компактным в /ж(МхМ). Рассмотрим уравнение относительно Т:

A = 1T + T').

(2.4.)

Здесь T' — транспонированная матрица.

Ниже исследуем условия для разрешимости уравнения (2.4).

Теорема 2.4. Пусть, A = (a^) — симметрическая неотрицательная матрица.

Для существования матрицы T = (tj) е T удовлетворяющей уравнению (2.4),

необходимым и достаточным условием является A eU.

Доказательство. Необходимость. Если T = (ttJ) стохастическая матрица и выполняется (2.4), тогда

X aj=1(X % + Х j) = Х % =хх%^х 1 =1«|.

i,jea 2 i,jea i,jea i,jea iea jea i,jea

2

Достаточность. Сначала докажем для крайних точек множества и . Пусть А е ех^и, тогда аи = 0 V1, ау = 0 V1V1

Пусть а^о = 1 (/0, у0 - фиксированы). Рассмотрим следующие случаи:

(I) Существует у, такой что ау = 1.

(II) Существует ¿0, такой что а^у = 1.

В обоих случаях легко доказать, что соответствующее А е ех&и. Следствие 2.3. Если V - БКО, то существуют матрицы Т е Т такие, что

Ух = ([Тхх, х), (Т2х, х), ■ ■ •, (Ттх, х) ■ ■ •). Следствие 2.4. Пусть А е и. Тогда выполняется следующее уравнение:

(Ах, х) < Хщ, Ух е 5. (2.5)

Доказательство. Сначала докажем, что

(Тх,х) < х^ ,Ух е 5, (2.6)

ад

где Т е Т. Действительно, так как (у > 0 и X (у < 1, то

у=1

вд

X 4х} < х[1]

у=1

для всех х е \. В частности, так как х е 5, то

ад ад

(тх х) = X Чхх3 = X х X (уху.

=1 ¿=1 у=1

вд

Учитывая х > 0, X х = 1 и последнее неравенство, получаем (2.6).

¿=1

Из теоремы (2.3) и неравенства (2.6) получаем (2.5).

Из доказанного следствия возникает вопрос: для каких матриц А выполняется неравенство

(Ах,х)<х[ Ч+--- + ХЧ (2-7)

для всех х е , где к е N? При к = 1 ответ на вопрос дается следствием 2.4. Введем следующие множества:

Тк= {r = (ty),/JeN: 0</у<1, lim £= =о v 0 , 1<£<

от,

I 7=1 "-^¿',7=1 ]

и, = | = (ау) : ау = а у, А = ±(Т + Т'), Т е Т, |, 1< , < т.

Теорема 2.5. Для матрицы А еик выполняется неравенство (2.7). Доказательство. Пусть х^ = - невозрастающая перестановка

вд

вектора х и Х1,---,Хт ■■■ - произвольные числа, такие что 0 < /., < 1, ^ /_( < к.

г=1

Рассмотрим сумму

ад

Ми + М2] + ■ ' ■ + Хш\т\ + ■ • ■• (2-8)

Пусть i <]. Замену коэффициентов на

назовем сдвигом право, если г > 0. Сдвиг называется допустимым, если сохраняется условие 0 где V,- - новые коэффициенты, полученные в результате сдвига.

Так как х[;-] > Х['], то при допустимых сдвигах вправо сумма (2.8) не возрастает. Также очевидно, что допустимый сдвиг возможен до получения набора 0, 0, • • 0, • • -1, 1, • • 1, г где количество единиц равняется

I =

XV-

и г = 1X4

Здесь [а] и {я} соответственно означают целую и дробную часть числа а. Заметим, что если I = к, то г = 0. Поэтому

^1Х[1] + ^2Х[2] Н ^ ^тХ[т] Н - Х[1] Н ^ Х[/] + ^[/+1] - Х[1] Н ^ Х[к] (2-9) т

для всех х е Б и 0 < V < 1, X V; < к.

¿=1

Пусть х е Б и А е ик. Выберем Т е Тк, так что

Тогда

А = 1(Т + Т') 2

ад ад ( ад ^

(Tx, х) = х цхх1 = X х X 1чх] 1,1=1 ¿=1 ^ '=1

Так как 0 < t¡j < 1 и X % < к, то согласно (2.9) получаем

'=1

ад к

X '' ¿X х[,

1=1 ¡=1

В силу xi > 0, X X = 1 получаем

¡=1

(Тх,х) ¿X:

¡=1

(Ах,х) ¿X-

Пусть В - множество всех БКО. Тогда теорема 2.2 означает, что для V е В условия

4еР„ ¿еМ, (2.10)

являются необходимыми.

и

¿=1

Пусть V = (A1\A2\---\Am\---) - БКО. Если

V | а|< оо, асЯ, (2.11)

ke а

то согласно теореме 2.4 выполняется неравенство (2.7). Поэтому выполняется Ух -< х. Таким образом, условия (2.11) достаточны для бистохастичности оператора. Теорема доказана.

3. Крайние точки множества бесконечномерных бистохастических операторов

Данный раздел посвящен изучению крайних точек множества бесконечномерных бистохастических операторов. Приведем простую лемму.

Лемма 3.1. Если для симметрической матрицы A имеем

вд

(Ax, x) = X aijkkxixj = °> Vx e S>

i,j=1

то A = 0.

Доказательство. Положим x = Xe,+ (1 -X)ej. Здесь, как прежде, et, ej - вершины симплекса, и 0 < X < 1.

j atj )X(1 -X) = 0.

Согласно симметричности матрицы А получаем А = 0.

Обозначим У = (А, \А21 • ■ ■ | Ат \ ■ ■ ■). Из определения бистохастичности следует, что если У g В, то Уп = (Д,(1) | Д, 2, | • • • | АМт) \ ■ ■ •) е В для любой перестановки

л множества индексов N. Лемма доказана.

Теорема 3.1. Пусть У = (А1 | Д | • • • | Д, | • • •) е extrB. Тогда К = (Ad) 14.(2) I • • • I Л(Я) I • ■ ■) е extrB для любой перестановки л множества индексов N.

Доказательство. Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.1. Теорема 3.2. Пусть, V = (Д | А2 | • • • | Ат \ ■ ■ •) е В. Если Ai е extrU, Vi е N, тогда

V = (Al\A2\---\Am\---)eextrB. Доказательство. Предположим, что У <£ extrB. Тогда ЗУ',У"еВ, У Ф У" такие,что 2У = У' + У" . Пусть У' = (А1 ¡■■■¡Ат V" = (Д | ■■■\Ат \ ■■■). Тогда

(2Д - Д - Д | • • • | 2Ат —Ат—Ат | • • •) = 0. Поэтому 2Д-Д-Д=0 V? е N. Так как AieextrU, Vie N, то Aj =Aj, V/êN. Итак, V = V" , что противоречит тому, что У g extrB.

Авторы выражают особую благодарность профессору Р.Н. Ганиходжаеву и реце-зенту за значимые замечания и важнейшие советы при оформления данной статьи.

Список источников

1. Любич Ю.И. Математические структуры в популяционной генетике. Киев : Наукова думка, 1983. 296 с

2. Файстель Р., Романовский Ю.М., Васильев В.А. Эволюция гиперциклов Эйгена, проте-

кающих в коацерватах // Биофизика. 1980. Т. 25, № 5. С. 882-887.

3. Flach S., Ivanchenko M.V., Kanakov O.I. q-Breathers and the Fermi-Pasta-Ulam problem //

Phys. Rev. Lett. 2005 V. 95. Art. 064102.

4. Ганиходжаев Р.Н. К определению бистохастических квадратичных операторов // УМН.

1993. Т. 4. С. 231-232.

5. RoyN. Extreme points and /'(Г) spaces //Proc. Amer. Math. Soc. 1982. № 86. P. 216-218.

6. Маршал А., Олкин И. Неравенства: теория мажоризации и ее приложения. М. : Мир,

1983. 575 с.

7. МаркусМ, МинкХ. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. М. : Наука, 1972. 232 с.

References

1. Lyubich Yu.I. (1983) Matematicheskiye struktury v populyatsionnoy genetike [Mathematical

structures in population genetics]. Kiev: Naukova dumka.

2. Feistel R., Romanovskii Yu.M., Vasil'ev V.A. (1980) Evolyutsiya gipertsiklov Eygena,

protekayushchikh v koatservatakh [Evolution of Eigen's Hypercycles Existing in Coacer-vates]. Biofizika. 25(5). pp. 882-887.

3. Flach S., Ivanchenko M.V. and Kanakov O.I. (2005) q-breathers and the Fermi-Pasta-Ulam

problem. Physical Review Letters. 95(064102).

4. Ganikhodzhaev R.N. (1993) On the definition of bistochastic quadratic operators. Russian

Mathematical Surveys. 48(4). pp. 244-246.

5. Roy N. (1982) Extreme points and i'(r) spaces. Proceedings of the American Mathematical

Society. 86(2). pp. 216-218.

6. Marshall A.W., Olkin I. (1980) Inequalities: Theory of Majorization and Its Applications.

Academic Press.

7. Marcus M., Mink H. (1964) A Survey of Matrix Theory and Matrix Inequalities. Boston: Allyn

and Bacon.

Сведения об авторах:

Имомов Аъзам Абдурахимович - доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой алгебры и геометрии физико-математического факультета Каршинского государственного университета (Карши, Узбекистан). E-mail: imomov_azam@mail.ru Эшниязов Абдумалик Искандарович - старший преподаватель кафедры математики Гулистанского государственного университета (Гулистан, Узбекистан). E-mail: eshniyozovabdumalik@yandex.com

Вклад авторов: все авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Information about the authors:

Imomov Azam A. (Doctor of Sciences in Physics and Mathematics, Karshi State University, Karshi, Uzbekistan). E-mail: imomov_azam@mail.ru

Eshniyazov Abdumalik I. (Researcher-teacher, Gulistan State University, Gulistan, Uzbekistan). E-mail: eshniyozovabdumalik@yandex.com

Contribution of the authors: the authors contributed equally to this article. The authors declare no conflicts of interests.

Статья поступила в редакцию 30.03.2021; принята к публикации 22.03.2022

The article was submitted 30.03.2021; acceptedfor publication 22.03.2022