Рудаков И.А.
Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, д.ф-м.н., профессор кафедры прикладная математика, МАТИ - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского, профессор кафедры прикладная математика и информационные технологии.
rudakov_ia@mail.ru
Бесконечное число периодических решений большой амплитуды квазилинейного волнового уравнения с непостоянными коэффициентами
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА
Волновое уравнение, периодические решения, задача Штурма-Лиувилля, критические точки функционала.
АННОТАЦИЯ
Приводятся теоремы о существовании и регуляризации периодических решений волнового уравнения с однородными граничными условиями Дирихле на отрезке с переменными коэффициентами. Нелинейное слагаемое имеет степенной рост, или удовлетворяет условию нерезонансности на бесконечности.
При решении рассматриваемых задач на сетке возникают данные большого размера. Численное и аналитическое исследование этих уравнений играют важную роль в теории волновых процессов. Поэтому аналитическое исследование, предваряющее численное решение, представляет существенный интерес.
Рассматривается задача о периодических решениях волнового уравнения
Р( х) ии - (Р(х) их) х + g (х, и и) = 0,0 < х <ж, г е R; (1)
и(х, г + Т) = и(х, г) , 0 < х <ж, г е Я; (2)
и (0, г) = и (ж, г) = 0, г е Я. (3)
Функция р(х) удовлетворяет следующим условиям: р(х)еС2[0,ж], р(х)> 0 'хе [0,ж], (4)
Уравнение более общего вида
р(г)иа -(м(г)и2)г + h(г,г,и) = 0 ,
описывающее распространение сейсмических волн, приводится к
Л
ds. Здесь м(г)
0 V
уравнению (1) с помощью замены переменной х =|
0
есть коэффициент эластичности, р(г) -плотность породы, р = Л[~рм -акустический импеданс ([1]).
1 r" 1
Обозначим Q=[0,k]x R\(TZ), „r (x) = i.p -i.
p 2 p 4
f Л2 p"
, P )
к
, 5 = Jip(x)dx ,
0
^ += N и{0}.
Задача о периодических решениях квазилинейного волнового уравнения с постоянными коэффициентами исследовалась в большом количестве работ (см. [2]-[7]). В работах [1], [8], [9], [10], [11] было доказано существование периодических по времени решений для волнового уравнения с переменными коэффициентами в случае, когда функция р(х) сохраняет постоянный знак (Лр(х)!0 'хе[0,л]в [1], [8], [9], [10], (х) <0 'х^[0,п'] в [11]). В данной работе приводятся теоремы о существовании периодических по времени решений задачи (1)-(3) в случае, когда функция 1 р(х) может изменять знак на отрезке [0, л].
Предположим, что существуют положительные константы А2> А3' а4> г такие, что при всех (х, I,К выполнено неравенство
A31 u |r-1 -Л4 <| g(x, t,u) |< A11 u |r-1 - A 2, (5)
где
r > 2, - A1 < A3 < A1. (6)
r
Будем искать периодические решения, для которых период времени имеет вид
T = 2к b, a,beN, НОД(a,b) = 1. (7)
a
Теорема 1. Пусть выполнены условия (4),(7), функция g непрерывна
на
QxR, T- периодична по t, удовлетворяет требованиям (5), (6) и либо g не зависит от t, либо g (x, t,-u) =- g (x, t, u) при всех (x, t, u )eQx R. Предположим также, что либо 5> 0 и функцияg не убывает по u при всех (x, t)eQ , либо 5 <0 и функция g не возрастает по u при всех (x,t)eQ . Тогда для любого d>0 существует обобщенное решение ueLr(Q) задачи (1)-(3) такое, что ||u||r >d.
Обобщенное решение определяется стандартно с помощью интегрального тождества.
Доказательство теоремы 1 проводится по плану из работы [13] и опирается на метод Е. Файрайсла [14].
Рассмотрим уравнение вынужденных колебаний неоднородной струны:
P(x)utt -(P(x)ux)x = g(x t,u) + f(x, t),0 < x <к, t e R. (8) Предположим, что нелинейное слагаемое g удовлетворяет следующему условию: существуют о, ßeR, Ce(0, + да) такие, что
я^СМ^ <р ' и _ С) и (с, + ' (х, ОеО.
(9)
р( х) и
Решение задачи (1)-(3) ищется в виде суммы ряда Фурье.
Для построения соответствующей ортонормированной системы рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля:
_ (р (х)0 (х))' = 4р( х)о( х); (10)
Р (0)=о(п) = 0. (11)
Рассмотрим пространства L2(0,ж) и L2(Q), скалярное произведение в которых задается соответственно равенствами
(О,0) = \о(х) 0(х)р(х)dx, L2(0,л)
(и, у) = | и(х, t) у(х, t)р(х) dxdt, и, V е L2 (О).
о
Задача (10), (11) имеет положительные, простые ([12]) собственные значения 4 = 42п , п е N (4 п > 0), которым соответствуют собственные функции Рп (х). Будем считать, что функции Рп (х) нормированы в L2(0,n) . Согласно теореме В.А. Стеклова система функций {(п(х)} является полной ортонормированной в L2(0,n) . Заметим, что из
Рп (х)
(10), (11) следует, что система функций 1
4п
также является
ортонормированной вL2(0,n) . В [12] для задачи Штурма-Лиувилля (10), (11) доказано следующее асимптотическое представление собственных значений:
В 1
4п = п + ----+ ап ,
2п п
(12)
-1 *
где ап = О — , пе N. , п )
Пусть Я1(О) есть пространство Соболева, полученное замыканием
- *1/2
пространства Сю(О) по норме ||и ||1 = |(и2 + и2х + и])dxdt , Я°(О) есть
)
замыкание по норме || •||1 пространства бесконечно дифференцируемых в О функций, финитных по х на [0,^] при каждом t. Система функций
к = Рп (х)1 Т^Рп (х) ^
'а л — mt
Ь
^ Т Рп(
^ а л — mt , Ь )
m,nеN
\и У
является полной ортонормированной в L2(Q) системой. Обозначим D множество конечных линейных комбинаций функций из системы Л. Определим оператор А0 :L2(Q)^Ь2(О), для которого
D(Ao)=D и A o p = POtt - (POx )x 'pe D(Ao). Пусть Ao p =1 AoO '(e D(Ao)-
P
Обозначим A=(A0) в L2(Q). Функции из системы Л являются собственными функциями операторов Ao и A с собственными значениями
- а * 2
Mnm = 4n - — m , n e N, m e Z +, которые соответствуют собственным
, b )
функциям
2n 2ж
Tmpn(x)cosT~mt, n e N, m eZ+ , Tmpn (x) sin~^mt, n, m eN.
Tm = 0, m = 0;
IY Обозначим r(A) = {Mnm IneN, meZ+j.
Tm = ^1 T > me N.
Здесь
Из (12) вытекает следующее представления для М„т:
1 В
Мпт - ат)(пЬ + ат) + — + ап,
Ь ж
где ап ^0 при п. Отсюда следует, что множество &(А)
В
имеет единственную предельную точку —.
ж
Стандартно ([1]) доказываются следующие свойства оператора А: а) оператор А - самосопряжен в L2(0); б) R (А) замкнут в L2(0); в) L2(Q) = КегА 0R(A); г) Пространство КегА конечномерно. Справедлива следующая теорема.
Tеорема 2. Пусть gеС1(ОхR),T -периодична по t, выполнены условия (4), (7) и существуют положительные константы ЫЫ2 такие, что
| gt (х, t,и) I<Ы1 Iи I+Ы2 ' (х, t,и)е0хR.
Предположим также, что либо В <0 и выполнено условие (9), в
В
котором а>—, [а,¡¡]П&(А) = 0 и ж
< §и(хt>и) <ыз ' (х,^и)е0хR
Р(х) 3 ' ' ,
В
либо В> 0 и выполнено условие (9), в котором ¡¡<—, [- -а] Па(А) = 0 и
ж
-$<-gu(хt'и)<Ы3 ' (х,t,и)е0хR Р(х)
- I В I *
где Ы3 > 0, $е 0,- . Тогда для любой функции f (х, t)е Н1(0) задача (1), ж )
(3) имеет обобщенное решение ие Н °1(0).
Доказательство существования решения опирается на теорему 3.1 из работы [10], доказательство гладкости решения проводится по плану из работы [15].
Замечание. Полученное в теореме 2 решение будет единственно, если дополнительно условиям этой теоремы потребовать при B <0 выполнения условия
a(u - v)2 <—1—(g (x, t, u) - g (x, t, v))(u - v) <P(u - v)2 V u, ve R, V (x, t)eQ p(x)
а при B > 0 потребовать условия
a(u - v)2 <—1—(g(x,t,v) -g(x,t,u))(u - v)<P(u - v)2 Vu,veR, V(x,t)eQ P(x)
Литература
1. Barby V, Pavel N.H. Periodic solutions to nonlinear one dimensional wave equation with x-dependent coefficients // Trans. Amer. Math. Soc. - 1997. - V 349, - № 5. - P. 2035-2048.
2. Rabinowitz P. Free vibration for a semilinear wave equation // Comm. Pure Aple. Math. - 1978. -V 31. - № 1. - P. 31-68.
3. Bahri A., Brezis H. Periodic solutions of a nonlinear wave equation // Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A. - 1980. - V. 85. - P. 3130-320.
4. Brezis H., Nirenberg L. Forced vibration for a nonlinear wave equations // Comm. Pure Aple. Math. -1978. - V. 31, No. 1. - P. 1-30.
5. Плотников П.И. Существование счетного множества периодических решений задачи о вынужденных колебаниях для слабо нелинейного волнового уравнения // Матем. Сб. -1988. - Т. 136(178). - N4(8). - С. 546-560.
6. Feireisl E. On the existence of periodic solutions of a semilinear wave equation with a superlinear forcing term // Chechosl. Math. J. - 1988. - V. 38. - № 1. - P. 78-87.
7. Рудаков И.А. Нелинейные колебания струны // Вестн. МГУ Сер. 1. Матем., Мех. - 1984. - № 2. - С. 9-13.
8. Рудаков И.А. Периодические решения нелинейного волнового уравнения с непостоянными коэффициентами // Матем. заметки. - 2004. - Т . 76, вып. 3. - С. 427-438.
9. Shuguan J. Time periodic solutions to a nonlinear wave equation with x -dependet coefficients // Calc. Var. - 2008. - V. 32. - P. 137-153.
10. Рудаков И.А. Периодические решения квазилинейного волнового уравнения с переменными коэффициентами // Матем. Сб. - 2007. - Т. 198. - N4(8). - С. 546-560.
11. Кондратьев В.А., Рудаков И.А. О периодических решениях квазилинейного волнового уравнения // Матем. заметки. - 2009. - Т. 85, вып. 1. - С. 36-53.
12. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. - М.: УРСС, 2003. - 351 с.
13. Рудаков И.А. Периодические решения нелинейного волнового уравнения с однородными граничными условиями / И.А. Рудаков // Известия РАН. - 2006. - № 1, - С. 1-10.
14. Feirisl E. On the existence of the multiplicity periodic solutions of rectangle thin plate // Chechosl. Math. J. 1998. V 37. № 2. P. 334-341.
15. Рудаков И.А. О периодических по времени решениях квазилинейного волнового уравнения // Тр. МИАН. 2010. Т. 270. С. 226-232.