Бесконечное число периодических решений большой амплитуды квазилинейного волнового уравнения с непостоянными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Рудаков И.А.

Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, д.ф-м.н., профессор кафедры прикладная математика, МАТИ - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского, профессор кафедры прикладная математика и информационные технологии.

[email protected]

Бесконечное число периодических решений большой амплитуды квазилинейного волнового уравнения с непостоянными коэффициентами

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА

Волновое уравнение, периодические решения, задача Штурма-Лиувилля, критические точки функционала.

АННОТАЦИЯ

Приводятся теоремы о существовании и регуляризации периодических решений волнового уравнения с однородными граничными условиями Дирихле на отрезке с переменными коэффициентами. Нелинейное слагаемое имеет степенной рост, или удовлетворяет условию нерезонансности на бесконечности.

При решении рассматриваемых задач на сетке возникают данные большого размера. Численное и аналитическое исследование этих уравнений играют важную роль в теории волновых процессов. Поэтому аналитическое исследование, предваряющее численное решение, представляет существенный интерес.

Рассматривается задача о периодических решениях волнового уравнения

Р( х) ии - (Р(х) их) х + g (х, и и) = 0,0 < х <ж, г е R; (1)

и(х, г + Т) = и(х, г) , 0 < х <ж, г е Я; (2)

и (0, г) = и (ж, г) = 0, г е Я. (3)

Функция р(х) удовлетворяет следующим условиям: р(х)еС2[0,ж], р(х)> 0 'хе [0,ж], (4)

Уравнение более общего вида

р(г)иа -(м(г)и2)г + h(г,г,и) = 0 ,

описывающее распространение сейсмических волн, приводится к

Л

ds. Здесь м(г)

0 V

уравнению (1) с помощью замены переменной х =|

0

есть коэффициент эластичности, р(г) -плотность породы, р = Л[~рм -акустический импеданс ([1]).

1 r" 1

Обозначим Q=[0,k]x R\(TZ), „r (x) = i.p -i.

p 2 p 4

f Л2 p"

, P )

к

, 5 = Jip(x)dx ,

0

^ += N и{0}.

Задача о периодических решениях квазилинейного волнового уравнения с постоянными коэффициентами исследовалась в большом количестве работ (см. [2]-[7]). В работах [1], [8], [9], [10], [11] было доказано существование периодических по времени решений для волнового уравнения с переменными коэффициентами в случае, когда функция р(х) сохраняет постоянный знак (Лр(х)!0 'хе[0,л]в [1], [8], [9], [10], (х) <0 'х^[0,п'] в [11]). В данной работе приводятся теоремы о существовании периодических по времени решений задачи (1)-(3) в случае, когда функция 1 р(х) может изменять знак на отрезке [0, л].

Предположим, что существуют положительные константы А2> А3' а4> г такие, что при всех (х, I,К выполнено неравенство

A31 u |r-1 -Л4 <| g(x, t,u) |< A11 u |r-1 - A 2, (5)

где

r > 2, - A1 < A3 < A1. (6)

r

Будем искать периодические решения, для которых период времени имеет вид

T = 2к b, a,beN, НОД(a,b) = 1. (7)

a

Теорема 1. Пусть выполнены условия (4),(7), функция g непрерывна

на

QxR, T- периодична по t, удовлетворяет требованиям (5), (6) и либо g не зависит от t, либо g (x, t,-u) =- g (x, t, u) при всех (x, t, u )eQx R. Предположим также, что либо 5> 0 и функцияg не убывает по u при всех (x, t)eQ , либо 5 <0 и функция g не возрастает по u при всех (x,t)eQ . Тогда для любого d>0 существует обобщенное решение ueLr(Q) задачи (1)-(3) такое, что ||u||r >d.

Обобщенное решение определяется стандартно с помощью интегрального тождества.

Доказательство теоремы 1 проводится по плану из работы [13] и опирается на метод Е. Файрайсла [14].

Рассмотрим уравнение вынужденных колебаний неоднородной струны:

P(x)utt -(P(x)ux)x = g(x t,u) + f(x, t),0 < x <к, t e R. (8) Предположим, что нелинейное слагаемое g удовлетворяет следующему условию: существуют о, ßeR, Ce(0, + да) такие, что

я^СМ^ <р ' и _ С) и (с, + ' (х, ОеО.

(9)

р( х) и

Решение задачи (1)-(3) ищется в виде суммы ряда Фурье.

Для построения соответствующей ортонормированной системы рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля:

_ (р (х)0 (х))' = 4р( х)о( х); (10)

Р (0)=о(п) = 0. (11)

Рассмотрим пространства L2(0,ж) и L2(Q), скалярное произведение в которых задается соответственно равенствами

(О,0) = \о(х) 0(х)р(х)dx, L2(0,л)

(и, у) = | и(х, t) у(х, t)р(х) dxdt, и, V е L2 (О).

о

Задача (10), (11) имеет положительные, простые ([12]) собственные значения 4 = 42п , п е N (4 п > 0), которым соответствуют собственные функции Рп (х). Будем считать, что функции Рп (х) нормированы в L2(0,n) . Согласно теореме В.А. Стеклова система функций {(п(х)} является полной ортонормированной в L2(0,n) . Заметим, что из

Рп (х)

(10), (11) следует, что система функций 1

4п

также является

ортонормированной вL2(0,n) . В [12] для задачи Штурма-Лиувилля (10), (11) доказано следующее асимптотическое представление собственных значений:

В 1

4п = п + ----+ ап ,

2п п

(12)

-1 *

где ап = О — , пе N. , п )

Пусть Я1(О) есть пространство Соболева, полученное замыканием

- *1/2

пространства Сю(О) по норме ||и ||1 = |(и2 + и2х + и])dxdt , Я°(О) есть

)

замыкание по норме || •||1 пространства бесконечно дифференцируемых в О функций, финитных по х на [0,^] при каждом t. Система функций

к = Рп (х)1 Т^Рп (х) ^

'а л — mt

Ь

^ Т Рп(

^ а л — mt , Ь )

m,nеN

\и У

является полной ортонормированной в L2(Q) системой. Обозначим D множество конечных линейных комбинаций функций из системы Л. Определим оператор А0 :L2(Q)^Ь2(О), для которого

D(Ao)=D и A o p = POtt - (POx )x 'pe D(Ao). Пусть Ao p =1 AoO '(e D(Ao)-

P

Обозначим A=(A0) в L2(Q). Функции из системы Л являются собственными функциями операторов Ao и A с собственными значениями

- а * 2

Mnm = 4n - — m , n e N, m e Z +, которые соответствуют собственным

, b )

функциям

2n 2ж

Tmpn(x)cosT~mt, n e N, m eZ+ , Tmpn (x) sin~^mt, n, m eN.

Tm = 0, m = 0;

IY Обозначим r(A) = {Mnm IneN, meZ+j.

Tm = ^1 T > me N.

Здесь

Из (12) вытекает следующее представления для М„т:

1 В

Мпт - ат)(пЬ + ат) + — + ап,

Ь ж

где ап ^0 при п. Отсюда следует, что множество &(А)

В

имеет единственную предельную точку —.

ж

Стандартно ([1]) доказываются следующие свойства оператора А: а) оператор А - самосопряжен в L2(0); б) R (А) замкнут в L2(0); в) L2(Q) = КегА 0R(A); г) Пространство КегА конечномерно. Справедлива следующая теорема.

Tеорема 2. Пусть gеС1(ОхR),T -периодична по t, выполнены условия (4), (7) и существуют положительные константы ЫЫ2 такие, что

| gt (х, t,и) I<Ы1 Iи I+Ы2 ' (х, t,и)е0хR.

Предположим также, что либо В <0 и выполнено условие (9), в

В

котором а>—, [а,¡¡]П&(А) = 0 и ж

< §и(хt>и) <ыз ' (х,^и)е0хR

Р(х) 3 ' ' ,

В

либо В> 0 и выполнено условие (9), в котором ¡¡<—, [- -а] Па(А) = 0 и

ж

-$<-gu(хt'и)<Ы3 ' (х,t,и)е0хR Р(х)

- I В I *

где Ы3 > 0, $е 0,- . Тогда для любой функции f (х, t)е Н1(0) задача (1), ж )

(3) имеет обобщенное решение ие Н °1(0).

Доказательство существования решения опирается на теорему 3.1 из работы [10], доказательство гладкости решения проводится по плану из работы [15].

Замечание. Полученное в теореме 2 решение будет единственно, если дополнительно условиям этой теоремы потребовать при B <0 выполнения условия

a(u - v)2 <—1—(g (x, t, u) - g (x, t, v))(u - v) <P(u - v)2 V u, ve R, V (x, t)eQ p(x)

а при B > 0 потребовать условия

a(u - v)2 <—1—(g(x,t,v) -g(x,t,u))(u - v)<P(u - v)2 Vu,veR, V(x,t)eQ P(x)

Литература

1. Barby V, Pavel N.H. Periodic solutions to nonlinear one dimensional wave equation with x-dependent coefficients // Trans. Amer. Math. Soc. - 1997. - V 349, - № 5. - P. 2035-2048.

2. Rabinowitz P. Free vibration for a semilinear wave equation // Comm. Pure Aple. Math. - 1978. -V 31. - № 1. - P. 31-68.

3. Bahri A., Brezis H. Periodic solutions of a nonlinear wave equation // Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A. - 1980. - V. 85. - P. 3130-320.

4. Brezis H., Nirenberg L. Forced vibration for a nonlinear wave equations // Comm. Pure Aple. Math. -1978. - V. 31, No. 1. - P. 1-30.

5. Плотников П.И. Существование счетного множества периодических решений задачи о вынужденных колебаниях для слабо нелинейного волнового уравнения // Матем. Сб. -1988. - Т. 136(178). - N4(8). - С. 546-560.

6. Feireisl E. On the existence of periodic solutions of a semilinear wave equation with a superlinear forcing term // Chechosl. Math. J. - 1988. - V. 38. - № 1. - P. 78-87.

7. Рудаков И.А. Нелинейные колебания струны // Вестн. МГУ Сер. 1. Матем., Мех. - 1984. - № 2. - С. 9-13.

8. Рудаков И.А. Периодические решения нелинейного волнового уравнения с непостоянными коэффициентами // Матем. заметки. - 2004. - Т . 76, вып. 3. - С. 427-438.

9. Shuguan J. Time periodic solutions to a nonlinear wave equation with x -dependet coefficients // Calc. Var. - 2008. - V. 32. - P. 137-153.

10. Рудаков И.А. Периодические решения квазилинейного волнового уравнения с переменными коэффициентами // Матем. Сб. - 2007. - Т. 198. - N4(8). - С. 546-560.

11. Кондратьев В.А., Рудаков И.А. О периодических решениях квазилинейного волнового уравнения // Матем. заметки. - 2009. - Т. 85, вып. 1. - С. 36-53.

12. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. - М.: УРСС, 2003. - 351 с.

13. Рудаков И.А. Периодические решения нелинейного волнового уравнения с однородными граничными условиями / И.А. Рудаков // Известия РАН. - 2006. - № 1, - С. 1-10.

14. Feirisl E. On the existence of the multiplicity periodic solutions of rectangle thin plate // Chechosl. Math. J. 1998. V 37. № 2. P. 334-341.

15. Рудаков И.А. О периодических по времени решениях квазилинейного волнового уравнения // Тр. МИАН. 2010. Т. 270. С. 226-232.