Базисы тригонометрических многочленов из сдвигов ядер Дирихле Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Дынькин Е.М. Неаналитический принцип симметрии и конформные отображения // Алгебра и анализ. 1993. 5, вып. 3. 119-142.

4. Бляшке В. Круг и шар / Пер. с нем. М.: Наука: Физматлит, 1967.

5. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966.

6. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973.

7. Pommerenke Ch. Boundary behaviour of conformai maps. Berlin; Heidelberg; N.Y.; London; Paris; Tokio; Hong Kong; Barselona; Budapest: Springer-Verlag, 1992.

Поступила в редакцию 19.04.2013

УДК 517.518

БАЗИСЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ ИЗ СДВИГОВ ЯДЕР ДИРИХЛЕ

Т. П. Лукашенко1

В пространстве тригонометрических многочленов степени n ортогональными базисами являются система сдвигов ядра Дирихле на 2n+i > ^ = -^-l' • • • > ='=п' и система тех же сдвигов сопряженного ядра Дирихле с добавлением В пространстве тригонометрических многочленов с компонентами от m ^ 1 до n ортогональным базисом является система сдвигов ядер Y^k=m cos^х и Sfc=m sin^х на n-m+1' к = 0,1,... ,п — т. При 0 < то < п в этом пространстве нет ортогонального базиса из подобных сдвигов одной функции.

Ключевые слова: ортогональный базис, тригонометрические многочлены, ядро Дирихле, сопряженное ядро Дирихле.

The system of shifts of Dirichlet kernel on 2n+i > & = 0, ±1,..., ±n, and the system of such shifts of the conjugate Dirichlet kernel with i are orthogonal bases in the space of trigonometric polynomials of degree n. The system of shifts of kernels cos kx and Y^k=m sin kx 011

n-m+1' k = 0, \,..., n — то, is an orthogonal basis in the space of trigonometric polynomials with the components from m > 1 to n. There is no orthogonal basis of shifts of any function in this space for 0 < m < n.

Key words: orthogonal basis, trigonometric polynomials, Dirichlet kernel, conjugate Dirichlet kernel.

В последние десятилетия при приближении и представлении функций широко используются системы сдвигов и сжатий функций. Такие системы получаются из одной функции (или нескольких) сдвигами и сжатиями. Возникла целая теория построения таким способом различных базисов, систем представления и анализа функций — теория всплесков, или вейвлетов (см. монографию [1] и приведенную в ней, как и в других монографиях по всплескам или вейвлетам, обширную литературу). Анализ с использованием всплесков (вейвлет-анализ) применяется в приложениях и системах компьютерной математики (см. книгу [2] и приведенную в ней литературу). В настоящей работе рассматривается вопрос об ортогональных базисах из последовательных сдвигов одной или двух функций в некоторых пространствах тригонометрических многочленов, что представляет интерес не только с точки зрения теории, но и с точки зрения приложений, в частности при фильтрации сигналов. Рассматривается аналогичный вопрос об ортоподоб-ных системах (фреймах Парсеваля) в тех же пространствах тригонометрических многочленов.

Пусть TQ — пространство тригонометрических многочленов степени не выше n

n n

Тп(х) = Tq(x) = у + Yj ак cos кх + bk sin kx = Y ckeikX

k=l k=-n

с действительными (или комплексными) коэффициентами a,k, bk- Это пространство размерности 2n + 1 над полем действительных чисел R (комплексных чисел C).

Лукашенко Тарас Павлович — доктор физ.-мат наук, проф. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: lukashenkoQmail .ru.

18 ВМУ, математика, механика, №5

Пусть Tm, 1 ^ m ^ и, — пространство тригонометрических многочленов вида

n / —m n \

Tm (x) = ak cos kx + bk sin kx = eikx

k=m \k=—n k=mz

с действительными (или комплексными) коэффициентами a^ bk- Это пространство размерности 2(n — m + 1) над полем действительных чисел R (комплексных чисел C).

Обозначим ядро Дирихле (см. [3, с. 94; 4, с. 86] или [5, с. 98]) через

1 п ein 2п+1

Dn(x) = D%(x) = ^+ J2 coskx= 2

2 ^ 2 sin §

k=i 2

а его аналог для 1 ^ m ^ и через

n

Dm(x) = cos kx = Dn(x) — Dm—1(x) =

rw„A nm-1, Singla;-sin _ sin 22—cos 12^Blx

2 sin § sin §

k=m 2 2

Обозначим сопряженное ядро Дирихле (см. [3, с. 94; 4, с. 86] или [5, с. 98]) с добавлением постоянной \ через

. 1 -„/ч 1 v^ , 1 cosf-cos%^-a; 1 sin Цх sin ^р-х

Do(x) = - + Dn(x) = - + У sin кх = - +-2 o . я 2-= - +-2 . я 2 ,

2 2 2 2 sin § 2 sin §

k=i 2 2

а его аналог для 1 ^ m ^ n через

\ U™ _ Пn nm-1m\ — 2 2 _ 2 2

ВД®) = ^ sin Лж = - D™-\x) =-——-

¿I Sill Q

k=m 2

Теорема 1. Система сдвигов нормированных ядер Дирихле

®о(х---кЛ=>----—кЛ, (1)

0 V 2п + 1 ) у (2п + 1)тг 0 V 2п +1 У '

к = 0, ±1,... , ±п, образует, ортонормированный базис в ТЦ.

Система сдвигов нормированных сопряженных ядер Дирихле с добавление постоянной \

(3)

®о(х---кЛ=>--?-—щ(х--—кЛ, (2)

0 V 2п + 1 ) у (2п + 1)тг 0 V 2п +1 ) '

к = 0, ±1,... , также образует ортонормированный базис в ТЦ. Система сдвигов нормированных ядер

^ - ^ьг) = (* - ^Ьг) ,

(* " ^ГМ) = (х ~ ^Лтг) ,

к = 0,1,.. .,п — т, 1 ^ т ^ п, образует ортонормированный базис в Т^-

Доказательство. Используя ортогональность тригонометрической системы (см. [1, с. 57-58, 94; 4, с. 19-20] или [5, с. 12]), легко установить норму ядра Дирихле (в пространстве Лебега Ь2[0,2п])

\\DqW = Для доказательства ортогональности системы сдвигов нормированных ядер Дирих-

ле (1) достаточно показать, что ядра £>о(ж) и (х — 2п+1 > ^ = ±1) ±2,... , ±п, ортогональны на [0, 2п]. Действительно, используя ортогональность тригонометрической системы на [0, 2п], получаем

2п

2

J Dn0{x)Dn0 (х - ^ybr) dx =

2

2П

' 1 A W1 n ( 2krn . 2rkn . м , —h > cos rx —h > cos-cos rx + sin-sin rx I I ax =

2 /V2 2n + 1 2n + 1

2п ' n \ n ч

1 v"^ 2rkn 2 \ , п 2rkn t 2kn \ sin kn

—h > cos-cos rx ax = —h тг > cos-= nDX - = 7r-— = 0.

4 ^ 2n + l / 2 ^ 2n + l \2n + l J 2sin^

r=l / r=l 4 7 2n+l

Система (1) сдвигов нормированных ядер Дирихле образует ортонормированную систему, она принадлежит пространству T^, и количество элементов в ней равно 2n + 1, что совпадает с размерностью пространства T^. Значит, это ортонормированный базис в ТП-

Легко видеть, что \\Dq || = Для доказательства ортогональности системы сдвигов норми-

рованных ядер (2) достаточно показать, что ядра D'q(x) и D'q (х — 2n+i ' к = • • •, орто-

гональны на [0, 2п]. Действительно, используя ортогональность тригонометрической системы на [0, 2п],

получаем

2п

J D"${x)D"$ (ж - ^jkT^j dx =

1 n ■ \ I 1 ^ ( 2krn . . 2krn \ \ , —h > sin rx —h > cos-sin rx — sin-cos rx I I ax =

2 ¿í J V2 ¿ÍV 2n +1 2n + l J J

1 ^ 2krn 2 \ , п 2krn ( 2kn \ sin kn

COS --—Г Sin rx I dx = — + 7Г > COS --—Г = 7tD0 I --- I = 7Г-;-

4 ^ 2n + 1 / 2 ¿-f 2n + 1 0 \2n + 1/ 2sin

г=1 / г=1 4 7 2п+1

Система (2) сдвигов нормированных сопряженных ядер Дирихле с добавлением постоянной | образует ортонормированную систему, она также принадлежит пространству ТП, и количество элементов в ней равно 2п + 1, что совпадает с размерностью пространства ТП- Значит, это ортонормированный базис в Т™

Перейдем к системе (3). Легко видеть, что Ц-С^Ц = Н-С^Н = \/(п — т + 1)-/г, поэтому ядра 33^ и 33тт нормированы. Для доказательства ортогонгшьности системы (3) сдвигов ядер и 33^п достаточно показать, что ядра -О^(ж) и (х — , к = 1,... ,п — т, ядра ¿>„(ж) и ¿т ~~ га-т+1^71")>

к = 1,...,п — т, а также ядра и ¿'т ~~ ^т+Т^71")' к = 0,... ,п — т, ортогональны на [0,2-/г].

Проверим ортогональность на [0, 2ж] ядер и ^ж — , к = 1,..., п — т:

2п

/ Д!,(ж)Д!, ( ж--Ьг ) с1х =

} тК > т\ п - т + 1 )

2п n

О

2п „

Ev^ / 2krn . 2krn . \ ,

cos rx у cos-cos rx + sin-sin rx ax =

\ n — m + 1 n — m + 1 J

r=m r=m 4 '

f v^ 2krn 2 v^ 2krn ( 2kn

У cos-cos rxax = ir > cos-= 7r D!± -

n — m + 1 n — m + 1 V n — m + 1

r=m r=m 4

: fn-m+l _2fot_\ fn+m . _2Ьт_\ . k(n+m)ir S111 I 2 n—m-\-l J I 2 n-m+l) Sill klT COS = -Z- = -Z- = 0.

Sin-^-r-r Sin -^-r-r

n-m+l n-m+l

Проверим ортогональность на [0, 2ж] ядер &т(х) и D'm (х — , к = 1,..., п — т:

2п

/ DrL{x)DrL [ х--ктг) dx =

J m m у n — m + 1 J 0

П / 2krn 2krn \ ,

= / > sin rx у cos-sin rx — sin-cos rx dx =

J ^ ^ \ n — m + 1 n — m + 1 J

pi r=m k=m 4 7

2n

v^ 2krn 2 2krn ( 2kn x COS -- Sin TXdX = 7Г > cos -- = 71-Dr

n — m +1 n — m +1 m n — m +1

0 r=m r=m

sin (п=™±1 . -Ш-Л cos (■• -Щ^] sin far cos

V 2 ra—m+1 J У 2 ra—m+1 J ошл/l Ш& n_m, i = - -—L,- - = К-Z-= 0.

sin-^-r-r sin -^-r-r

n—m+1 n—m+1

Осталось показать ортогональность на [0, 2ж] ядер D^x) и (х — , к = 0,..., п — т. При

k = 0 в силу ортогональности тригонометрической системы

2п 2п n n

/ Dm(x)D'm(x)dx = ^ cos rx^2 sin rxdx = 0.

0 0 r=m r=m

При k = 1,...,n — m

/( 2 \ f / 2krn 2krn \

D1l(x)D 2, ( ж--ктг ) dx= > cos гж > I cos-sin гж — sin-cos rx) dx =

mWmV n — m + 1 J J ^ n — m + 1 n — m + 1 J

0 0 r=m r=m

n n 2krn о , ^ . 2krn

Esin-- cos2 rx dx = —n > si

n — m + 1 ¿—'

sin ■

n — m + 1 n — m + 1

0 r=m r=m

4 4Ín f n~m+l . __2ктт_\ • f ra+m . _2Ьт_\ . . k(n+m)ir

2klT \_ sm ^ 2 ra-m+lj8111!, 2 n-m+l) _ Sin ктг Sill ^J^

п__/ ----- | __у 2_га—т+1 у_у 2 га—г., , . 7 _ _,п__

4 7 га—т+1 га—т+1

Система (3) сдвигов нормированных ядер Дирихле и сдвигов нормированных сопряженных ядер Дирихле с добавлением постоянной | образует ортонормированную систему, она принадлежит пространству Тт и количество элементов в ней 2(п — т + 1), что совпадает с размерностью пространства Т^- Значит, это ортонормированный базис в Т^- Утверждение теоремы доказано.

Отметим, что при сдвигах на 2га2|_1А:7г, к £ Ъ, в выражении ядер Дирихле £>о(ж) = \ + ^^"=1со8А;ж =

числитель может изменять только знак (что несущественно для ортогональной системы), суще-

2sinf

ственно изменение знаменателя. Для сопряженных ядер Дирихле

^ . cos | — cos Щ^-х sin ^ж sin Щ^-х

Dn(x) = y sin kx =

' 2 sin f sin %

k=i 2 2

подобное утверждение неверно. При сдвигах на ктг, к G Z, в ядрах

П "-~"г+1ЖСОЗ _ п га—m+1 -n га+т. = У^ COS = --—:—5--- и = «in leer = -2-2-

йш ц эт ц

к=т 2 к=т 2

числитель может изменять знак, если только п + т нацело делится на п — т + 1.

Приведем определение ортоподобной системы.

Определение. Система элементов } гильбертова простр анства Н (над пол ем ^и С) называется ортоподобной, если для любого элемента / € Н верно равенство / = ^(/,

з

Умножая это равенство скалярно на / получим равенство ||/||2 = ^ \(/,^з)\\2) которое определяет

з

фреймы Парсеваля. Поэтому всякая ортоподобная система является фреймом Парсеваля. Известно, что и всякий фрейм Парсеваля является ортоподобной системой (см. [6]).

Теорема 2. При к ^ п ^ т ^ 1 получающаяся из ядер ПП (х) система сдвигов

2 (4)

(2k + 1)п m V 2k + 1

j = 0, ±1,..., ±k, образует ортоподобную систему (фрейм, Парсеваля) в Т При k ^ n ^ m ^ 1 получающаяся из ядер Dm (x) система сдвигов

2 (5)

(2k + 1)п m V 2k + 1

n m

3 =0, ±1,..., ±к, также образует ортоподобную систему (фрейм Парсеваля) в ТП

Доказательство. Система (4) является ортогональной проекцией на Тп системы сдвигов нормированных ядер Дирихле

22 Jo

(2k + 1)п 0 V 2k + 1

Do [х- ТПГТТ^

j = 0, ±1,... , ±k, которая по теореме 1 образует ортонормированный базис в Tg D

Tnm

rim'- ведь любой элемент из T'n

проекция ортонормированного базиса из Т§ — ортоподобная сис тема в Т'П- ведь любой элеме нт из Т'П можно разложить по ортонормированному базису из Т§, а потом в разложении всюду заменить элементы базиса на их ортогональные проекции на Т'П-

Аналогично система (5) является ортогональной проекцией на ТП системы сдвигов нормированных сопряженных ядер Дирихле с добавлением постоянной |

22

0

О'Пх- —=—jir

V (2к + и V 2к + 1

3 =0, ±1,..., ±к, которая также то теореме 1 образует ортонормированный базис в Т Э ТП А ортогональная проекция ортонормированного базиса из Т§ — ортоподобная сис тема в Т'П-

Аналогично можно из ортогонального базиса (3) ортогональными проекциями получить ортоподоб-ные системы.

ТП

следовательных сдвигов двух функций (на одну и ту же величину) нельзя усилить до утверждения о существовании ортонормированного базиса из последовательных сдвигов одной функции (на одну и ту же величину), что демонстрирует следующая теорема.

Теорема 3. В пространстве ТП, п > т > 0 над пол ем, М (над полем, С) не существует ортонормированного базиса из сдвигов одной, функции вида ф(х — 3а), 3 =0,1,... , 2(п — т) + 1. Доказательство. Предположим, что такой базис есть:

ф) = ^ ar cos rx + br sin rx = ^ + У^

\r=m r=—n

откуда в силу базисности ее сдвигов в Tm имеем cr = 0, c-r = 0, r = m, ...,n, a = 0.

Так как в силу инвариантности относительно сдвигов система функций ^>(x — ja), j = 1, 2,...,2(n — m) + 2, также является ортонормированным базисом в Tm, то ^>(x) = ешp(x — 2(n — m + 1)a), где ш Е [0, 2п) (и в действительном случае равно 0 или п). Значит,

ar cos rx + br sin rx = cr eirx + c_ r e-irx = cr eir(x-2(n-m+l)a)+i^ + c_ r e-ir(x-2(n-m+l)a)+i^ r = m,...,n.

r=m

При r = n го равенства cneinx = cnein(x 2(n т+1)а)+ш следует, что 2n(n —m+1)a-ш = 2pn, p G Z. При r = n — 1 го равенства cn-1ei(n-1)x = cn-1ei(n-1)(x-2(n-m+1)a)+iU следует, что 2(n — 1)(n — m + 1)a — ш = 2qn, q G Z. Вычитая из первого равенства второе, получаем, что

2(n — m + 1)a = 2kn (6)

для некоторого целого k.

Если ra = 2ln при некотором натуральном r, m ^ r ^ n, и некотором l G Z, то все тригонометрические многочлены p(x—ja), j = 0,1,..., 2(n — m) + 1, имеют одинаковую r-ю компоненту ar cos rx +br sin rx, что противоречит базисности этих многочленов в пространстве T^- Если ra = 2ln при всех r = m, ...,n lGZ

2(п-т)+1 eir(x-2(n-m+1)) _ pirx

Eeir(x-ja) _ ^_c _ q

p-ira _ ^ '

j=0

r = m,.. .,n. Значит, при всех r = m, ...,n

2(n-m)+1 2(n-m)+1

cos r(x — ja) = 0 и ^ sin r(x — ja) = 0, j=0 j=0

2(n-m)+1

т.е. сумма ^ ^>(x — ja) = 0, что противоречит предположению о том, что функции — слагаемые j=0

Tnm

Что касается пространств Т™, n G N, то легко заметить, что в Т™ функции cos га; и -^cosn(a; —

7г/2п) = ^ sin пх ^а также sin га и -^s'mn(x + тт/2п) = cos nx^j образуют ортонормированный базис.

Работа выполнена при финансовой поддержке грантов Правительства РФ № 11.G34.31.0054, ГК 02.G25.31.0030 и ГК 02.G36.31.0006, грантов РФФИ № 14-01-00417 и программы "Ведущие научные школы РФ" НШ-1096.2014.1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Новиков И.Я., Протасов В.Ю., Скопина М.А. Теория всплесков. М.: Физматлит, 2005.

2. Смоленцев Н.К. Вейвлет-анализ в MATLAB. М.: ДМК Пресс, 2010.

3. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: ГИФМЛ, 1961.

4. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1. М.: Мир, 1965.

5. Эдварде Р. Ряды Фурье в современном изложении. Т. 1. М.: Мир, 1985.

6. Лукашенко Т.Н. О коэффициентах систем разложения, подобных ортогональным // Матем. сб. 1997. 188, № 12. 57-72.

Поступила в редакцию 25.09.2013