Ортогональные базисы сдвигов в пространствах тригонометрических многочленов Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.98, 517.51

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ СДВИГОВ В ПРОСТРАНСТВАХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ

Т. П. Лукашенко

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, lukashenko@mail.ru

В конечномерных пространствах комплексных или действительных тригонометрических многочленов изучаются ортонормированные базисы из последовательных сдвигов одного или нескольких многочленов. Показано, что базис из сдвигов одного многочлена существует в пространстве комплексных многочленов с номерами компонент от т до п на Ж, а также в пространстве действительных многочленов с номерами компонент от 0 до п. Указан общий вид таких базисов. Показано, что в любом пространстве есть ортоподобная система (фрейм Парсе-валя) из сдвигов одного многочлена. Найдены пространства, где нет базиса из сдвигов одного многочлена, но есть базисы из сдвигов двух многочленов.

Ключевые слова: тригонометрические многочлены, ортонормированные базисы сдвигов, ортоподобные системы сдвигов, фреймы сдвигов.

В последнее десятилетие при приближении и представлении функций широкое применение получили системы сдвигов и сжатий функций. Такие системы получаются из одной функции (или нескольких) сдвигами и сжатиями. Существует целая теория построения таким способом различных базисов, систем представления и анализа функций — теория всплесков (или вейвлетов), см. [1]. Такие системы используется в приложениях и компьютерной математике. Здесь рассматривается вопрос об ортогональных базисах из последовательных сдвигов одной или нескольких функций в некоторых пространствах тригонометрических многочленов, что может быть интересно не только с точки зрения теории, но и приложений. Рассматривается также вопрос об ортоподобных системах (фреймах Парсеваля) в тех же пространствах. Некоторые результаты данной статьи были представлены в [2].

Обозначим через TQ, где Q — непустое конечное подмножество Ж, пространство комплексных тригонометрических многочленов:

(*) = £ Скегкх, кеО

где ск е С. Введем ядро

^о (х) =

1

л/2Л|0Т к

Е

Л(кх-вк)

(1)

кеО

с покомпонентными сдвигами вк е К, к е Q, где — количество элементов Q. Очевидно (х)|| = 1 в пространстве Лебега Ь2 [0, 2п].

Теорема 1. В пространстве комплексных тригонометрических многочленов Т[т,п], где т, п е Ж, т ^ п, [т, п] = {к е Ж : т ^ к ^ п}, система сдвигов ядер 0[т,п] (х)

^[т>п] (х - —= 7 ' ^ £ в<к(х-^), (2)

V п - т + 1 ) ^Мп — т +1)

где г е Ж и не имеет общих делителей с п — т+1, j = 0,1,..., п — т, образует ортонормированный базис.

Любой ортонормированный базис в Т[т,п], состоящий из последовательных сдвигов одного многочлена, {Т(х — ^а)}"=(Г, а е М, имеет вид (2) для некоторых покомпонентных сдвигов вк е М, к е Q, и некоторого г е Ж, не имеющего общих делителей с п — т + 1.

Доказательство. Для доказательства ортогональности системы сдвигов ядра .0[то,п] (х) покажем,

( 2Пг \

что ядра 0[т п] (х) и 0[т п] х--j , j = 1,..., п — т, ортогональны на [0, 2п]. Действи-

п—т+1

тельно, используя ортогональность тригонометрической системы на [0, 2п], получаем, что

2п

У D[m,n] (x)D[m,n] ( x - j ) dx =

[m,n] (x)^^[m,n] 2. + 1

0

n

,_= У ei(kx-sk) 1 = У e—i(k(x—„-fej)-sk)dx =

v/2n(n - m + 1) fctm v/2n(n - m + 1) k=m

k=m V V / k=m

2П n О • i * 2пг(„ + Ш ■ Inrmj

1 f ^ • 2ПТ]К e'- „-m + l _ ег „-m+1

ein-m+l dx = -T---:-^ = 0

2n(n - m +1) 0 (n - m + 1) (e*n-m+T - 1

2nr(n + 1)j 2nrmj

o k=m

в силу равенства

2nr(n + 1) j 2nrm j

(mod 2n).

n - m +1 n - m + 1

/ 2Пг \

Система последовательных сдвигов ядра D[m n] x--j , j = 0,1,..., n - m, образует

n-m+1

ортонормированную систему, она принадлежит пространству T[m n] и количество элементов в ней n - m + 1, что совпадает с размерностью пространства T[m n]. Значит, это ортонормированный базис

в T[m,n] •

Покажем теперь, что любой ортонормированный базис в T[m,n], состоящий из последовательных сдвигов одного многочлена, имеет вид (2). При n = m это утверждение очевидно верно. Предпо-

n

ложим, что n > m. Если T(x) = ckeikx — тригонометрический многочлен, система сдвигов

k=m

которого {T(x - ja)}n:-0n, a G R, образует ортонормированный базис в T[m,n], то система его сдвигов {T(x-ja)}"—1™+ также образует ортонормированный базис в T[m,n] и, значит, выполняется равенство

nn

T(x - (n - m + 1)a) = £ ckeik(x—(n—m+1)a) = eiwT(x) = eiw £ Ckeikx, (3)

k=m k=m

где w G [0, 2п). Из (3) следует, что выполняются равенства

k(x - (n - m + 1)a) = kx + w (mod 2n), k = m,..., n. (4)

Вычитая из равенства (4) при k = n равенство при k = n - 1, получаем (n - m + 1)a = 0 (mod2n), 2nr

т. е. a =-, r G Z. Поскольку многочлены T(x - ja) различны при j = 0,1,..., n - m, т. е. rj

n-m+1

не делится на n - m + 1 при j = 1, . . . , n - m, то r не имеет общих делителей с n - m + 1.

Из (3) видно, что скалярное произведение (eikx, T(x - ja)) = 2nckeikja. По предположению система сдвигов {T(x - ja)}™—™ образует ортонормированный базис в T[m,n], поэтому по равенству Парсеваля в пространстве Лебега L2[0, 2п]

n —m

2п = ||eikx||2 = £ |(eikx,T(x - ja))|2 = (n - m + 1) |2nck|2 . j=o

Значит, найдется такое sk G R, что

ck = , 1 -e-iSk.

л/2п(п - m + 1)

Тригонометрический многочлен T(x) имеет вид (1) для Q = [m, n] С Z, а система его последовательных сдвигов {T(x — ja)}n-(m, a G R, имеет вид (2) из теоремы 1. Теорема доказана.

Обозначим через TD, где D — непустое конечное подмножество множества Z+ = N U {0}, пространство действительных тригонометрических многочленов вида

Td (x) = a0Xd (0)+ £ (flk cos kx + bk sin kx),

0<k£D

где ak, bk G R, xD — характеристическая функция множества D. Действительные тригонометрические многочлены допускают запись в комплексной форме:

Td (x) = ^ ckeikx, |k|GD

,, ao ak — ibk ak + ibk n ^ , ^ n где коэффициенты co = — xd(0), ck =-2-' c-k =-2- при 0 < k G D.

Введем ядро

1

Dd (x) = . - V

DW v/2n|D U—D| ^

e

i(kx-sk)

|k|GD

с покомпонентными сдвигами зк £ К, з0 = 0 или з0 = п, и с з-к = —зк, к £ Б, где |Б и —Б| — количество элементов множества Б и—Б = {к £ Ж : | к | £ Б}. Очевидно, (ж) У = 1 в пространстве Лебега Ь2 [0, 2п].

Теорема 2. В пространстве Т[0,п] действительных тригонометрических многочленов, где п £ , [0, п] = {к £ Ж : 0 ^ к ^ п}, система сдвигов ядер ^[0;П](ж):

2пг Д 1 /,, Л / 2пг г

?[0 n] | x--7 = —. = ±1 + > 2 cos k x--7 — sk , (5)

[0'nH 2n + 1JJ ^2n(2n + 1Ц ¿1 V V 2n + 1J/ k ' w

где г £ Ж и не имеет общих делителей с 2п + 1, ] = 0,1,..., 2п, образует ортонормированный базис.

Любой ортонормированный базис в Т[0,п], состоящий из последовательных сдвигов одного действительного многочлена {Т(ж—^а)}2=0, а £ К, имеет вид (5) с некоторыми зк £ К, 1 ^ к ^ п.

Доказательство. Действительные тригонометрические многочлены (5) по теореме 1 образуют ортонормированную систему из 2п + 1 элемента, что совпадает с размерностью пространства Т[0,п]. Следовательно, это ортонормированный базис Т[0,п].

Любой ортонормированный базис в Т[0,п], состоящий из последовательных сдвигов одного дей-

I 2n

а {T (x — 7a)j

теореме 1 имеет вид (2):

ствительного многочлена {T(x — ja)}2n0, a G R, будет ортонормированным базисом и в T[-n n] и по

D[m n] ( x — ) = 1 V ei(k(x- an+FTj)-Sk)

[m,n]l 2n + v/2n(2n + 1) kt-r

1

1 V ei(k(a

2n + 1)

для некоторых покомпонентных сдвигов зк £ К, —п ^ к ^ п, и некоторого г £ Ж, не имеющего общих делителей с 2п + 1. Так как это действительный многочлен, то з0 = 0 или з0 = п, и з-к = — зк, 1 ^ к ^ п, т. е. многочлен имеет вид (5). Теорема 2 доказана.

Вопрос о существовании ортонормированных базисов в пространствах Тд и , состоящих из последовательных сдвигов одного комплексного или соответственно одного действительного многочлена, сложен и зависит от структуры конечных множеств Q с Ж и Б с Ж+. Приведем сначала несколько простых утверждений и следствий теорем 1 и 2.

Утверждение 1. Пусть Тд и Тд — пространства комплексных тригонометрических многочленов, где Q и О — непустые конечные подмножества Ж, причем О = mQ +1 = {к : к = тд + I, д е Q}, где I и т = 0 — целые числа. Если в Тд существует ортонормированный базис из последовательных сдвигов одного комплексного многочлена

Т(х) = £ ед(6) дед

вида {Т(х — ^а)}п=0, а е К, то в пространстве Тд ортонормированным базисом будет система последовательных сдвигов одного комплексного многочлена

T(x) = £ сдei(mq+1)x (7)

q&Q

n

вида {T (x — ja/m)}j=0.

А если в пространстве Tq существует ортонормированный базис из последовательных сдвигов одного комплексного многочлена вида (7) {T(x — je)}n=0, то в пространстве Тд ортонормированным базисом будет система последовательных сдвигов одного комплексного многочлена вида (6) {T (x — jme)}n=0•

Действительно, размерности пространств Тд и Tq одинаковы, нормы многочленов и их попарная ортогональность при указанных преобразованиях сохраняются, поэтому приведенные системы одновременно будут ортонормированными базисами соответствующих пространств комплексных тригонометрических многочленов.

Из утверждения 1 и теоремы 1 получаем следствие.

Следствие 1. В пространстве комплексных тригонометрических многочленов Tq, где Q с Z и является конечной арифметической прогрессией целых чисел, Q = {k : k = mq + l, q = 1,..., n}, где m, l e Z, система сдвигов ядер Dq(x):

Dq (x — ^j 1 = ^ У e<k(x-mrj)-sk) (8)

V mn / v2nn k^Q

где r e Z и не имеет общих делителей с n, j = 0,1,..., n — 1, образует ортонормированный базис• Любой ортонормированный базис в Tq, состоящий из последовательных сдвигов одного многочлена {T(x — ja)}n="o, a e R, имеет вид (8) для некоторых покомпонентных сдвигов sk e R, k e Q, и некоторого r e Z, не имеющего общих делителей с n•

Утверждение 2. Пусть Тд и Tq — пространства действительных тригонометрических многочленов, где Q и Q — конечные подмножества Z+, содержащие 0, причем Q = mQ = {k : k = mq, q e Q}, где m e N Если в Тд существует ортонормированный базис из последовательных сдвигов одного действительного многочлена

Tg(x) = a0 + ^^ (ak cos kx + sin kx) (9)

вида {T(x — ja)}n=0, a e R, то в пространстве Tq ортонормированным базисом будет система последовательных сдвигов одного действительного многочлена

Tq (x) = a0 + ^^ (ak cos kmx + sin kmx) (10)

0<kGQ

вида {T (x — ja/m)}n=0• А если в пространстве Tq существует ортонормированный базис из последовательных сдвигов одного действительного многочлена вида (10) {T (x — je)}J=0, то в пространстве Тд ортонормированным базисом будет система последовательных сдвигов одного действительного многочлена вида (9) {T(x — jm^)}n=0•

Действительно, размерности пространств Тд и Tq одинаковы, нормы многочленов и их попарная ортогональность при указанных преобразованиях сохраняются, поэтому приведенные системы одновременно будут ортонормированными базисами соответствующих пространств действительных тригонометрических многочленов.

Из утверждения 2 и теоремы 2 получаем следствие.

Следствие 2. В пространстве действительных тригонометрических многочленов То, где О с является конечной, начинающейся с 0, возрастающей арифметической прогрессией целых чисел, О = {к : к = тд, д = 0,..., п}, где ш е М, система сдвигов ядер (х)

Чх - ш2П+т) -О = ^п+в г+§2с°8 (х - ш(2П+т)- •«)) ■

где г е Ж и не имеет общих делителей с 2п + 1, j = 0,1,..., 2п, образует ортонормированный базис.

Любой ортонормированный базис в То, состоящий из последовательных сдвигов одного многочлена, {Т(х — ,^)}2=0, а е М, имеет указанный вид для некоторых покомпонентных сдвигов е М, д = 1,..., п, и некоторого г е Ж, не имеющего общих делителей с 2п + 1. Укажем теперь пространства тригонометрических многочленов, в которых нет ортонормированных базисов из последовательных сдвигов одного многочлена.

Теорема 3. Пусть Q — подмножество Ж, Q = —Q, 0 е Я, существует такое п е Я, что (п + 1) е Я. Тогда в пространстве комплексных тригонометрических многочленов Тд не существует ортонормированного базиса из сдвигов одного многочлена вида {Тд(х — jа)}¿д:C-1, где |Я| — число элементов Я, а е М.

Доказательство. Предположим, что такой ортонормированный базис есть и он состоит из сдвигов многочлена

Тд (х) = £ еге^

откуда в силу базисности его сдвигов в Тд имеем:

сг = 0, при г е Я; а = 0.

В силу инвариантности относительно сдвигов система функций Тд(х—jа), j = 1, 2,..., |Я|, также является ортонормированным базисом в Тд, поэтому Тд(х — |Я|а) = егшТд(х), где и е [0, 2п). Значит,

сге*г(х-|д|а) = сгег(гх+ш) при г е Я. (11)

При г = (п + 1) е Я из (11) следует, что (п + 1)|Я|а = 2рп — и, р е Ж. При г = п из (10) следует, что п|Я|а = 2дп — и, д е Ж. Вычитая из первого равенства второе, получаем, что

|Я|а = 2кп для некоторого целого к = 0 (поскольку а = 0). (12)

Если га при некотором натуральном г е Я кратно 2п, то все тригонометрические многочлены Тд(х — ja), j = 0,1,..., |Я| — 1, имеют одинаковые компоненты с номерами ±г, сгеггх и с-ге-ггх, что противоречит базисности этих многочленов в пространстве Тд. Если га при всех г е Я не кратно 2п, то для всех г е Я из (12) имеем равенства

|д| —1 е^г(х-|д|а) _ е^гх

Еегг(х-^а) = е_е = 0

е-¿га _ 1 ■

¿=0

Значит, сумма

|д|-1

£ Тд(х — jа) = 0, (13)

¿=0

а это противоречит предположению, что функции, слагаемые суммы (13), образуют ортонормированный базис в пространстве Тд. Теорема 3 доказана.

Из утверждения 1 и теоремы 3 получаем следующее следствие.

Следствие 3. Пусть Я — подмножество Ж, Я = —Я, 0 е Я, существует такое п е Я, что (п + 1) е Я, а О = шЯ + I = {к : к = тд + I, д е Я}, где т, I е Ж. Тогда в пространстве

комплексных тригонометрических многочленов Тд не существует ортонормированного базиса из сдвигов одного многочлена вида {Тд(ж — ,а)}3='0_1, где |0| — число элементов 0, а £ К.

Из теоремы 3 получаем также следующее следствие.

Следствие 4. Если Б — подмножество М, содержащее два натуральных числа подряд, то в пространстве действительных тригонометрических многочленов ТО не существует ортонормированного базиса из сдвигов одного действительного многочлена вида {ТО(ж — ,а)}2=0'_1, а £ К.

Действительно, если бы такой ортонормированный базис существовал, то он был бы ортонормиро-ванным базисом и в пространстве комплексных тригонометрических многочленов Тд, где Q = —БиБ, что невозможно по теореме 3.

Из утверждения 2 и следствия 4 получаем следующее следствие.

Следствие 5. Пусть Б — подмножество М, содержащее два натуральных числа подряд, а Э = тБ + I = {к : к = шд + I, д £ Б}, где т £ М, I £ Тогда в пространстве действительных тригонометрических многочленов Т® не существует ортонормированного базиса из сдвигов одного действительного многочлена вида {ТО(ж — ^а)}2=0'-1, а £ К.

Приведем еще одно простое утверждение.

Утверждение 3. Пусть Q — подмножество Ж, являющееся конечным объединением таких непустых непересекающихся множеств Qp, р = 1,...,Р, что в каждом пространстве комплексных тригонометрических многочленов Тдр, р = 1, ...,Р, существует ортонормированный базис из

сдвигов одного комплексного многочлена вида {Тдр (ж — ,ар)}2=0' \ ар £ К. Тогда объединение таких базисов будет ортонормированным базисом в пространстве комплексных тригонометрических многочленов Тд.

Из него и теорем 1 и 3 получаем следующее следствие.

Следствие 5. Пусть Q = [—п, —ш] и [ш, п], где 0 < ш < п, тогда в пространстве комплексных тригонометрических многочленов Тд не существует ортонормированного базиса из последовательных сдвигов одного комплексного многочлена, но есть ортонормированный базис из последовательных сдвигов двух комплексных многочленов Т[_п,_т] (ж—,а) и Т[т,п](ж — ,а), , = 0,..., п — т (причем можно взять Т[_п,_т](ж) = Т[т,п](—ж) или Т[_п,_т](ж) = Т[т,п](ж)).

Из следствий 4 и 5 получаем следующее следствие.

Следствие 6. В пространстве действительных тригонометрических многочленов Т[т,п], где 0 < т < п, не существует ортонормированного базиса из последовательных сдвигов одного действительного многочлена, но есть ортонормированный базис из последовательных сдвигов двух действительных многочленов Т(ж — ,а) и Т2(ж — ,а), , = 0,..., п — т.

Действительно, по следствию 5 существует ортонормированная система из последовательных сдвигов двух сопряженных комплексных многочленов Т[т,п](ж — ,а) и Т[т,п] (ж — ,а), , = 0,..., п — т. А тогда система из последовательных сдвигов двух действительных многочленов

Т[т,„] (ж — ,а) + Т[т>п] (ж — ,а) Тгт,п] (ж — ,а) — Тгт,п] (ж — ,а) . —---^---, —---^---, , = 0,..., п — т,

у/2

является ортонормированной системой в пространстве Т[ТО;П], и количество элементов в ней совпадает с размерностью пространства.

Определение. Система элементов {^} гильбертова пространства Н (над полем К или С) называется ортоподобной, если для любого элемента / £ Н верно равенство / = XX/, .

3

Умножая это равенство скалярно на /, получим равенство \\/\\2 = ^ \\(/, ^з)\\2, которое определяет

з

фреймы Парсеваля. Поэтому всякая ортоподобная система является фреймом Парсеваля. Известно, что всякий фрейм Парсеваля является ортоподобной системой (см. [1, § 1.8.2]).

Теорема 4. Пусть Q — конечное подмножество Ж, Q с [т, п]. Тогда система сдвигов ядер

1 Ли („__2 пг

л/2п(п — т + 1)

кед

где г £ Ж и не имеет общих делителей с п — т + 1, , =0,1,..., п — т, образует ортоподобную систему (фрейм Парсеваля) в Тд.

Доказательство. Эта система является ортогональной проекцией на Tq системы сдвигов ядер (2), которая по теореме 1 образует ортонормированный базис в T[m,n]. А ортогональная проекция орто-нормированного базиса из T[m,n] — ортоподобная система в Tq (см. [1, § 1.8.2, 1.8.3]). Ведь любой элемент из Tq можно разложить по ортонормированному базису из T[m,n], а потом в разложении всюду заменить элементы ортонормированного базиса из T[m,n] на их ортогональные проекции на Tq. Теорема доказана.

Теорема 5. Пусть D — конечное подмножество Z+, D с [0, п], 0 ^ п. Тогда система сдвигов

даггу (±1XD (0)+£2cos (fc (x - ет)- ")),

где r G Z и не имеет общих делителей с 2п + 1, j = 0,1,..., 2п, образует ортоподобную систему (фрейм Парсеваля) в TQ.

Доказательство. Эта система является ортогональной проекцией на TQ системы сдвигов ядер (5), которая по теореме 2 образует ортонормированный базис в Tjo,n]. А ортогональная проекция ортонормированного базиса из Tj0,n] — ортоподобная система в TQ. Теорема доказана.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 14-01-00417), гранта Президента РФ для государственной поддержки ведущих научных школ (проект НШ-1096.2014.1) и грантов Правительства РФ (проекты ГК 02.G25.31.0030 и ГК 02.G36.31.0006.).

Библиографический список

1. Новиков И. Я., Протасов В. Ю., Скопина М. А. Тео- временные проблемы теории функций и их приложе-рия всплесков. М. : Физматлит, 2005. 616 с. ния : материалы 17-й междунар. Сарат. зимн. шк. Са-

2. Лукашенко Т. П. Ортогональные базисы сдвигов в ратов : ООО Изд-во «Научная книга», 2014. С. 163— пространствах тригонометрических многочленов // Со- 169.

Orthogonal Basis of Shifts in Space of Trigonometric Polynomials

T. P. Lukashenko

Moscow State University, Department of Mechanics and Mathematics, Leninskie Gori, GSP-1, Moscow, 119991, Russia, lukashenko@mail.ru

The orthonormal basis of a system of shifts of one trigonometric polynomial exist in the space of complex trigonometric polynomials with components from m to n and in the space of real trigonometric polynomials with components from 0 to n. Under condition 0 < m < n there is no orthogonal basis of shifts of one trigonometric polynomial in this space real trigonometric polynomials with components from m to n. The system of shifts of two trigonometric polynomials are orthogonal basis in this space.

Keywords: trigonometric polynomials, orthonormal basis of shifts, systems like orthogonal systems, frame of shifts.

This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 14-01-00417) and by the Grant of the President of the Russian Federation for state support of leading scientific schools (project no. НШ-1096.2014.1) and grants of the Government of the Russian Federation (projects no. ГК 02.G25.31.0030, ГК 02.G36.31.0006.).

References

1. Novikov I. Y., Protasov V.Yu., Skopina M. A. Teoria vspleskov [Theory of Wavelets]. Moscow, Fizmathlit, 2005, 616 p (in Russian).

2. Lukashenko T. P. Ortogonal'nie bazisi sdvigov v prostranstvah trigonometricheskix mnogochlenov [Orthogonal basis of shifts in space of trigonometric polyno-

mials]. Sovremennie problemi teorii funktsiy i ih pri-lojenya: materialy 17 mezhdunar. Saratov. zimney shkoli [Modern problems of function theory and their applications: Proc. of the Intern. 17-th Saratov Winter School], Saratov, 2014, pp. 163-169.