BANAX FAZOSIDA OSHKORMAS FUNKSIYA HAQIDAGI TEOREMANING TATBIQLARI Текст научной статьи по специальности «Математика»

BANAX FAZOSIDA OSHKORMAS FUNKSIYA HAQIDAGI TEOREMANING TATBIQLARI

Saipnazarov Jonibek Muxammadiyevich (Toshkent Axborot Texnologiyalari Universiteti Qarshi filiali)

[email protected]

Anotatsiya. Ushbu maqolada oshkormas funksiya haqida teorema, uning isboti va teorema isbotidan foydalanib uning yechimlarini topish, hamda chegaraviy masalalarni yechishdagi tadbiqlari, Banax fazolarida teskari funksiya haqidagi teorema keltirib o'tilgan.

Kalit so'zlar: Banax fazo, Freshe, gomeomorfizm, biyektiv akslantirish, chegaraviy masala, chiziqli gomeomorfizm

Аннотация. В статье представлена теорема об обратной функции, ее доказательство и поиск решений с использованием доказательства теоремы, а также ее применение при решении краевых задач, теорема об обратной функции в банаховых пространствах.

Ключевые слова: банахово пространство, Фреше, гомеоморфизм, объективное отражение, краевая задача, линейный гомеоморфизм..

Abstract. This article is presents the theorem on the unknown function, its proof and finding its solutions using the proof of the theorem, as well as its application in solving boundary value problems, the theorem on the inverse function in Banach spaces.

Keywords: Banach space, Freshe, homeomorphism, objective reflection, boundary value problem, linear homeomorphism.

KIRISH

l.Mavzu bo'yicha qo'yilgan maqsad va muammolar.

Oshkormas funksiya haqidagi teorema standart usulda teskari funksiya haqidagi teoremadan keltirib chiqariladi [1],. Lekin biz bu teoremani mustaqil isbotlaymiz va uni chegaraviy masalalarni yechishga tadbiq etamiz.

X, Y, Z - Banax fazolari bo'lsin. l(y;z) bilan Y fazoni Z fazoga o'tkazuvchi uzluksiz chiziqli akslantirishlar fazosini belgilaymiz, W = (*,y)e X x Y I J*-x0|| <ал||у-y0|| < ß) (x0 e X,y0 eY)deylik. F: W ^ Z

akslantirishni qaraylik. Tayinlangan * e e X | * - *0 < a) uchun

F(*,-): (y e Y | у - y01| < ß)^ Z akslantirishning Freshe ma'nosidagi hosilasini

Scientific Journal Impact Factor

R

(differensiali)ni DyF(x, y) deb belgilaymiz, (x, y) ^ DyF(x, y)e l(y; z). c(w; z) bilan barcha f : W ^ z uzluksiz akslantirishlar sinfini belgilaymiz.

ADABIYOTLAR TAHLILI VA METODLAR 2.Muammoni yechish metodlari.

Teorema 1. Faraz qilaylik, F : W ^ Z akslantirish quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:

1. F(x°, y0) =

2. F e C(W; Z).

3. DyF (x0, y0 )- chiziqli gomeomorfizm.

U holda x0 nuqtaning X dagi shunday U atrofi va y0 nuqtaning Y dagi shunday F atrofi topiladiki, Vx eU uchun y ga nisbatan F (x, y) = 0 tenglamaning yagona y = f (x) e V yechimi mavjud. Bunda f : U ^ V akslantirish uzluksiz.

Isboti. Ushbu

G(x, y) = y - D- F (x°, y°) •F (x, y)

akslantirishni qaraylik. Ravshanki, F (x, y) = ° tenglamani yechish g(x, y ) = y tenglamani yechishga teng kuchli. Oxirgi tenglamadagi g(x, y) funksiya quyidagi xossalarga ega:

1 G(x°, y° )=y°.

2. G va DyG lar uzluksiz.

3. DyG(x°, y° ) = 0.

uzluksiz bo'lganligi uchun y0 nuqtaning shunday

DG

Vr(y°) = {y e Y |||y -y°|| < r}e{y e Y |||y-y°|| <ß} {yi, y 2 Vr (y° ) uchun:

atrofi mavjudki, ixtiyoriy

( h^ 1

G(x, yi)- G(x, y21 < sup DУG(X, yi +t(y2 - yi)) Ml yi - y21 < 1

V°<t<i

2

yi - y2

(1)

bo'ladi [2]. G uzluksiz bo'lganligi uchun esa x0 nuqtaning shunday

U5(x° ) = {- e X | x - x° < {x e X | x - x° < a} atrofi topiladiki, x e Us (x0 ) uchun

|lG(x, y°)- G(x°, y° |< -.

x° ning vay° ning topilgan shu atroflari biz izlayotgan atroflar bo'ladi:

U = Us(X°), V = V-(y°). Haqiqatan ham, ixtiyoriy x eU, y e V lar uchun

(2)

y)-y0\\ = |\G(x,y)-G(x0,y0| <

< | |G(x, y) - G(x, y01 +1 |G(x, y0 ) - G(x0, yo I <

1 h n r r r

<-y-y0 +-<-+-= r. (3)

2 11 ^ 2 2 2 w

M bilan f e C(U;Y), f (x0) = y0, ||f(x) -y0|| < r, sup||f(x)|| < +» shartlarini

xeU

qanoatlantiradigan akslantirishlar to'plamini belgilaylik. M yopiq to'plamdir. Chunki, agar f uning limit nuqtasi bo'lsa, M to'plamni elementlaridan f ga yaqinlashuvchi f, /,... ketma-ketlik topish mumkin. U holda f ham c(u;y) sinfga

tegishli bo'ladi. Buni ko'rsatish uchun {x,x2u ga ko'ra f(x1)- f(x2) ifodani

baholashimiz kerak. Shunday n e N nomer topish mumkinki,

i s i | s

f (xi) - f (xi)| <- , I fn (x2) - f (x2) <-

bo'ladi. Bu yerda s-oldindan berilgan ixtiyoriy musbat son. fn ning uzluksiz bo'lganligi uchun topilgan n e N nomer va s ga bog'liq ravishda x nuqtaning U dagi shunday 77 - atrofini topish mumkinki, x1 - x2|| <7 tengsizlikni qanoatlantiruvchi

barcha x2 larda

||fn (xi )- fn (x2 !<S

bo'ladi. U holda x nuqtaning shu 77- atrofi uchun

||f (xi) - f (*2)|| f (xi) - fn (xi)|| + || f (x2) - fn (*2)|| + || fn (xi) - f (x2)|| <

s s s

<—+ —+ —=

3 3 3 = s.

Shuningdek, f (x0) = y0 bo'ladi, zero

lim fn(x0) = lim y0 = y0 = f (x0). O'z navbatida VxeU uchun f(x)-y01| <r, chunki, agar x eU bo'lsa,

Vs > 0 3n0 Vn > n0 I\fn(x) - f (x)\\ < s,

ya'ni

\\f (x) - y» || < If (x) - fn(x)|| +1fn(x) - y<> I < s + r.

s ning ixtiyoriyligidan f (x) - y0 < r ligi kelib chiqadi. Endi f (x)|| < y0 + r bo'lganligi uchun sup f (x) <+» bo'ladi. Demak, f e M. M to'plam Banax

xeU

3

fazosining yopiq qism to'plami bo'lganligi uchun M ham Banax fazosi bo'ladi va unda

f (x) = G(x, f (x))

tenglama aniqlanadi. G(x, y) funksiyaning xossalari va (1), (2), (3) dan G: M ^M ning qisqartirib akslantirish ekanligi kelib chiqadi. Banaxning qisqartirib aks ettirish prinsipiga ko'ra yagona f e M element mavjudki, Vx e U f (x) = G(x, f (x))

bo'ladi. Teorema isbot bo'ldi.

Eslatma. Agar teoremani shartlari bilan birgalikda F n marta uzluksiz differensiallanuvchi bo'lsa, topilgan f: U ^ V akslantirish ham n marta uzluksiz differensiallanuvchi bo'ladi. 3. Yechimlar bo'limi. Masala 1. Quyidagi nochiziqli chegaraviy masalani qaraylik:

y'" + Af (t, y) = 0, 0 < t <n, y(0) = y(^) = 0. (4)

Biz ko'rsatamizki, agar f uzluksiz differensiallanuvchi bo'lsa, nolga yaqin A e R lar uchun bu masala yagona yechimga ega bo'ladi. Ushbu

X = R, Y = f : [0;^ R|f e C2 [q^a f(0) = f(n) = 0¡; Z = C([0;4 fazolarni kiritaylik. Bu fazolar o'zlarining odatiy normalariga ega deb hisoblanadi. F: X x Y ^ Z akslantirishni

F (A, y) = y" + Af (t, y)

formula bilan aniqlaylik. F uzluksiz va F(0,0) = 0, ya'ni A = 0 da (4) masala y = 0 trivial yechimga ega. Shuningdek, agar y0 e Y bo'lsa,

DyF (A, y0 X z) = z" + z,

y dy

ya'ni

(A, y) ^ DyF (A, y)

akslantirish uzluksiz.

Endi ushbu T = DyF (0,0): Y ^ Z chiziqli akslantirishni qaraylik. Biz shu

akslantirishni chiziqli gomeomorfizm ekanligini ko'rsatishimiz kerak. Ma'lumki [3], har bir h e c([0; 7t] uchun

v " = h(t), 0< t <n, v(0) = v(n) = 0 chegaraviy masala yagona yechimga ega va u

n -1 {n-t)s, 0 < 5 < t

v(t ) = J Q(t, s)h(s)ds, Q(t, s) = j n (5)

0 - — t {n - s ), t < s < n

. n

formula bilan beriladi. (5) munosabatdan T -1 ning in'ektiv va uzluksizligi kelib chiqadi, chunki

v =

T

< c\\h\\, c - const.

Demak, oshkormas funksiya haqidagi teoremani barcha shartlari bajariladi. Shuning uchun nolning yetarlicha kichik atrofidagi Á e R larda (4) tenglama yagona y e Y yechimga ega.

Teorema 2. Aytaylik, X, Y - Banax fazolari, U - a e X nuqtaning ochiq arofi bo'lsin. f: U ^ Y akslantirish uzluksiz differensiallanuvchi va Df (a): X ^ Y - chiziqli gomeomorfizm ham bo'lsin. U holda a nuqtaning shunday U' atrofi, f (a) ning shunday V atrofi mavjud va bir qiymatli aniqlanadigan shunday g funksiya topiladiki, ular uchun

a) f: U' ^ V - biyektiv akslantirish,

b) g: V ^ U' - biyektiv akslantirish va Vx e U' g (f (x)) = x,

c) g eCfV;U') va Dg( f (a)) = Df (a)

xossalar o'rinli bo'ladi.

Teskari funksiya haqidagi bu teorema oshkormas funksiya haqidagi teoremadan standart usulda keltirib chiqariladi.

Masala 2. Ushbu

x " + Áx + f (t, x) = g, x(0) = x(2^), x '(0) = x '(2x) (6)

chegaraviy masalani qaraylik. Bu yerda g - 2n davrga ega bo'lgan uzluksiz funksiya va Á e R - parametr. Quyidagi fazolarni qaraylik:

X = C2 ([0;2^i R)o{x | x(0) = x(2^) a x '(0) = x '(2^)}, Y = C([0;2^]; R).

Bu fazolarda odatiy normalar kiritilgan deb hisoblanadi.

Agar f uzluksiz differensiallanuvchi bo'lsa, u holda biror ba'zi Álar uchun barcha g larda (6) masala yagona yechimga ega.

Isboti. Aytaylik F: X ^ Y funksiya

F(x) = x" + Áx + f (t, x)

formula bilan berilgan bo'lsin. Ushbu

x^DF{x)&L(Xj)

akslantirish uzluksiz, ya'ni F akslantirish C1 sinfga tegishli. Differensial tenglamalar nazariyasidan ma'lumki [3],

x" + Ax = h

tenglama A ^ n2,n = 1,2,... bo'lganda har bir 2n davrli uzluksiz h funksiya uchun 2n davrga ega bo'lgan yagona yechimga ega va x < C||k|, C - faqat A ga bog'liq o'zgarmas. Demak, DF(0) -X ni Y ga o'tkazuvchi chiziqli gomeomorfizm . Teorema 2 ga ko'ra har bir g e Y va berilgan A ^ n2 uchun (6) yagona yechimga ega.

MUHOKAMA VA NATIJALAR

Aytaylik F: X ^ Y funksiya

F(x) = x" + Ax + f (t, x)

formula bilan berilgan bo'lsin. Ushbu

iBi)F(x)el(J;7)

akslantirish uzluksiz, ya'ni F akslantirish C1 sinfga tegishli. Differensial tenglamalar nazariyasidan ma'lumki [3],

x " + Ax = k

tenglama A ^n2,n = 1,2,... bo'lganda har bir 2n davrli uzluksiz h funksiya uchun 2n davrga ega bo'lgan yagona yechimga ega va x < C||k|, C - faqat A ga bog'liq o'zgarmas. Demak, DF(0) -X ni Y ga o'tkazuvchi chiziqli gomeomorfizm . Teorema 2 ga ko'ra har bir g e Y va berilgan A ^ n2 uchun (6) yagona yechimga ega.

Ushbu

x " + Ax + f (t, x) = g, x(0) = x(2^), x "(0) = x "(2x) (6)

chegaraviy masalani qaraylik. Bu yerda g - 2n davrga ega bo'lgan uzluksiz funksiya va Ae R - parametr. Quyidagi fazolarni qaraylik:

X = C2 ([0;2^i R)o{x | x(0) = x(2^) a x "(0) = x "(2^)}, Y = C([0;2^]; R).

Bu fazolarda odatiy normalar kiritilgan deb hisoblanadi.

Agar f uzluksiz differensiallanuvchi bo'lsa, u holda biror ba'zi Alar uchun barcha g larda (6) masala yagona yechimga ega.

XULOSA

Agar teoremani shartlari bilan birgalikda F n marta uzluksiz differensiallanuvchi bo'lsa, topilgan f: U ^ V akslantirish ham n marta uzluksiz differensiallanuvchi bo'ladi.

Scientific Journal Impact Factor

R

ADABIYOTLAR RO'YXATI (REFERENCES)

1.J. Milnor. Analitic proof of the hairy ball theorem and the Brouwer fixed point theorem. Am. Math. Mon., 85, 521-524.

2. F.Xartman. Obiknovenniye differensialniye uravneniya.-M.:Mir, 1973

3. V.A.Tremgm:„Funksiomlniy analiz''.-M.:Nauka,1980.

4. V.Xatson, Dj.Pim. Prilojeniya funksionalnogo analiza i teorii operatorov.M.:Mir, 1983.

5. Н.Дилмуродов. Купхилликларда математик анализ. Карши, 2003.

6. Ж.-П. Обен, И. Экланд. Прикладной нестандартный анализ. М.: Мир,

1988.