BA’ZI PARAMETRLI TENGLAMALAR ILDIZLARI SONINI ANIQLASHDA FUNKSIYA XOSSALARIDAN FOYDALANISH Текст научной статьи по специальности «Математика»

Axmedova G.

QDPI Maxmudova O.

QDPI

BA'ZI PARAMETRLI TENGLAMALAR ILDIZLARI SONINI ANIQLASHDA FUNKSIYA XOSSALARIDAN FOYDALANISH

Annotatsiya. Ushbu maqolada ba'zi parametrli tenglamalarning ildizlari soni bilan bog'liq masalalarni hal qilishda funksiyaning juft-toqligi va ektremum qiymatlaridan foydalanish usuli samarali natija berishi haqida ma'lumotlar berilgan.

Kalit so'zlar: parametr, ildiz, tenglama, ekstremum, funksiyaning juft-toqligi.

Akhmedova G.

QDPI Makhmudova O.

QDPI

A FUNCTION FOR DETERMINING THE NUMBER OF ROOTS OF

EQUATIONS WITH SOME PARAMETERS REMOVE FROM

PROPERTIES

Annotation. This article provides information that when solving problems related to the number of roots of some parametric equations, the method of using the values of the parity and extremum of the function is effective.

Key words: parameter, root, equation, extremum, evenness of the function.

Bizga f (x) = a ko'rinishdagi tenglamaning ildizlarini topish kerak bo'lsa quydagi savollar kelib chiqadi. a ning berilgan qiymatida tenglama yechimi mavjudmi? Yechimi nechta? Bu savollarga javob berish uchun f(x) funksiyaning xossalaridan foydalanish, jumladan, juft-toqligidan, eng katta va eng kichik qiymatlaridan foydalanish samarali usullardan hisoblanadi. Juft funksiyalarning aniqlanish sohasi x = 0 ga nisbatan simmetrik bo'lishi kerak (aks holda f (-x) mavjud bo'lmasligi mumkin). Ixtiyoriy y(x) = f (x)+f (-x)funksiya juftdir.

1-misol. 43—x^V3+x = a tenglama yagona yechimga ega bo'ladigan a parametrning hamma qiymatlarini toping.

Yechish. Bu tenglamani oddiy yechish mumkin. Masalan, |x| < 3, a > 0

shartlar o'rinli bo'lganda tenglamaning har ikki tomonini kvadratga ko'taramiz.

V9 - x2 = 0,5a2- 3

y(x) = V9 - x2 funksiya grafigi markazi koordinata boshida va radiusi 3 ga

2

a

teng yarim aylanani belgilaydi. (1-chizma) Grafik y = —- 3 to'g'ri chiziq bilan

yagona umumiy nuqtaga faqat to'g'ri chiziq yarim aylanaga x = 0 nuqtada urinsa erishadi. Bunda a = 2^3.

1-chizma

2-misol. V2 - x W5 - x3 W1- 3x2 W5+x3 + V2+x = a tenglama yagona yechimga ega bo'ladigan a parametrning hamma qiymatlarini toping.

Yechish. Endi tenglamaning har ikki tomonini kvadratga ko'tarish natija

bermaydi. Tenglamaga yaxshilab qaraydigan bo'lsak V2 - x va -J2 + x, ^5 - x3 va

^5+x3 radikallar bor. Ular x ning oldidagi ishorasi bilan farq qiladi. Bu degani agar x ni ( - x) bilan almashtirsak ular faqat o'rinlari bilan almashadi, ammo

yig'ndi o'zgarmaydi. Tenglamada yjl-3x2 ning jufti yo'q, ammo bunda x ni ( - x) bilan almashtirsak uning qiymatini o'zgartirmaydi. Tenglamaning chap qismidagi x larni ( - x) bilan almashtirsak yig'indi o'zgarmaydi, bu esa tenglamaning ildizlari ikkita qarama-qarshi sonlar ekanligini bildiradi. Masalan x soni tenglama ildizi bo'lsa, - x ham uning ildizi bo'ladi. Tenglama yechimi bitta bo'lishi uchun x = 0 bo'lishi kerak. Demak a ning qiymati 2(>/2 + >/5") + lga teng bo'lganda tenglama yagona yechimga ega bo'ladi.

Agar uzluksiz f (x) funksiya biror intervalda minimal m va maksimal M qiymatga ega bo'lsa, u holda f (x) = a tenglama bu intervalda hamma a e[m;M] larda hech bo'lmaganda bitta yechimga ega bo'ladi. Agar f (x) monoton (ya'ni hamma intervalda o'sadi yoki kamayadi) bo'lsa u holda f (x) = a tenglama hamma a e[m;M] intervalda yagona yechimga ega bo'ladi. Agar f (x) monoton bo'lmasa, a e[m;M] ning ba'zi qiymatlarida f(x) = a tenglama intervalda

bittadan ortiq yechimga ega bo'ladi.

3-misol. cos(sin x) = sin(cos x) tenglama nechta ildizga ega. Yechish. Keltirish formulalariga ko'ra

K

cos(sin x) - cos(— - cos x) = 0

tenglik o'rinli.

„ . b - aN . .a + bN

cos a - cos b = 2 sin(-) sin(-)

2 2

ayniyatdan foydalanamiz. Natijada

„ . ,sin x - cos X TT4 . ,n sin x + cos X. л

2 sin(-+ —) sin(---) = 0

2 4 4 2

bundan sin x - cos x = 2xn yoki sin x + cos x = 2xn + ^, n e Z. Ammo n ning

hamma butun qiymatlarida 2nn -y va 2nn + ^ larning moduli ^ dan kichik emas. Shu bilan birga sin x - cos x va sin x+cos x larning moduli jihatidan eng katta qiymatlariV2 ga teng.bo'lgani uchun tenglama yechimga ega emas.

4-misol. a parametrning ixtiyoriy qiymatida 3ax2003 + 6x5 + a2x2 + ax -1 = 0 tenglama [0;1] intervalda hech bo'lmasa bitta ildizga ega bo'lishini isbotlang.

Yechish. f (x) = 3ax2003 + 6x5 + a2x2 + ax -1 funksiya parametrning ixtiyoriy qiymatida uzluksiz f(0) = -1, f (1) = a2 + 4a + 5 = (a + 2)2+1 > 0. Uzluksiz funksiya f (0) < 0, f (1) > 0 lar orasidagi hamma qiymatlarni qabul qilgani uchun hech bo'lmaganda bitta nuqtada 0ga teng qiymatni qabul qiladi.

Foydalanilgan adabiyotlar.

1.С.Н.Олехник, М.К.Потапов, П.И.Пасиченко. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения: Справочник. Москва 1997.

2.Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н. Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Москва.Ставрополь 2008.

3.Моденов В.П Математика. Пособие для поступающих в вузы. Москва. Новая волна. 2002.

4. G.Axmedova Makhmudova O Using Cauchy Inequality to Find Function Extremums. International Research Development and Scientific Excellence in Academic Life 114-115 bet

5. G.Axmedova Makhmudova O. Murakkab argumentli trigonometrik tenglamalarni yechish. Eurasian journal of mathematical theory and computer sciences. 2022.18-20 bet

6. G.Axmedova Using inequalities in solving trigonometric equations and systems of equations. International Journal of Trend in Scientific Research and Development 2021. JournaLNX-A Multidisciplinary Peer Revieved journal 224227 bet

7. G.Akhmedova O.Makhmudova. Non standart solutions of trigonometrik equations. International journal of theoretical and practical research. Xalqaro amaliy va nazariy tadqiqotlar jurnali. 2022.40-50bet