CC BY
10
Эпистемология и философия науки 2023. Т. 60. № 3. С. 39-47 УДК 167.7
Epistemology & Philosophy of Science 2023, vol. 60, no. 3, pp. 39-47 DOI: https://doi.org/10.5840/eps202360338
Б. РАССЕЛ, Г. ПРИСТ
И ПРИНЦИП ЕДИНОГО РЕШЕНИЯ ЛОГИКО-СЕМАНТИЧЕСКИХ ПАРАДОКСОВ*
Суровцев Валерий Александрович -
доктор философских наук, профессор, ведущий научный сотрудник. Томский научный центр Сибирского отделения Российской академии наук. Российская Федерация, 634055, г. Томск, пр. Академический, д. 10/4. Томский государственный университет. Российская Федерация, 634050, г. Томск, пр. Ленина, д. 25; e-mail: surovtsev1964@mail.ru
В статье рассматриваются аргументы В.А. Ладова относительно предложенного Г. Пристом принципа единого решения логико-семантических парадоксов. В.А. Ладов считает, что помимо самореферентности для возникновения парадоксов необходимым элементом является отрицание. Однако отрицание есть лишь синтаксический аналог основных семантических понятий «истина» и «ложь». Поскольку истина и ложь являются основной характеристикой объектов, относительно которых формулируются парадоксы, постольку самореферент-ность является единственной причиной их возникновения. Ключевые слова: В.А. Ладов, Г. Прист, парадоксы, принцип единого решения, самореферентность, отрицание
B. RUSSEL,
■ ■ G. PRIEST AND THE PRINCIPLE OF UNIFORM SOLUTION TO LOGICAL AND SEMANTICAL PARADOXES
Valeriy A. Surovtsev -
DSc in Philosophy, Professor, Leading Research Fellow. Tomsk Scientific Center of the Siberian Branch of the Russian Academy of Science.
10/4 Akademichesky Av.,
Tomsk 634055,
Russian Federation.
Tomsk State University.
25 Lenin Av., Tomsk 634050,
Russian Federation;
e-mail: surovtsev1964@mail.ru
The article deals with the arguments of V.A. Ladov regarding to the principle of uniform solution of logical and semantical paradoxes proposed by G. Priest. V.A. Ladov thinks that in addition to self-referentiality negation is necessary element for the occurrence of paradoxes. However, negation is a merely syntactical analogue of the basic semantical concepts of truth and falsehood. Science truth and falsehood are the main characteristics of the objects in relation to which paradoxes are formulated, self-referentiality is the only reason for occurrence of them. Keywords: V.A. Ladov, G. Priest, paradoxes, principle of uniform solution, self-referentiality, negation
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 23-1800019, https://rscf.ru/project/23-18-00019/
© Суровцев В.А., 2023
39
В своей статье «О принципе единого решения парадоксов» [Ладов, 2023] В.А. Ладов высказал удивительную мысль. Оказывается, что Б. Рассел [Рассел, 2006], а за ним и Г. Прист [Прист, 2022] промахнулись, решая проблему логических парадоксов. Их решение «нельзя назвать полностью релевантным, поскольку оно опирается на недостаточно тщательную диагностику причин возникновения парадоксов» [Ладов, 2023, с. 18]. Недостаточная тщательность связывается как раз не с тем, что называется в статье явлением самореферентно-сти, которая считается необходимым условием парадоксов, поскольку, как утверждает Б. Рассел: «У всех указанных выше противоречий (которые суть лишь выборка из бесконечного числа) есть общая характеристика, которую мы можем описать как самореферентность или рефлексивность» [Рассел, 2006, с. 18]. Это, как у В.А. Ладова, так и у Г. Приста, называется унифицированным решением парадоксов. Однако В.А. Ладов добавляет еще один момент. Он считает, что такой момент заключается в необходимом наличии при формулировке логических парадоксов отрицания. В.А. Ладов говорит только о логико-семантических парадоксах, хотя у Г. Приста речь идет об их более широком классе. Но В.А Ладов дает детальное описание именно логико-семантических парадоксов. Остановимся и мы на них. Тем более, что все претензии касаются именно этой группы.
Как утверждается в статье, самореферентности совсем недостаточно, нужно еще и наличие отрицания. Без отрицания никакого противоречия не будет. По сути дела, в статье В.А. Ладова речь идет совсем даже не о Г. Присте и даже не о Б. Расселе, но о необходимых и достаточных условиях парадоксов. Так и наша реплика касается не столько Б. Рассела и Г. Приста, сколько самых этих условий. Хотя Г. Прист обращается к гораздо большему числу парадоксальных утверждений, В.А. Ладов ограничивается лишь теми из них, которые получили название логико-семантических парадоксов. И это вполне нормально, поскольку служит достаточным основанием для утверждения, что самореферентность для парадоксов необходима, но нужно что-то еще.
К примеру, описывая парадокс Берри, В.А. Ладов пишет: «Попробуем переформулировать парадокс Берри, убрав отрицание из свойства Р. В класс w у нас должен попасть один элемент х со свойством Р, а именно наименьшее целое число, именуемое менее чем десятью словами. Этот же элемент х может быть рассмотрен как специфический самореферентный элемент е, поскольку он не только обладает свойством Р, но одновременно и описывается фразой, которая данное свойство выражает: "Наименьшее целое число, именуемое менее чем десятью словами". Никакого парадокса в данном случае не возникает. Фраза, описывающая свойство Р, в данном случае сама не противоречит описываемому свойству. Наименьшее целое число, именуемое менее чем десятью словами, описывается
фразой, состоящей менее чем из десяти слов. Очевидно, что за образование парадокса Берри отвечает не самореферентный элемент е в качестве фразы, описывающей свойство р, а именно специфика самого описываемого свойства Р. Свойство Р должно содержать отрицание, представленное во фразе, которая это свойство описывает: "Наименьшее целое число, не именуемое менее чем десятью словами"» [Ладов, 2023, с. 27]».
Вот так и получается. Если нет отрицания, то нет и парадоксов. Вернее сказать, что без отрицания мы не можем сформулировать никакого парадокса. Отрицание играет здесь важную, если не определяющую роль. Высказывание может быть рефлексивным без того, чтобы быть парадоксальным, но только в том случае, если оно не содержит отрицания. Касаясь парадокса Лжеца, В.А. Ладов, к примеру, так объясняет возникновение здесь противоречия: «В парадоксе Лжеца мы образуем класс w из элементов х на основании свойства Р, которое также содержит отрицание. Мы собираем в класс w высказывания, которые не являются истинными. Специфический элемент е представляет собой высказывание "Это высказывание не является истинным". Данное высказывание оказывается парадоксальным. Однако, чтобы избежать парадокса, нам не нужно, как полагал Рассел, отказываться от самореферентного элемента е. Для устранения парадокса достаточно переформулировать свойство Р таким образом, чтобы из него исчезло отрицание. Если мы будем собирать в класс w высказывания со свойством Р - быть высказыванием, которое является истинным, то появление самореферентного элемента е в качестве высказывания "Это высказывание является истинным" не ведет к парадоксу. При допущении, что высказывание "Это высказывание является истинным" истинно, не следует, что оно ложно. Это высказывание говорит об истинности самого себя, и при допущении, что оно истинно, оно только подтверждает истинность своего содержания, а именно, что оно истинно. Самореферентное высказывание есть, но никакого противоречия нет» [Там же, с. 26-27].
Видимо, всю ответственность за возникновение парадоксов В.А. Ладов возлагает на наличие отрицания. Уберите отрицание, и никаких парадоксов не будет. Но вот загвоздка. Утверждение и отрицание - соотносительные понятия. Уберите одно, не будет и другого. Г. Прист и имеет это в виду. В.А. Ладов считает совсем по-иному. Он думает, что наличие отрицания есть достаточное условие парадоксов, тогда как рефлексивность или самореферентность - необходимая. Но все обстоит с точностью до наоборот. Именно возможность истины и лжи, а стало быть, утверждения и отрицания и есть необходимое условие парадоксов. Самореферентность есть лишь обязательное условие их появления.
Дело совсем не в наличии отрицания. Ведь что, по существу, представляет собой отрицание? С семантической точки зрения это
логическая операция, которая изменяет истинностное значение высказывания на противоположное (по крайней мере в классической логике, а именно в ее рамках и формулируются рассматриваемые В.А. Ладовым парадоксы). В этом отношении синтаксическое выражение отрицания высказывания р' (где - знак отрицания) можно заменить семантическим утверждением, что p - ложно. Но ведь если нет необходимости при формулировке парадоксов говорить об отрицании в том смысле, в котором оно играет просто техническую роль, то тогда и не следует говорить, что оно является достаточным условием, помимо необходимого условия, которым является рефлексивность, ну или самореферентность. Дело в том, что свойство «быть истинным или ложным», выражением чего как раз и является отрицание, изначально относится к тем объектам, относительно которых вообще может быть сформулирован парадокс. То есть возможность наличия или отсутствия свойства у объектов, подпадающих под соответствующее понятие и образующих класс, утверждение или отрицание суждения, оценка высказывания как истинного или ложного есть условие sine qua non, без которого формулировка в указанном В.А. Ладовым виде вообще невозможна. Утверждение и отрицание коррелятивны в том же самом смысле, в котором коррелятивны истина и ложь. И если не использовать оператор, который позволяет переводить одно в другое, то это ничего не говорит о достаточном условии парадоксов. Парадоксы именно и возможны, потому что оппозиция истины и лжи уже заложена в сущности объектов, относительно которых самореферентность выступает лишь вторичным эффектом.
В.А. Ладов говорит, что утверждение типа: «Я сейчас говорю истину», и если это утверждение истинно, то мы не приходим к парадоксу. Действительно, если это утверждение оценивать как истинное, то парадокса не получится. Говорить об истинности самого утверждения, что оно истинно, не порождает противоречия. Но предположим, что утверждение «Я сейчас говорю истину» - ложно. И мы получаем тот же самый парадокс без всякого дополнительно принятого в качестве достаточного условия отрицания. Отрицание здесь будет играть лишь роль, устанавливающую коррелятивность истины и лжи. Когда В.А. Ладов интерпретирует высказывания «Я сейчас лгу» в том смысле, что «Я сейчас не говорю правду», он лишь указывает на то, что отрицание играет чисто техническую роль при изменении истинностного значения исходного высказывания. Но если принять, что высказывание «Я сейчас говорю правду» является ложным, то отрицание, приводящее к противоречию, появляется здесь как чисто технический прием, переводящий истину в ложь. Действительно, если высказывание «Я сейчас говорю правду» - ложно, то истинно высказывание «Неверно, что я сейчас говорю правду» или «Я сейчас не говорю правду», т.е. «Я сейчас лгу». Отрицание
не является каким-то дополнительным элементом, оно встроено в коррелятивность истины и лжи, без которой не обойтись, если речь идет о высказываниях. Значит, дело вовсе не в наличии отрицания как дополнительного элемента в структуре парадокса. Дело в том, что есть истина и ложь, которые существенны в логической системе, и при этом самореферентность есть лишь только дополнительный элемент. Нетрудно представить себе, например, сообщество людей, в стиле языковых игр Л. Витгенштейна [Витгенштейн, 2022], где все высказывания считаются изначально ложными. Тогда и парадокс Лжеца переформулируется, поскольку парадоксальным станет утверждение: «Я сейчас говорю правду». Никакого отрицания, явно входящего в данное утверждение, здесь, очевидно, не требуется.
Можно, конечно, сказать: вот, смотрите, это самореферентное утверждение не приводит к парадоксу. Да, действительно, само по себе не приводит. Но к нему приводит его отрицание. Что же мы тогда должны сделать? Запретить отрицание самореферентных утверждений? Но как это можно запретить, если мы принимаем дуализм истины и лжи? О какой спорности здесь может тогда идти речь? Са-мореферентность в рамках классической логики? Самореферентные утверждения (отдельные утверждения) допустимы только как отдельные утверждения? Если самореферентность допускается относительно всей системы рассуждений, то парадоксы возникают неизбежно, уже в силу того, что принимается бивалентность истины и лжи при, конечно же, допущении самореферентности.
В.А. Ладов, правда, почти всегда речь ведет о свойствах классов, которые могут быть отрицательными, редко используя понятия истины и лжи. Но с точки зрения логики любой класс задается пропозициональной функцией, а сам класс трактуется как совокупность объектов, которым задающая его функция сопоставляет значение истина. Поэтому язык парадоксов, основанный на понятиях класса и свойства, полностью переводим на язык, основанный на поня -тиях пропзициональной функции и истинностного значения, и наоборот. Именно на этом основывается, например, Г. Прист, не принимая деления парадоксов на синтаксические и семантические, продолжая линию Б. Рассела, развитую последним в разветвленной теории типов [Рамсей, 2011]. Суть парадоксов от этого не изменится. Тот же парадокс самого Рассела о множествах, не содержащих себя в качестве элемента, можно без труда переформулировать в логическую проблему об истинности или ложности утверждений о нормальных или ненормальных множествах. В этом случае утверждения о нормальных множествах нужно лишь считать ложными, а утверждения о ненормальных множествах истинными. Тогда и отрицание опять получает лишь технический характер. Утверждение о таких множествах будет записываться как 'р', но иметь значение 'ложь', а отрицание записываться как ' ~ р', но иметь значение
'истина'. Здесь вопрос лишь логической техники, символизма и его интерпретации.
Дело ведь не в том, что само по себе самореферентное утверждение может быть (в случае наличия отрицания) парадоксальным или не быть (в случае его отсутствия). Главное, что само по себе утверждение или отрицание роли не играет. Они рассматриваются в рамках системы, обладающей некоторыми свойствами до допущения всякой рефлексивности. К таковым, например, относится то свойство, что утверждения могут быть истинными и могут быть ложными. Если самореферентности нет, то нет и противоречий. Но как только она появляется, тут парадоксы и возникают. Значит, истина и ложь и их синтаксический аналог в виде утверждения и отрицания не являются дополнительным условием. Это условие sine qua non для системы. И лишь наличие самореферентности тогда уже приводит к парадоксу.
Ни у Б. Рассела, ни у Г. Приста речь не идет о том, что саморе-ферентность высказываний должна рассматриваться как свойство отдельных утверждений. Допущение самореферентности - это мета-свойство логической системы. Именно так оно и рассматривается. Отдельные самореферентные утверждения не являются самопротиворечивыми. Действительно, есть утверждения, говорящие о себе самих, но при этом не являющиеся самопротиворечивыми. В этом нет никакой проблемы. Но логическая система, допускающая саморефе-рентность как метасвойство, т.е. допускающая, что сформулированные в ее рамках утверждения могут относиться к самим себе, всегда будет самопротиворечивой. Уже в силу того, что эти утверждения нужно будет оценивать как истинные или ложные. И наличие отрицания здесь совершенно ни при чем. В рамках логической системы, допускающей истину и ложь относительно высказываний, вопрос о том, есть там оператор, отвечающий за отрицание, или нет, никакого значения не имеет.
В своей статье [Рассел, 2006] Б. Рассел, например, ставит вопрос не о том, приемлемы ли отдельные самореферентные утверждения. Этот вопрос касался бы тогда только синтаксических тонкостей относительно правильно построенных формул. Однако его интересует более общий вопрос, вопрос об источниках парадоксов. И цель, которую он перед собой ставит, выясняя источник парадоксов, касается не отдельных утверждений, безотносительно к тому, входит ли в них отрицание или же нет. Главный вопрос относится к метауров-ню о допустимости в этой системе самореферентных выражений. То же самое можно отнести и Г. Присту. Его модификация схемы Б. Рассела, которую приводит в своей статье В.А. Ладов [Ладов, 2023, с. 19], также относится не к отдельным утверждениям, но к системе рассуждений в целом.
Между общими подходами Б. Рассела и Г. Приста к парадоксам есть, конечно, и существенное различие, которое связано с их общими
установками. Б. Рассел стремится блокировать парадоксы, считая их изъянами здравого рассуждения. Поэтому он строит такую логическую систему, в которой пытается их устранить. Насколько это устремление обосновано, можно отнести на счет предпочтений Б. Рассела. В конце концов, считать ли наличие парадокса плохим признаком логической системы, есть дело личного удобства, а стремление предотвратить парадокс есть дело личного комфорта, если, конечно, речь не идет о консистентности (внутренней согласованности) самой логической системы. Б. Рассел блокирует возникновения парадоксов с помощью различных приспособлений, в качестве которых выступают простая и разветвленная теории типов. У Г. Приста подход несколько иной. В рамках своей теории диалетеизма, он вполне благосклонно относится к парадоксам, считая, что в них нет ничего плохого настолько, чтобы их потребовалось радикально устранять. Просто познание устроено так, что в определенный момент парадоксы все-таки возникают. Пусть это не устраивает Б. Рассела, который стремится от них избавиться, чтобы логическая система была консистентной. Пусть это будет приемлемо, поскольку при определенных условиях избавиться от них невозможно, как считает Г. Прист, что он и пытается отразить в формальных построениях своей логики диале-теизма. Нужно просто учесть эти субъективные особенности в эпистемологических практиках. В конечном счете главное заключается в том, чтобы рассуждение, согласно закону Дунса Скота, принятого в классической логике, не привело не только ко всему, что угодно, но и ко всему, что попало.
Тем не менее как в отношении подхода Б. Рассела, так и в отношении подхода Г. Приста очевидным является то, что именно само-референтность или рефлексивность выражений является достаточным условием возникновения парадоксов, поскольку отрицание уже заложено в сущности парадоксов при квалификации высказываний как того, что может быть истинным и может быть ложным.
Существенность отрицания, правда, может иметь очень важный характер. Но оно никак не относится к формулировке парадоксов. На существенность отрицания, к примеру, указывает фон Вригт, когда, анализируя парадокс Греллинга, касающийся применения термина «гетерологический», утверждает, что «определение "автологическое", которое мы дали, кажется мне настолько хорошим (серьезным, разумным), насколько можно желать. А определение "гетерологиче-ское" состояло только в замене сочетания слов "не автологическое" одним словом "гетерологическое". Я нахожу это также совершенно неопровержимым» [Вригт, 1986, с. 461]. Наличие отрицания лишь меняет понятие на противоположное, не изменяя существа дела. Парадоксы относятся к оценке истинности суждений, а не к тому, имеется ли в них отрицание. Само по себе отрицание может приводить к парадоксам, но лишь тогда, когда логическая система уже
предполагает истинность и ложность в качестве оценки допустимых высказываний. Рефлексивность есть лишь дополнительный момент. Можно построить систему доказательства с ограничениями на само-референтность, и эта система будет работать, но, к сожалению, она не будет работать без дуализма истинностных оценок [Крипке, 2010]. Даже если допустить, что оценки высказываний есть лишь определенная игра, где истина и ложь рассматриваются как результат выигрышной стратегии [Хинтикка, 2022], формулировка и решение парадоксов все равно не будет зависеть от отрицания, но только от понятий «истина» и «ложь».
Логико-семантические парадоксы отнюдь не связаны с наличием в их формулировке частицы «не», как бы она содержательно или формально ни выражалась. Парадоксы могут возникнуть тогда и только тогда, когда высказывается претензия на истинность или ложность. И отрицание здесь совсем ни при чем. К парадоксам приводит только самореферентность. Именно она есть достаточное и необходимое условие, но никак не отрицание. Истина и ложь, утверждение и отрицание, ' р' и ' ~ р' заложено как необходимое условие уже в самих объектах, относительно которых парадоксы и могут быть сформулированы.
Список литературы
Ладов, 2023 - Ладов В.А. О принципе единого решения парадоксов // Эпистемология и философия науки. 2023. Т. 60. № 3. С. 17-30.
Витгенштейн, 2022 - Витгенштейн Л. Голубая и коричневая книга / Пер. с англ. В.А. Суровцева, В.А. Иткина, под общ. ред. В.А. Суровцева. М.: Канон+, 2022.
Вригт Г.Х. фон, 1986 - Вригт Г.Х. фон. Гетерологический парадокс // Вригт Г.Х. фон. Логико-философские исследования. М.: Прогресс, 1986. С. 449-483.
Прист, 2022 - Прист Г. За пределами мысли / Пер. с англ. В.В. Целищева. М.: Канон+, 2022. 464 с.
Рамсей, 2011 - Рамсей Ф.П. Основания математики / Пер. с англ. В.А. Суровцева // Рамсей Ф.П. Философские работы. М.: Канон+, 2011. С. 16-56.
Рассел, 2006 - Рассел Б. Математическая логика, основанная на теории типов / Пер. с англ. В.А. Суровцева // Логика, онтология, язык. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2006. С. 16-62.
Крипке, 2010 - Крипке С. Очерк теории истины / Пер. с англ. В.А. Суровцева // Крипке С. Витгенштейн о правилах и индивидуальном языке. М.: Канон +, 2010. С. 206-254.
Хинтикка, 2022 - Хинтикка Я. Принципы математики: новый взгляд / Пер. с англ. В.В. Целищева. М.: Канон +, 2022. 400 с.
References
Hintikka, J. Printsipy matematiki: novyi vzglyad [The Principles of Mathematics Revisited], trans. by V.V. Tselishchev]. Moscow: Kanon +, 2022. (Trans. into Russian) Kripke, S. "Ocherk teorii istiny" [Outline of a Theory of Truth], trans. by V.A. Surovtsev, in: Kripke, S. Vitgenshtein o pravilakh i individual'nom yazyke [Wittgenstein on Rules and Private Language]. Moscow: Kanon+, 2010, pp. 206-254. (Trans. into Russian)
Ladov, V.A. "O principe edinogo resheniya paradoksov" [On the Principle of Uniform Solution of Paradoxes], Epistemology & Philosophy of Science, 2023, vol. 60, no. 3, pp. 17-30. (In Russian).
Priest, G. Za predelami mysli [Beyond the Limits of Thought], trans. by V.V. Tselishchev. Moscow: Kanon+, 2022, 464 p. (Trans. into Russian)
Ramsey, F.P. "Osnovaniya matematiki" [The Foundations of Mathematics], trans. by V.A. Surovtsev, in: Ramsey, F.P. Filosofskie raboty [Philosophical Works]. Moscow: Kanon+, 2011, pp. 16-56. (Trans. into Russian)
Russel, B. "Matematicheskaya logika, osnovannaya na teorii tipov" [Mathematical Logic as Based on the Theory of Types], trans. by V.A. Surovtsev, in: Logika, on-tologiya, yazyk [Logic, Ontology, Language]. Tomsk: Izd-vo Tom. un-ta, 2006, pp. 1662. (Trans. into Russian)
Von Wright, G.H. "Geterologicheskii paradoks" [The Heterological Paradox], in: Logiko-filosofskie issledovaniya [Logico-Philosophical Studies]. Moscow: Progress, 1986, pp. 449-483. (Trans. into Russian)
Wittgenshtein, L. Golubaya i korichnevaya kniga [The Blue and Brown Books], trans., ed. by V.A. Surovtsev. Moscow: Kanon+, 2022, pp. 16-56. (Trans. into Russian)
