Автомодельные процессы теплопереноса в прозрачном для излучения твердом теле с поглощающим включением при наличии фазовых превращений в системе Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 536.2

DOI: 10.18698/0236-3941-2019-2-60-70

АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ПРОЗРАЧНОМ ДЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ТВЕРДОМ ТЕЛЕ С ПОГЛОЩАЮЩИМ ВКЛЮЧЕНИЕМ ПРИ НАЛИЧИИ ФАЗОВЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ В СИСТЕМЕ

А.В. Аттетков И.К. Волков К.А. Гайдаенко

fn2@bmstu.ru fn2@bmstu.ru

kseniyagaydaenko@gmail.com

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация

Аннотация

Рассмотрена задача определения температурного поля прозрачного для излучения изотропного твердого тела с поглощающим сферическим включением при наличии фазовых превращений в системе. Идентифицированы достаточные условия, выполнение которых обеспечивает возможность реализации автомодельного процесса теплопереноса в анализируемой системе. Качественно исследованы физические свойства изучаемого автомодельного процесса и установлены его специфические особенности. Теоретически обоснована возможность реализации режима термостатирования подвижной границы зоны фазовых превращений в анализируемом процессе теплопереноса

Ключевые слова

Изотропное твердое тело, лазерное излучение, поглощающее сферическое включение, фазовые превращения, температурное поле, автомодельное решение

Поступила 09.11.2018 © Автор(ы), 2019

Введение. В теоретических исследованиях по проблеме лазерного инициирования взрывного разложения гетерогенных энергетических материалов специфическое положение занимает математическая модель процесса теплопереноса в прозрачном для излучения изотропном твердом теле, содержащем поглощающее сферическое включение (далее — сферический очаг разогрева) [1-6]. Отмеченная специфика заключается в относительной простоте исходной математической модели и трудностях, возникающих при нахождении аналитического решения соответствующей задачи нестационарной теплопроводности. В работах [1-3] проанализирован упрощенный аналог рассматриваемой модели, базирующейся на стандартном предположении об идеальности теплового кон-

такта в системе и гипотезе о «предельно большой теплопроводности очага разогрева».

Существует и другая трактовка анализируемой модели, основанная на гипотезе о возможности приравнивания среднеинтегральной температуры поглощающего сферического включения температуре границы изучаемой системы, т. е. реализации идеи «сосредоточенная емкость» [7]. Такой подход позволит дать математическую интерпретацию и теоретически обосновать условие применимости реализуемой модели [8].

Особое место в исследованиях занимают автомодельные процессы теплопереноса. По сложившейся терминологии (см. например, [9-11]) «автомодельный» буквально означает «себе подобный». Как правило, используя это понятие, предполагают, что изучаемый физический процесс является гомохронным (однородным по времени) и можно проводить поиск его состояния равновесия, которое не должно зависеть от времени.

В работах [12-14] теоретически обоснована возможность существования автомодельных процессов теплопереноса в изотропном твердом теле со сферическим очагом разогрева — шаровой полостью, заполненной высокотемпературным газом, при наличии (или отсутствии) термически тонкого покрытия на ее неподвижной или движущейся границе.

Цель проведенных исследований — определение достаточных условий, выполнение которых обеспечивает возможность существования автомодельного процесса теплопереноса в прозрачном для излучения твердом теле с поглощающим сферическим включением при наличии фазовых превращений в системе.

Исходная математическая модель и ее преобразование. В качестве объекта исследований рассматривается изотропное пространство (фаза 5) с инертным включением (фаза И) сферической формы радиуса го. На объект исследований воздействует поток излучения с плотностью q, для которого он абсолютно прозрачен, но может поглощаться сферическим включением. В результате разогрева включения его среднеинтегральная температура достигает значения Т* = Tf, что приводит к возникновению зоны фазовых превращений (фаза /) с интенсивностью Qfj ), распространяющей внутрь изотропного пространства со скоростью ^ (^) движения ее границы г = ^ (^).

При сделанных предположениях и с учетом ранее полученных результатов [8] математическую модель процесса формирования температурного поля в изучаемой системе можно представить в следующем виде:

ев (р, Fo) 1 е 2 ев (P,Fo)

SFo

р2 ер

ер

p>v (Fq), Fo > 0;

ge(P,Fo) x а 2(p,Fo) n

—г-—P2—;—, 1 <p<v(Fo), Fo>0;

öfq p2 op ep

e (p,0) = 0;

ев (p,Fo) ев (p, Fo)

Л

5p

= -Q (Fo) + Sh

p = 1

SFo

(1)

p = 1

0 (p, v (Fo) - 0) = 0 (p, v (Fo) + 0);

-Л

Ш (p, Fo)

5p

ев (p, Fo)

p = v(Fo) - 0

5p

= J (Fo);

p =v(fq) + 0

9(p,fo)|fo*...0 G £ t1, .

где последнее условие означает, что при каждом фиксированном значении Fо > 0 функция 0 (р, Бо) интегрируема с квадратом и весом р2 по радиальному переменному р е [1, + да) .

Наличие поглощающего включения в реализуемой математической модели фактически учитывается краевым условием при р = 1, явно содержащим производную безразмерной температуры по переменному Бо [8].

В математической модели (1) использованы следующие безразмерные переменные и параметры:

Fo = a2r; р = —; v = f; 0 =

Sh =

r

r0 chJ h

- rf ; ö- T~T0 ; _ üf ; A A,s

r0

; Q = ■

qr0

T - Tn

■; J = ■

x=—; Л = ^;

üs Kf

Qf jr0

3с5у/ ~ Х5(Т* - То) Х5(Т* - То)

где t — время; г — радиус; Т — температура; а — температуропроводность; X — теплопроводность; с — удельная массовая теплоемкость; у — плотность; j(t) = у 5гу (t) — массовая скорость фазовых превращений, отнесенная к единице поверхности, и j(0) = 0; индекс ноль относится к начальным значениям величин.

Для достижения основной цели исследований введем в рассмотрение среднеинтегральную температуру зоны фазовых превращений

(0 (Fo)):

3

V (Fo)

v3(Fo) -1

J 0 (p, Fo) р2ф

(2)

и реализуем идею «сосредоточенная емкость» [7], т. е. будем предполагать, что рассматриваемая среднеинтегральная температура равна температурам ее границ:

0(1 + 0, Fо) = (0(Бо)) = 0(V(Бо)- 0, Fо) = 0(V(Бо) + 0, Fо), Fо > 0. (3)

Согласно равенствам (2), (3) и известной теореме о дифференцировании по параметру интеграла с пределами интегрирования, зависящими от параметра [15], справедливо равенство

d (0(Fû)> d Fо

3v2(Fo) v (Fq)

v3(Fо) -

р(0(fq))-

3

v3(fq) -1

v (F0) Ш (p, Fq)

J -Р2Ф,

! о Fq

(4)

где V (Бо) — скорость движения границы зоны фазовых превращений. Умножив левую и правую части второго уравнения в (1) на

3 |у3(Бо) -1} 1 с последующим интегрированием по переменному р в пределах от 1 до V (Бо) и воспользовавшись равенствами (2)-(4) с учетом краевого условия при р = 1 в (1) получим:

d (9 (ро)) + 3V2(FQ) У (FQ) /е , d Fq v3(Fo) -1 * '

3хЛ

v3(Fo) -1

v3(Fo)

ae (p, FQ)

5p

- J (FQ) + Q (FQ) -eh

ae (p, FQ)

p = v(Fo)

d Fo

P = 1

Это позволяет с учетом очевидных равенств

(0 (Бо)) = 0 (р,Бо)| ,, Бо > 0;

lp = v(Fo)

d(0 (Fo)) _дв (p,Fo) d Fo

ô Fo

, Fo > 0

p = v(Fo)

трансформировать задачу (1) к смешанной задаче для уравнения в частных производных параболического типа со специфическим краевым условием на подвижной границе:

38 (p, Fo) _ 1 5 2 SQ (p, Fo)

д Fo p2 др 0 (р, 0) = 0;

др

, p>v(Fo), Fo > 0;

(5)

2/_ч ае (p,Fc)

v2(fq)

dp

= -Q (Fc) + J (Fc) +

p = v(Fo)

+ sf ] 3v2(Fc)v (Fc)0(p,Fc)| р=у(ро) + [v3(Fc)-1] ш (p, Fc)'

de (p, Fc)

б Fc

p = v(Fc)

(5)

д Fc

p = 1

9^Ho,0 Gl2o2 [V^ + ").

где вf =(3хЛ) 1 — определяющий параметр реализуемой математической модели.

Для удобства дальнейших рассуждений введем функцию

V (р,Бо) =р0 (р,Бо), (6)

воспользовавшись стандартным приемом [16], и трансформируем смешанную задачу (5) к виду:

дУ(р, Fc) д2У(р, Fc)

д Fo

V (р, 0) = 0;

5V(р, Fc)

v (Fc)

аР2

, p>v(Fc), Fc> 0;

dp

= - Q (Fc) + J (Fc) +

p = v (Fo)

[1 + 3sf v(Fc) v(Fc)] V(p, Fc)|

(7)

p = v(Fo)

Sf-

V

'(Fc) -1 dV(p, Fc)

v (Fc)

3Fo

dV(p, Fc)

3Fo

p = 1

р = у(Бо)

V(Р, Бо)|Бо>0 е Ь2 [V(Бо), + ю),

где последнее условие означает, что при каждом фиксированном значении Бо > 0 функция V(p, Бо) интегрируема с квадратом по радиальному

переменному ре [у(Бо), + .

Постановка автомодельной задачи и ее решение. Для упрощения дальнейших рассуждений последующий анализ ограничим случаем ги = 0. Отметим, что используемое предположение качественно не искажает физическую картину процесса теплопереноса, но требует уточнения при идентификации температурного поля объекта исследований [8].

Автомодельные процессы теплопереноса в прозрачном для излучения твердом теле...

Реализуем в задаче (7) автомодельную подстановку

^ _ р-у(Бо)

Л/БО

Тогда с учетом очевидных равенств

д \/2 + у(БО)Л/БО й д 1 й

(8)

З2

1 d2

d^ dp VfO ф2 Fo

д Fo Fo

и введенных обозначений

U(£) = V(p, Fo); у (Fo) = {v2(Fo) + sf [v3(Fo) - l] v (Fo)}

-1

x[1 + 3sf v (Fo) v (Fo)] v (Fo)VFö; f (Fo) = [ Q (Fo) - J (Fo) ][1 + 3s f v (Fo) v (Fo) ]_1

(9)

смешанная задача (7) эквивалентна краевой задаче

d 2U (£,) +

de +

dU ф

- + v

(Fo) л/Fo

dU (£)

= 0, 0;

dl

= y(Fo)

% = о

d^

U5 = 0 -f (Fo)

(10)

U (£) e L2[ 0, + да).

Отметим, что начальное условие при Fo = 0 в задаче (7) в автомодельных переменных (8) будет иметь вид краевого условия задачи (10), заданного при Е, = + да.

Непосредственный анализ краевой задачи (10) показывает, что подстановка (8) приводит к автомодельному решению при выполнении условий:

v (Fo)VFo = v 0 - const; (11)

f (Fo) = f)- const; (12)

у (Fo) = y0 - const, (13)

где постоянные V0, f0 могут принимать лишь неотрицательные значения; у0 — положительная постоянная.

Условие автомодельности (11) реализуется лишь для следующего закона движения границы зоны фазовых превращений:

V

(Fo) = 2v0VfÖ +1, Fo > 0. (14)

При выполнении этого условия решение краевой задачи (10) определяется, как [12]:

U(£) = U(0) + U'(0) exp {v2 erfc {v0 } - erfc + v0

0;

п/пч , exP {v0}erfc {V0} (15)

U (0)" f0-г-——7'

1+ Y0V % exp |v0 ) erfc |v0 j

где штрихом обозначена производная по переменному Е,; erfc {•} — дополнительная функция ошибок Гаусса [16].

Заключение. Приведенные результаты демонстрируют пример автомодельных решений, иллюстрирующих свойства автомодельных процессов теплопереноса в изотропных твердых телах.

Физические свойства изучаемого процесса теплопереноса однозначно определяются условиями автомодельности (12), (13) реализуемого граничного режима. При /0 = 0 U'(0) = 0, т. е. реализуется режим тепловой изоляции границы зоны фазовых превращений. При /0 > 0 качественная картина автомодельного процесса теплопереноса зависит от безразмерных параметров v0, определенного условием автомодельности (11), и s/ — симплекса подобия физических свойств фаз / и s. В частности, при s/ = 0, согласно (9), (14), должно выполняться условие у0 < (2v0)_1, которое можно рассматривать как достаточное условие автомодельности реализуемого граничного режима. При этом, согласно (15), безразмерная температура U(0) = const, т. е. реализуется режим термостатирования границы зоны фазовых превращений, закон движения которой определен равенством (14).

ЛИТЕРАТУРА

[1] Ассовский И.Г. Физика горения и внутренняя баллистика. М., Наука, 2005.

[2] Чернай А.В. О механизме зажигания конденсированных вторичных ВВ лазерным импульсом. Физика горения и взрыва, 1996, т. 32, № 1, с. 11-19.

[3] Буркина Р.С., Морозова Е.Ю., Ципилев В.П. Инициирование реакционно-способного вещества потоком излучения при его поглощении оптическими неод-нородностями вещества. Физика горения и взрыва, 2011, т. 47, № 5, с. 95-105.

[4] Кригер В.Г., Каленский А.В., Звеков А.А. и др. Процессы теплопереноса при лазерном разогреве включений в инертной матрице. Теплофизика и аэромеханика, 2013, т. 20, № 3, с. 375-382.

[5] Адуев Б.П., Ананьина М.В., Звеков А.А. и др. Микроочаговая модель лазерного инициирования взрывного разложения энергетических материалов с учетом плавления. Физика горения и взрыва, 2014, т. 50, № 6, с. 92-99.

[6] Каленский А.В., Звеков А.А., Никитин А.П. Микроочаговая модель с учетом зависимости коэффициента эффективности поглощения лазерного импульса от температуры. Химическая физика, 2017, т. 36, № 4, с. 43-49.

[7] Пудовкин М.А., Волков И.К. Краевые задачи математической теории теплопроводности в приложении к расчетам температурных полей в нефтяных пластах при заводнении. Казань, Изд-во Казанского ун-та, 1978.

[8] Аттетков А.В., Волков И.К., Гайдаенко К.А. Процессы теплопереноса в прозрачном для излучения твердом теле с поглощающим сферическим включением. Тр. 7-й Росс. нац. конф. по теплообмену. Т. 3. М., 2018, с. 7-11.

[9] Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М., Наука, 1966.

[10] Самарский А.А., Галактинов В.А., Курдюмов С.П. и др. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М., Наука, 1987.

[11] Волосевич П.П., Леванов Е.И. Автомодельные решения задач газовой динамики и теплопереноса. М., Изд-во МФТИ, 1997.

[12] Аттетков А.В., Волков И.К. О возможности реализации режима термостати -рования границы сферического очага разогрева. Изв. РАН. Энергетика, 2016, № 3, с. 141-147.

[13] Аттетков А.В., Волков И.К. Автомодельное решение задачи теплопереноса в твердом теле со сферическим очагом разогрева, обладающим термически тонким покрытием. Тепловые процессы в технике, 2016, т. 8, № 7, с. 297-300.

[14] Аттетков А.В., Волков И.К., Гайдаенко К.А. Автомодельное решение задачи теплопереноса в твердом теле со сферическим очагом разогрева, подвижная граница которого обладает пленочным покрытием. Тепловые процессы в технике, 2017, т. 9, № 4, с. 178-183.

[15] Будак Б.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. М., Наука, 1965.

[16] Аттетков А.В., Волков И.К. Температурное поле области со сферическим очагом разогрева. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2001, № 1, с. 42-50.

Аттетков Александр Владимирович — канд. техн. наук, старший научный сотрудник, доцент кафедры «Прикладная математика» МГТУ им. Н.Э. Баумана (Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1).

Волков Игорь Куприянович — д-р физ.-мат. наук, профессор, профессор кафедры «Математическое моделирование» МГТУ им. Н.Э. Баумана (Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1).

Гайдаенко Ксения Александровна — студентка кафедры «Математическое моделирование» МГТУ им. Н.Э. Баумана (Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1).

Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:

Аттетков А.В., Волков И.К., Гайдаенко К.А. Автомодельные процессы теплопереноса в прозрачном для излучения твердом теле с поглощающим включением при наличии фазовых превращений в системе. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение, 2019, № 2, с. 60-70. DOI: 10.18698/0236-3941-2019-2-60-70

SELF-SIMILAR HEAT TRANSFER PROCESSES IN A RADIATION-TRANSPARENT SOLID BODY CONTAINING AN ABSORPTIVE INCLUSION WITH THE SYSTEM FEATURING PHASE TRANSITIONS

A.V. Attetkov fn2@bmstu.ru

I.K. Volkov fn2@bmstu.ru

K.A. Gaydaenko kseniyagaydaenko@gmail.com

Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation

Abstract

The paper considers the problem of determining temperature field parameters in a radiation-transparent isotropic solid body containing an absorptive inclusion, when the system features phase transitions. We identify sufficient conditions, meeting which ensures the possibility of self-similar heat transfer process taking place in the system under consideration. We qualitatively investigated physical properties of the self-similar process under study and determined its specifics. We provide a theoretical validation of implementing a thermostating mode of the moving phase transition boundary in the heat transfer process investigated

Keywords

Isotropic solid, laser radiation, spherical absorptive inclusion, phase transitions, temperature field, self-similar solution

Received 09.11.2018 © Author(s), 2019

REFERENCES

[1] Assovskiy I.G. Fizika goreniya i vnutrennyaya ballistika [Combustion physics and interior ballistics]. Moscow, Nauka Publ., 2005.

[2] Chernay A.V. On the mechanism of ignition of condensed secondary explosives by a laser pulse. Combust. Explos. Shock Waves, 1996, vol. 32, no. 1, pp. 8-15.

DOI: 10.1007/BF01992185

[3] Burkina R.S., Morozova E.Yu., Tsipilev V.P. Initiation of a reactive material by a radiation beam absorbed by optical heterogeneities of the material. Combust. Explos. Shock Waves, 2011, vol. 47, no. 5, pp. 581-590. DOI: 10.1134/S0010508211050121

[4] Kriger V.G., Kalenskiy A.V., Zvekov A.A., et al. Gas-jet method for deposition of metal nanoparticles into the fluorine-polymer matrix. Thermophys. Aeromech., 2013, vol. 20, no. 3, pp. 375-379. DOI: 10.1134/S0869864313030165

[5] Aduev B.P., Ananina M.V., Zvekov A.A., et al. Micro-hot-spot model for the laser initiation of explosive decomposition of energetic materials with melting taken into account. Combust. Explos. Shock Waves, 2014, vol. 50, no. 6, pp. 704-710.

DOI: 10.1134/S0010508214060112

[6] Kalenskiy A.V., Zvekov A.A., Nikitin A.P. Micro-hot-spot model taking into account the temperature dependence of the laser pulse absorption efficiency factor. Russ. J. Phys. Chem. B, 2017, vol. 11, no. 2, pp. 282-287. DOI: 10.1134/S199079311702018X

[7] Pudovkin M.A., Volkov I.K. Kraevye zadachi matematicheskoy teorii teploprovod-nosti v prilozhenii k raschetam temperaturnykh poley v neftyanykh plastakh pri za-vodnenii [Boundary problems of thermal conduction theory applying to temperature field calculation in oil beds under water flood]. Kazan, Izd-vo Kazanskogo un-ta Publ., 1978.

[8] Attetkov A. V., Volkov I.K., Gaydaenko K.A. [Heat transfer processes in radiationtransparent solids with absorbing spherical inclusion]. Tr. 7 Ross. nats. konf. po teploo-bmenu. T. 3 [Proc. 7 Russ. conf. on heat exchange. Vol. 3]. Moscow, 2018, pp. 7-11 (in Russ.).

[9] Zeldovich Ya.B., Rayzer Yu.P. Fizika udarnykh voln i vysokotemperaturnykh gidro-dinamicheskikh yavleniy [Physics of shock waves and high temperature hydrodynamic phenomena]. Moscow, Nauka Publ., 1966.

[10] Samarskiy A.A., Galaktinov V.A., Kurdyumov S.P., et al. Rezhimy s obostreniem v zadachakh dlya kvazilineynykh parabolicheskikh uravneniy [Blow-up regimes in problems for quasilinear parabolic equations]. Moscow, Nauka Publ., 1987.

[11] Volosevich P.P., Levanov E.I. Avtomodelnye resheniya zadach gazovoy dinamiki i teploperenosa [Self-similar solutions of gas dynamics and heat transport problems]. Moscow, MIPT Publ., 1997.

[12] Attetkov A. V., Volkov I.K. On the possibility of the realization of thermostating mode of a spherical hot-spot boundary. Izv. RAN. Energetika [Proceedings of the Russian Academy of Sciences. Power Engineering], 2016, no. 3, pp. 141-147 (in Russ.).

[13] Attetkov A.V., Volkov I.K. Self-similar solution of heat transport problems in a solid with a spherical hot-spot having a thermally thin coating. Teplovye protsessy v tekhnike [Thermal Processes in Engineering], 2016, vol. 8, no. 7, pp. 297-300 (in Russ.).

[14] Attetkov A.V., Volkov I.K., Gaydaenko K.A. Self-similar solution of the problem of heat transfer in a solid with spherical hot-spot, which moving boundary has a firm coating. Teplovye protsessy v tekhnike [Thermal Processes in Engineering], 2017, vol. 9, no. 4, pp. 178-183 (in Russ.).

[15] Budak B.M., Fomin S.V. Kratnye integraly i ryady [Multiple integrals and rows]. Moscow, Nauka Publ., 1965.

[16] Attetkov A.V., Volkov I.K. Temperature field of domain with spherical source of heating. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Estestv. Nauki [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Nat. Sci.], 2001, no. 1, pp. 42-50 (in Russ.).

Attetkov A.V. — Cand. Sc. (Eng.), Senior Research Fellow, Assoc. Professor, Department of Applied Mathematics, Bauman Moscow State Technical University (2-ya Baumanskaya ul. 5, str. 1, Moscow, 105005 Russian Federation).

Volkov I.K. — Dr. Sc. (Phys.-Math.), Professor, Professor, Department of Mathematical Simulation, Bauman Moscow State Technical University (2-ya Baumanskaya ul. 5, str. 1, Moscow, 105005 Russian Federation).

Gaydaenko K.A. — student, Department of Mathematical Modelling, Bauman Moscow State Technical University (2-ya Baumanskaya ul. 5, str. 1, Moscow, 105005 Russian Federation).

Please cite this article in English as:

Attetkov A.V., Volkov I.K., Gaydaenko K.A. Self-similar heat transfer processes in a radiation-transparent solid body containing an absorptive inclusion with the system featuring phase transitions. Herald of the Bauman Moscow State Technical University, Series Mechanical Engineering, 2019, no. 2, pp. 60-70 (in Russ.). DOI: 10.18698/0236-3941-2019-2-60-70