Автомодельное решение задачи теплопереноса в изотропном полупространстве, подвижная граница которого имеет пленочное покрытие Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 536.2

DOI: 10.18698/0236-3941-2017-5-89-97

АВТОМОДЕЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ИЗОТРОПНОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ, ПОДВИЖНАЯ ГРАНИЦА КОТОРОГО ИМЕЕТ ПЛЕНОЧНОЕ ПОКРЫТИЕ

А.В. Аттетков П.А. Власов И.К. Волков

fn2@bmstu.ru

fn12@bmstu.ru

fn12@bmstu.ru

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация

Аннотация

Рассмотрена задача об определении температурного поля изотропного полупространства, граница которого движется по заданному закону и имеет пленочное покрытие. Исследован нестационарный режим теплообмена в системе твердое тело-покрытие-газ с изменяющимся во времени коэффициентом теплоотдачи и температурой внешней среды. Определены достаточные условия, выполнение которых обеспечивает возможность реализации автомодельного процесса теп-лопереноса в анализируемой системе. Качественно исследованы физические свойства изучаемого автомодельного процесса. Теоретически обоснована возможность реализации режима термостатирования подвижной границы объекта исследований

Ключевые слова

Изотропное полупространство с подвижной границей, термически тонкое покрытие, нестационарный теплообмен, температурное поле, автомодельное решение

Поступила в редакцию 02.11.2016 © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017

В математической теории теплопроводности [1-6] важное место занимают задачи теплопереноса в твердых телах с подвижными границами. Трудности, возникающие при их решении аналитическими методами, хорошо известны [7]. Они значительно усугубляются в тех случаях, когда есть необходимость учета нестационарности теплообмена в изучаемой системе [8-12]. Рассматриваемые задачи представляют практический интерес при разработке перспективных систем неэлектрического инициирования взрывных устройств повышенной безопасности, например, автономных адиабатических взрывателей для перфораторов [13]. Принцип их работы основан на реализации идеи теплового инициирования взрывного превращения в заряде взрывчатого вещества сжимаемым газовым слоем.

Несмотря на достигнутые результаты в изучении рассматриваемого круга задач, на ряд вопросов ответы еще не получены. В частности, это относится к теоретическому обоснованию возможности термостатирования границы изотропного твердого тела, движущейся по известному закону. Изучение этого вопроса и является предметом исследований, проводимых в настоящей работе.

В качестве объекта исследований рассматривается изотропное полупространство, граница которого движется по заданному закону I = I (г) и обладает изотропным покрытием постоянной толщины Н*. При этом предполагается, что:

1) начальная температура т0 объекта исследований постоянна и реализуются нестационарные режимы теплообмена с внешней средой при переменных во времени коэффициенте теплоотдачи а (г) и температуре внешней среды Тс (г);

2) в системе полупространство-покрытие реализуются условия идеального теплового контакта [2, 3];

3) изотропное покрытие является термически тонким, т. е. для него допустима реализация идеи «сосредоточенная емкость» [4]: среднеинтегральная по толщине покрытия температура

т К*)

(т(г)) = т | т(х,г)йх

Н* Щ-Н*

равна как температуре его границ, так и температуре подвижной границы х = I (г) + 0, т. е.

т(I(г)-Н*, г) = т(I(г)-о,г) = (т(г)) = т(I(г)+о,г), г>0.

Цель проведенных исследований — определение достаточных условий, выполнение которых обеспечивает возможность реализации автомодельного (самоподобного) процесса теплопереноса в анализируемой системе. Отметим, что в понятие «автомодельный» обычно вкладывают тот смысл, что изучаемый физический процесс является гомохронным (однородным во времени) и обладает состоянием равновесия, которое не зависит от времени [14-16].

В соответствии с принятыми допущениями и с учетом ранее полученных результатов [9, 10] математическая модель процесса формирования температурного поля объекта исследований может быть представлена в следующем виде:

£!Ш0> = ),Бо > 0;

SFo S^2

0(^,0) = 0;

se(^Fo)

= sS0(^,Fo)

§=v(Fo) SFo

S^

0(^'Fo)|p0,0 eL [v(Fo), +»),

+ Bi (Fo ) 0 Fo )^ = v(Fo) _ ^ (Fo )

§=v(Fo) L

(1)

где последнее условие означает, что при каждом фиксированном значении Бо > 0 функция Бо) интегрируема с квадратом по пространственной переменной Бо), +го).

В математической модели (1) использованы следующие безразмерные переменные и параметры:

Bi =

at x2 x > x* 9= Г-Т0 , Tc0 - T0 ^ = Tc - T0 Tc0 - T0 h = h* x*

а x* " Я , h 8 = - : Ах = СпРп h, сР an х=—, a А= —

где a — температуропроводность; t — время; x* — выбранная единица масштаба пространственной переменной; x — пространственная переменная; а — коэффициент теплоотдачи; c — удельная массовая теплоемкость; р — плотность; X — теплопроводность; индексы: «п» — покрытие, «с» — внешняя среда, «0» — начальное значение.

Функция у(Бо), определяющая закон движения границы полупространства, — неотрицательная неубывающая функция, дифференцируемая хотя бы в обобщенном смысле [17] и удовлетворяющая условию у(0) = 0. Функции В1 (Бо ) и <^(Бо ) по смыслу решаемой задачи могут принимать лишь неотрицательные значения и должны удовлетворять условиям Гёльдера [17].

Отметим, что наличие пленочного покрытия в реализуемой математической модели «сосредоточенная емкость» фактически учтено граничным условием при ^ = у(Бо ), явно содержащим производную температуры по времени. Определяющий безразмерный параметр в модели (1) по смыслу решаемой задачи - малый положительный параметр.

Выполним в задаче (1) автомодельную подстановку

ц = ЦМ (2)

л/БО

Тогда, с учетом очевидных равенств

8 = ц/2 + У^)Л/БО d 8 = 1 d 82 = 1 d2

8БО БО dц 8£, ЛУБО dц 8^2 БО dц2

и введенных обозначений

U<Ц)4^Б"), Г(Б0, (3)

смешанная задача (1) будет эквивалентна следующей краевой задаче: d2U(ц) , Гц , ) /Н dU(ц)

dr|2

dU (ц)

dц

■fc + v(Fo)Vfö1 dU(ц) = 0, ц> 0; (4)

[ 2 J dц

= y(Fo )|"U (ц)|-C(Fo)

ц = 0

(5)

U (^)е Д[0, +<»), (6)

где надстрочной точкой обозначена производная по переменной Fo. Начальное условие при Fo = 0 в смешанной задаче (1) в автомодельных переменных (2) будет иметь вид краевого условия задачи (4)-(6), заданного при ^ = +».

Непосредственный анализ краевой задачи (4)-(6) показывает, что используемая подстановка (2) приводит к автомодельному решению при выполнении следующих условий:

v (Fo )VFo =v0 - const; (7)

y( Fo )=y о - const; (8)

С (Fo) = Cо - const, (9)

где постоянная v0 принимает лишь неотрицательные значения, а y0, С о — положительные постоянные. Искомое автомодельное решение в этом случае будет обладать тем свойством, что со временем изменяется только масштаб автомодельной переменной 0, а масштаб функции U (-q) остается неизменным.

Условие автомодельности (7) реализуется лишь для следующего закона движения границы объекта исследований:

v(Fo ) = 2 v (>VFo. (10)

При выполнении этого условия решение обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка (4) находится стандартными методами [18] и имеет вид

U = U (0) + U'(0)exp (vg erfc (vо)-erfc (y+v0 j

0, (11)

где ег£с(-) — дополнительная функция ошибок Гаусса [2]; штрихом обозначена производная по переменной

Используя равенство (11), с учетом условий автомодельности (8), (9), равенства (10), краевого условия (5) и условия (6) принадлежности функции и классу интегрируемых с квадратом функций, находим безразмерную температуру и (0 ) границы изотропного полупространства в изучаемом автомодельном режиме теплопереноса:

и (0.) = Ч + (12)

1+ У0 V % ехр ( у0 ) епс ( У0)

При этом справедлива следующая асимптотическая оценка при больших значениях у0:

и(0^ 0.

у0 + У0 vо

При неподвижной границе изотропного полупространства (v0 = 0) равенство (12) принимает вид

U (0 ) = С 0,

т. е. безразмерная температура границы объекта исследований не зависит от реализуемого режима теплообмена в изучаемой системе и определяется лишь безразмерной температурой внешней среды - const, которая задана условием автомодельности (9).

Для получения содержательной информации о свойствах анализируемого процесса теплопереноса в изотропном полупространстве с подвижной границей (v0 > 0) обратимся к условию автомодельности (8) реализуемого граничного режима. В этом случае, согласно равенствам (3), (7) и (8), закон теплообмена в изучаемой системе определяется как

Bi (Fo ) = уо

sv0 + VFO

Fo

и зависит от в — определяющего безразмерного параметра реализуемой математической модели «сосредоточенная емкость». Видно, что в рассматриваемой ситуации Bi (Fo) — монотонно убывающая функция, причем Bi (0) =и Bi (+ю) = 0. При этом безразмерная температура U (0)-const, определенная равенством (12), зависит от параметра v0, заданного условием автомодельности (7). Отсюда следует, что реализуемый режим термостатирования границы объекта исследований зависит от скорости ее движения.

Приведенные результаты — наглядный пример автомодельных решений, иллюстрирующий свойства автомодельных процессов теплопереноса в твердых телах.

ЛИТЕРАТУРА

1. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964. 488 с.

2. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. 600 с.

3. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высшая школа, 2001. 550 с.

4. Пудовкин М.А., Волков И.К. Краевые задачи математической теории теплопроводности в приложении к расчетам температурных полей в нефтяных пластах при заводнении. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1978. 188 с.

5. Карташов Э.М., Кудинов В.А. Аналитическая теория теплопроводности и прикладной термоупругости. М.: URSS, 2012. 653 с.

6. Формалёв В.Ф. Теплопроводность анизотропных тел. Аналитические методы решения задач. М.: Физматлит, 2014. 312 с.

7. Карташов Э.М. Аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в областях с движущимися границами (обзор) // Инженерно-физический журнал. 2001. Т. 74. № 2. С. 171-195.

8. Аттетков А.В., Волков И.К. Математическое моделирование процессов тепло-переноса в области с движущейся границей в условиях нестационарного теплообмена с внешней средой // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 1999. № 1. С. 37-45.

9. Аттетков А.В., Власов П.А., Волков И.К. Температурное поле полупространства с термически тонким покрытием в импульсных режимах теплообмена с внешней средой // Инженерно-физический журнал. 2001. Т. 74. № 3. С. 81-86.

10. Аттетков А.В., Власов П.А., Волков И.К. Влияние подвижности границы на температурное поле полупространства в нестационарных условиях теплообмена с внешней средой // Инженерно-физический журнал. 2002. Т. 75. № 6. С. 172-178.

11. Карташов Э.М. Теплопроводность при переменном во времени относительном коэффициенте теплообмена // Известия РАН. Энергетика. 2015. № 2. С. 138-149.

12. Аттетков А.В., Волков И.К. Температурное поле анизотропного полупространства, подвижная граница которого содержит пленочное покрытие // Известия РАН. Энергетика. 2015. № 3. С. 39-49.

13. Тебякин В.М. Разработка адиабатического взрывателя для перфоратора, спускаемого на трубах ПКТ 105 // Вскрытие нефтегазовых пластов и освоение скважин: Тез. докл. II Всесоюзной научно-технической конф. М.: 1988. С. 141-142.

14. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: Наука, 1966. 688 с.

15. Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987. 478 с.

16. Волосевич П.П., Леванов Е.И. Автомодельные решения задач газовой динамики и теплопереноса. М.: Изд-во МФТИ, 1997. 240 с.

17. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.

18. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям: приложения в механике; точные решения. М.: Физматлит, 1993. 464 с.

Аттетков Александр Владимирович — канд. техн. наук, старший научный сотрудник, доцент кафедры «Прикладная математика» МГТУ им. Н.Э. Баумана (Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1).

Власов Павел Александрович — канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Математическое моделирование» МГТУ им. Н.Э. Баумана (Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1).

Волков Игорь Куприянович — д-р физ.-мат. наук, профессор, профессор кафедры «Математическое моделирование» МГТУ им. Н.Э. Баумана (Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1).

Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:

Аттетков А.В., Власов П.А., Волков И.К. Автомодельное решение задачи теплопереноса в изотропном полупространстве, подвижная граница которого имеет пленочное покрытие // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. 2017. № 5. C. 89-97. DOI: 10.18698/0236-3941-2017-5-89-97

A SIMILARITY SOLUTION TO THE HEAT TRANSFER PROBLEM FOR AN ISOTROPIC HALF-SPACE FEATURING A FILM-COATED MOVING BOUNDARY

A.V. Attetkov P.A. Vlasov I.K. Volkov

fn2@bmstu.ru

fn12@bmstu.ru

fn12@bmstu.ru

Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation

Abstract

The study considers the problem of determining a temperature field in an isotropic half-space the boundary of which moves according to a given law and features a film coating. We investigated unsteady heat transfer in a system consisting of a solid, a coating and a gas, with both the heat transfer coefficient and ambient temperature being time-dependent. We determine sufficient conditions meeting which ensures the possibility of self-similar heat transfer process taking place in the system under consideration. We qualitatively investigated physical properties of the self-similar process under study. We provide a theoretical validation of implementing a thermostatting mode in the moving boundary of the object investigated

Keywords

Isotropic half-space with a moving boundary, thermally thin coating, unsteady heat transfer, temperature field, similarity solution

REFERENCES

[1] Carslaw H.S., Jaeger J.C. Conduction of heat in solids. Clarendon Press, 1986. 510 p. (Russ. ed.: Teploprovodnost' tverdykh tel. Moscow, Nauka Publ., 1964. 488 p.).

[2] Lykov A.V. Teoriya teploprovodnosti [Heat conduction theory]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 1967. 600 p.

[3] Kartashov E.M. Analiticheskie metody v teorii teploprovodnosti tverdykh tel [Analytical methods in theory of heat conduction in solids]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 2001. 550 p.

[4] Pudovkin M.A., Volkov I.K. Kraevye zadachi matematicheskoy teorii teploprovodnosti v prilozhenii k raschetam temperaturnykh poley v neftyanykh plastakh pri zavodnenii [Boundary problems of heat conduction mathematical theory in application to temperature field calculation in oil reservoir in condition of waterflooding]. Kazan', Izdatelstvo Kazanskogo universi-teta, 1978. 188 p.

[5] Kartashov E.M., Kudinov V.A. Analiticheskaya teoriya teploprovodnosti i prikladnoy termouprugosti [Analytical theory of thermal conductivity and applied thermal elasticity]. Moscow, URSS Publ., 2012. 653 p.

[6] Formalev V.F. Teploprovodnost' anizotropnykh tel. Analiticheskie metody resheniya zadach [Thermal conductivity of anisotropic bodies. Analytical methods of problem solving]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2014. 312 p.

[7] Kartashov E.M. Analytical methods of solution of boundary-value problems of nonstatio-nary heat conduction in regions with moving boundaries. Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 2001, vol. 74, no. 2, pp. 498-536. DOI: 10.1023/A:1016641613982 Available at: https://link.springer.com/article/10.1023/A%3A1016641613982

[8] Attetkov A.V., Volkov I.K. Mathematical simulation of heat transfer processes in the region with moving boundary under conditions of nonstationary heat exchange with surround-dings. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Estestv. Nauki [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Nat. Sc.], 1999, no. 1, pp. 37-45 (in Russ.).

[9] Attetkov A.V., Vlasov P.A., Volkov I.K. Temperature field of a half-space with a thermally thin coating in pulse modes of heat exchange with the environment. Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 2001, vol. 74, no. 3, pp. 647-655. DOI: 10.1023/A:1016756227188 Available at: https://link.springer.com/article/10.1023/A%3A1016756227188

[10] Attetkov A.V., Vlasov P.A., Volkov I.K. Influence of the mobility of a boundary on the temperature field of a half-space under unstable conditions of heat exchange with the environment. Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 2002, vol. 75, no. 6, pp. 14541462. DOI: 10.1023/A:1022143716313

Available at: https://link.springer.com/article/10.1023/A%3A1022143716313

[11] Kartashov E.M. Thermal conductivity at variable in time relative to the heat transfer coefficient. Izvestiya RAN. Energetika [Proceedings of RAS. Power Engineering], 2015, no. 2, pp. 138-149 (in Russ.).

[12] Attetkov A.V., Volkov I.K. Temperature field of the anisotropic half-space, which mobile boundary contains the film coating. Izvestiya RAN. Energetika [Proceedings of RAS. Power Engineering], 2015, no. 3, pp. 39-49 (in Russ.).

[13] Tebyakin V.M. Adiabatic detonator development for tubing conveyed perforating gun PKT 105. Vskrytie neftegazovykh plastov i osvoenie skvazhin: Tez. dokl. II Vsesoyuznoy nauchno-tekhnicheskoy konf. [Drilling in and Well Development: Abs. II Russ. Sci.-Tech. Conf.]. Moscow, 1988. Pp. 141-142 (in Russ.).

[14] Zel'dovich Ya.B., Rayzer Yu.P. Fizika udarnykh voln i vysokotemperaturnykh gidro-dinamicheskikh yavleniy [Physics of shock waves and high temperature hydrodynamic phenomena]. Moscow, Nauka Publ., 1966. 688 p.

[15] Samarskiy A.A., Galaktionov V.A., Kurdyumov S.P., Mikhaylov A.P. Rezhimy s obostreniem v zadachakh dlya kvazilineynykh parabolicheskikh uravneniy [Blow-up regimes in problems for quasilinear parabolic equations]. Moscow, Nauka Publ., 1987. 480 p.

[16] Volosevich P.P., Levanov E.I. Avtomodel'nye resheniya zadach gazovoy dinamiki i tep-loperenosa [Self-similar solutions of gas dynamics and heat transfer problems]. Moscow, MIPT Publ., 1997. 240 p.

[17] Ladyzhenskaya O.A., Solonnikov V.A., Ural'tseva N.N. Lineynye i kvazilineynye uravneniya parabolicheskogo tipa [Linear and quasilinear equations of parabolic type]. Moscow, Nauka Publ., 1967. 736 p.

[18] Zaytsev V.F., Polyanin A.D. Spravochnik po nelineynym differentsial'nym uravneniyam: prilozheniya v mekhanike; tochnye resheniya [Handbook on nonlinear differential equations: application in mechanics: exact solutions]. Moscow, Fizmatlit Publ., 1993. 464 p.

Attetkov A.V. — Cand. Sc. (Eng.), Senior Research Scientist, Assoc. Professor, Applied Mathematics Department, Bauman Moscow State Technical University (2-ya Baumanskaya ul. 5, str. 1, Moscow, 105005 Russian Federation).

Vlasov P.A. — Cand. Sc. (Phys.-Math.), Assoc. Professor, Mathematical Simulation Department, Bauman Moscow State Technical University (2-ya Baumanskaya ul. 5, str. 1, Moscow, 105005 Russian Federation).

Volkov I.K. — Dr. Sc. (Phys.-Math.), Professor, Professor, Mathematical Simulation Department, Bauman Moscow State Technical University (2-ya Baumanskaya ul. 5, str. 1, Moscow, 105005 Russian Federation).

Please cite this article in English as:

Attetkov A.V., Vlasov P.A., Volkov I.K. A Similarity Solution to the Heat Transfer Problem for an Isotropic Half-Space Featuring a Film-Coated Moving Boundary. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Mashinostr. [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Mech. Eng.], 2017, no. 5, pp. 89-97. DOI: 10.18698/0236-3941-2017-5-89-97

В Издательстве МГТУ им. Н.Э. Баумана вышло в свет учебное пособие автора М.М. Жилейкина

«Теоретические основы повышения показателей устойчивости и управляемости колесных машин на базе методов нечеткой логики»

Управляемость и устойчивость автомобиля являются важнейшими эксплуатационными свойствами и составляющими активной безопасности движения, оценке которых придается большое значение. Представлены результаты теоретических исследований, выполненных на кафедре «Колесные машины» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Разработаны принципы повышения показателей устойчивости и управляемости как двухосных, так и многоосных колесных машин, оснащенных различными типами трансмиссий. Обоснованы принципиальные решения по способам управления движением машин, обеспечивающих повышение их курсовой и траекторной устойчивости. Предложены критерии оценки эффективности работы комплексной системы динамической стабилизации движения колесных машин. Разработаны алгоритмы работы системы динамической стабилизации с применением методов нечеткой логики для двухосных и многоосных колесных машин.

По вопросам приобретения обращайтесь:

105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1

+7 (499) 263-60-45

press@bmstu.ru

www.baumanpress.ru