CC BY
54
УДК 536.2+662.215.5
DOI: 10.18698/1812-3368-2016-4-97-106
АВТОМОДЕЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ, СОДЕРЖАЩЕМ СФЕРИЧЕСКИЙ ОЧАГ РАЗОГРЕВА С ТЕПЛОПОГЛОЩАЮЩИМ ПОКРЫТИЕМ
А.В. Аттетков И.К. Волков
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация
fn2@bmstu.ru
Аннотация
Рассмотрена задача определения температурного поля изотропного твердого тела со сферическим очагом разогрева, обладающим термически тонким теплопоглощающим покрытием. Исследован нестационарный режим теплообмена с изменяющимися во времени коэффициентом теплоотдачи и температурой очага разогрева. Определены достаточные условия, выполнение которых обеспечивает возможность реализации автомодельного процесса теплопе-реноса в анализируемой системе. Качественно исследованы физические свойства изучаемого автомодельного процесса и установлены его специфические особенности. Теоретически обоснована возможность реализации граничного режима с обострением в сферическом очаге разогрева
Ключевые слова
Изотропное твердое тело, сферический очаг разогрева, термически тонкое теплопо-глощающее покрытие, температурное поле, автомодельное решение
Поступила в редакцию 26.01.2016 © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2016
В математической теории теплопроводности [1-5] важное место занимает задача определения температурного поля твердого тела со сферическим очагом разогрева, имеющего покрытие [6-10]. Несмотря на достигнутые результаты в исследовании процессов теплопереноса в изучаемой системе, некоторые вопросы требуют дальнейшего развития. В частности, это относится к теоретическому обоснованию возможности реализации режима термостатирования границы сферического очага разогрева. Рассмотрению указанного вопроса и посвящены проводимые исследования.
В качестве объекта исследований использовано изотропное пространство со сферическим очагом разогрева — шаровой полостью радиусом г0, заполненной высокотемпературным газом (далее — внешняя среда) и обладающей изотропным теплопоглощающим покрытием постоянной толщиной Д с объемной плотностью мощности внутренних источников теплоты q (г , t). Введем следующие допущения.
1. Начальная температура 10 объекта исследований постоянна и реализуются нестационарные режимы теплообмена с внешней средой при переменном во времени коэффициенте теплоотдачи а^) и температуре внешней среды Tc(f).
2. В системе пространство-покрытие выполняются условия идеального теплового контакта [2, 3].
3. Изотропное покрытие термически тонкое, т. е. для него допустима реализация идеи «сосредоточенная емкость» [4], среднеинтегральная по толщине покрытия температура
равна как температуре его границ, так и температуре контактной границы анализируемой системы: T(r + 0, t) = T(r + Д -0, t) = (T(t)) = T (d + Д + 0, t), t > 0.
Цель исследования — нахождение достаточных условий, выполнение которых обеспечивает возможность реализации автомодельного (самоподобного) процесса теплопереноса в изотропном пространстве со сферическим очагом разогрева, имеющим теплопоглощающее покрытие. Отметим, что в понятие «автомодельный» обычно вкладывается следующий смысл: изучаемый физический процесс является гомохронным (однородным во времени) и можно проводить поиск его состояния равновесия, которое не должно зависеть от времени
В соответствии с допущениями 1, 2 и с учетом ранее полученных результатов [6, 8] исходная математическая модель процесса формирования температурного поля объекта исследований имеет вид
[11-14].
, р > R > 1, Fo > 0;
(1)
ae(p,Fo)
Л/ (р, Fo) 1<p<R, Fo > 0 ; (2)
е(р,0 ) = 0;
(3)
е(р, Fo )|p=R-0 =е(р, Fo )lp=R+0;
(4)
(5)
(6)
(7)
Здесь условие (7) означает, что при каждом фиксированном значении Fo > 0 функция 0(р, Бо) интегрируема с квадратом и весом р2 по радиальному переменному ре[1, + ю).
В математической модели (1)-(7) использованы следующие безразмерные переменные и параметры:
at г Г0 + Д е T — To г Tc - 1 Бо= —; р= —; R=-; 0= --—;
г0 г0 Tc0 — T0 Tc0 — Т0
«и л А п. а qгo2
Х=—; А = —; Ш = -?0; /= ' ;
« Ап А А^ Тс0 —10)
Т(г, £) — температура в момент времени t в точках изотропного пространства, отстоящих от центра шаровой полости на расстоянии г ; Тс0 — начальная температура внешней среды; А, а, Ап, ап — теплопроводность и температуропроводность твердого тела и покрытия соответственно; а — коэффициент теплоотдачи. Функции Ы (Бо), Бо) согласно решаемой задаче могут принимать лишь неотрицательные значения и удовлетворяют условиям Гельдера [15].
Для достижения основной цели проведенных исследований используем
допущение 3 [4]. Умножив левую и правые части уравнения (2) на 3 (Я3 — 1) 1 с последующим интегрированием по переменной р в пределах от 1 до Я и воспользовавшись равенствами (4)-(6), получим
d(9(Fo)) = g- IR2 ae(p.Fo)
dFo I ф
-Bi (Fo )[(e(Fo))-C(Fo)]-Q(Fo)L
p=R+0
где 8 ± (3ХА)-1 (Я3 — 1) — определяющий безразмерный параметр реализуемой модели «сосредоточенная емкость», который по смыслу решаемой задачи может
Я
принимать только положительные значения; Q (Бо ) = |/ (р,Бо )р2^р — инте-
1
гральная величина, характеризующая реализуемый режим теплопоглощения в покрытии.
Учитывая очевидные равенства
(е( Бо )) = е(р,Бо )| Я + o, Бо > 0;
d{e(Fo) _5e(p. Fo)
dFo dFo
запишем искомую математическую модель
Fo > 0.
p_ R + 0
ö0(p,Fo) 1 ö 2ö0(p,Fo) —^—'- = ——p2—^—p>R, Fo>0;
öFo p2 öp öp
0(p,O) = 0; = Bi (Fo )[0(p,Fo )p=R+o-C(Fo ) + Q (Fo );
R 2 ö0(p,Fo)
öp
p=R+0
+ 8
ö0(p,Fo)
öFo
(8)
р=Я+0
0(Р,Р° ) 1бо>0 6 ^2 [ Я +») .
Функция О (Бо ) может принимать лишь неотрицательные значения и удовлетворяет условиям Гельдера [15]. Отметим, что наличие термически тонкого покрытия в модели (8) фактически учтено граничным условием при р = Я, явно содержащим производную температуры по времени.
Если использовать стандартный прием [1] и принять
V (p,Fo) = p0(p,Fo),
(9)
то согласно (8), (9) функция V (р,Бо) должна являться решением следующей смешанной задачи для уравнения в частных производных параболического типа:
öV (p,Fo) = ö2V (p,Fo)
öFo
, p > R, Fo > 0;
R
2 öV (p,Fo)
öp
p=R
öp2 V (p, 0 ) = 0;
= [Bi (Fo) + R] V (p, Fo)|p=R - R[Bi (Fo) С (Fo) -öV (p,Fo)
-Q (Fo )] + «
öFo
(10)
p=R
V(p,FO)|Fo,0 eL [R,+^).
Реализуем в задаче (10) автомодельную подстановку
p-R
Тогда с учетом очевидных равенств ö = \ de
Vfö '
1 d ö2 1 d2
(11)
öFo 2Fo öp VFÖ öp2 Fo d^2
и введенных обозначений
и (5) = V (р,Бо); к (Бо) = В1(Бо) + Я (12)
смешанная задача (4) эквивалентна краевой задаче
й и (5) £ йи (5)
■ = 0, 0; (13)
= -v/Foy (Fo ){ (j)^- / (Fo )}; (14)
d§2 2 d§ dU (§) =
d§ §=0
U (§)е L2§[ 0, , (15)
где
у(Fo) = R-2h(Fo); f (Fo) = Rh-1 (Fo)[Bi(Fo)£(Fo)-Q(Fo)]. (16)
Отметим, что начальное условие при Fo = 0 в смешанной задаче (10) в автомодельных переменных (11) будет иметь вид краевого условия задачи (13)—(15), заданного при § = +со.
Непосредственный анализ краевой задачи (13)—(15) показывает, что используемая подстановка (11) позволяет получить автомодельное решение при выполнении условий
f (Fo) = f -const; (17)
>/Foy(Fo ) = у0-const, (18)
где f0 > 0, у0 > 0 — постоянные. В этом случае искомое автомодельное решение будет обладать свойством изменения со временем только масштаба автомодельного переменного §>0, в то время как масштаб искомой функции U (§) остается неизменным.
Решение обыкновенного дифференциального уравнения (7) находим стандартными методами:
U(§) = U(0) + U'(0)V^j1-erfc-§J, §>0, (19)
где erfc j-J — дополнительная функция ошибок Гаусса [2]; знак «'» обозначает производную по переменной §.
Используя равенство (19), с учетом условий автомодельности (17), (18) и краевых условий (14), (15) находим безразмерную температуру U(0) = = R0( R, Fo ) границы сферического очага разогрева в изучаемом автомодельном режиме теплопереноса:
U(0) = f,-^ . (20)
1 + y0v %
Для получения содержательной информации о свойствах изучаемого процесса теплопереноса обратимся к условиям автомодельности (17), (18) реализуемого граничного режима. Воспользовавшись условием автомодельности (17) и равенствами (12), (16), запишем следующее представление зависимости функций В1(Бо), С(Бо), Q(Бо):
RC(Fo) 1
fo .
Bi (Fo) , ч V '-= 1, (21)
R [ fo-1Q (Fo ) +1]
Равенство (21) при 0(Fo ) = 0 позволяет качественно проанализировать физические свойства автомодельного процесса теплопереноса в изучаемой системе. В одном предельном случае Bi (Fo) = 0, при реализации режима тепловой изоляции границы очага разогрева, безразмерная температура внешней среды Fo) обращается в бесконечность, т. е. изменяется в режиме с обострением [14]. Физическая интерпретация реализуемого граничного режима ассоциируется, например, с процессом формирования очага разогрева, содержащего источник газовыделения [16].
В другом предельном случае Bi (Fo) = +со, т. е. при отсутствии теплопереноса в изучаемой системе, имеем R/0-1^ (Fo) ^ 1. При этом вне зависимости от реализуемого режима теплопереноса безразмерная температура границы очага разогрева U (0) = R0( R, Fo) - const определена равенством (20).
Закон теплообмена в изучаемой системе согласно условию автомодельности (18) и равенствам (12), (16) имеет вид
(22)
Б!(Бо) = Я— , Бо > 0,
а закон изменения безразмерной температуры очага разогрева —
) Я/0ур (Бо) р
С (Бо) =--Ач У, Бо > 0. (23)
Я (Яу0 — V Бо )
При каждом фиксированном значении Бо > 0 функции Б1 (Бо), С(Бо) и Q(Бо) могут принимать лишь неотрицательные значения, поэтому должно выполняться условие
л/Бо < Яу0. (24)
Условие (24) можно рассматривать как достаточное условие автомодельно-сти реализуемого граничного режима.
Непосредственный анализ равенств (22), (23) показывает, что при
-у/Бо = Яу0 граница очага разогрева теплоизолирована: Б1 (Я2у 0 ) = 0. При этом
вне зависимости от закона «компенсирующего» теплопоглощения Q(Бо) в
/о 4(Fo); Bi(Fo)
термически тонком покрытии безразмерная температура очага разогрева составляет R2y 0 ) = +о, т. е. реализуется граничный режим с обострением [14].
Парадоксальность его свойств обусловлена тем, что, несмотря на проявление эффектов теплопроводности теплота, сосредоточенная в сферическом очаге разогрева, не распространяется в «холодное» изотропное пространство в течение всего времени существования режима.
При реализации граничного режима, достаточное условие автомодельности которого определено
неравенством VFo < Ry0, функция Bi(Fo), определяющая закон теплообмена в изучаемой системе, монотонно убывающая, причем Bi(0) = +о, и обращается в нуль в конечный момент времени
Fo* =(Ry0 )2 . Функция Bi (Fo) называется моментом обострения граничного режима, так как Fo* ) = +оо (рисунок). Результаты проведенных исследований теоретически обосновывают возможность реализации режима термостатирования границы сферического очага Законы изменения безразмерной температуры сфе-
разогрева с термически тонким теплопоглощающим
рического очага разогрева 1
покрытием постоянной толщиной. Безразмерную 0(fo) = 0) и теплооб
температуру границы очага разогрева U (0) =
r 'r' r r г мена в изучаемой системе 2
= R0(R,Fo)-const определяют по равенству (20),
она зависит от параметра автомодельности f0, задаваемого условием (17).
Особый интерес представляет случай f0 = 0, наиболее содержательно отражающий специфические особенности автомодельного процесса теплоперено-са в изучаемой системе. Воспользовавшись равенством (21) при f0 = 0, получим следующее представление зависимости функций Bi ( Fo ), Fo ) и Q ( Fo ) : Fo) Bi (Fo ) = Q (Fo ), Fo > 0. Таким образом, закон «компенсирующего» теп-лопоглощения в термически тонком покрытии Q (Fo), обеспечивающий тер-мостатирование границы очага разогрева, определяется не только реализуемым режимом теплообмена Bi (Fo) в изучаемой системе, но и зависит от закона изменения безразмерной температуры Fo). При этом согласно равенству (23) при f0 = 0 имеем
) ^Qq (Fo)
C(Fo-—т=\, Fo ^ 0
R(0 -vFo)
а безразмерная температура границы сферического очага разогрева равна
и (о) = яе( я,бо ) = о, бо > о.
Заключение. Представленные результаты теоретически обосновывают возможность существования граничного режима с обострением в изотропном твердом теле со сферическим очагом разогрева, обладающим термически тонким теп-лопоглощающим покрытием, и наглядно иллюстрируют физические свойства реализуемого автомодельного процесса теплопереноса в изучаемой системе.
ЛИТЕРАТУРА
1. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964. 488 с.
2. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высш. шк., 1967. 600 с.
3. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высш. шк., 2001. 550 с.
4. Пудовкин М.А., Волков И.К. Краевые задачи математической теории теплопроводности в приложении к расчетам температурных полей в нефтяных пластах при заводнении. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1978. 188 с.
5. Карташов Э.М., Кудинов В.А. Аналитическая теория теплопроводности и прикладной термоупругости. М.: URSS, 2012. 653 с.
6. Аттетков А.В., Волков И.К., Пилявский С.С. Иерархия математических моделей процесса теплопереноса в твердом теле со сфрическим очагом разогрева, обладающим покрытием // Труды XVII Школы — семинара молодых ученых и специалистов под руководством академика РАН А.И. Леонтьева. М., 2009. Т. 1. С. 166-169.
7. Аттетков А.В., Волков И.К., Пилявский С.С. Температурное поле изотропного твердого тела со сферическим очагом разогрева, обладающим покрытием // Известия РАН. Энергетика. 2010. № 3. С. 122-128.
8. Аттетков А.В. О возможности управляемого воздействия на температурное поле твердого тела со сферическим очагом разогрева, обладающим теплопоглощающим покрытием // Тепловые процессы в технике. 2012. Т. 4. № 10. С. 475-480.
9. Аттетков А.В., Волков И.К. Сингулярные интегральные преобразования как метод решения одного класса задач нестационарной теплопроводности // Известия РАН. Энергетика. 2016. № 1. С. 148-156.
10. Аттетков А.В., Волков И.К. «Уточненная модель сосредоточенной емкости» процесса теплопереноса в твердом теле со сферическим очагом разогрева, обладающим покрытием // Тепловые процессы в технике. 2016. Т. 8. № 2. С. 92-98.
11. Седов Л.И. Методы подобия и размерностей в механике. М.: Наука, 1977. 440 с.
12. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: Наука, 1966. 686 с.
13. Волосевич П.П., Леванов Е.И. Автомодельные решения задач газовой динамики и теплопереноса. М.: Изд-во МФТИ, 1997. 240 с.
14. Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987. 478 с.
15. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.
16. Марголин А.Д., Крупкин В.Г. Развитие пузыря в жидкости при наличии источника газовыделения // Физика горения и взрыва. 1985. Т. 21. № 2. С. 76-81.
Аттетков Александр Владимирович — канд. техн. наук, старший научный сотрудник, доцент кафедры «Прикладная математика» МГТУ им. Н.Э. Баумана (Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5).
Волков Игорь Куприянович — д-р физ.-мат. наук, профессор, профессор кафедры «Математическое моделирование» МГТУ им. Н.Э. Баумана (Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5).
Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:
Аттетков А.В., Волков И.К. Автомодельное решение задачи теплопереноса в твердом теле, содержащем сферический очаг разогрева с теплопоглощающим покрытием // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 4. C. 97-106. DOI: 10.18698/1812-3368-2016-4-97-106
SELF-SIMILAR SOLUTION OF HEAT TRANSPORT PROBLEMS IN SOLID WITH HEAT-ABSORBING COATING SPHERICAL HOT SPOT
A.V. Attetkov fn2@bmstu.ru
I.K. Volkov
Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation Abstract Keywords
The problem of determining the temperature field of the iso- Isotropic solid, spherical hot spot,
tropic solid with a spherical hot spot having a thermally thin thermal thin heat-absorbing
heat-absorbing coating was considered. The non-stationary coating, temperature field, self-
mode of heat transfer with time-varying heat transfer coeffi- similar solution
cient and the temperature of the hot spot was investigated.
Sufficient conditions were determined, the fulfillment of which
allows the realization of self-similar process of the heat transfer
in the test system. Qualitative studies of the physical properties
of the self-similar process and set of its specific features were
conducted. The feasibility of boundary regimes in the spherical
hot spot was theoretically proved
REFERE^ES
[1] Carslaw H.S., Jaeger J.C. Conduction of heat in solids. London, Oxford University Press, 1959.
[2] Lykov A.V. Teoriya teploprovodnosti [The theory of heat conduction]. Moscow, Vyssh. shk. Publ., 1967. 600 p.
[3] Kartashov E.M. Analiticheskie metody v teorii teploprovodnosti tverdykh tel [Analytical methods in heat conduction of solid bodies]. Moscow, Vyssh. shk. Publ., 2001. 550 p.
[4] Pudovkin M.A., Volkov I.K. Kraevye zadachi matematicheskoy teorii teploprovodnosti v prilozhenii k raschetam temperaturnykh poley v neftyanykh plastakh pri zavodnenii [Boundary value problems of heat conduction mathematical theory applied to the calculations of temperature fields in the oil reservoirs at waterflooding]. Kazan', Kazanskiy univ. Publ., 1978. 188 p.
[5] Kartashov E.M., Kudinov V.A. Analiticheskaya teoriya teploprovodnosti i prikladnoy termouprugosti [Analytical theory of heat conduction and thermoelasticity]. Moscow, URSS Publ., 2012. 653 p.
[6] Attetkov A.V., Volkov I.K., Pilyavskiy S.S. The hierarchy of mathematical models of heat transfer process in a solid with coated spherical hot spot. Tr. XVII Shkoly-seminara molodykh uchenykh i spetsialistov pod rukovodstvom akad. RAN A.I. Leont'eva [Proc. of the XVII School-Seminar of Young Scientists and Specialists under the leadership of RAS academician A.I. Le-ontyev]. Moscow, 2009, vol. 1, pp. 166-169 (in Russ.).
[7] Attetkov A.V., Volkov I.K., Pilyavskiy S.S. Temperature field of the isotrpic firm body with the spherical center of the warming up possessing covering. Izv. RAN. Energetika [Proceedings of the Russian Academy of Sciences. Power Engineering], 2010, no. 3, pp. 92-98 (in Russ.).
[8] Attetkov A.V. On the possibility of control action on the temperature field of a solid body with a spherical heating-up spot having a heat-absorbing coating. Teplovye protsessy v tekhnike [Thermal Processes in Engineering], 2012, vol. 4, no. 10, pp. 475-480 (in Russ.).
[9] Attetkov A.V., Volkov I.K. The singular integral transformations as a method of solution for one class of non-stationary heat conduction problems. Izv. RAN. Energetika [Proceedings of the Russian Academy of Sciences. Power Engineering], 2016, no. 1, pp. 148-156 (in Russ.).
[10] Attetkov A.V., Volkov I.K. "A refined model of concentrated capacity" of heat transfer in a solid with coated spherical hot spot. Teplovye protsessy v tekhnike [Thermal Processes in Engineering], 2016, vol. 8, no. 2, pp. 92-98 (in Russ.).
[11] Sedov L.I. Similarity and dimensional methods in mechanics. Tenth Ed. CRC Press, Inc., 1993. 496 p.
[12] Zel'dovich Ya.B., Rayzer Yu.P. Fizika udarnykh voln i vysokotemperaturnykh gidrodi-namicheskikh yavleniy [Physics of shock waves and high-temperature hydrodynamic phenomena]. Moscow, Nauka Publ., 1966. 686 p.
[13] Volosevich P.P., Levanov E.I. Avtomodel'nye resheniya zadach gazovoy dinamiki i teplo-perenosa [Self-similar solutions of problems of gas dynamics and heat thermal conductions]. Moscow, MFTI Publ., 1997. 240 p.
[14] Samarskiy A.A., Galaktionov V.A., Kurdyumov S.P., Mikhaylov A.P. Blow-up in quasilinear parabolic equations. Berlin, Walter de Gruyter, 1995. 535 p.
[15] Ladyzhenskaya O.A., Solonnikov V.A., Ural'tseva N.N. Lineynye i kvazilineynye uravneniya parabolicheskogo tipa [Linear and quasi-linear equations of parabolic type]. Moscow, Nauka Publ., 1967. 736 p.
[16] Margolin A.D., Krupkin V.G. Bubble development in a liquid in the presence of a gas source. Combustion, Explosion, and Shock Waves, 1985, vol. 21, iss. 2, pp. 198-202.
Attetkov A.V. — Cand. Sci. (Eng.), Senior Researcher, Assoc. Professor of Applied Mathematics Department, Bauman Moscow State Technical University (2-ya Baumanskaya ul. 5, Moscow, 105005 Russian Federation).
Volkov I.K. — Dr. Sci. (Phys.-Math.), Professor of Mathematical Modelling Department, Bauman Moscow State Technical University (2-ya Baumanskaya ul. 5, Moscow, 105005 Russian Federation).
Please cite this article in English as:
Attetkov A. V., Volkov I.K. Self-Similar Solution of Heat Transport Problems in Solid with Heat-Absorbing Coating Spherical Hot Spot. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Estestv. Nauki [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Nat. Sci.], 2016, no. 4, pp. 97-106. DOI: 10.18698/1812-3368-2016-4-97-106
