CC BY
48
АВТОМАТИЗИРОВАННЫЙ РАСЧЕТ КРИТЕРИЯ ПИРСОНА (математическая статистика без статистических таблиц)
Разработана новая методика расчета критерия согласия Пирсона, которая позволяет легко программировать эти расчеты. Построена таблица для значений интегральной функции распределения как для отрицательных, так и для положительных значений стандарта случайной величины. Таблица интерпретирована полиномом регрессии, который введен в программу расчета критерия Пирсона.
При проверке гипотезы о нормальном распределении массива значений данной случайной величины используется критерий согласия Пирсона в виде уравнения
^ IV | ТТ1 . -Т1 . X м ^ 2
К (m. - Pi xW)2 раб p. x W
(1)
где к - количество групп, на которые разбит массив с шагом Ах:
ш1 - экспериментальное количество значений в 1-й группе;
р1- теоретическая вероятность попадания значений в 1-ю группу;
W - объем массива;
P1XW - теоретическое количество значений в 1-й группе, рассчитанное для нормального распределения.
Методика расчета критерия приведена в ряде учебных пособий [1, 2].
Эти методики не свободны от ряда недостатков.
Во-первых, это необходимость использования статистических таблиц (функции Лапласа, критических точек с2 -распределения и пр). Это рутинная и ручная работа, которая препятствует компьютеризации расчетов.
Во-вторых, при использовании стандартной функции
-Мх
U-:
X:
приходится использовать таблицы только для положительных значений этой функции. В силу этого при расчете интегральной функции распределения приходится определять не функцию F(±u), а функцию F(|u|), что вызывает определенные трудности. Поясним ситуацию на конкретном примере.
Имеем массив значений размеров обуви, зафиксированных случайным образом у мужчин старше двадцати лет. Объем массива W равен 500. Согласно формуле k = 1+3,2xlgW (где «к» есть количество групп) массив разбит на 10
групп с шагом Ах = 2. Данные по расчету функции Б(|и|) по существующей методике и по расчету функции Б(±и) по предлагаемой методике представлены в таблице 1.
По Р(±и) и Б(|и|) рассчитывают теоретическую вероятность попадания значений случайной величины в і-ю группу.
По существующим методикам [1] схема расчетов теоретической вероятности Рі по Б(|и|) на протяжении столбца 4 для значений Б(|и|) меняется три раза. Для первой строки Рі вычисляется как разность Р1 = 1- 0,9924 = 0,0076.
Для строк №№2-5 (область отрицательных значений и) Рі рассчитывают по разности
і Р(|и|)і - Р(|и|)№ а для строк №№5-10 (область положительных значений И) Рі рассчитывают, наоборот, по разности
Р( | и | )і+і - Р( | и | )і.
Все это затрудняет как восприятие учебного материала студентами, так и программирование расчетов. Предлагаемая в данной работе методика расчета критерия согласия Пирсона включает три оригинальных момента.
Во-первых, составлена таблица для функции Б(±и) для значений И от -4 до +4, т. е. и для отрицательных и для положительных значений И. Эти результаты приведены в таблице 2. Насколько нам известно, такие данные в печати отсутствуют.
Таблица 1. Расчет интегральной функции для і-й группы
№ пп Границы групп Ui для правой границы F(|u|) по табл. F(±u) по урав. P. по F(|u|) P. по F(±u)
1 31-33 -2,43 0,9924 0,0074 0,0076 0,0074
2 33-35 -1,83 0,9664 0,0340 0,0260 0,0266
3 35-37 -1,22 0,8888 0,1116 0,0776 0,0776
4 37-39 -0,61 0,7291 0,2713 0.1597 0,1597
5 30-41 0 0,5000 0,5000 0,2291 0,2287
6 41-43 0,61 0,7291 0,7283 0.2291 0,2283
7 43-45 1,22 0,8888 0,8881 0,1597 0,1599
8 45-47 1,83 0.9664 0,9658 0,0776 0,0777
9 47-49 2,43 0,9924 0,9926 0,0260 0,0266
10 49-51 3,04 0,9988 0,9988 0,0064 0,0062
Таблица 2. Значения интегральной функции нормированного нормального распределения
и 0 2 4 6 8
1 2 3 4 5 6
-4,0 0,0000831
-3,9 3453 3380 1081 2667 1921
-3,8 2499 2773 3028 3244 3396
-3,7 1343 1514 1723 1962 2225
-3,6 1126 1082 1081 1124 1212
-3,5 1929 1699 1501 1338 1212
-3,4 3466 3116 2784 2475 2189
-3,3 5454 5029 4617 4218 3834
-3,2 7286 7780 6807 6343 5892
-3,1 0,00010548 9947 9373 8822 8292
-3,0 14053 13274 12537 11839 11178
-2,9 18742 17685 16691 15758 14880
-2,8 25165 23713 22349 21070 19869
-2,7 33943 31967 30107 28357 26711
-2,6 45757 43117 40621 38264 36040
-2,5 61347 57889 54607 51496 48548
-2,4 81529 77083 72849 68820 64988
-2,3 107224 0,0101596 96221 91091 86196
-2,2 139478 132447 125716 119275 113114
-2,1 179483 170799 162468 154477 146817
-2,0 228597 217975 207765 197955 188531
-1,9 288334 275459 263061 251127 239644
-1,8 360349 344880 329958 315569 301699
-1,7 446410 427987 410184 392987 376380
-1,6 548343 526598 505547 485176 465468
-1,5 667971 642544 617882 593970 570795
-1,4 807045 777595 748975 721173 694176
-1,3 967159 933384 900496 868484 837337
-1,2 1149673 1111323 1073905 1037411 0,1001832
-1,1 1355626 1312523 1270381 1229195 1188961
-1,0 1585671 1537718 1490738 1444731 1399694
-0,9 1840005 1787202 1735365 1684495 1634597
-0,8 2118326 2060776 2004161 1948490 1893770
-0,7 2419798 2357710 2296507 2236202 2176805
-0,6 2743039 2676733 2611241 2546577 2482758
-0,5 3086132 3076035 2946657 2878019 2810140
-0,4 3446655 3373289 3300529 3228402 3156929
-0,3 3821725 3745700 3670153 3595113 3520605
-0,2 4208071 4130068 4052403 3975105 3898203
-0,1 4602112 4522868 4443811 4364973 4286382
Во-вторых, данные таблицы 2 были использованы для составления задачи регрессии с целью получения аналитической зависимости в виде алгебраического полинома регрессии
Б(и) =я(Ь,и), (2)
где Ь - эмпирические коэффициенты регрессии.
С использованием метода регрессионного анализа, включающего метод наименьших квадратов, получена зависимость («) в виде уравнения тринадцатой степени по аргументу и, которое с высокой степенью точности воспроизводит табличную функцию Р(±и).
Значения коэффициентов регрессии Б(Г) для уравнения зависимости Б(и) от статистики и приводим ниже (14 коэффициентов)
Продолжение табл. 2
1 2 3 4 5 6
0 5000056 5079770 5159454 5239074 5318601
0,1 5398002 5477247 5556305 5635144 5713736
0,2 5792049 5870053 5947720 6025019 6101923
0,3 6178403 6254430 6329979 6405021 6479531
0,4 6553483 6626851 6699612 6771742 6843217
0,5 6914014 6984114 7053493 7122132 7190012
0,6 7257114 7323420 7388913 7453577 7517397
0,7 7580357 7642444 7703646 7763950 7823346
0,8 7881823 7939372 7995984 8051652 8106370
0,9 8160131 8212931 8264765 8315630 8365524
1,0 8414445 8462392 8509367 8555368 8600399
1,1 8644461 8687558 8729693 8770872 8811099
1,2 8850380 8888722 8926133 8962619 8998190
1,3 9032855 9066622 9099503 9131507 9162645
1,4 9192930 9222372 9250984 9278779 9305768
1,5 9331967 9357387 9382043 9405949 9429118
1,6 9451565 9473304 9494351 9514718 9534422
1,7 9553477 9571897 9589698 9606894 9623500
1,8 9639530 9654999 9669922 9684312 9698184
1,9 9711552 9724430 9736831 9748769 9760257
2,0 9771309 9781937 9792153 9801970 9811401
2,1 9820456 9829149 9837489 9845488 9853156
2,2 9860505 9867545 9874285 9880736 9886906
2,3 9892806 9898444 9903828 9908968 9913871
2,4 9918546 9923001 9927243 9931280 9935118
2,5 9938766 9942230 9945516 9948632 9951583
2,6 9954377 9957019 9959516 9961873 9964097
2,7 9966192 9968166 9970023 9971769 9973410
2,8 9974951 9976397 9977753 9979025 9980218
2,9 9981336 9982385 9983369 9984293 9985162
3,0 9985980 9986751 9987480 9988170 9988825
3,1 9989449 9990045 9990617 9991167 9991698
3,2 9992212 9992711 9993198 9993672 9994137
3,3 9994591 9995037 9995472 9995898 9996313
3,4 9996716 9997106 9997481 9997838 9998175
3,5 9998490 9998779 9999040 9999269 9999463
3,6 9999620 9999737 9999811 9999842 9999826
3,7 9999766 9999661 9999514 9999330 9999114
3,8 9998875 9998623 9998374 9998144 9997956
3,9 9997837 9997817 9997935 9998234 9998767
4,0 9999593
5.00005592187335Е-0001 3.98598844443313Е-0001 1.03515179165209Е-0005 -6.54749455349020Е-0002 -1.45789153812304Е-0005 9.14752711739197Е-0003 5.10973768210604Е-0006 -8.85709923119649Е-0004 -7.40906522448195Е-0007 5.48773595507313Е-0005 4.76628001280766Е-0008 -1.92680234034626Е-0006 -1.11873972911260Е-0009 2.88511374453072Е-0008.
Технические науки
По этому уравнению получили столбец 5 таблицы 1 для значений Р(±ц), который дает возможность по всем строкам таблицы 1 производить расчет теоретической вероятности Р. по единой схеме
Б(±ц)1+1- Б(±ц)1.
В-третьих, таблицы X2 -распределения Пирсона [1, 2] интерпретированы аналитической зависимостью в виде уравнения регрессии вида
Хтабл2 = Ф, V), (3)
где с2 табл - граница критической области; V - число степеней свободы при принятой вероятности р.
Уравнение 8-й степени с 9-ю коэффициентами регрессии с высокой степенью точности воспроизводит табличные значения функции X2. Ниже для примера воспроизводим значения коэффициентов регрессии для вероятности р = 0,95.
Коэффициенты регрессии Б(Г) для уравнения критических границ «хи» - квадрат-распределения при Р = 0,95
3,06433322098383Е+0000 1,73011778826185Е+0000 -2,86218706529553Е-0002 9,99199810586049Е-0004 -2,32445651853208Е-0005 3,45634338701911Е-0007 -3,13382273001714Е-0009 1,57614536933970Е-0011 -3,36110681066872Е-0014
Итак, имея в программе значения крите-22
риев X раб и X2таб, рассчитанные по уравнениям (1) и (3), и сопоставляя их, можем выносить заключение о гипотезе нормального распределения рассматриваемой случайной величины.
В заключение приведем результаты программного анализа гипотезы о нормальном распределении случайной величины «Размер обуви взрослых мужчин». Количество значений случайной величины - 500. Расчетное значение Мх - 41,002; а2 = 10,806.
При выполнении программы получены значения
х2 „б = 11-88 и х2 - = !6,92>
т. е. гипотезу о нормальном распределении массива значений данной случайной величины отклонять нет оснований.
Список использованной литературы:
1. Бородюк В.П., Вощинин А.П., Иванов А.З. и др. Статистические методы в инженерных исследованиях. - М.: Высшая школа, 1983. - 216 с., ил.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. - М.: Высшая школа, 2001. - 479 с.: ил.
