CC BY
35
№7/2015
ISSN 2410-700Х
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ»
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 004
Азмагулов Нияз Алекович,
студент группы ЭВТ-11 Полевщиков Иван Сергеевич,
аспирант, ассистент
ФГБОУ ВПО «Пермский национальный исследовательский политехнический университет», г. Пермь
E-mail: [email protected]
АВТОМАТИЗАЦИЯ РАСЧЕТА МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЭЛЕКТРОННЫХ ТАБЛИЦ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ СТУДЕНТОВ
(ЧАСТЬ 1)
Аннотация
В статье на примере процесса изменения температуры тел описаны особенности построения модели динамической системы и расчета ее методом Эйлера. На данном примере в дальнейшем будут показы особенности автоматизации расчета построенной модели.
Ключевые слова
Модель динамической системы, метод Эйлера, электронные таблицы.
Электронные таблицы широко используются для автоматизации расчетов в различных областях человеческой деятельности [1].
Рассмотрим особенности использования электронных таблиц при построении модели динамической системы в виде дифференциальных уравнений и расчете ее методом Эйлера [2-4]. Электронные таблицы удобно использовать при обучении студентов методике расчета данных моделей с целью упрощения рутинных вычислений.
В качестве примера рассмотрим протекание процесса изменения температур тел [3]. Дана система трех материальных тел с различными теплофизическими свойствами, причем данная система контактирует с опорой и помещена во внешнюю среду.
Будем использовать следующие обозначения:
Xx(t) - температура первого тела; X2(t) - температура второго тела; X3(t) - температура третьего тела; X 4 (t) - температура внешней среды; X5 (t) - температура опоры.
Граф зависимости переменных модели представлен на рис. 1. Стрелки, входящие в соответствующий кружок, указывают на количество влияющих параметров, а то, откуда они исходят, определяет конкретные названия переменных.
Рисунок 1 - Граф зависимости переменных модели Зададим значения коэффициентов модели с помощью табл. 1.
8
международный научный журнал «символ науки»
№7/2015
ISSN 2410-700Х
Таблица 1
Значения коэф )фициентов модели
*12 = K 21 K 23 K 32 K 4! K 42 K 43 K 53
0,15 0,3 0,2 0,05 0,25 0,1
Зададим начальные условия системы (в момент времени t = 0) с помощью табл. 2.
Значения коэффициентов модели
X x(0) X 2(0) X 3(0) X 4(0) X 5(0)
30° C 10° C 50° C 20° C 5° C
Таблица 2
Выбираем шаг моделирования, равный At = 0,1 c.
Примем конечное значение времени моделирования за Тк = 3 c.
Поскольку переменных пять, то необходимо пять законов, описывающих изменение этих переменных. В общем виде, учитывая, от каких переменных зависит каждый показатель, получим следующие зависимости:
1) для первого тела зависимость температуры Xx(t) от температуры второго и температуры
атмосферы:
dX1(t)
dt
fi(X2(f),X4(t));
2) для второго тела зависимость температуры X2(t) от температуры первого и третьего тел и
температуры атмосферы:
dX2(t)
dt
/2(*1(0,*э(0,*4(0);
3) для третьего тела имеем зависимость температуры X3 (t) от температуры второго тела, температуры
атмосферы и опоры:
dX3(t)
dt
f3(X2(t),X4(t),X5(t));
4) для внешней среды закон имеет вид: X4(t) = const, то есть, температура атмосферы не зависит от остальных составляющих данной системы и, соответственно, не изменяется;
5) для опоры закон имеет вид: X5(t) = const, то есть, температура опоры не зависит от остальных составляющих данной системы и, соответственно, не изменяется.
Система законов в первом приближении сформирована. Остается определить их конкретный вид: раскрыть, что из себя представляют значения выражений Д, Д и Д. Поскольку рассматривается система, зависящая от своего прошлого поведения на каждом последующем шаге, то необходимо применить для ее описания дифференциальные уравнения [3].
Определив, каким образом данные переменные взаимодействуют между собой, определившись со знаками, а также не забыв скорректировать получившиеся уравнения соответствующими коэффициентами, получаем следующую систему уравнений для заданной динамической системы:
dX2(t)
dt
dX3(t)
dt
dX1(t)
dt
= K4i(X4(t) - Xi(t)) + K2i(X2(t) - Xi(t))
Ki2(Xi(t) - X2(t)) + K42(X4(t) - X2(t)) + K32(X3(t) - X2(t))
K53(X5(t) - X3(t)) + K43(X4(t) - X3(t)) + K23(X2(t) - X3(t)) dX4(t)
dt
dX5(t)
dt
= 0 = 0
9
_______МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №7/2015 ISSN 2410-700Х________
При расчете системы с использованием метода Эйлера, чтобы узнать состояние системы в будущем
X(t + At), необходимо к настоящему состоянию системы X(t) прибавить изменение ~^~, прошедшее за время At:
X(t + At) = X(t) + f(X(t)) ■ At.
При вычислении по методу Эйлера необходимо вычислять значения всех параметров системы параллельно, так как производная в каждый момент времени отдельного параметра зависит как от значения самого параметра в данный момент времени, так и от значения другого параметра в этот момент времени. Результаты расчета изменения значений переменных системы во времени представлены в табл. 3.
Таблица 3
Таблица расчета изменения значений переменных системы во времени.
t dX]_(t) dt dX2(t) dt dX3(t) dt X3(t) X2«) x3(t)
0,00 -5,00 15,50 -24,00 30,00 10,00 50,00
0,10 -4,59 13,93 -21,98 29,50 11,55 47,60
0,20 -4,22 12,51 -20,13 29,04 12,94 45,40
0,30 -3,89 11,21 -18,45 28,62 14,19 43,39
0,40 -3,58 10,04 -16,91 28,23 15,31 41,55
0,50 -3,31 8,98 -15,51 27,87 16,32 39,85
0,60 -3,06 8,01 -14,23 27,54 17,22 38,30
0,70 -2,83 7,14 -13,07 27,24 18,02 36,88
0,80 -2,62 6,35 -12,00 26,95 18,73 35,57
0,90 -2,44 5,63 -11,03 26,69 19,37 34,37
1,00 -2,27 4,98 -10,15 26,45 19,93 33,27
1,10 -2,11 4,40 -9,34 26,22 20,43 32,26
1,20 -1,97 3,86 -8,60 26,01 20,87 31,32
1,30 -1,85 3,38 -7,92 25,81 21,25 30,46
1,40 -1,73 2,95 -7,31 25,63 21,59 29,67
1,50 -1,63 2,56 -6,74 25,45 21,89 28,94
1,60 -1,53 2,20 -6,23 25,29 22,14 28,26
1,70 -1,44 1,88 -5,76 25,14 22,36 27,64
1,80 -1,36 1,59 -5,33 24,99 22,55 27,07
1,90 -1,29 1,33 -4,93 24,86 22,71 26,53
2,00 -1,23 1,10 -4,57 24,73 22,84 26,04
2,10 -1,17 0,89 -4,24 24,60 22,95 25,58
2,20 -1,11 0,70 -3,94 24,49 23,04 25,16
2,30 -1,06 0,53 -3,66 24,38 23,11 24,76
2,40 -1,02 0,38 -3,41 24,27 23,17 24,40
2,50 -0,98 0,24 -3,18 24,17 23,20 24,06
2,60 -0,94 0,12 -2,96 24,07 23,23 23,74
2,70 -0,91 0,01 -2,77 23,98 23,24 23,44
2,80 -0,87 -0,09 -2,59 23,89 23,24 23,17
2,90 -0,84 -0,17 -2,42 23,80 23,23 22,91
3,00 -0,82 -0,25 -2,27 23,71 23,21 22,67
Покажем пример расчета значений в строках табл. 3, соответствующих t = 0 и t = At. Расчет для строки, соответствующей t = 0:
Х1(0) = 30° C; X2(0) = 10° C; X3(0) = 50° C;
10
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №7/2015 ISSN 2410-700Х____________
= K41(X4(t) - X1(t)) + K21(X2(t) - X1(t)) = 0.2(20 - 30) + 0.15(10 - 30) = -5
K12(X1(t) - X2(t)) + ^(^(0 - X2(t)) + K32(X3(t) - X2 (t)}
= 0.15(30 - 10) + 0.05(20 - 10) + 0.3(50 - 10) = 15,5
K53(X5(t) - X3(t)) + K43(X4(t) - X3(t)) + K23(X2(t) - X3(t))
= 0.1(5 - 50) + 0.25(20 - 50) + 0.3(10 - 50) = -24 Расчет для строки, соответствующей t = At = 0,1 с (необходимо учесть, что после знака равенства в формуле стоит значение X(t), полученное на предыдущем шаге):
X1(t) = X1(t) + . At = 30 - 5 * 0,1 = 29.5
X2(t) = X2(t) + ■ At = 10 + 15.5 * 0,1 = 11.55
X3(t) = X3(t) + ■ At = 50 - 24 * 0,1 = 47.60
dX |(/) = 0.2(20 - 29.5) + 0.15(11.5- 29.5) = -4.59 dt
dX 2(t) = 0.15(29.5-11.55) + 0.05(20 -11.55) + 0.3(47.6 -11.5) = 13.93 dt
dX3(t)
—^ = 0.1(5 - 47.60) + 0.25(20 - 47.60) + 0.3(11.55 - 47.60) = -21.98 at
Продолжение данного исследования, а именно автоматизация приведенных выше расчетов с применением электронных таблиц, будет описано в следующей статье.
Список использованной литературы:
1. Леоненков А.В. Решение задач оптимизации в среде MS EXCEL. СПб : БХВ-Петербург, 2005. 690 с.
2. Мухин О.И. Лекция «Динамические системы». URL: http://stratum.pstu.ac.ru/education/textbooks/modelir/lection04.html.
3. Мухин О.И. Лекция «Построение модели динамической системы в виде дифференциальных уравнений и расчет ее методом Эйлера». URL: http://stratum.pstu.ac.ru/education/textbooks/modelir/lection11.html.
4. Файзрахманов Р.А., Липатов И.Н. Автоматизация научных исследований : учебное пособие. Пермь : Изд-во ПГТУ, 2011. 161 с.
© Н.А. Азмагулов, И.С. Полевщиков, 2015
^2(0
dt
rf*3(Q
dt
УДК 004
Азмагулов Нияз Алекович, студент группы ЭВТ-11 Полевщиков Иван Сергеевич,
аспирант, ассистент
ФГБОУ ВПО «Пермский национальный исследовательский политехнический университет», г. Пермь
E-mail: [email protected]
АВТОМАТИЗАЦИЯ РАСЧЕТА МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЭЛЕКТРОННЫХ ТАБЛИЦ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ СТУДЕНТОВ
(ЧАСТЬ 2)
Аннотация
В статье на примере процесса изменения температуры тел описаны особенности автоматизации расчета модели динамической системы методом Эйлера с использованием электронных таблиц.
11
