CC BY
45
2. Л.М. Милн-Томсон. Теоретическая гидродинамика. М.: Изд-во «Мир», 1964. С.178
3. Лавреньтев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. Изд. 2-е. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1977, 408 с.
4.Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа: Учеб. для вузов. - 7-е изд., испр. - М.: «Дрофа», 2003. - 804 с. ISBN 57107-6327-6.
ЛИТУНОВ Сергей Николаевич, кандидат технических наук, доцент кафедры «Дизайн, реклама и технология полиграфического производства».
Статья поступила в редакцию 20.11.06 г. © Литунов С. Н.
УДК 516 621 87 в с ЩЕРБАКОВ
А. М. МИНИТАЕВА
Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия
Омский государственный технический университет
АВТОМАТИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА СОСТАВЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ГИДРОПРИВОДОВ_
В данной статье предложена методика описания математических моделей гидроприводов в виде гидравлических многополюсников (ГМП), что позволяет формализовать и автоматизировать процесс составления математических моделей гидроприводов.
В настоящее время практически все землеройно-транспортные машины (ЗТМ) оснащены гидроприводом рабочего органа (ГП РО). Несмотря на многообразие схем гидроприводов, количество гидроэлементов, входящих в них, не так велико: гидронасос, гидромотор, гидроцилиндр, гидродроссель, гидролиния, гидрораспределитель, гидроклапан (обратный, предохранительный, редукционный) и др. [1,2, 3,4, 5).
Теоретические исследования ГП базируются на математических моделях. Процесс составления математических моделей ГП достаточно трудоемкий. В связи с этим как у нас в стране, так и за рубежом ведутся работы, направленные на формализацию процесса составления математических моделей ГП с целью дальнейшей автоматизации этого процесса.
В данной работе гидроэлементы и ГП в целом представлены в виде гидравлических многополюсников (ГМП), что позволяет формализовать и автоматизировать процесс составления математических моделей ГП.
При составлении математических моделей были приняты следующие допущения:
Гидронасос с регулируемой подачей
Схема гидронасоса представлена на рис. 1 а, где 0„ — подача насоса; — рабочий объем насоса; -максимальный рабочий объем насоса; е„ = Ч,/Чмм _ параметр регулирования; шм — угловая скорость вала насоса; Мн — крутящий момент на валу насоса; Р,. Р2 — давления соответственно на входе и выходе; Поч, чм„ ~ КПД насоса соответственно объемный и гидромеханический.
Принятые допущения позволяют принять математическую модель гидронасоса регулируемой подачи
U(MH,G>„)
а
F(e„)
X(P2,Q„)
i>
Рис. I. Гидронасос регулируемой подачи: а) ~ расчетная схема; б) ~ гидравлический многополюсник (ГМП)
M„,ü>„
F(e„)
Х(Мм,<Вм)
б
Рис. 2. Гидромотор с регулируемым рабочим объемом: а) - расчетная схема; б) - гидравлический многополюсник (ГМП)
P2 = Pi + MH-T|M„/(qHM-eH); Он = Чнм-ен-шн-т1он-
(1)
(2)
Гидромотор с регулируемым рабочим объемом
На рис. 2 а представлена схема гидромотора, где <Э — расход гидромотора; — рабочий объем гидромотора; дчч — максимальный рабочий объем гидромотора; ем = Чм/с[чм — параметр регулирования; соч| — угловая скорость вала гидромотора; Лм — момент инерции вращающихся масс, приведенный к
валу гидромотора; Мч — крутящий момент на валу гидромотора; Р,, Р2 — давления соответственно на входе и выходе; г|ом, г|мм - КПД гидромотора соответственно объемный и гидромеханический.
Математическая модель гидромотора в соответствии с принятыми допущениями имеет вид:
~5„ --
исРьО.)
V-V
М, |Р2 "
РСРг)
Х^Л',)
Мм = Чмм • емм • (р| - р2 )• Пмм - • Ч,
в„=Ом-Лон/(Чмм-е„)-
(3)
(4)
Гидроцилиндр
На рис, 3 а представлена схема гидроцилиндра, где Р|Г Р2 — давления соответственно на входе и выходе гидроцилиндра; О,, 02 — расходы жидкости соответственно на входе и выходе гидроцилиндра; 5>и,' 5П — площади соответственно штоковой и поршневой полостей гидроцилиндра; V — скорость штока гидроцилиндра; — усилие на штоке гидроцилиндра; к — коэффициент вязкого трения в гидроцилиндре; ш1( — подвижная масса, приведенная к штоку гидроцилиндра; кш, кп — коэффициенты упругости полостей с жидкостью соответственно штоковой и поршневой; в — оператор Лапласа.
Принятые допущения позволяют принять следующую математическую модель гидроцилиндра:
Р^Р.Л-Р^-К-з + ЦК,;
(5)
Рис. 3. Гидроцилиндр: а) _ расчетная схема; б) - гидравлический многополюсник (ГМП)
Р,.
и(РьС>1)
Х(Р:,д2)
Рис. 4. Гидролиния: а) - расчетная схема; б) - гидравлический многополюсник (ГМП)
Рь.
др
Р2, ио^о
О:
^ Х(Р2Ш
Рис. 5. Дросселирующий элемент: а) - расчетная схема; б) - гидравлический многополюсник
(6)
Гидролиния
На рис. 4 а представлена расчетная схема гидролинии, где Р,, Р2 — давления соответственно на входе и выходе гидролинии; О,, 02 — расходы жидкости соответственно на входе и выходе гидролинии; кл — коэффициент упругости гидролинии; Хл — коэффициент потерь давления по длине гидролинии; Ц — длина гидролинии; с!д — диаметр гидролинии; уж — удельный вес рабочей жидкости.
Принятые допущения позволяют принять математическую модель гидролинии:
Р2 = Р.-^л
<Э,+С)2 2
02 = 0,-кл.рг
(7)
(8)
Дросселирующий элемент
На рис. 5 а изображена расчетная схема дросселирующего элемента(местного гидравлического сопротивления), где Р,, Р2 — давления соответственно на входе и выходе дросселя; О,, 02 — расходы жидкости соответственно на входе и выходе дросселя; 5др — площадь проходного сечения дросселя; £ — коэффициент гидравлического сопротивления дросселя.
Принятые допущения позволяют принять математическую модель дросселя:
*07
р*
<32
Рэ.
и(Р|,С>|)
Х'(Р2,02)
Х"(РЭ,(Ь)
Рис. 6. Разветвление гидролинии: а) - расчетная схема; б) - гидравлический многополюсник (ГМП)
Разветвление гидролинии
На рис. 6 а изображена расчетная схема гидравлического разветвления (тройника), которая представляет собой два местных сопротивления в узлах тройника, где Р,, О, — соответственно давление и расход жидкости на входе в тройник; Р2, 02, Р.,, Оэ -давления и расходы жидкости на выходах тройника;
Б3 — площади проходных сечений выходных гидролиний тройника; ^ - коэффициенты гидравлических сопротивлений.
Принятые допущения позволяют принять математическую модель гидравлического разветвления:
Р2=Р,-
'Ус 2-д^
В| = Р,-
2-д-5з
■0\-
■01:
(11)
(12)
Р2 = Р,-
V -Р
'ж. ' ДР
д-Б,
о.-
^др 'У я
АР
•о
(9)
02 =0,-03;
(13)
о2 = о,
(10)
0з=0,-04
(14)
Соединение гидролиний
На рис. 7 а представлена расчетная схема соединения гидролиний (тройника), где Р,, Р2 - давления жидкости входных гидролиний; О,, 02 - расходы жидкости входных гидролиний; Р3,03 - соответственно давление и расход в выходной гидролинии; 5,, Б2 — площади проходных сечений входных гидролиний; С,,, С2 ~ коэффициенты гидравлических сопротивлений гидролиний.
Принятые допущения позволяют принять математическую модель гидравлического соединительного тройника:
3 2 ^ 2-g-S?
Qf-^J 2-g-sl
■О^
(15)
TP|.
Qi
UÖYQi)
P?, =a
F(P:,Q2>
^ X(1>3,Q3)
i>
Рис. 7. Соединение гидролиний: а) - расчетная схема; б) - гидравлический многополюсник (ГМП)
о3 = о, + о4
(16)
Предлагаемая методика составления математических моделей гидроприводов базируется на представлении схем гидроприводов и их отдельных элементов в виде многомерных динамических объектов, динамические свойства которых характеризуются их матричными передаточными функциями [5].
Гидропривод рассматривается как совокупность соединенных между собой гидроэлементов, которые, в зависимости от принятых допущений, описаны с требуемой степенью детализации [4, 5].
Отдельный гидроэлемент или участок гидросхемы можно представить в виде многомерного динамического объекта (рис. 8) с вектором выходных величин Х)=[х1.....х„Г, вектором входных величин
С^ = [и........ Р и вектором возмущающих воздействий Р,=1Г,.....ЛГ [5].
Динамические свойства многомерного объекта полностью определяются его уравнениями движения. Линеаризованная система уравнений движения в векторно-матричной форме имеет вид:
A(s) X = B(s) U + C(s)-F .
(17)
где A(s) — квадратная матрица размерности n х п; В (s) — прямоугольная матрица размерности n х ш; C(s) — прямоугольная матрица размерности n х к.
Линеаризованная математическая модель гидравлического многомерного объекта может рассматриваться как гидравлический многополюсник (ГМП). Таким образом, гидропривод в целом можно рассматривать как результирующий, состоящий из соединенных между собой ГМП. При этом задача математического моделирования сводится к определению результирующих передаточных функций гидропривода. В этом случае модель гидропривода отражает зависимости только между векторами выходных величин и вектором внешних воздействий, исключая векторы, связывающие отдельные ГМП в единую гидросистему.
Способы соединения ГМП между собой представлены в таблице 1. Математические модели результирующих ГМП разрешены относительно векторов выходных величин:
X = W>u-U + Wx/-F;
Wxu = A-'(s)-B(s);
Wy/ = A-'(s)C(s),
Рис. 8. Структурные схемы многомерного объекта: а) - в общем виде: б) - в векторной форме
Рис. 9. Структурная схема гидропривода с двумя векторными выходами, представленная в виде гидравлических многополюсников
где \*Ухц — матричная передаточная функция многомерного объекта «вход — выход»; — матричная передаточная функция «воздействие — выход».
Правила преобразования связанных ГМП определяются способами их соединения. Таблица 1 позволяет при использовании матричных передаточных функций отдельных ГМП устанавливать аналитическую связь между внешними воздействиями и выходными величинами гидросистем. При этом нет необходимости вычислять величины векторов, связывающих ГМП между собой.
На рис. 9 в качестве примера представлена структурная схема ГП с двумя векторными выходами в виде ГМГ1, содержащая основные виды соединений. По уравнениям, приведенным в табл. 1 для схемы ГП, представленной на рис. 9, сформирована математическая модель
x/
W,(s) W2(s) W4(s) W5(s)
W3(s) 0
0
W6(s)
(18)
(19)
(20)
где W,(s) = (1+ W4xll ■ W3K/r' ■ W4xll ■ W3xu • W;xu ■ Wu/;
W2(s) = (1 + W4x„ • W3x;r' • W4xu • W3xu • W2x/;
W3(s) = (1 + W4xu ■ W3x/)"' ■ W4xj;
W4(s) = WüxlJ ■ W2xu ■ W,K/;
W5(s) = W6x„ • W2"K/; W6(s) = W6x, • WSx/.
ц.
£ Г&
О, -ч О,
.в
1), =—~У 04 ^
х, и ЧНх 1
ИР, и
и'1? О,
и.
ъ
X,
о,
X,
X.
Рис. 10. Структурная схема гидропривода с одним выходом, представленная в виде гидравлических многополюсников
На рис, 10 в качестве примера приведена структурная схема ГП с одним выходом. Ее математическая модель имеет вид:
хв = ш7ки.х7 + ш7кГх4.
(22)
С учетом (21) уравнение примет вид (23):
Х„ = [МУ;(8) тлод]
(23)
внешних воздействий и выходных величин, но и векторами входных и выходных величин элементов, представленных в виде ГМП, необходимо составить систему уравнений, решение которых позволило бы найти искомые величины. Для этого уравнения многомерного динамического объекта (рис. 9,10) необходимо разрешить относительно векторов внешних воздействий:
™/х-х+ш/и.и = р,
(24)
где АЛ^С-'ф-А^); У*/а = С ^э) [-В(з)].
При отсутствии у ГМП векторов внешних воздействий (компоненты вектора равны нулю) выражение (24) примет вид:
ШхХ + ШиО = 0, (25)
где Ш, = А(з); '\/Уи = -В (б) .
Если ГМП выполняет роль многомерного сумматора или используется в замкнутой схеме (см. табл. 1), когда = ±Х, и отсутствует вектор внешних воздействий, уравнения будут иметь вид:
М^-^ + У^-и + Ш/'Х, = 0,
(26)
где ш,'(5) = • (з) + УЫ1Ж, ■ Ш,(5);
= ™7х„ • +\У7х/ -Ш2(5); \лед = ЛЛ/7х/-"М3(5);
При составлении математической модели ГП, отражающей зависимости не только между векторами
гдеЧ/Уж = А(8); \ЛГ„ = -В(з); \ЛГ = -С(з).
Уравнения (24) — (26) позволяют составить математическую модель исследуемого ГП.
Методику составления математической модели целесообразно проиллюстрировать на примерах схем ГП, представленных на рис. 9, 10.
1. Гидросистема изображается в виде структурной схемы, на которой гидроэлементы или участки гидросхемы представляются в виде ГМП. (Например, ГП на рис. 9, 10, содержащие ГМП, соединенные различными способами).
Таблица I
Способы соединения ГМП
2. Всем ГМП, входящим в гидросистему, присваиваются порядковые номера (О,... О^. Порядок нумерации может быть произвольным. Номера ГМП будут определять числовые индексы матричных передаточных функций. (Например, на рис. 9 нумерация ГМП проведена от О, до Ое, а на рис. 10 от О, до О,).
3. Нумеруются векторы входных и выходных величин, векторы внешних воздействий. Порядок нумерации может быть произвольный.
4. Уравнения ГМП записываются в виде (4.99) — (4.101). Например, для ГП, имеющего структурную схему, изображенную на рис. 9, уравнения ГМП (О,... 06) будут иметь вид:
О,-- X, = Р,; 02-Щ„ -0, = Ё,;
04^4/х • Х4+Ш4/11 • 04 = Ё4; 05-Ш5/х ■ Х6 = Р5;
Оп-™6х -Х7+ШВи -0,,-^ -Х6 = 0, (27) а для рис. 10 еще одно уравнение
о7^7ж-х8+ш7ц-0^7Гх«=о.
5. Устанавливается соответствие между векторами входных и выходных величин, связывающих ГМП между собой. (Например, для рис. 9)
X, =02; Х2 = 03; Х3=й4; Х4=РЭ; Х5 =иа; Х6 =Ё6. (28)
Для рис. 10 дополнительно
Х4 = Р7, Х7 = и7.
6. Уравнения ГМП заносятся в матричную таблицу.
7. В соответствии с матричной таблицей составляется математическая модель ГП
\"/(з)-Х = И ,
(29)
где Ш(б) — блочная матрица, блоками которой являются матричные передаточные функции ГМП; X — блочный вектор, состоящий из векторов связи; X,; ? — блочный вектор внешних воздействий .
Для рассматриваемой структурной схемы (рис. 9) блочная матрица имеет вид:
1/х
V/:
2/и 0 0
щ,
Wэu о о о о
о о
Ш,.
«л
4/ч
о о о
о о
о о о
о о о о
2/4
о
о о о о о
«5/
о о о о о
о * У
о о
о о о
\Л'.
2/1
о о о о о
о о
w.
о о
о о о
о о о о
щ.
о о
о о о о о
о о о о
о
о ™7и
о о о о о о о
X," Т
х3
Я3 0
Х5
Хс %
X, 0
X» 0
8. Из системы уравнений (30) и (31) находится вектор исследуемых величин:
X = "\Л/~'(з)-Р ■
(32)
(30)
Предложенная методика составления математических моделей как многомерных динамических объектов позволяет, в зависимости от целей и задач исследования, формировать математические модели двух типов: модели, исключающие рассмотрение векторов величин, связывающих ГМП между собой; модели, позволяющие проводить исследование всех векторов гидросистемы.
Для применеиия метода математического описания гидроприводов как многомерных динамических объектов необходимо представить математические модели гидроэлементов в виде ГМП. В качестве примера математические модели гидроприводов после линеаризации представим в векторно-матричной форме, разрешенные относительно вектора выходных параметров.
Гидронасос регулируемой подачи
На рис. 1 б изображен гидронасос в виде ГМП. В линеаризованном виде математическая модель гидронасоса будет иметь вид:
о: ш22 W23
(33)
мг
а! е:
где УУ,, = ——; \^2=о; W1,=; Щ, = 0;
q...-н. ч-.. -е.
\М22 = q,.., • е. ■ л-; ^23 = ц.. -а- ■ 1>,; Р2 з (1Р2; о: = сЮ-;
Гидромотор с регулируемым рабочим объемом
На рис. 2 б представлен гидромотор в виде ГМП. В линеаризованном виде математическая модель гидромотора имеет вид:
Щг
<в' _Ш21 ™23
(34)
Для структурной схемы (рис. 10) блочная матрица имеет вид:
где Щ, = амм • ем ■ л мм: = - Лм ■ в • п/(чм„ • еы);
^з =амм Ч)мм -(Ч -Р2)+■я,Ом'Пом/(Чмм "ем);
Ш21=0; Ш22 = Лом/(Чмм -ем)' ^23 = ' т1ом/(Чмм ' ем ) ' М'„=с1Мм; со'нвс1им; Р,' - ЙР,; С»сЮм; е'„ = йек, .
Гидроцилиндр
На рис. 3 б дана схема гидроцилиндра в виде ГМП. В линеаризованном виде математическая модель гидроцилиндра имеет вид:
Г и' 1 ГЦ щ2
V" _ ц_ ш22
13
23.
р; о;
Р2
(35)
(31)
где =(щц-52 + кц-5)~ + 5.; ^г=(1сц-тц-8)~;
W13 =-Sm; w21 =-|1-s; W22 =1; W23 = 0 ; s = ^;
dt'
f; = dFu; v;=dvu; p; = dP,; o; s dQ,; Pi = dP2.
Соединение гидролиний
На рис. 7 б представлена схема гидравлического соединения. В линеаризованном виде математическая модель гидравлического соединения будет иметь вид:
Гидролиния
На рис. 4 б гидролиния представлена в виде ГМП. В линеаризованном виде математическая модель гидролинии будет иметь вид:
(36)
"РГ 'w„ W12" "рГ
w21 W22. о;_
где W,, = -
+ V8-T.-Lл кл .Q t " -д-^д
.2 „ ,J Wi + _2 „ 'м
я -g-dA
Ш21=-к.-8; = -кл; \ЛГИ = 1; е- —; Р/^Р,; Р^Р,; О; - сЮ,; 02 ^ dQ2.
Дросселирующий элемент
На рис. 5 б дросселирующий элемент представлен в виде ГМП. В линеаризованном виде математическая модель дросселя будет иметь вид:
"pii w,.
Qi. _w21 w22
р; о;
S',
(37)
А» р
g-sAi. g-sA„
+ -Q'f; W2, =0;
w.n = 1; W„ = 0.
M>
»23 ■
"Р-Г rWM w12-
0'2 W2I w22
Рз W31 W;)2
0'3 W41 W„.
где W„=l; Wl2 = -
ViV с
gs2
q;
•Q,; W21 =0; W22 =1;
W„ = l; Wj2 = -^r■ Or,; w41 = 0; w4, = 1; p; - dP,; о; ^ dQ,; P2 E dP,; Q2 s dQ2; P3 = dP3; Q3 = dQ3.
"P3"
.Оз.
W„ W12 W|3 W,4 W2I W22 W23 W24
(39)
Разветвление гидролинии
На рис. 6 б представлен ГМП с двумя векторными выходами. В линеаризованном виде математическая модель разветвления будет иметь вид:
где W,, = 0,5 ; W12 = - -Q,; W13 = 0,5;
2-g-S,
Wl4 = —02; w21 = 0,5 ; W22 = 0; WJ3 = 0,5;
2gS2
W24 = 0; p; s dP,; q; э dQ,; P2 ^ dP2; Or2 = dQ2;
P3 sdP3; Q'3 sdQ3.
Решение задач синтеза и анализа гидроприводов невозможно осуществлять без их математических моделей, которые необходимо составить для каждой новой системы. Процесс составления математических моделей гидроприводов является достаточно трудоемкой задачей, однако современная вычислительная техника позволяет формализовать этот процесс и возложить его на ЭВМ.
Библиографический список
1. Алексеева Т.В., Щербаков B.C., Воловиков Б.П. Математическое моделирование элементов гидроприводов строительных и дорожных машин. Методические указания // Омск.: СибАДИ, 1986. - 34 с.
2. Беренгард Ю.Г. , Гайцгори М.М. Синтез уравнений произвольных систем гидропривода на ЭВМ / / Автоматизация расчетов строительных и дорожных машин. — М„ ВНИИстрой-дормаш, 1977. - № 75 . - С. 14-29 .
3. Васильченко В.А. Гидравлическое оборудование мобильных машин: Справочник. - М.: Машиностроение, 1983. -302 с.
4. Расчет и проектирование строительных и дорожных машин на ЭВМ / Под ред. Е.Ю. Малиновского. — М.: Машиностроение, 1980. — 216 с.
5. Щербаков B.C., Бирюков С.Т. Математическое описание гидроприводов как многомерных динамических объектов // Управляемые механические системы: Сб. науч. тр. — Иркутск.: ИПИ, 1985. - С. 64-70.
(38)
ЩЕРБАКОВ Виталий Сергеевич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Автоматизация производственных процессов и электротехника», декан ТТМ Сибирской автомобильно-дорожной академии.
МИНИТАЕВА Алина Мажитовна, кандидат технических наук, доцент кафедры «Прикладная математика и информационные системы» Омского государственного технического университета.
Статья поступила в редакцию 04.12.06 г. © Щербаков В. С., Минитаева А. М.
