CC BY
34
Оригинальная статья / Original article УДК 004.94
DOI: 10.21285/1814-3520-2017-9-95-103
АВТОМАТИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА ПОСТРОЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СТОХАСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
© Ю.П. Хрусталёв1, И.А. Серышева2
Иркутский национальный исследовательский технический университет, Российская Федерация, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬ. Работа направлена на повышение точности воспроизведения единиц времени и частоты за счет использования прогнозирующих моделей (моделей авторегрессии-скользящего среднего (АРСС)). Существующая в настоящее время методика построения моделей АРСС основана на интерактивных процедурах, что требует участия высококвалифицированных специалистов, и препятствует внедрению алгоритмов оптимальной фильтрации в практическую деятельность служб времени. МЕТОДЫ. Использованы методы анализа временных рядов, построения моделей АРСС, основы выпуклого анализа. РЕЗУЛЬТАТЫ. Предложен подход, позволяющий полностью формализовать процедуру построения моделей. Приведено доказательство теоремы, позволяющей рассматривать задачу оптимизации процесса подгонки параметров модели по эмпирическим данным как задачу поиска безусловного экстремума, что существенно сокращает время решения данной задачи. ВЫВОДЫ. Формализованная методика построения моделей АРСС, предложенная авторами, позволит решить проблему полной автоматизации процесса построения моделей временных рядов по эмпирическим данным и снизить погрешность воспроизведения единиц времени и частоты групповыми эталонами до 30%.
Ключевые слова: модели временных рядов, выпуклый функционал, поиск безусловного экстремума, групповые эталоны.
Формат цитирования: Хрусталёв Ю.П., Серышева И.А. Автоматизация процесса построения динамических стохастических моделей // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2017. Т. 21. № 9. С. 95-103. DOI: 10.21285/1814-3520-2017-9-95-103
AUTOMATION OF DYNAMIC STOCHASTIC MODEL CREATION PROCESS Yu.P. Khrustalev, I.A. Serysheva
Irkutsk National Research Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk 664074, Russian Federation.
ABSTRACT. The PURPOSE of the work is to increase the reproduction accuracy of units of time and frequency due to the use of predictive models (autoregression models of moving average (ARMA)). The current methodology of ARMA model creation is based on interactive procedures. This demands the participation of highly qualified specialists and blocks up the introduction of optimum filtration algorithms in time service practice. METHODS. The methods of the time series analysis, ARMA model creation and the bases of the convex analysis are used. RESULTS. An approach is proposed that allows the complete formalization of the model creation procedure. The provided theorem proof enables to consider the optimization problem of model parameter adjustment by empirical data as a problem of unconditional extre-mum search that significantly reduces the solution time of this problem. CONCLUSIONS. The formalized methodology of ARMA model creation introduced by the authors will allow to solve the problem of full automation of the process of time series model creation by empirical data and to lower the reproduction error of units of time and frequency by group standards up to 30%.
Keywords: time series models, convex functional, search for an unconditional extremum, group standards
For citation: Khrustalev Yu.P., Serysheva I.A. Automation of dynamic stochastic model creation process. Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2017, vol. 21, no. 9, pp. 95-103. (In Russian) DOI: 10.21285/1814-3520-2017-9-95103
1
1Хрусталёв Юрий Петрович, кандидат технических наук, доцент кафедры вычислительной техники, e-mail: [email protected]
Yuri P. Khrustalev, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Computing Engineering, e-mail: [email protected]
2Серышева Ирина Анатольевна, старший преподаватель кафедры автоматизированных систем, e-mail: [email protected]
Irina A. Serysheva, Senior Lecturer of the Department of Automated Systems, e-mail: [email protected]
Введение
Из всех физических величин наиболее точно воспроизводятся и хранятся единицы времени и частоты (ВиЧ). Для повышения надежности хранения этих величин их эталоны реализованы в виде групповых эталонов, в состав которых входит группа однотипных мер (допускается и разнотипных). Основу отечественных эталонов ВиЧ составляют квантомеханические генераторы периодических сигналов - водородные стандарты.
В процессе хранения производятся
периодические измерения разностей частот генераторов, входящих в состав эталона (процесс сличения частот). Вследствие нестабильности частота меняется в течение времени. Несмотря на малые отклонения (относительное отклонение частоты современных эталонов на суточном интервале составляет несколько единиц пятнадцатого знака) необходимо оценивать величину этого отклонения для внесения соответствующей поправки к показаниям часов эталона.
Оценка вектора состояния эталона ВиЧ методом наименьших квадратов
Так как шкала времени формируется непрерывно, эталон ВиЧ можно рассматривать как динамическую систему. Задача обработки измерительной информации заключается в оценивании состояния эталона по результатам измерений [1]. Измерительная система эталонов реализована по принципу «каждый с опорным». При этом один из генераторов выбирается в качестве опорного, частоты всех остальных сравниваются с частотой опорного.
Введем следующие обозначения [1]: к
у1 - значение частоты /-го генератора на к-ом такте обработки данных (к-е сутки);
^ = Ук ~Ук (будем считать, без потери общности результатов, что опорным является первый генератор,} - номер генератора, с которым сличается частота опорного. ¡=2,.,п);
п - число генераторов в групповом эталоне;
ук = ^укук] - вектор состояния
эталона на к-ом такте (интервале).
Поскольку в дальнейшем рассматривается только текущий такт обработки данных, индекс к будем в ряде случаев опускать.
Т = [ z1,..., - вектор измерений;
A=
l -l о ... о l о -l ... о 1 о о ... -1
- матрица
измерений.
Задача оценивания состояния в этом случае сводится к решению уравнения [2]
Т = ЛУ. (1)
Ввиду того что ранг матрицы Л меньше размерности вектора состояния У , система уравнений (1)недоопределенная и имеет бесчисленное множество решений [2]. Попытка использовать схему сличений «каждый с каждым» не имеет принципиального преимущества, позволяя лишь уменьшить погрешность измерительной системы. Для нахождения единственного решения системы уравнений (1) необходимо привлечение дополнительной информации. В качестве такой информации можно рассматривать требование отыскать решение с минимальной нормой вектора У. У - оценка вектора У, т.е. результат решения матричного уравнения (1). В этом случае решение находится с помощью псевдообратной матрицы [2]. При этом составляющая у - оценка частоты опорного генератора, равна
1n
y =-Хz .
n i=2
(2)
Иногда для удобства обозначений [1] вводят фиктивное измерение = У ~У = 0, что не меняет сути дела, но
позволяет более удобно индексировать величины г и у в уравнении (2).
Использование прогнозов в задачах оценивания вектора состояния эталонов ВиЧ
Если в качестве дополнительной информации рассматривать прогнозы составляющих вектора У, т.е. учитывать динамические свойства объекта, то оценка частоты опорного генератора найдется из соотношения
У1
n
■I» ( z+У, (1)).
,=1
(3)
В выражении (3), если учитывать сделанное выше замечание о фиктивном измерении = 0, индексирование ведется
с 1 до п. Алгоритмы, основанные на использовании выражения (3), относятся к классу субоптимальной фильтрации.
В формуле (3) & - вес /-го измерения. Обычно вес берется равным обратной величине дисперсии прогнозов. При этом сумма весов должна равняться 1 (условие несмещенности алгоритма [3]).
Вычитая из величины У значение
ее оценки, найденное по формулам (2) и (3), получим погрешность оценок:
1 п
8у\=- Е у ; (4)
П~-
п
& (У-+У (1)). (5)
г=1
Из выражений (4) и (5) видно, что оценка (3) - несмещенная, а оценка (2) -асимптотически несмещенная.
При больших п, т.е. при большом числе мер времени, входящих в состав группового эталона, 8у\ становится весьма
малой. Вероятно поэтому у некоторых специалистов сложилось убеждение, что применение более сложных алгоритмов, нежели алгоритмы среднего и взвешенного среднего, не дает существенных преимуществ. В отечественных эталонах число водородных стандартов невелико (4-5 генераторов). В этом случае использование прогнозирующих моделей может привести к значительному уменьшению погрешности оценивания вектора состояния. По результатам исследований, выполненных в различных организациях, такое снижение погрешности может составлять 20-30%3,4 [4].
Кроме того, использование выражения (5) можно рассматривать как теоретическое подтверждение предложения оценивать нестабильность частоты как меру ее непредсказуемости.
Таким образом, следует считать целесообразным в системах обработки данных, получаемых в процессе функционирования эталонов ВиЧ, опираться на алгоритмы оценивания состояния, использующие динамические свойства процессов изменения частоты.
Математические модели, адекватно описывающие такие процессы - стохасти-
Подогова С.Д. Разработка алгоритмов формирования выходного сигнала группового эталона единиц времени частоты: дис. ...канд. техн. наук: 05.11.15. Нижний Новгород, 2016. 168 с. / Podogova S.D. Development of output signal formation algorithms of time and frequency unit group standard: Candidate's Dissertation in technical sciences: 05.11.15. Nizhny Novgorod, 2016. 168 p.
4Карауш А.А. Разработка и исследование алгоритмов оценивания текущих навигационных параметров спутников ГНСС по данным беззапросных траекторных измерений: дис. ... канд. техн. наук: 05.12.14. Красноярск, 2017. 125 с. / Karaush A.A. Development and study of estimation algorithms of current navigation parameters of GNSS satellites according to zero-point trajectory measurement data: Candidate's Dissertation in technical sciences: 05.12.14. Krasnoyarsk, 2017. 125 p.
ческие динамические модели - модели авторегрессии скользящего среднего (АРСС) [5]. Такие модели строятся на этапе статической обработки данных, когда считается, что все исходные данные, полученные до настоящего момента времени, находятся в распоряжении исследователя [1]. В таких моделях текущее значение члена ряда ук может быть представлено как взвешенная сумма предшествующих членов и случайных чисел а/к, подчиняющихся нормальному распределению:
ук = ф Ук' + ... + ?рук-р +
+ак -61(ак-1-62;ак-2 -... -6?а\~ч,
где фь,фъ,...фр - коэффициенты авторегрессии (АР) для /-го генератора; 6,62,...,6д - коэффициенты скользящего
среднего (СС) для /-го генератора; р и q - порядки АР и СС соответственно [5]. Задача статической обработки данных заключается в нахождении параметров прогнозирующих моделей в, доставляющих минимум функционалу:
N п ~
оо=1ИХ - zk (1)],
к=1 ¡=1
где N - длина временного ряда;
Zki (1) - прогноз измерения zi¡ на один шаг
вперед, вычисленный на предыдущем такте.
Вектор рг=[Ф:0];Ф - вектор параметров АР; 0 - вектор параметров СС. Причем значения параметров ф,ф,...,ф
лежат в области устойчивости, т.е. при этих значениях ряды прогнозов
У (к ) = ф ук-1 + ф2ук-2 +... + фрук- не расходятся [5]. Коэффициенты скользящего среднего 9Х,..,6 должны лежать в области
обратимости (ряды прогнозов назад не расходятся).
Методика построения моделей АРСС детально разработана Боксом и Дженкинсом. Имеется программная реализация этой методики [6]. Однако специфика
рассматриваемой задачи не позволяет непосредственно использовать эту методику (и, следовательно, ее программную реализацию):
1. Методика Бокса - Дженкинса основана на разделении процедур идентификации структуры модели и подгонки их параметров к эмпирическим данным. Такое разделение предполагает интерактивный подход к процедуре и, следовательно, участие специалистов, имеющих достаточный опыт построения моделей АРСС.
2. Процедура идентификации основана на понятии похожести выборочных автокорреляционной и частной автокорреляционной функций их теоретическим аналогам. Естественно, понятия похожести и непохожести сложно охарактеризовать количественно, т.е. это трудно формализовать.
3. Методика Бокса - Дженкинса предполагает наличие исходных временных рядов, которых в распоряжении исследователя в нашем случае не имеется.
4. Ряды измерений могут содержать так называемые выбросы, т.е. измерения, результаты которых резко отличаются от подавляющего большинства остальных «нормальных» данных.
5. Частота водородных стандартов может меняться скачком, т.е. содержать ступенчатые функции, амплитуды и моменты возникновения которых - случайные величины.
6. Во временных рядах могут присутствовать детерминированные тренды.
Перечисленные выше факторы затрудняют разработку полностью формализованной методики построения динамических стохастических моделей по эмпирическим временным рядам. Во всяком случае, авторы данной статьи, имея многолетний опыт работы с временными рядами, с подобными исследованиями не встречались.
Разработчики методики идентификации понимали, что она не может дать однозначного ответа на вопрос о структуре модели. Поэтому рекомендовали дополнительно исследовать несколько вариантов моделей.
Формализованная методика построения прогнозирующих моделей
Авторы настоящей работы, опираясь на опыт построения прогнозирующих моделей процессов изменения частоты водородных стандартов, предлагают отказаться от процедуры идентификации, заменив ее последовательным анализом всех возможных комбинаций в заданном диапазоне изменений порядков р и q. В ранее проведенных исследованиях показано, что порядок АР не превышает трех (р < з),
а порядок СС - двух (# < 2) [4]. Поскольку
предполагается, что детерминированные тренды были исключены из временных рядов, порядок разности полагается равным нулю. При изменении величин р и q от нуля до трех и двух соответственно получается 11 возможных структур прогнозирующих моделей, параметры которых следует подогнать по эмпирическим данным. Т.е. время решения оптимизационных задач неизбежно возрастает. Следовательно, необходимо применять алгоритмы оптимизации, обладающие высоким быстродействием (например, метод сопряженных градиентов). В работе [3] предлагается минимизировать сумму квадратов ошибок прогнозов измерений ^ (1) от реально
наблюдаемых значений, т.е. функционал (6). Однако, если использовать метод перебора всех возможных структур модели, то даже для результатов измерений, полученных на одном такте обработки, задачу оптимизации потребуется решать 121 раз. Если в состав группового эталона входит 5 водородных генераторов, то п=5 на каждом такте обработки данных и, соответственно, при построении модели оптимизационную задачу необходимо решать более 500 раз. Поэтому для практического применения методики, основанной на переборе возможных структур прогнозирующих моделей, необходимо решить проблему увеличения быстродействия алгоритма. С этой целью предлагаются следующие подходы:
1. Разбить процедуру построения моделей на два этапа. На первом этапе провести построение рядов оценок частот
У , получаемых с использованием псевдообратной матрицы, т.е. оценок метода наименьших квадратов по формуле (2). Методом перебора возможных структур построить прогнозирующие модели по полученным временным рядам. Данные модели (точнее, параметры структуры и оценки параметров, т.е. вектор р), используются в качестве начальных приближений при оптимизации функционала ^.
2. Несложно показать (доказательство приведем ниже), что функционал ^ (р) при значениях коэффициентов в области допустимых значений - выпуклый. Поэтому, если начальные значения коэффициентов лежат в области допустимых значений (например, равны нулю), то итерационный процесс сходится к точке локального экстремума. Следовательно, можно при построении прогнозирующих моделей использовать численные методы поиска безусловного экстремума, например, обладающий высокой сходимостью метод сопряженных градиентов.
Докажем теорему: если параметры прогнозирующих моделей принадлежат области допустимых значений, то функционал ^ (р) - выпуклый.
Доказательство. Рассмотрим простейшую прогнозирующую модель - модель авторегрессии первого порядка. Прогноз на один шаг вперед вычисляется в этом случае по формуле ук = ^у*-1. Коэффициент < 1, значения ряда ук
ограничены, так как модели авторегрессии строятся для стационарных рядов. Ошибка прогноза, Аук = ук -ук-1 - также величина, ограниченная снизу и сверху. Ограниченным является и квадрат этой величины
(Лук)2. Ограниченными (сверху и снизу)
являются разности результатов измерений
_к
, выполненных на каждом такте, и их прогнозов ^ (1). Квадраты этих величин
также ограничены. Следовательно, функционал ^ (р) также является ограниченной величиной, так как число членов временного ряда N ограничено. Поскольку текущее значение вектора параметров в выбиралось из области допустимых значений произвольно, то полученный результат справедлив и для любой другой точки из этой области.
Рассмотрим две точки этого пространства - в1 и в2- Проведем через эти точки прямую Ь = ЛД(1 , 0<А<1. Значение функционала для любых двух точек на этой прямой также ограничено.
Теперь дадим некоторое приращение Лф параметру ф. Приращение прогноза Лук (1) для к-го члена ряда у также
будет ограниченным, поскольку ряды, для которых строятся модели авторегрессии, стационарны. Это приращение равно Лфук-1. При стремлении Лф к нулю Лук (1) также стремится к нулю. Так как результаты измерения г\ на каждом такте обработки данных равны разности г = у - у,
то и приращение Аzi при стремлении Лф и Аф к нулю также стремится к нулю.
Расширение полученных результатов на случай моделей авторегрессии порядка р может быть получено с помощью
Выделение стационарной сост
Все этапы построения моделей, описанные выше, применяются только к стационарным (стационарно-разностным) временным рядам. Как указывалось выше, частоты водородных стандартов могут изменяться скачком.
Задачу идентификации скачков частоты можно рассматривать как задачу обнаружения выбросов в рядах первых разностей (т.е. в рядах Лук = ук -ук-1). Напомним, что под скачком будем понимать значение Лк >>М^[Лугк] . Величина М подбирается экспериментально,
аналогичных рассуждений и не требует дополнительных пояснений.
Доказательство ограниченности и непрерывности функционала ^ (р) для
моделей скользящего среднего проводится аналогично, необходимо только вместо «прогнозов вперед» рассматривать «прогнозы назад», а вместо ограниченности рядов у рассматривать ограниченность рядов ак (где ак - ошибки прогнозов).
Таким образом, доказано, что для параметров авторегрессии, принадлежащих области устойчивости, и параметров скользящего среднего, принадлежащих области обратимости, функционал ^ (р) выпуклый. Доказательство теоремы
для моделей АРСС следует из известного положения выпуклого анализа: объединение выпуклых множеств есть множество выпуклое [7].
Следствием указанной теоремы является тот факт, что при выборе начального приближения из области допустимых значений коэффициентов АР и СС можно искать оптимальные значения параметров прогнозирующих моделей любыми методами (в том числе и градиентными) без учета ограничений, так как итерационные процедуры сходятся к локальному экстремуму.
щей в рядах значений частоты
ст[Лугк ] - среднее квадратическое отклонение (СКО) значений ряда первых разностей. Очевидно, что при достаточно малых значениях М (например, при М=3) в процесс статической обработки (т.е. в режиме накопления) скачки частоты будут фиксироваться значительно чаще, чем при больших М. Если выбрать малые значения М, то стационарная составляющая процесса изменения частоты будет более гладкой, т.е. иметь меньшую величину остаточной дисперсии. Следовательно, измерение гк = ук - ук получит больший вес при
нахождении оценки частоты опорного генератора yk . Однако при динамической обработке данных (т.е. в режиме реального времени) будет зафиксировано большее число скачков. Напомним, что при скачке частоты вес измерения zi полагается равным нулю. Трудно теоретически обосновать выбор оптимальной величины M, но при визуальном анализе графиков рядов изменения частоты скачки частоты идентифицируются достаточно уверенно. При экспериментальной проверке работоспособности программы, реализующей предложенный алгоритм, получены результаты, хорошо согласующиеся с результатами неформализованной методики, при M е [б, 8]. Оценка среднего квадратиче-
ского отклонения ряда первых разностей вычисляется по формуле помехоустойчивого оценивания [8]:
Л med\yt - med y|
а" 0.6784 '
Работоспособность алгоритма идентификации скачков частоты водородных стандартов проиллюстрирована на рисунке, где представлено три графика. На первом показан исходный ряд СС первого порядка (коэффициент СС равен 0,35, СКО псевдослучайного шума -0,01), наложенный на «ступенчатую» функцию (значения её генерируются равномерным распределением случайных величин в интервале от 0,3 до 0,8 с вероятностью её изменения 0,03). Второй график демонстрирует результат работы алгоритма - выделенный ряд б1 (ступенчатую функцию), третий -выделенный процесс скользящего среднего из исходного ряда (первый график). В результате работы алгоритма исходный временной ряд разделен на ступенчатую функцию и стационарный процесс. На графиках ось значений рядов масштабирована в соответствии со значениями - для первых двух графиков масштаб больше, чем для последнего, так как амплитуда отклонения ступенчатой функции намного больше дисперсии процесса скользящего среднего.
о
Исходный ряд процесса скользящего среднего, наложенный на ступенчатую функцию (а); выделенная ступенчатая функция (b); выделенный процесс скользящего среднего (c) Original series of the moving average process superimposed on a step-function (a); distinguished step-function (b); distinguished moving average process (c)
В отличие от методики Бокса -Дженкинса все описанные выше процедуры поддаются полной формализации, что позволило реализовать их в виде отдельных программ, работоспособность которых проверена с помощью машинных экспериментов.
Дальнейшее направление работ по реализации изложенной методики заключается в создании единого программного комплекса, что, конечно же, представляет собой серьезную и весьма трудоемкую работу.
Заключение
В статье рассмотрена проблема создания формализованной методики построения динамических стохастических моделей (АРСС). Оценки вектора состояния недоопределенных динамических стохастических систем имеют меньшую погрешность, чем соответствующие оценки метода наименьших квадратов, если в алгоритмах оценивания учитываются динамические свойства объекта. Динамика систем может быть учтена за счет использования прогнозов вектора состояния, вычисленных на предыдущем такте обработки данных. В качестве прогнозирующих моделей используются модели временных рядов - модели АРСС. В настоящее время для построения моделей АРСС по эмпирическим данным используется методика Бокса - Дженкинса.
В работе показано, что существующая методика опирается на использование интерактивных процедур, что требует участия высококвалифицированных специалистов. Авторами предложен подход, позво-
ляющий полностью формализовать процедуру построения моделей. Поскольку предложенная методика опирается на процедуру перебора возможных структур моделей, требуется многократное решение задачи оптимизации процесса подгонки параметров модели по эмпирическим данным. Приведено доказательство теоремы, позволяющей рассматривать задачу построения вектора параметров модели как задачу поиска безусловного экстремума.
Рассмотрена процедура выделения стационарной составляющей временного ряда из рядов значений частоты, содержащих ступенчатую функцию и детерминированные тренды.
Показано, что программный комплекс, реализующий предложенную методику, позволяет решить проблему полной автоматизации процесса построения моделей временных рядов по эмпирическим данным.
Библиографический список
1. Хрусталёв Ю.П. Статическая и динамическая обработка данных, получаемых в процессе ведения эталонов времени частоты // Измерительная техника. 2004. № 6. С. 20-23.
2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 576 с.
3. Эльясберг П.Е. Определение движения по результатам измерения. 2-е изд. М.: Либроком, 2011. 416 с.
4. Хрусталёв Ю.П., Акулов В.М., Ипполитов А.А., Курышева Л.Н. Обработка данных, полученных по результатам взаимных измерений вторичного эталона времени и частоты // Вестник ИрГТУ. 2012. № 7 (66). С. 22-28.
5. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов, прогноз и управление; в 2 кн.; пер. с англ.; под ред.
B.Ф. Писаренко. М.: Мир, 1974. Кн. 1 - 406 с.; кн. 2 - 197 с.
6. Боровиков В. П. Популярное введение в современный анализ данных в системе 8ТЛТ!8Т!СЛ. М.: Горячая линия-Телеком, 2013. 267 с.
7. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы / пер. с англ. Т.Д. Березне-вой, В.А. Березнева. М.: Мир, 1982. 583 с.
8. Хрусталёв Ю.П., Серышева И.А., Лузгин В.А., Ступина Е.А. Идентификация скачков частоты водородных стандартов // Вестник ИрГТУ. 2016. № 6.
C. 107-113.
References
1. Khrustalev Yu.P. Static and dynamic processing of data obtained through time frequency standards. Iz-meritel'naya tekhnika [Measurement technique]. 2004, no. 6, pp. 20-23. (In Russian)
2. Gantmakher F.R. Teoriya matrits [Theory of matrices]. Moscow: Nauka Publ., 1966, 576 p. (In Russian)
3. El'yasberg P.E. Opredelenie dvizheniya po rezul'ta-tam izmereniya [Determination of motion based on measurement results]. Moscow, Librokom Publ., 2011, 416 p. (In Russian)
4. Khrustalev Yu.P., Akulov V.M., Ippolitov A.A., Kurysheva L.N. Processing data obtained as a result of reciprocal measuring of secondary standard of time and frequency. Vestnik IrGTU [Proceedings of Irkutsk State Technical University]. 2012, no. 7 (66), pp. 22-28. (In Russian)
5. Boks Dzh., Dzhenkins G. Analiz vremennykh ryadov,
Критерии авторства
Авторы заявляют о равном участии в получении и оформлении научных результатов и в равной мере несут ответственность за плагиат.
Конфликт интересов
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Статья поступила 05.07.2017 г.
prognoz i upravlenie [Time series analysis, forecast and control]. In 2 books. Moscow: Mir Publ., 1974. Book. 1 - 406 p.; Book. 2 - 197 p.
6. Borovikov V. P. Populyarnoe vvedenie v sovremen-nyi analiz dannykh v sisteme STATISTICA [Popular introduction to modern data analysis in STATISTICA system]. Moscow: Goryachaya liniya-Telekom Publ., 2013, 267 p. (In Russian)
7. Bazara M., Shetti K. Nelineinoe programmirovanie. Teoriya i algoritmy [Nonlinear programming. Theory and algorithms]. Moscow: Mir Publ., 1982. 583 p.
8. Khrustalev Yu.P., Serysheva I.A., Luzgin V.A., Stupi-na E.A. Identification of hydrogen standard frequency hopping. Vestnik IrGTU [Proceedings of Irkutsk State Technical University]. 2016, no. 6, pp. 107-113. (In Russian)
Authorship criteria
The authors declare equal participation in obtaining and formalization of scientific results and bear equal responsibility for plagiarism.
Conflict of interests
The authors declare that there is no conflict of interests regarding the publication of this article.
The article was received 05 Jule 2017
