Автоколебания в системе струна-смычок Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика

УДК 531.391

АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМЕ СТРУНА-СМЫЧОК В. Г. Вильке1, И. J1. Шаповалов2

Исследуются колебания тонкой растянутой струны (стержня), по которой скользит с постоянной ортогональной к ней скоростью смычок. Взаимодействие смычка и струны определяется гладким законом трения с падающим участком характеристики. Движение системы описывается бесконечной системой связанных друг с другом обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. Получены усредненные уравнения движения в канонических переменных действие—угол, найдены стационарные точки, соответствующие автоколебательным режимам, и исследована их устойчивость.

Ключевые слова: автоколебания струны, нелинейное вязкое трение, метод усреднения, устойчивость.

The oscillations of a thin stretched string is studied in the case when a bow slides on it with a constant velocity orthogonal to the string. The interaction between the bow and the string is governed by a smooth nonlinear law of friction with a falling segment of the characteristic. The motion of this mechanical system is described by an infinite coupled system of nonlinear ordinary differential equations. Some averaged equations of motion are derived in terms of the action-angle variables. The stationary points corresponding to self-oscillation regimes are found. The stability of these regimes is analyzed.

Key words: self-oscillations of a string, nonlinear viscous friction, averaging method, stability.

1. Модель взаимодействия струны со смычком и уравнения движения. Волновые и автоколебательные процессы в системах с конечным или бесконечным числом степеней свободы рассматривались в работах [1-7].

В качестве модели струны рассмотрим тонкий упругий стержень, испытывающий продольные и из-гибные деформации. Пусть стержень в деформированном растянутом состоянии расположен вдоль оси Ох и u(s,t), 0 s ^ I, — отклонения его точек вдоль оси Оу. Движение стержня происходит в плоскости Оху. Концы стержня шарнирно закреплены в точках на оси Ох с координатами s = 0is = l. Кинетическая и потенциальная энергии деформированного стержня представляются в виде [8]

i I

T = ^Jù4s, TL = y (NlU>2 + N2u"2) ds, ù = u' = «" = 0- (1)

о 0

Здесь p — линейная плотность материала стержня; N\, N2 — натяжение и изгибная жесткость стержня соответственно. Будем предполагать, что материал стержня обладает диссипативными свойствами, описываемыми диссипативным функционалом Рэлея [1]:

о

где % — коэффициент, определяющий диссипативные свойства материала струны.

Пусть в точке с координатой so на стержень действует сила pF, направленная по оси Оу. Сила pF, моделирующая взаимодействие смычка со струной, представляется в виде [6]

pF (V) = pf (V - 9lV3 + g2V5) , V = v-ù(sQ,t). (2)

Здесь v — скорость смычка, движущегося поступательно вдоль оси Оу, / — постоянный коэффициент. В дальнейшем скорость смычка будем считать постоянной на некотором отрезке времени. Коэффициенты <7i, <72 в формуле (2) постоянны и выражаются через две другие константы V\ и V2 следующим образом:

1 Вильке Владимир Георгиевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: polenova_t.niQmail.ru.

2Шаповалов Иван Леонидович — асп. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:

nazarovich 90Qmail.ru.

Функция Р (V) в области V ^ 0 имеет положительный максимум при V = У\ и положительный минимум при V = V}• Производная Р'(V) положительна при и € [0, У^и (^2, оо) и отрицательна при и € У). Закон трения (2) можно охарактеризовать как нелинейную модель вязкого трения, аппроксимирующую закон сухого трения, когда трение покоя превосходит трение скольжения. Преимущество принятой модели, не имеющей зон "застоя", состоит в том, что она задается гладкой функцией, в которой отсутствуют модули относительных скоростей двух тел в точках контакта, что значительно облегчает исследование движений систем с сухим трением.

Уравнения движения и динамические граничные условия получим из вариационного принципа Га-мильтона-Остроградского

Т I

J 5Т - 5И + рР5и(,в0,£) + !\7й05и(8,г)й8 сМ = 0, о о

V 5и (в, ¿), 5и (0, ¿) = 5и (I, г) = 0

в виде

д2и ( д\(н1д2и д4и\

и" (0, ¿) = и" (I, = 0.

Конфигурационным пространством системы является гильбертово пространство Н2 = :

и" (в, I) € ¿2 ([0,1]), и (0, ¿) = и (I, ¿) = О}, а пространство скоростей определяется как подпространство суммируемых вместе со своим квадратом функций Но = {й (в, ¿) : й (в, ¿) € ¿2 ([0,1]) , и (0, ¿) = и (I, ¿) = 0}. В этих пространствах выберем ортогональный базис {1рк(8)} 1°) 'Фк^) = х/^А ^ттткз^1, удовлетворяющий условиям

2тг

IФг (8)гру (з)(18 = бгу, о

где ¿¿у — символ Кронекера. Представим функцию и(,в,1) в виде

оо

гф,*) = (4)

к=1

Из условия существования функционалов кинетической и потенциальной энергий (1) следует сходимость рядов

оо оо

к=1 к=1

Получим выражения для кинетической и потенциальной энергий и диссипативной функции, используя обобщенные координаты Лагранжа q = (д\, д2, ■ ■ ■) и представление (4):

1^.2 „ 1^22 п Х^ 2-2 2 ^к2 , М2 № = П 1 = ^=2 Vк = 2 + 4 . (5)

к= 1 к= 1 к—1

В выражениях (5) опущен множитель р. Далее из выражения элементарной работы силы (2) на возможных перемещениях

оо оо

5А = Р(У)^2ШкЫ, Ьо-^АЫ, Р (V) = / (V - д2У3 + д2У5)

к=1 п=1

18 ВМУ, математика, механика, № 1

получим обобщенные силы Qк = F (У)фк(8о), к = 1,2,..., и запишем уравнения движения системы в форме уравнений Лагранжа второго рода

оо

qk+XvUk + vfak = f^k(so)(y-g1V3+g2V5), V = v - ^ qnipn (s0), к = 1,2,.... (6)

п= 1

Уравнения (6) являются бесконечной системой нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка в обыкновенных производных. Механическую систему, которой соответствуют уравнения (6), можно трактовать как бесконечную систему гармонических осцилляторов, связанных друг с другом нелинейными силами вязкого трения.

Определим величины qkо из соотношений vkqkо = 1Фк (so) {v ~ 91^3 + 92V5) и, обозначая разность Qk — Qko по-прежнему через qk, представим уравнения (6) в виде

Qk + wlük + v\(lk = ¡Фк (so) [V-v-дг (V3 - v3) + g2 (V5 -v5)],

oo ^

V = v-^qnif>n(s о), к = 1,2,....

n= 1

Для исследования динамики системы, описываемой уравнениями (7), перейдем к каноническим переменным действие-угол

ÍPk,qk) (1к,<Рк), Рк = йк = V2IkVk eos <рк, qk = л/21к/ик sin<pk.

Тогда гамильтониан H = YlkLi (Рк + ик^к) примет вид К = YlkLi vk¡k < оо. Запишем уравнения движения в виде канонических уравнений Гамильтона с обобщенными силами [8]:

Ík = -2x^/fccosVfc + [F (V) - F (у)]фк (so) (2Ik/uk)1/2 eos <pk,

(8)

Фк = ^к + eos (pk sin (pk - [F (V) - F (v)] фк (s0) (2Ikuk)~1/2 sin <pk,

где

oo

V = V ~ фп (so) \/2Invn eos tpn, к = 1,2,....

n= 1

Если для какого-то номера к функция <рк (so) = 0, то соответствующее уравнение в системе (7), отделяемое от остальных уравнений, описывает затухающие собственные колебания по переменной qk.

2. Автоколебания в системе струна—смычок. Система уравнений (8) имеет стандартный вид для применения метода усреднения по быстрым переменным (ip\, íp2,...). Поскольку полная энергия системы ограничена, то ряд ^fcli vk¡k сходится и 1к < Ък~3~а, где константа b ограничена, а а > 0. Будем предполагать, что скорость смычка относительно струны ограничена: V < оо. Ряд, определяющий скорость V в соотношениях (8), сходится, и 1к < , где положительная константа с ограничена, а /3 > 0. Отсюда

следует, что правые части уравнений системы (8) являются малыми величинами, если малы коэффициенты X и /, определяющие законы внутреннего трения в стержне и трение при взаимодействии смычка со стержнем.

Предположим, что собственные частоты колебаний стержня vk, к = 1,2,..., независимы. Это означает, что линейная комбинация ткик, где тк — целые числа, обращается в нуль для любого N только при тк = 0, к = 1,..., N. Применив операцию усреднения по угловым переменным (ipíp2,...) к уравнениям (8), получим

Zk — ~x^kZk + —jr~ Zk lbvk

oo

-8 (1 - 39lv2 + 5g2v4) +6 (9l- 10g2v2) (zk + 2 J] Zra) - bg2 (Z2 +

njík njík njímjík

(9)

9k = vk, Zk = 2 Зкукф\ (s0), к = 1,2,... .

Операция усреднения состоит в вычислении среднего значения разложений соответствующих функций в бесконечномерные ряды Фурье

2тг 2тг

= Ит ТТГТга / ••• / О С1<р>1 . . . С1<£п. (10)

п^оо (27Г) .) .)

О О

После выполнения операции (10) переменные (1\, ...) заменяются переменными (...), а производные от переменных (ф\, ф2,...) во второй группе уравнений (9) — переменными {^вх, в2,.. . Как следует из второй группы уравнений счетной системы (9), производные угловых переменных вк совпадают с собственными частотами ик невозмущенной системы уравнений, описывающей гармонические колебания счетной системы независимых осцилляторов.

Ряды, стоящие в квадратных скобках первых уравнений (9), сходятся, так как

1

„1+/5'

п^к п^к п^т^к

1

пфтфк

п1+13т1+13->

где Ъ\ и /3 — положительные константы.

Используем соотношения (3) и представим первую группу уравнений системы (9) в виде

^к^к — —czk

где

п^к п^к п^к п^т^к

, к = 1,2,..., (11)

С = ¡/(16У2У2) >0, Ак = Ш^МГ1 + 8 {у2- V2) (<V2 - V2) , Е = У2 + V2 - 6V2.

Найдем стационарные решения уравнений (11). Очевидно, что их решением является набор 2к = 0, к = 1,2,... . Устойчивость нулевого решения исследуем на основе системы уравнений в вариациях. Оставляя в правой части уравнений члены, линейные по Zk, получим

икгк = -САкгк, к = 1,2,.... (12)

Система (12) распадается на счетную систему независимых дифференциальных уравнений первого порядка. Устойчивость нулевого решения зависит от знака коэффициента Ак: решение Zk = 0 устойчиво, если Ак > 0, и неустойчиво в противном случае. Коэффициенты Ак положительны, если V (Е (0,V!) и (У, оо), поскольку они равны суммам двух положительных слагаемых. Коэффициенты Ак зависят от V, и их минимумы по этой переменной равны

тт А* = Ш^УМГ1 - ^(У2 - V2)2.

0<1!<ОО

Поскольку собственные частоты ик растут, как к2, то минимум Ак становится положительным начиная с некоторого номера к = п. Функция Ак (г>) > 0 при к > п, и все нулевые положения равновесия Zk = 0, к > п, оказываются устойчивыми. Если п = 0, то нулевое положение равновесия устойчиво для всех нормальных форм колебаний стержня, что будет иметь место при достаточно большом коэффициенте внутреннего трения

Рассмотрим вопрос о существовании ненулевых колебаний струны, когда 2к ф 2п = § ^ п ф к. В этом случае выражение, стоящее в квадратных скобках в правой части уравнения (11), обращается в нуль:

Ак - 2Егк + г2к = о. (13)

Квадратное уравнение (13) имеет действительные корни Zjk = Е± л/Ок, ] = 1,2, если его дискриминант неотрицателен: Ик = Е2 — Ак ^ 0. Если при этом Ак < 0, то существует один отрицательный корень: 2\к < 0 и один положительный корень: 22к > 0. Нулевое решение теряет устойчивость, и возникает ненулевое стационарное решение 22к, которому отвечает автоколебательный режим с частотой колебаний ик. Устойчивость этого решения исследуется на основе уравнений в вариациях

икСк =^тЙт = —САт2т, т = 1,2,..., т ф к, С =

Отсюда следует, что возникший автоколебательный режим устойчив. Однако по другим модам нулевые решения могут оказаться неустойчивыми в зависимости от знака коэффициента Ат. Так как справедливы неравенства А\ < А2 < ... < Ак < ..., то по всем переменным автоколебательный режим будет устойчив, если он соответствует моде с низшей частотой, когда А\ < 0, а коэффициент Ат >0, т = 2,3,... .

Условия существования двух положительных корней квадратного уравнения (13) представляются системой неравенств

Бк >0, Ак> 0, V2 < (V,2 + У22) /6. (14)

Учитывая неравенство в соотношениях (3), получим из последнего неравенства системы (14) оценку скорости смычка V2 < V2. При этом условии Ак > 0, но дискриминант < 0, поскольку

(У]2 + У22 - 6^2)2 -8 (у2 - У]2) (у2 - У22) = 28у4 - 4 (V1 + У22) у2 - + У22)2 < 0

в области значений у2 < (V2 + У2) /6. Существование двух стационарных режимов невозможно.

Исследуем возможность существования устойчивых двухчастотных автоколебательных режимов, когда > 0 и > 0. Так как все остальные колебательные режимы должны отсутствовать — 0, 3 Ф к, ] ф т) и быть устойчивыми (А^ > 0), то устойчивые двухчастотные автоколебания возможны при значениях к = 1, т = 2, которым соответствуют А\ < А2 < 0. Система уравнений (11) в этом случае сводится к системе двух уравнений

и1г1 = -сг1 [лг - 2е (гг + 2^2) + г2 + бад + з^2],

(15)

г/2^2 = -Сг2 [А2 - 2Е (г2 + 22{) + 21 + + З^2] .

Ненулевые стационарные решения системы (15) удовлетворяют уравнениям

Ах - 2Е + 2^2) + + + З^2 = 0,

А2 - 2£ + 22{) + + 6^1 + З^2 = 0.

Далее получим

А2-Ах- 2Е - ^2) + 2 - ) = 0. (17)

Разность А2 — А1 пропорциональна коэффициенту который определяет рассеяние энергии в струне при ее колебаниях. Считая % малым, положим А2 — А\ = 0. Уравнение (17) справедливо, если а) = Ъ) + 22 = Е. В случае а из уравнений (16) найдем

/ / /

¿Л = ¿0 = ¿1

,, г0 = (\/9Е2 - 10А + 3Е) /10 > О, А^Аг^А2<0. (18)

В случае Ь система (16) не имеет решения, так как из нее следует уравнение — Z2) = А — Е2 < 0. Решение (18), описывающее автоколебания на двух частотах щ, г/2, неустойчиво. Запишем систему уравнений в вариациях

6 = -2С1^0 [(4Я0 -Е)Ь + 2 (Зг0 - Е) £2],

и представим ее в виде

6 = -2С2^о [(4^о -Е)& + 2 (З^о - Е) 6]

Ы! + + я) 6 + (Зл/9Е2 - А - я) & = 0,

г/2^ + ^9Е2 - А + я) & + (з^Ш^А - я) 6 = 0.

(19)

Здесь ^ = ~ & штрих означает дифференцирование по г = /Zot/(40У2У2). Характеристическое уравнение системы (19)

г/1 г/2 Л2 + (г/1 + г/2) (2л/9£2 - А + Е^ А - ЪлДЁР^А (лфЪЕ2 - А - 2Е^ = 0

имеет один положительный корень и один отрицательный, так как по теореме Виета произведение корней отрицательно, а их сумма положительна. Это означает, что особая точка системы дифференциальных уравнений (15) является седлом. Автоколебания струны на двух частотах неустойчивы. В зависимости от возмущений система перейдет к устойчивым автоколебаниям либо на частоте г/1, либо на частоте г/2. Если система стремится к автоколебаниям на низшей частоте, то во время переходного процесса наблюдаются колебания на основном тоне и затухающие колебания на частоте г/2. Область ^ 0, 22 ^ 0 на плоскости Z2) делится двумя сепаратрисами, одна из которых соединяет начало координат с особой

точкой [г0, г0), а другая приходит в особую точку из бесконечности, на две части. Каждая из частей является областью притяжения соответствующего одночастотного автоколебания. Две другие сепаратрисы соединяют особую точку ^о, Zo) с особыми точками (Zlo, 0) и (0, Z2o).

Покажем, что при % = 0 автоколебательный режим Z\ = ... = = ZoN >0, Zj = 0, ] = N + 1,...,

неустойчив, если N ^ 2. Здесь

= д = 8 _ ^ (1, _ ц2) < 0

Случай N = 2 рассмотрен выше. Запишем уравнения в вариациях для системы (11):

(М \ N

6 + + & + ( 12ДГ2 - 24ДГ + 54) £га = 0, к = 1,2,..., Ж,

пфк ) пфт (20)

Характеристическое уравнение системы (20) представляется в форме [9] /лг(А) =

а\ и . . . и V, (12 ■■ ■ и

и и .. .ан

N N N

о П (ак - и) + и П (ак ~ и) = 0.

к= 1 г=1 к^г

Здесь ак = ик\+(ам + 1),и = 2а:лг+12А— 24А+54. Многочлен Дг (Л) имеет вид (Л) = Ьмл +.. .+61Л+ Ьо, где коэффициенты Ь^ = + .. > 0. Найдем коэффициент Ьо = /лг (0) = (а — и[а+(А — 1) и],

где а = ам + 1 > 0 и а — и < 0. Если N четное, то Ьо < 0, и существует положительный корень характеристического уравнения. Следовательно, автоколебательный режим Z\ = ... = = ^ол? > 0 неустойчив. В случае нечетного N покажем, что коэффициент Ъ\ < 0. Имеем

= ^ = Х> (« " (а + N4) < 0.

к=1

Необходимое условие устойчивости не выполнено, так как один из коэффициентов характеристического уравнения отрицателен, и соответствующий автоколебательный режим неустойчив. Если коэффициент диссипации % ф 0, но мал, то исследуемый стационарный режим Z\ = ... = = ^ол? > 0 будет существовать для ограниченных значений N и будет неустойчивым, поскольку корни характеристического уравнения получат малые возмущения и останутся корни с отрицательными действительными частями.

Подведем итог анализа существования автоколебательных режимов струны и их устойчивости, когда в системе учитываются внутренние диссипативные силы. Автоколебательные режимы существуют в случае, когда скорость смычка находится в интервале (У\, на котором производная функции Р' (V) отрицательна. При этом коэффициент трения / должен быть достаточно большим, чтобы выполнялось условие А\ > 0 в соотношениях (12). Одночастотные устойчивые колебания струны существуют до тех пор, пока Ат остаются положительными. Заметим, что начиная с некоторого номера М коэффициенты Ак < 0 и автоколебательные режимы на соответствующих частотах отсутствуют. Все многочастотные автоколебательные режимы неустойчивы. Область = ^ 0,..., Zм-1 ^ 0} разбивается на области притяжения одночастотных устойчивых автоколебательных режимов. Переходный процесс к соответствующему одночастотному режиму сопровождается колебаниями струны на обертонах с затухающими амплитудами.

Если колебания струны начинаются из состояния покоя, то начальные условия для переменных Zk определяются соотношениями

^ (0) = Ы (г; - 91У3 + д2у5)2, к = 1,2,

То, в какую область притяжения попадает траектория движения, описываемого уравнениями (11), зависит от выбора точки на струне, в которой смычок взаимодействует со струной (значения грк («о))) и от скорости V. Представляется, что размеры области притяжения первой гармоники превосходят размеры

областей высших гармоник. Варьируя параметры so и v, можно менять начальные условия и соотношения амплитуд обертонов при переходном процессе, оставаясь в области притяжения, например, первой гармоники. Заметим, что значение собственной функции ф\ (so) > 0, если so € (0,1). Колебания на первом основном тоне всегда возбуждаются в начале переходного процесса. Последнее утверждение не справедливо для старших обертонов, т.е. может оказаться, что какой-то обертон будет отсутствовать, если Фк (So) = о.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 12-014)0536, 12-08-00637, 13—01— 00184) и ФЦП RFMEF 157714X0080.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Стретт Дж.В. (лорд Рэлэй). Теория звука. Т. 1, 2. 2-е изд. М.: ГИТТЛ, 1955.

2. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959.

3. Ланда П.С. Автоколебания в распределенных системах. 2-е изд. М.: Либроком, 2010.

4. Хизгияев C.B. Автоколебания двухмассового осциллятора с сухим трением // Прикл. матем. и механ. 2007. № 6. 1004-1013.

5. Pascal M. Dynamics and stability of a two degrees of freedom oscillator with an elastic stop //J. Comput. and Nonlinear Dynamics. 2006. 1, N 1. 94-102.

6. Вилъке В.Г., Шаповалов И.Л. Автоколебания двух тел с нелинейным трением // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2011. № 4. 39-45.

7. Сумбат,ов A.C., Юпин Е.К. Избранные задачи механики систем с сухим трением. М.: Физматлит, 2013.

8. Вильке В.Г. Теоретическая механика. 3-е изд. СПб.: Лань, 2003.

9. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Физматлит, 1962.

Поступила в редакцию 12.04.2013

УДК 511

ЭФФЕКТИВНЫЕ МАТЕРИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ СЛОИСТЫХ КОМПОЗИТОВ В ЛИНЕЙНОЙ МОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

А. Н. Емельянов1

Рассматривается постановка специальной краевой задачи, из решения которой находятся эффективные материальные функции в линейной моментной теории упругости. Представлена процедура нахождения эффективных материальных функций на примере слоистого композита, каждый слой которого изотропен.

Ключевые слова: осреднение, моментная теория упругости, эффективные материальные функции.

A special boundary value problem whose solution is used to find the homogenized material functions in the linear moment theory of elasticity is considered. A procedure for finding the homogenized material functions is discussed using an example of a composite laminate whose layers are isotropic.

Key words: homogenization, moment theory of elasticity, homogenized material functions.

1. Постановка исходной и сопутствующей задач. В моментной теории упругости кроме напряжений и деформаций присутствуют тензоры моментных напряжений и тензор искривлений [1]. Все эти тензоры несимметричны. Постановка статической задачи моментной упругости включает: уравнения равновесия

Xi — 0 , H'jijj (-ijk&jk Yi — 0 ,

определяющие соотношения

= CijkiSki + Bijki>cki, /j,ji = Bijkieki + Dijki>cki;

1 Емельянов Александр Николаевич — асп. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: emlaldrQgmail.com.