Атомная модель ранней Вселенной Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 530.12:531.51

АТОМНАЯ МОДЕЛЬ РАННЕЙ ВСЕЛЕННОЙ

В.В. Ласуков

Томский политехнический университет Тел.: (382-2)-415-877

Исследуется квантовая теория ранней плоской Вселенной с отрицательной эффективной космологической постоянной, имитируемой однородным скалярным потенциалом. Показано, что ранняя Вселенная с отрицательной космологической постоянной подобна гравитационному атому, который может служить источником обычного вещества за счет спонтанного излучения массивных частиц.

Ранее в работе [1] на основе гравитационного аналога уравнения Шредингера,

/А*'

было рассмотрено квантовое рождение Вселенной, обусловленное эффективной положительной космологической постоянной А = 871(7 £/0. Здесь

Я

1

2aM¡ да2

2V 5ф:

- + Ki/(<р).

- + 2

ф' + З

V^2

-8тсСК(ф) = 0, dV{<¿)

Ф =-

¿?Ф

, da , ¿/ф , з, о а =—, <р' = —dt-a dx , dt di

более общая, чем уравнения Фридмана плоской Вселенной:

Очевидно, величину можно умножить на

произвольный множитель, так как коэффициент yfg^ произволен, и, следовательно, в него можно

включить этот множитель. Умножение же * на

дх

некоторую величину равносильно переходу к другой шкале времени, так что это уравнение обладает репараметризационной инвариантностью относительно замены временной координаты х°. Для решения же космологических задач наиболее естественным является собственное время

dt - Jg^dx0. При построении гамильтониана, отличного от нуля, использовалась нетривиальная метрика плоской Вселенной [3]

ds2 = a6 (dx0)2-а2 х x(dr2 + sin2 (S)r2 [d§2 + sin2 (y 2 ]),

где g00 = a6, так что метрический коэффициент g00 не является независимой переменной, вследствие чего среди уравнений Лагранжа отсутствует (ОО)-компонента уравнений Гильберта-Эйнштейна Еф-£а= 0, и гамильтониан отличен от нуля. Поэтому при варьировании действия по а и ф (по координатам а, ф - мини-суперпространства (а,ф), которое не следует путать с суперпространством, введенным для описания суперсимметричных теорий; ф - функция скалярного поля) получается новая система уравнений Лагранжа (замена переменной ¿t - a3dx° осуществлена после проведения процедуры варьирования):

4тт G

V /

3

8тг(7 3

.Ф

12

Первая система имеет такие решения, которые не удовлетворяют уравнениям Фридмана. Всякое же решение системы уравнений Фридмана удовлетворяет и первой системе, так как первое из ее уравнений может быть получено из уравнений Фридмана умножением на 2 первого из них и последующим

его сложением со вторым с учетом (ОО)-компонен-ф'2

ты £а = — + К(ф). Второе же уравнение

ф" + 3—ф' =--^

а d(?

первой системы нетрудно получить дифференцированием по / (ОО)-компоненты

с учетом двух других уравнений Фридмана:

£l - ■

а~ 3

а_\ 8 %G

(е.+Зр),

и соотношения р = - К(<р), так что уравнения

Фридмана являются частным случаем первой системы уравнений. Например, среди решений первой системы есть известное инфляционное решение а - а0ехр(ш) и решения фридмановского типа а - а^4, д <1, для которых гамильтониан равен нулю, но есть и такие решения, для которых гамиль-

1 2

тониан отличен от нуля а = а0сйц(со/), (.1 = —

[3]. Система имеет также нетривиальные решения ньютоновского типа [4].

В данной работе исследуется квантовая теория Вселенной с отрицательной эффективной космологической постоянной ({/„<0) и гамильтонианом, отличным от нуля, т.е. атомная модель Вселенной.

Гравитационный атом

Согласно [1-3], гравитационный аналог стационарного уравнения Шредингера, описывающего раннюю Вселенную как одномерный гравитационный атом, можно представить в привычном виде

1 д2 2Мр да2

■IV (а, Е)

(1)

жащая лишь один уровень Е'; Е < 0; V = -

о,

всюду конечное решение которого равно

¥я=ехр (-«£). (3)

Поэтому общее решение уравнения (1) будем искать в виде

В этом случае для определения неизвестной функции / получаем уравнение

где х - у + 1 = у Ь = ~

1 Е

где 1У(а,Е) = Мра[у\ио\ + Е~^ - эффективная потенциальная яма, параметрически зависящая от энергии Е так что каждому возможному значению Е' соответствует своя потенциальная яма, содер-

4 7Ш3

3 4 со,

Чтобы характер решения для у на бесконечности определялся асимптотической формулой (3), необходимо найти условие, при котором функция/ будет представлять собой конечный полином степени п [5]:

(5)

Подставляя (5) в (4) и группируя члены с одинаковыми степенями х, будем иметь

X**\Ск[Ь-к)+Ск

*=о

к(к+1)+ +(*+1)(у+1)

- 0.

(6)

3

Отсюда, учитывая, что С„+1 =0, Спф 0, получаем необходимое условие квантования энергии:

Мр2 = <7 - гравитационная постоянная.

Уравнение (1) отличается от традиционного тем, что оператор кинетической энергии имеет вид

Т =

-1

1

1М]а Э? вместо 2Мр да2 ' из"за чег0 со6' ственные функции не ортогональны. Делая замену

переменной £ = из (1) найдем 6

2 5

4 ЕМ]

дI2

--а --

¥ = 0,

(2)

где

а =

32п 3

01 М\ =-еоМр, Нетрудно видеть,

Е.

-4ю| а>0,

4ш| п+- |, а< 0,

(7)

где и = 0,1,2...-.

Учитывая (7), для определения коэффициентов Ск согласно (6) получаем пекуррентнос соотношение

С4(В-*) = -С,+1(* + 1)(у + * + 1).

(8)

С помощью (8) для функции / находим выражение

^ (-и).**

что уравнение (1) инвариантно относительно дискретных симметрий пространственного отражения а -> -а и обращения времени t -» или, что, то же самое, Е-+-Е.

Асимптотическое решение при а —> оо можно найти согласно (2) из уравнения

-С + ^ я.у И Г(1 + * + >») ^

°Г(1 + А; + у) ' Г(1 + к + ч)Г(п + \-к)

Выберем коэффициент С0 так, чтобы коэффициент при старшей степени имел вид С„ = (-1)".

Для этого следует выбрать

_Г(у + 1+и) ° = Г(У + 1) •

Тогда имеем

где (я:) - обобщенный многочлен Лагерра порядка я. Таким образом, для функции ^р окончательно имеем

/ -Л

iVexp --\п\Ц>(х), а>0,

v 2)

^expi|j/»!Z<v)(-x), а<0,

где х = 2а£,.

Используя известный интеграл [6]

00

Jxp-! ехр(-сх)4у) (сх)4Х) (cx)dx =

о

т\п\с*

x3F2

-т, ß, ß-X; 1 у + 1, ß-^-и

Reß, Ree > 0, можно найти нормировочный множитель N и начальные моменты (а"} произвольного порядка п, которые понадобятся при построении теории "излучения" гравитационного атома. Например, если использовать условие нормировки

jVeto = 1,

то

N--

(9а)

1/6 Г

rliWf«

В соответствии с (1) уравнение, описывающее раннюю Вселенную с отрицательной космологической постоянной Л = -8я-С|С/0|, имитируемой постоянной составляющей потенциала скалярного поля, имеет вид

1 д1

2 М. да2

-MpaV\Ua

Ч = МраЕпЧ>, (9)

Е.< 0.

При А > 0 уравнение выглядит следующим образом [1]:

1 а2

2Мр да2

- +

MpaV\U0

x¥ = MtaEx¥, (10)

£>0-

В уравнении (10) осуществим поворот Вика а -»¡Ь, Е —> -1Ё. Тогда уравнение (10) примет вид

1 д2

2Мр db'

-MpbV\UQ\

Ч = М.ЪЕЧ, (11)

£"<0.

Нетрудно видеть, что уравнение (11) совпадает с уравнением (9). Поэтому Вселенную с отрицательной космологической постоянной можно рассматривать как Вселенную с положительной космологической постоянной, но с сигнатурой (+ + + +)• Спин "эффективной частицы" с массой М введем с помощью суперсимметрии. Для этого представим уравнение (1) в суперсимметричном виде [7]:

Н =

(н 0 ^ 1 Г л 2 и121

= — К +-—

2 . 2 .

U" I+—S 2 2

(12)

где

1 Г1 '1 0А

— — ; I =

2 ,0 -и ,0 i,

; U = -21п(^0);

*Р0 = ехр(-а£)- волновая функция при я=0, так что

TJ'2 П" 4

— = 2M]Va\UQ\, —j- = —®M2pa.

Генераторы суперсимметрии имеют вид:

(13)

б =

7t -I-

<Т =

U'

<S\ Q =

тi„+i-

.U'

0 1 о о

<7 =

г0 0Л 1 о

и удовлетворяют соотношениям

[а я]_=[ё, н] =о, {а ё}+={& е}+=о, {й

Суперсимметричный гамильтониан (12) имеет смысл гамильтониана, объединяющего бозонное поле (кванты возбуждения осциллятора) и ферми-оны с полуцелым спином 1/2 и массой Мр. Член

и12

-у- характеризует взаимодействие бозонов с бо-

зонами; - характеризует взаимодеиствие

фермионов с бозонами.

Представим собственную функцию гамильтониана (12) в виде

МаЬ

4 =

Тогда

(14)

(15)

где

~~2 +

V2 _ и"

; ¥+=¥2(в)и2;

1Л

, И2

Щ=

Из (14), (15) следует, что

Н_{0¥+) = ЩаЕг{<№+), и, следовательно Е{= Ег и

ТДа):

я -I-

С учетом (13), составляющие гамильтониана (12) соответствуют энергетическим уровням

Е± = Е„±-а», £„=-4со

п + -

1

так что состояние с энергией, равной нулю, существует и принадлежит только составляющей Я+. Так

как Е^~Е ~ не совпадает с частотой осциллятора 4ш, то спектр энергетических уровней является невырожденным.

Суперсимметрия нарушена спонтанно, так как существует генератор Q, такой, что

[(?,#] =0 иСЧ^О.

нератором трансляции в импульсном пространстве. Генераторы объединяют свойства отмеченных непрерывных и дискретных преобразований.

В рассмотренной выше суперсимметричной квантовой механике суперсимметрия не является максимальной, так как суперпреобразования (?, () не связывают частицу с другими частицами, спины которых отличаются от ее спина на 1/2.

В заключение отметим, что в частом случае, когда уравнение (2) является аналогом уравнения связи Уиллера-ДеВитта - 0 [8-14], решение которого равно

где К^г) - функция Макдональда, которая при 2 » 1 убывает по экспоненциальному закону;

о 3

Аналогично, в случае положительной космологической постоянной, который рассмотрен в работе [1],

где ^ (г) - функция Бесселя первого рода.

Отметим, что в работе [1] найдена вероятность рождения Вселенной однородным скалярным полем II0 > О

Р = ехр

%Е 2ю

Показано, что время формирования процесса рождения Вселенной равно ^ ® о 1, так что вследствие соотношения неопределенности Е * со. Тогда вероятность рождения Вселенной при

Е = ужо, г = 0,997050, е = 2,718282, п = 3,141593

равна Р = ехр

уя '~2

и совпадает с постоянной

Генераторы суперсимметрии (), О, действуют на волновые функции следующим образом:

(16)

Из (16) видно, что при преобразовании суперсимметрии эффективная частица с массой Мр меняет направление спина на противоположное и одновременно переходит с одного уровня Е+ на другой Е_. При этом ее энергия меняется.

Переворот спина - это дискретное преобразование, а переход с одного уровня на другой обусловлен действием бозонных операторов уничтожения и рождения, построенных из координаты а и импульса па.

Импульс является генератором трансляций -непрерывных преобразований, а координата - ге-

тонкой структуры с точностью до третьего знака после запятой оГ1 = 137,036 •

Константу у можно интерпретировать как величину, учитывающую небольшое отличие значения числа в ранней Вселенной от его современного значения яу.

Относительное отклонение равно

5„ = —= 1-77 = 1)476-10~3. Щ

Проведенное рассмотрение позволяет сделать следующие выводы:

- Вселенная с отрицательной эффективной космологической постоянной эквивалентна одномерному гравитационному атому, который можно считать подобным одномерным протяженным объектам теории струн.

Вселенную с ио < 0 и лоренцевой сигнатурой

(+---) можно рассматривать как Вселенную

с потенциалом £/0 > 0 но с евклидовой сигнатурой (+ + + +).

Спин эффективной частицы с массой Мр может быть введен за счет спонтанно нарушенной су-

персимметрии. Такая суперчастица может быть реальной.

- Обычное вещество может возникать за счет спонтанного "излучения" массивных частиц исследованным в данной статье гравитационным атомом.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ласуков В.В. Квантовое рождение Вселенной // Изв. вузов. Физика. - 2002. - № 5. - С. 88-92.

2. Ласуков В.В. Вселенная без сингулярности // Изв. вузов. Физика. - 2001. - № 7. - С. 18-21.

3. Ласуков В.В. Вселенная в метрике Логунова // Изв. вузов. Физика. - 2002. - № 2. - С. 39-41.

4. Ласуков В.В. Вселенная в метрике Логунова с неоднородным скалярным полем // Изв. вузов. Физика. - 2002. - № 8. - С. 91-92.

5. Соколов A.A., Тернов И.М. Релятивистский электрон. - М.: Наука, 1974. - С. 179-180.

6. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. - М.: Наука, 1983. - С. 477-488.

7. Witten Е. // Nucí. Phys. - 1981. - V. В188. - P. 513.

8. DeWitt B.S. // Phys. Rev. - 1967. - V. 160. - P. 1113.

9. DeWitt B.S. // Phys. Rev. - 1967. - V. 162. - P. 1195.

10. Barvinsky A.O. // Phys. Report. - 1993. - V. 230. - P. 237.

И. Альтшулер Б.Л., Барвинский A.O. Квантовая космология и физика переходов с изменением сигнатуры пространства-времени // Успехи физических наук. -1996. - Т. 166. - С. 459-492.

12. Линде А.Д. Физика элементарных частиц и инфляционная космология. - М.: Наука, 1990. - С. 208-220.

13. Долгов А.Д., Зельдович Я.Б., Сажин М.В. Космология ранней Вселенной. - М.: Изд-во МГУ, 1988. -С. 139-159.

14. Чернин А.Д. Космический вакуум // Успехи физических наук. - 2001. - Т. 171.-С. 1153-1175.