Асимптотика стационарной меры при изменении масштаба в стохастических процессах обмена Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ширшов А.И. О некоторых неассоциативных ниль-кольцах и алгебраических алгебрах // Матем. сб. 1957. 41, № 3. 381-394.

2. Ширшов А.И. О кольцах с тождественными соотношениями // Матем. сб. 1957. 43, № 2. 277-283.

3. Белов А.Я. Проблемы бернсайдовского типа, теоремы о высоте и о независимости // Фунд. и прикл. матем. 2007. 13, № 5. 19-79.

4. Белов А.Я., Борисенко В.В., Латышев В.Н. Мономиальные алгебры // Алгебра-4. Итоги науки и техники. Сер. Соврем. матем. и ее прил. Темат. обз. № 26. М.: ВИНИТИ, 2002. 35-214.

5. Белов А.Я., Харитонов М.И. Субэкспоненциальные оценки в теореме Ширшова о высоте // Матем. сб. 2012. 203, № 4. 81-102.

6. Kemer A.R. Comments on the Shirshov's height theorem // Selected papers of A.I. Shirshov. Basel: Birkhauser-Verlag AG, 2009. 41-48.

7. Чибриков Е. С. О высоте Ширшова конечно-порожденной ассоциативной алгебры, удовлетворяющей тождеству степени четыре // Изв. Алтайск. гос. ун-та. 2001. № 1. 52-56.

8. Berstel J., Perrin D. The origins of combinatorics on words // Eur. J. Combinatorics. 2007. N 28. 996-1022.

9. Lothaire M. Combinatorics of words. Cambridge: Cambridge Mathematical Library, 1983.

10. Харитонов М.И. Двусторонние оценки существенной высоты в теореме Ширшова о высоте // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 2. 24-28.

11. Belov A.Ya. Some estimations for nilpotency of nil-algebras over a field of an arbitrary characteristic and height theorem // Communs Algebra. 1992. 20, N 10. 2919-2922.

12. Procesi C. Rings with polynomial identities. N.Y.: Marcel Dekker Inc., 1973.

13. Белов А.Я. Размерность Гельфанда-Кириллова относительно свободных ассоциативных алгебр // Матем. сб. 2004. 195, № 12. 3-26.

14. Кузьмин Е.Н. О теореме Нагаты-Хигмана // C6. трудов, посвященный 60-летию акад. Илиева. София, 1975. 101-107.

15. Размыслов Ю.П. Тождества алгебр и их представлений. М.: Наука, 1989.

Поступила в редакцию 24.11.2011

УДК 519.2

АСИМПТОТИКА СТАЦИОНАРНОЙ МЕРЫ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ

МАСШТАБА В СТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ ОБМЕНА

Н. Ю. Однобоков1

Изучаются асимптотические свойства стационарного распределения процессов обмена на двумерной решетке с фиксированными граничными условиями.

Ключевые слова: процессы с локальным взаимодействием, процесс обмена, стационарное распределение.

Asymptotic properties of an invariant distribution of exchange processes are studied on a two-dimensional lattice with fixed boundary conditions.

Key words: interacting particle systems, exchange process, invariant distribution.

Введение. В статье [1] изучен двумерный процесс, являющийся по одной оси процессом обмена, а по другой — процессом с запретами. В данной работе исследуется двумерный процесс, являющийся процессом обмена по обеим осям. Такие марковские процессы с локальным взаимодействием представляют интерес при моделировании ряда стохастических систем [1].

Определения. Пусть П = {0,...,N} х {0,...,M}\{(0, 0), (N, 0), (0, M), (N, M)}, граница П — это дП = {(zi, z2) £ П : z\ = 0,N или Z2 = 0, M}, Int(n) — внутренность П. Назовем ребром неупорядоченную пару соседних узлов из П. Через R = {{z,w} : z = (z1,z2),w = (w1,w2) £ П, |z1 — w1| + |z2 — = 1}

1 Однобокое Никита Юрьевич — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

обозначим множество ребер П, через дЛ — множество приграничных ребер П, т.е. тех, ровно одна из вершин которых является граничной.

Определим марковский процесс с множеством состояний X = {0,1}1п1(п). Его элементы п £ X будем называть конфигурациями. Зафиксируем граничные условия А : дП ^ {0,1}, отличные от полностью нулевых или полностью единичных. Марковский процесс (£А,£ ^ 0), соответствующий этим граничным условиям, определим при помощи генератора.

{п(^), если г £{ж,у};

п(у), если г = ж; п^Ч^) =

п(ж), если г = у, Зададим предгенератор:

П(г)

если г = ж иначе.

(¿/)(п) = Е (/(пх,у) - / (п)) +

{х,у}ея\эя

Е (/(пх^°) - /(п))+ Е (/(п^1) - /(п))

{х,у}бдЯ, уедПо

{х,у}бдЯ, уедПх

где дПг = {ж £ дП: А(ж) = г}. В предыдущей формуле будем считать, что каждая функция п : 1п^П) ^ {0,1} продолжена на границе следующим образом: п(г) = А(г).

Замыкание этого предгенератора является марковским генератором марковской полугруппы. Мар ковский процесс, соответствующий этой полугруппе, обозначим через £А

Процесс можно неформально описать следующим образом. На малом промежутке времени [£, £ + на каждом из ребер независимо друг от друга могут произойти такие события (рисунок):

1) обмен значениями на концах внутренних ребер (тех, которые не содержат граничных точек) с вероятностью ^ + о(^):

&%(*) = №), £*%(") = £?(*);

2) значение процесса в приграничной точке (той, которую можно соединить ребром с граничной) меняется на значение в соседней с ней граничной точке (г £ дП, ад е дП) с вероятностью ^ + о(^£):

-с ;-< 1-1 >-( 1-< ) ] ?-?

( н

-с^ ^-с^ !>— Ь-с !>—^ ^- ^-о

£+*(*) = £?М, = £»(ад).

Распределение ^ называется стационарным для £А, если для любой функции / е С(X) выполнено А) = Е/(е°А). Для процесса £*

равенство Е/(£А) = Е/ (£А). Для процесса £А стационарное распределение существует и единственно [2

гл. VI, § 14].

Обозначим стационарную вероятность события {£А(.г) = 1} через ^(г, А) (или просто если из

контекста понятно, о каких граничных условиях идет речь). Будем изучать асимптотические свойства ^(г, А). Как будет видно из дальнейшего (лемма 2), эти функции аддитивны по А. Поэтому сосредоточимся на изучении граничных условий специального вида. Пусть А[а'Ь] — такие граничные условия на П, что на верхней границе во всех узлах с номерами от а до Ь стоят единицы, а в остальных узлах граничные условия нулевые.

Результаты. Пусть (^(х'у),£ ^ 0) — двумерный винеровский процесс, выходящий в момент £ = 0 из точки (ж, у), Q = (0,1) х (0,т°), а т(ж, у) — момент первого попадания процесса на границу

Я (дЯ).

Теорема 1. Пусть 0 < а < Ь < 1; ж, у е [0,1].

1) При ЛГ, М

м

оо, дг т0

М([жЖ], [уМ]), ) ^ Р [Ш^тт]) е [а, Ь] х {ш°}} .

2) При Ы, М -»■ +оо, $ -»■ 0

»(([жЖ], [уМ]), А[аМ'Ш]

у, если ж е (а, Ь); 0, если ж е (0, а) и (Ь, 1).

—►

3) При Ы, М -»■ +оо, § -»■ оо

^([жЖ], [уМ]), ^ 0.

Доказательство. Воспользуемся следующей леммой.

Лемма 1 [3, гл. 1, ч. 2]. Пусть 0 — генератор марковской полугруппы, / — функция из его области определения, а ^ — стационарная мера, тогда = 0.

Лемма 2. Стационарные вероятности ^(г,;) процесса удовлетворяют системе уравнений

4^(г,;) = ^(г + 1,;)+ ^(г - 1,;)+ ^(г,; + 1) + ^(г,; - 1), (г,;) е 1Ш(П); Мг,Л = А(г,;), (г,;) е дП.

Доказательство. Применим лемму 1 к процессу и семейству функций / (п) = п(-), где г е 1п1(П):

(/)(п) = Е (ПХ,У(г) - Ф0) + Е (п"~°(*) - ФО) + Е (П^Ч*) - Ф))-

{х,у}ея\ая {х,у}едя, {х,у}еэя,

уедПо уедПх

Во всех этих суммах всего будет не более четырех ненулевых слагаемых. Эти слагаемые соответствуют ребрам, выходящим из г = (¿1,-22). Поэтому оставшиеся слагаемые можно записать в виде

(п(-1 + 1,-2) - п(-1,-2)) + (п(-1 - 1,-2) - п(-1 ,-2)) + (п(-1,-2 + 1) - п(-1,-2)) + (п(-1 ,-2 - 1) - п(-1,-2)),

где п(^) = А(-ш) при -ш е дП.

Согласно лемме 1, математическое ожидание по стационарной мере от этого выражения равно нулю:

Е"(/)(п) = (Емп(-1 + 1, -2) - Е"п(-1 ,-2)) + (Емп(-1 - 1, -2) - Е"п(-1 ,-2)) + +(Е^п(-1,-2 + 1) - Емп(-1 ,-2)) + (Емп(-1, -2 - 1) - Емп(-1 ,-2)) = 0.

В силу того что значение процесса в каждой точке равно нулю или единице, имеем Е^п(-) = М-) Заменяя в последнем равенстве Е^п(-) на получим требуемое.

Введем вспомогательные обозначения. Пусть (г = 1,...) — такие н.о.р.с.в., что Р= 1) = Р= ( —1)) = Обозначим через 5*1 (¿) случайный процесс £1 + ... + + — ^ 0), а через

его независимую одинаково распределенную копию. Пусть 5(¿) = (£1(£),£2(£)), а 2(¿) = (21 (¿),22(£)), где

т) = М1+М) и г2{г) =

Лемма 3. Пусть Т(^) — момент достижения процессом 2(¿) + (г,;) границы П, тогда для любого узла (г,;) е П выполнено равенство Р{2(Тч^-)) + (г,;) е дП1} = ^((г,;), А). Доказательство. Пусть (г,;) е 1п1(П), тогда

Р{2(Т(„)) + (г,;) е дП1} = Е Р{2(Т^)) + (г,;) е дПьТ(г>л = к} =

к=1

те

= Е Е Р{2(1) = 2(%.,■)) + (г,;) е дПьТ(„-) = к} =

к=1 ш=(г±1,^),(г,^ ±1)

те 1 1

Е = 4 Е ВД+Иб®!}.

ш=(г±1,^),(г,^±1) к=° ш=(г±1,^),(г,^±1)

При (г,;) е дП имеем Т^ = 0, и поэтому Р{2(Т(^)) + (г,;') е дП1} = А(г,;), т.е. Р{2)) + (г,;) е дП1} и ^(г,;) удовлетворяют одной и той же системе уравнений, и, значит, в силу единственности ее решения совпадают [4, гл. 1, § 9].

Обозначим через М+ множество неотрицательных действительных чисел, а через С(М+, ) множество непрерывных функций на М+ со значениями в Мга. Знак ^^ соответствует слабой сходимости случайных процессов с траекториями из пространства С (М+, Мга), наделенного топологией равномерной сходимости на отрезках [5].

Лемма 4. Имеет место слабая сходимость:

г(2N4) (0,0)

N 1 у '

Доказательство. Обозначим через ^^г) (г = 1, 2) координаты процесса ^(Х1'Х2). По теореме Дон-скера для любого Ь > 0 имеет место слабая сходимость на пространстве С([0,Ь], М):

Бг{гЫ) (0)

п

^ (г = 1,2).

Поэтому [5, теорема 8] имеет место слабая сходимость на пространстве С (М+, М2):

Б(пЬ) Ьау ^(0,0)

По определению Z(t) = ^г(^)) — это ¿>(£) после поворота на ^ и сжатия в \/2 раз. При повороте

двумерного броуновского движения на ^ распределение процесса не меняется. Так как поворот и сжатие суть непрерывные отображения, то

^/2Z{Nt) ьа\у ^(о,о) Завершим доказательство, разделив обе части на \/2, заменив N на

N 2,

а £ на 2£ и учтя, что

"уЗ 24 = * ^это легко пРовеРить по определению).

Лемма 5. Пусть А, В, С, Ап, Вп,Сп(п € М) — случайные процессы с траекториями из С(М+, М).

Если (А„,Вп,Сп) Ьа- (А,В,С), то (А„,ВпСга) (А,ВС) и (А„,Вп + Сга) (А,В + С).

Доказательство. Утверждение верно в силу того, что отображения Н1, Н2 : С(М+, М3) ^ С(М+, М2), заданные формулами Н1(ж,у, я) = (ж,уя) и Н2(ж,у, я) = (ж, у + г), являются непрерывными.

Перейдем к доказательству теоремы 1. Для доказательства п. 1 воспользуемся леммой 4. Домножим

вторую координату ^ на последовательность , стремящуюся к единице, и прибавим ^г^ •

По лемме 5 будем иметь

+ [жДГ], ш"(г2(2МЧ) + [уМ])) ^ (Х.УШ0)

ЛГ 1

Далее нам понадобятся следующие определение и лемма. Множество А, граница которого дА удовлетворяет соотношению Р{дА} = 0, называется Р-непрерывным множеством.

Лемма 6 [4, § 2]. Пусть Рп и Р — вероятностные меры, определенные на Б. Следующие условия эквивалентны:

1) Рп ^ р;

2) Ншп Рп{А} = Р{А} для всех Р-непрерывных множеств А.

Применим лемму для пространства Б = С(М+, М2) и его подмножества А, состоящего из функций, впервые попадающих на границу прямоугольника Я в точках [а, Ь] х {т.0}. Скажем, что в точке первого попадания /(¿1) = /1 на границу пересечение происходит нетрансверсально, если в некоторой правой окрестности этой точки траектория лежит в Я, т.е. 1 /((^,¿1 + е)) С Я. Обозначим через В множество функций, не пересекающих дЯ, через С множество функций, первая точка пересечения которых совпадает с а или Ь, через О множество функций, для которых первое пересечение нетрансверсально. Лемма 7. Имеет место включение дА С В и С и О.

Доказательство от обратного. Пусть / € В и С и О. Это значит, что точка /(¿1) = /1 первого пересечения с дЯ существует, отлична от а и Ь и пересечение трансверсально.

Пусть /1 € (а, Ь) х {т0}. Рассмотрим такую окрестность точки /1 радиуса п, что иг1 (Д)идф С (а, Ь) х {т0}. Выберем точку /(¿0) = /0 € Я П ЦГ1 (/1) так, чтобы ¿0 < ¿1 и ее окрестность ЦГ0(/0) С иг1 (/1) П Я. Выберем точку /(¿2) = /2 € (М2 \ Я) П иг1 (/1) так, чтобы ¿1 < ¿2 и ее окрестность ЦГ2 (/2) С иг1 (/1). Через ггаш обозначим минимальное расстояние от дЯ до /(¿) на (0,¿0). Введем г = шт{гт1П,Г0,Г2}. Пусть /п ^ /, тогда существует такое П0, что шах4е(0^2) р(/(¿),/п0(¿)) < г. Поэтому /п0 не принадлежит

С(М+, М2) \ А. Значит, / не принадлежит С(М+,М2) \ А, т.е. / не принадлежит и М = С(М+,М2) \1п1.

Случай /1 е д^ \ [а, Ь] х {т°} рассматривается аналогично.

Так как Р{^(х'уто) е В} = Р{^(х'уто) е С} = 0 и Р{^(х'уто) е £} =0 [6, гл. 2, § 6], то Р{Ж4(х'уто) е дА} = 0 и можно применять лемму 6. Обозначив через Т^ м момент первого попадания случайного

процесса -- на границу получим

или

P{(Zi(T([xN];[yM|)) + [xNj,Z2(T([xN];[yM])) + [yM]) е [aN,bN] х {M} ^ P{W^J;1^) e [a,b] x {ma}}.

Заменяя в последнем выражении P{ (Zi(T([xN],[yM])) + [xN],Z2(T([xN],[yM])) + [yM]) e [aN, bN] x {M}} на равное ему по лемме 3 выражение ^(([xN], [yM]), A[aN'bN]), получим утверждение п. 1.

Докажем теперь пп. 2, 3. Рассмотрим случай Щ- —0, х G (а,Ь). Остальные случаи рассматриваются аналогично. По лемме 4 имеем

Z{2M2t) Law ^(0,0)

M

Домножим первую координату Z на последовательность М-, стремящуюся к нулю, и прибавим ( Мгр, Мгр ):

"уу , * I ТЛ I I И»,/1 IV Л^у ЛШ, И Прииас IIIV! ^—^у— ; —^^— J •

#(^(2М2*) + М), г2(2МН) + [уМ]) -—-—►

Применим лемму 6, только на этот раз вместо прямоугольника Q возьмем квадрат (0,1) х (0,1). Обо-

„ (# Шь)+[хЩ),г2{ь)+[ум\) значив через -¡-¡^ м момент первого попадания случайного процесса —-^-- на границу,

а через т(у) момент первого попадания Ж(у) на границу отрезка [0,1], получим

. . # {Zi {4>м) + [xN]), Z2 (Т-;М) + [yM] р-

е [a, b] х {1}j ^ ^(x,W2(yr)(y^ е [a,b] х {1}},

М - ^М I V"' ■ 2,т

или

Р{(21 (Т([хм],[ум|)) + [жЖ],22(Т([х^],[ум|)) + [уМ]) е [аЖ,ЬЖ] х {М}} ^ Р{Ж^ е {1}}.

Заменяя в последнем выражении Р{ (21 (Т([хМ];[ум])) + [жЖ], 22(Т([х^],[ум])) + [уМ]) е [аЖ, ЬЖ] х {М}} на равное ему по лемме 3 выражение ^(([жЖ], [уМ]), ), а Р!^2^) = 1} на у [7, гл. 7, § 7.2], получим

требуемое утверждение. □

Выражение Р ^Ж^хут^) е [а, Ь] х {т°} | из п. 1 теоремы 1 можно найти с помощью теоремы 2.

Теорема 2 [6, гл. 2]. Функция и(ж,у) = Р |ж^ххуу) е [а, Ь] х {т°}| удовлетворяет следующим условиям:

1) Ди(ж, у) = 0 для всех (ж, у) е Q;

2) и(ж,у) непрерывна во всех точках дQ, кроме (а, т°) и (Ь, т°).

Автор выражает благодарность А. Д. Маните за ценные замечания и помощь при подготовке данной работы.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 12-01-00897.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Малышев В.А., Манита А.Д. Стохастическая микромодель течения Куэтта // Теория вероятн. и ее примен. 2008. 53, вып. 4. 798-809.

2. Булинский А.И., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2004.

3. Лиггетт Т. Марковские процессы с локальным взаимодействием. М.: Мир, 1989.

4. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977.

5. Whitt W. Weak convergence of probability measures on the function space C[0, то) // Ann. Math. Statist. 1970. 41, N 3. 939-944.

6. Дынкин Е.Б., Юшкевич А.А. Теоремы и задачи о процессах Маркова. М.: Наука, 1967.

7. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука, 1975.

Поступила в редакцию 14.12.2011

УДК 517

СХОДИМОСТЬ ОРТОГОНАЛЬНОГО ЖАДНОГО АЛГОРИТМА С ОШИБКАМИ В ПРОЕКТОРАХ

Н. Н. Федотов1

В статье предложена модель, позволяющая учитывать вычислительные ошибки, возникающие при реализации ортогонального жадного алгоритма, и исследовать устойчивость ортогонального жадного алгоритма к ошибкам, связанным с проектированием на подпространство. Установлены условия на ошибки, необходимые и достачные для сходимости ортогональных жадных аппроксимаций к приближаемому элементу.

Ключевые слова: жадный алгоритм, нелинейная аппроксимация, сходимость, устойчивость.

A model of orthogonal greedy algorithm is proposed. This model allows one to consider computational errors and to study the stability of this algorithm with respect to errors in projections onto subspaces. A criterion for the convergence of orthogonal greedy expansion to the expanded element is given in terms of computational errors.

Key words: greedy algorithm, nonlinear approximation, convergence, stability.

Введение. Использование жадного подхода в работах по статистике (см., например, [1, 2]) и теории передачи сигналов [3] в 1980-х гг. привело в дальнейшем к активному исследованию общей теории жадных приближений в гильбертовых пространствах (см., в частности, [4-7]). Наиболее обстоятельно изучались два типа таких приближений — чисто жадный алгоритм (PGA) и ортогональный жадный алгоритм (OGA).

Одним из рассматривавшихся вопросов является устойчивость соответствующих алгоритмов к вычислительным погрешностям. При этом для чисто жадных алгоритмов исследована проблема устойчивости как к ошибкам в выборе приближающих элементов [5], так и к ошибкам в вычислении коэффициентов [6, 7]. Для ортогональных жадных алгоритмов изучалась лишь задача об устойчивости к погрешностям в выборе элементов словаря [5, 8].

В данной работе предложена модель, позволяющая учитывать ошибки проектирования, возникающие при реализации ортогонального жадного алгоритма, и исследовать устойчивость ортогонального жадного алгоритма к этим ошибкам. Установлены условия на ошибки, необходимые и достачные для сходимости ортогональных жадных аппроксимаций к приближаемому элементу.

Определения и основные результаты. Рассмотрим действительное гильбертово пространство H со скалярным произведением (•, ■). Множество D С H будем называть словарем, если норма всех элементов D равна единице и замыкание линейной оболочки D совпадает с H.

Напомним определение ортогонального жадного алгоритма (см., например, [4]). Пусть D — словарь в H, f — произвольный элемент H. Индуктивно определим последовательность аппроксимантов (G& и последовательность остатков (r^}д!=о, а также последовательность элементов словаря (e^и последовательность вложенных подпространств (H}^=о.

1. Положим го = f, Ho = (0} и Go = 0.

Федотов Никита Николаевич — студ. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected]. 11 ВМУ, математика, механика, №1