Асимптотика собственных значений бесконечных блочных матриц Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 11. № 3 (2019). С. 10-29.

УДК 517.984.48

АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ БЕСКОНЕЧНЫХ БЛОЧНЫХ МАТРИЦ

И.Н. БРОЙТИГАМ, Д.М. ПОЛЯКОВ

Аннотация. Статья посвящена определению асимптотического поведения собственных значений - одному из актуальных направлений в исследовании операторов, порожденных трехдиагональными бесконечными блочными матрицами в гильбертовом пространстве бесконечных последовательностей конечномерных векторов с комплексными координатами или дискретных операторов Штурма - Лиувилля. В работе рассматривается класс несамосопряженных операторов с дискретным спектром, которые представляются в виде суммы самосопряженного оператора, играющего роль невозмущенного оператора, и возмущения, являющегося компактным оператором относительно невозмущенного оператора. Для исследования асимптотического поведения собственных значений в статье разрабатывается адаптированная схема абстрактного метода подобных операторов. Основная идея этого подхода заключается в том, что с помощью оператора преобразования подобия изучение спектральных свойств исходного оператора сводится к изучению свойств оператора, который имеет более простую структуру. Используя эту схему, выписываются формулы для асимптотики средних арифметических собственных значений рассматриваемого класса операторов. Отметим, что данный подход существенно отличается от тех, которые использовались ранее. Полученный общий результат применяется к определению собственных значений конкретных операторов. А именно, приводятся формулы для асимптотики собственных значений операторов, порожденных симметрическими и несимметрическими трехдиагональными бесконечными матрицами в скалярном случае, для асимптотики средних арифметических собственных значений операторов, порожденных блочными матрицами со степенным поведением собственных значений невозмущенного оператора и обобщенными якобиевыми матрицами с различным числом ненулевых побочных диагоналей.

Ключевые слова: бесконечные трехдиагональные блочные матрицы, якобиевые матрицы, метод подобных операторов, собственные значения, спектр.

Mathematics Subjects Classifications: 47А75, 47В25, 47В36

1. Введение

Пусть Cm, т > 1, — евклидово m-мерное пространство вектор-столбцов со скалярным

т

произведением (х,у)ст = Y1 х^Щ, где комплексные числа Xi,yi,i = 1,... ,т, — координаты

г=1

векторов х и у соответственно. Пусть /2(N, Cm) — гильбертово пространство бесконечных

I.N. Braeutigam, D.M. Polyakov, Asymptotics of the eigenvalues of infinite block matrices. © Бройтигам И.Н., Поляков Д.М. 2019.

Работа первого автора выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ и DAAD (грант 1.12791.2018/12.2).

Работа второго автора выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 18-31-00205). Поступила 18 февраля 2019 г.

последовательностей и : N ^ Ст, и = (и1,и2,...), ип Е Ст, п Е М, со скалярным произведением (и,ь)р(ц,с™) = ^ (ип,Уп)с™.

п=1

Рассмотрим бесконечную трехдиагональную блочную матрицу J вида

( Лг -В1 О О ...\

-В1 А -В2 О ..

О -В2 Лэ -в3 ..

V : : : : •■/

J

где Ап, Вп, Вп, п Е М, — комплекснозначные матрицы размера т х т, Ап — самосопряженные матрицы, а О — нулевая матрица. Отметим, что в литературе матрицу J также называют бесконечной трехдиагональной матрицей с матричными элементами.

Матрица ^ ^^^^^^^^^^ ^^тейный оператор Ь : И(Ь) С I2 (М, Ст) ^ /2(М, Ст) с областью определения

Б(Ь) = {и Е /2(М, Ст) : Ju Е I2(М, Ст)}, который действует по формуле

(Ьи)п = -Вп-1ип-1 + Апип - Впип+1, п Е М,

для и Е О(Ь). Отметим, что ¿Во = О при п = 1,

Везде далее будем предполагать, что область определения оператора Ь совпадает с областью определения блочно-диагонального оператора Ь0 : И(Ь0) С I2(М, Ст) ^ I2(М, Ст), действующего по формуле (Ь0и)п = Апип, п Е М, т.е.

Б(Ь) = Б(Ьо) = {и Е /2(М, Ст) : ^ \\Аип\\2 < го 1.

^ п=1 )

Предположим, что все собственные значения оператора Ь0 однократные, обозначим через ап спектр матриц Ап, п Е М, тогда ап П aj = 0, п = ], и допустим, что

= тт^в^о^, а^) ^ го при п ^ го. (1)

Кроме того, будем считать, что матрицы Вп, Вп, п Е М, удовлетворяют следующим условиям

\\П II2 + II К ||2 \\Вп\\ + \\Вп\\ .

УТО \\В^\2\Вп+1\2 + ^^ \\Вга\\2\\Вга+1 \\2 + ^^ \\Вга\\2\\Вга\\2 < ^ ^

^^(а^, ап+1) аМ2(ага, ап+1) аМ2(ага, ап+1)

Отметим, что если дополнительно предположить, что Вп совпадает с сопряженной к Вп,то J становится симметрической матрицей и называется блочной якобиевой матрицей, или якобиевой матрицей с матричными элементами.

Бесконечные трехдиагональные матрицы со скалярными или матричными элементами возникают в различных математических моделях. Например, они являются важными объектами при изучении проблемы моментов (матричной проблемы моментов) [1]-[4], при описании спектральных свойств дифференциальных операторов Шредингера и Дирака с точечными взаимодействиями [5]-[9] и оператора Хилла с тригонометрическими потенциалами [10].

К кругу основных вопросов исследования бесконечных трехдиагональных матриц относится и классификация спектра самосопряженных операторов, порожденных такими матрицами, В частности, задачи, связанные с определением условий на элементы бесконечных трехдиагональных матриц при которых спектр является дискретным или непрерывным, рассматриваются в [11] [13], В центре внимания находится также проблема определения собственных значений бесконечных симметрических и несимметрических трехдиагональных матриц или дискретных операторов Штурма-Лиувилля [14] [21]. Существует несколько подходов к решению этой задачи. Так, в работах [14]—[16] найдена асимптотика собственных значений различных классов якобиевых матриц методом последовательной диагонализации, В [16], помимо вышеуказанного, применялись также метод, основанный на абстрактном результате Г,В, Розенблюма, и подход, базирующийся на построении аналитических моделей. Однако, одним из основных методов здесь является все же метод нахождения собственных значений самосопряженных или несамосопряженных трехдиагональных якобиевых матриц путем приближения их собственными значениями усеченных (конечных) трехдиагональных матриц, применяемый в [IT]—[21],

Основной целью данной работы является нахождение асимптотических формул для собственных значений оператора L. В качестве метода исследования мы будем использовать метод подобных операторов [22]-[25], который значительно отличается от вышеперечисленных, Этот подход ранее применялся при вычислении асимптотического поведения собственных значений различных классов дифференциальных операторов с матричными коэффициентами [26]—[28], а также разностных операторов второго порядка с растущим потенциалом, рассматриваемых в пространстве l2(Z, C) [29],[30],

Статья организована следующим образом, В §2 приводятся основные сведения о методе подобных операторов, §3 посвящен предварительному преобразованию подобия для оператора L и получению вспомогательных оценок. Основной результат доказывается в §4, а в §5 приводятся различные примеры,

2. Метод подобных операторов и построение абстрактной схемы

исследования

В данном параграфе кратко изложим основные идеи и понятия метода подобных операторов (более подробно см, [22]—[2Б]), А также построим схему исследования абстрактных операторов, которые по своим свойствам близки к исходному оператору L.

Пусть Н — комплексное сепарабельное гильбертово пространство, End Н — банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в Н,

Определение 1. Два линейных оператора Ai : D(Ai) С Н ^ Н, i = 1, 2, называются подобными, если существует непрерывно обратимый оператор U Е End Н такой, что A1Ux = UA2x, х е D(A2), UD(A2) = D(A1). Оператop U называется оператором преобразования оператора, А1 в А2.

Преимущество рассмотрения подобных операторов заключается в том, что некоторые их спектральные свойства совпадают ([24, Лемма 1]), В частности, у подобных операторов совпадают спектры.

Пусть А : D(A) С Н ^ Н — замкнутый линейный оператор. Через и (А) ж р(А) обозначим его спектр и резольвентное множество, а символом £^(Н) — банахово пространство операторов, действующих в Н и подчиненных оператору А. Рассмотрим далее линейный оператор В : D(B) С Н ^ Н. Будем говорить, что В принадлежит проетранетву £^(Н), если D(A) С D(B) и величина

||ВЩ = inf{С > 0 : \\Вх\\ ^ С(IMI + \\Ах\\),х Е D(A)} конечна. Эта величина принимается за норму в La (Н).

Здесь же отметим, что символом С везде далее мы будем обозначать положительные постоянные величины, которые необязательно равны между собой.

Основным объектом дальнейших исследований является оператор А — В. При этом оператор А будет играть роль невозмущенного оператора, а В — роль возмущения. Кроме того, предполагается, что необходимые нам спектральные характеристики оператора А хорошо известны. Однако заметим, что в большинстве случаев между операторами А и А — В пет подобия. Чтобы преодолеть это препятствие мы выдел им из пространства подпространство Я такое, что операторы вида А — В, где В Е Я, имеют несложную структуру и, соответственно, достаточно просты для изучения интересующих нас спектральных свойств. Если при этом оператор А—В подобен оператору А — В, то, согласно определению 1, он обладает теми же свойствами.

Перейдем теперь к формулировке основных определений и теорем метода подобных операторов.

Определение 2. Пусть Я — линейное подпространство операторов и 3 : Я ^ Я, Г : Я ^ Епё. % — трансформаторы, т. е. линейные операторы, в пространстве линейных операторов. Тройку (Я, 3, Г) будем называть допустимой тройкой для оператора, А, а Я — пространством допустимых возмущений, если, выполнены следующие условия:

1) Я — банахово пространство со своей, норм,ой, \\ ■ \\*, непрерывно вложенное в £а(Н);

2) 3 и Г — непрерывные трансформаторы, причем, 3 — проектор;

3) (ГХ)Б(А) С Б(А), А(ГХ) — (ГХ)А = X — ЗХ для, любого X Е Я и У = ГХ -единственное решение уравнения

АУ — У А = X — ЗХ, (4)

удовлетворяющее условию ЗУ = О, где О — нулевой оператор;

4) X(ГУ), (ГУ)Х Е Я для всех Х,У Е Я и, существует такая, постоянная ^ > 0, что \\Г\\ ^ 7 « тах{\\Х(ГУ)\\*, \\(ГХ)У\\*} ^ 7\\Х\\*\\У\\*;

5) для, любого X Е Я и любо го £ > 0 существует такое число Хе Е р(А), что \\Х(А — \е1 )-1\\ <в.

Отметим, что при построении допустимой тройки для конкретных классов операторов

Я

страпство. Оператор 3 строится таким образом, чтобы итоговый оператор возмущения (аналог оператора В) имел достаточно простую структуру. Введение оператора Г тесно связано с построением оператора преобразования и, который возникает в определении 1, Свойства 3) - 5) допустимой тройки необходимы для разрешимости некоторых нелинейных уравнений, возникающих при осуществлении преобразования подобия. Заметим, что построение допустимой тройки осуществляется не единственным способом. Главными критериями ее выбора является наличие нужных свойств у входящих в нее трансформаторов, а также удобство ее использования.

Перейдем теперь к основной теореме о подобии.

Теорема 1. Пусть (Я, 3, Г) — допустимая тройка для, о пера,тора, А. Если, В Е Я и выполняется условие

Ы№\\*\\Г\\ < 1, (5)

то оператор А — В подобен оператору А — ЗХ*, где оператор X* Е Я есть решение нелинейного операторного уравнения

X = ВГХ — (ГХ )ЗВ — (ГХ )3 (В ГХ) + В = Ф(Х), (6)

Я

итераций, полагая, Х0 = О, Х1 = В и т. д. При этом оператор Ф : Я ^ Я является,

сжимающим в шаре [X е U : ||Х — В||* ^ 3\\В||*}, а преобразование подобия оператора А — В в оператор А — JX* осуществляет обратимый оператор I + ГХ* е End Н.

Доказательство этой теоремы можно найти в [22, Теорема 1.5] и в [23, Теорема 19.2]. Условие (5) служит условием существования решения нелинейного уравнения (6). Вид этого уравнения непосредственно связан с оператором преобразования I+ ГХ*. При этом условия 3) - 5) определения 2 гарантируют обратимость этого оператора и его инвариантность относительно области определения оператора А. Таким образом для операторов А — В и А — JX* выполнены все свойства подобных операторов из определения 1.

Теперь применим описанную общую схему к абстрактным операторам, спектральные свойства которых совпадают со свойствами оператора L.

В качестве невозмущенного оператора А : D(A) С Н ^ Н выберем самосопряженный оператор с дискретным спектром, матричное представление которого имеет блочно-диагональный вид с элементами Ап в ортонормированием базисе е n,i, п е N, г = 1, 2,... ,т, пространства '.Предположим, что оператор А имеет однократные собственные значения п е N, г = 1, 2,... ,т. Тогда спектр о (А) оператора А допускает представление вида

о(А) = UneN^n,

где оп П Oj = 0, п = j, n,j е N и каждое из множеств оп состоит из т элементов. Кроме того, будем предполагать, что спектр оператора А удовлетворяет условию (1).

Символом Рп, п е N, обозначим проектор Рпсса, построенный по спектральному множеству оп. Для люб ого х еН определим его следующим образом

т

Рпх ^ ^(X1 ^п,i) (7)

г=1

Всюду далее через &2(Н) будем обозначать идеал операторов Гильберта-Шмидта с нормой || • ||2 (см. [31, Гл. 3, §9]). Каждому оператору X е &2(Н) поставим в соответствие блочную матрицу X = (Х^), n,j е ^составленную из операторов Хпj = PriXPj. Так как проекторы Рп, п е N являются ортопроекторами, то норму в &2 (Н) зададим формулой

/ \ 1/2 ЦХ || 2 = ( Е ЦРпХРз .

^ п,jeN '

Теперь мы готовы перейти к построению допустимой тройки. В качестве пространства допустимых возмущений U выберем пространство &2(Н).

Введем трансформатор J : &2(Н) ^ &2(Н) следующим образом:

((

ЗХ = ^Р1ХР1, X е &т. (8)

3 = 1

Для любого к е N определим семейство трансформаторов Зк по формуле:

те

ЗкX = З(X - Р{к]ХР{к]) + Р(к)ХР(к) = Р(к)ХР{к) + ^ Р3ХР3, (9)

3=к+1

где Х е &2(Н) и Р(к) = ^к=1 Рь В силу принадлежности Х пространству &2(Н) ряды в (8) и (9) являются сходящимися.

Построим теперь оператор Г : &2(Н) ^ &2(Н). Для этого обозначим оператор Г Х через У и рассмотрим блочную матрицу (Упз), п,] е N этого оператора. Обозначим сужение оператора А па подпространство Нп гак А\Нп = Ап1п, где Нп = 1тРп, 1п — тождественный оператор в Нп. Тогда уравнение (4) условия 3) определения 2 для матричных элементов Уп3 запишется в виде

АпХпз Уп]Аз Хп3, п = ^ п,3 е

При этом справедливо неравенство

\\Ynj ¡2 ^ ^ "-Г, Утг = О.

Семейство трансформаторов Гк, к Е N определим следующим образом

ГкХ = ГХ - Г(Р{к)ХР{к)) = ГХ - Р{к)(ГХ)Р{к]. (10)

Замечание 1. Отметим, что при таком, построении транформаторы Зк и Гк, к Е М образуются "вырезанием," конечномерного блока, размера тк х тк, расположенного в левом верхнем, углу .матричного представления операторов 3 и Г. Следовательно, они отличаются, от операторов 3 и Г но операторы, конечного ранга. Кроме того, несложно показать, что \\Г\\2 ^ С, поэтому согласно условию (5) норма "В"2 должна, быть достаточно .малой величиной. Введение операторов Зк и Гк позволяет снять это ограничение с оператора, В.

Замечание 2. Непосредственно из вида, тра,н,фор,м,а,торов Зк и Гк, следует справедливость соотношений

(Зк X )Рп = Рп(ЗХ )Рп = Рп ХРп, Гк (РпХРп) = o, Рп((ЗкХ )Гк¥ )Рп = О (11)

для, любых элементов Х,У Е 62(Н).

Итак, мы построили тройку (&2(Н), Зк, Гк), Теперь, для применения теоремы 1, необходимо показать, что эта тройка является допустимой. Доказательство этого факта мы проведем в следующей лемме, в которой также выпишем оценку, позволяющую снять ограничение на оператор В, упомянутое в замечании 1,

Лемма 1. Для, любого к Е N тройка (в2(Н),Зк, Гк) является, допустимой, тройкой для, оператора, А и постоянная 7 = 7(к) из определения, 2 удовлетворяет оценке

\\Гк\\2 ^ 7 = ¿~к\ (12)

Доказательство. Проверим все свойства определения 2, Первое свойство выполнено в силу свойств пространства &2 (Н),

Проверим свойство 2), Операторы Зкш Гк являются непрерывными трансформаторами по построению. Исходя из формулы (9), имеем

те

\\лх\\2 ^ \\р(к)хр(к)\\2 + £ \\р3ХР3\\2 ^ \\х\\2.

3=к+1

те

Причем, если матрица X является блочно-диагональной, т. е, X = ^ Р^ХР^о ЗкX = X.

Тогда ркХ\\2 = \\Х\\3к\\2 = 1 ' 1

Свойства 3) и 5) доказываются по той же схеме, что и [27, Теорема 5],

Докажем свойство 4), Пусть X, У Е 62(Н), Тогда, с учетом условия (1), имеют место следующие оценки

£ \\(ХГкУ)п\\2 ^ \\Х\\2 £

Гп \\

пз \\2

п,з=к+1 п,=к+1 ^ (°п,°3)

■п=з п=]

ш1п ^(ап, а,п \\Х\\2\\У\\2 ^ \\Х\\2\

( ша=п )) \\Х\\2\\У\\2 ^ й-2\\Х\\2\\У\\2 < ^ (13)

' п,]>к+1

Следовательно, ХГкУ е &2(Н). Аналогичным образом доказывается принадлежность оператора (ГкУ)Х пространству &2(Н). Кроме того, из оценки (13) непосредственно вытекает неравенство (12),

Таким образом, (&2(Н), Зк, Гк) является допустимой тройкой для оператора А. □

Далее, до конца этого параграфа, мы будем предполагать, что возмущение В принадлежит пространству &2(Н). Тогда па основе доказанной леммы 1 и абстрактной теоремы 1 мы можем сформулировать основную теорему о подобии для рассматриваемого оператора А - В

Теорема 2. Пусть число к е N таково, что выполнено условие

И

\\В\\2 < ^. (14)

Тогда, оператор А — В подобен оператору А — ЗкХ*, где Х* е &2(Н) является решением нелинейного уравнения

Х = ВГкХ — (ГкХ )(ЗкВ) — (ГкХ )Зк (ВГкХ) + В, (15)

которое можно найти методом простых итераций, полагая, Х0 = О, Х1 = В,.... Преобразование подобия оператора, А — В в оператор А — ЗкХ* осуществляет оператор 1+ГкХ*, т. е. имеет место равенство

А — В = (1 + Гк Х*)(А — Зк Х*)(1 + Гк Х* )-1.

Заметим, что в силу (1) условие (14) этой теоремы выполняется для достаточного большого к.

Сформулированная теорема 2 позволяет получить информацию о представлении спек-А — В

А — В

кретный спектр, который совпадает со спектром оператора,

те

А — ЗкХ* = А — Р{к)Х*Р(к) — ^ РпХ*Рп. (16)

п=к+1

Кроме того, имеют место равенства,

*п , (17)

а(А — В) = а(А(к)) ^ а(Ап)] = а(к) ^ и ап)

где оператор А(к) — сужение оператора, А — ЗкХ* на инвариантное подпространство Н(к) = 1тР(к) и Ап — сужение оператора, А — ЗкХ* на Нп = 1т Рп. Множества а(к), ап, п ^ к + 1, взаимно не пересекаются.

А

Зк Х* А — Зк Х*

А — В А — Зк Х*

А — В

а (А — В ) = а(А — Зк Х*).

Представление (16) непосредственно следует из (9), Кроме того, из теоремы 2 и свойств

А — Зк Х*

вида (16) перестановочен со всеми проекторами Р(к), Рп, п > к + 1. Следовательно, подпространства Н(к) = 1тР(к), Нп = 1т Рп, п > к + 1, являются инвариантными для этого оператора. Так как А — Зк Х* имеет дискретный спектр, то для любого Ао е а (А — Зк Х*)

существует собственный вектор хо € О (А) такой, что (А — ,1кХ*)хо = Ло^о. Таким образом, из вида оператора ,1кX* следуют равенства

А(к)Р(к)Хо = \оР(к)Хо, АпРпхо = \оРпхо, п > к + 1, (18)

где А(к) — сужение оператора А — ,1кX* на инвариантное подпроетранство 'Н(к) = 1т Р(к) и Ап — сужение оператора А — ,1кX* на = 1т Рп, Поскольку система проекторов Р(к), Рп, п > к + 1, образует разложение единицы, то из (18) следует, что хотя бы один из векторов Р(к)хо, Рпхо, п > к + 1, ненулевой. Следовательно, Ао — собственное значение соответствующего оператора из семейства операторов А(к), Ап, п > к + 1. Таким образом, имеет место включение правой части равенства (17) во множество а(А — ,1кX*) = а(А — В), Обратное включение очевидно. Следовательно, справедливо равенство (17). □

Теперь мы готовы сформулировать и доказать основную теорему данного параграфа, которая посвящена получению асимптотических формул для средних арифметических собственных значений оператора А — В.

Теорема 4. Пусть выполнено условие (Ц) и спектр оператора А — В представим в виде (17). Тогда, множества ап, п > к + 1, содержат не более т элементов и среднее а,ри,фм,ети,ческое каждого из этих .множеств совпадает со средним арифметическим собственных значений матрицы Ап вида,

Ап ^п Вп + СП'

Здесь Ап — п-й блок в блочно-диагональном, представлении, оператора, А, Вп — матрица разм,ера, т х т с элементами (Веп^,еп,г), г = 1,... ,т, и для матри,цы, Сп имеет место оценка

2

||£п|| ^ -г-\\РпВ — РпВРпЫВРп — РпВРпЬ, п > тах{^ + 1,по}, (20)

(1п

где по — это номер, начиная с которого справедливо неравенство

\\В | | 2 ^

Доказательство. Применим к обеим частям равенства (15) слева и справа проектор Рп. С учетом замечания 2, получим равенство

РпХ*Рп = РпВРп + Рп(В Гк Х*)Рп- (21)

Далее представим оператор Рп(ВГкХ*)Рп в виде

Рп(В Гк Х*)Рп = Рп(В — Зк В)(Гк Х*)Рп = (РпВ — РпВРп)(Гк Х*)Рп.

Следовательно,

| | Рп(В Гк Х*)Рп 11 2 < | | Рп В — РпВРп 11 2 11 (Гк Х*)Рп 11 2. (22)

Снова применяя формулы (11), получим (ГкХ*)Рп = Гк(X* — ,1кХ*)Рп, п > к + 1. Таким образом, справедлива оценка

II ('"П V \ТЭ II ^ | | Х*Рп — РпХ*Рп 112 | | (Г к^*)^п 11 2 < -^-.

(1п

Из (21), с учетом замечания 2, следует соотношение

РпХ*Рп = РпВРп + РпВГк(х* — PnX*Pn)Pп, п ^ к + 1. Применим справа к (15) проектор Рп. Справедлива следующая цепочка равенств Х*Рп РпХ*Рп - ВРп РпВРп + ВГк (Х* РпХ*Рп)Рп

Гк (X

— РпХ*Рп)РпВРп — РпВ Гк (Х

* РпХ*Рп)Рп.

Значит,

3

\\Х*Рп - РпХ*Рп\\2 < \\ВРп - РпВРп\\2 + -\\В\\2\\Х*Рп - РпХ*Рп\\2.

(Лп

А следовательно, для п £ N таких, что выполняется неравенетво ^\\В\\2 < получаем

\\Х*Рп - РпХ*Рп\\2 < 2\\ВРп - РпВРп\\2.

Таким образом,

||(1*Х,«2 < Рп -Р"ВРп "2

3

Из этой оценки и (22), следует

п

2

\\Рп(ВТкХ,)Рп\\2 < -г\\РпВ - РпВРпЫ\ВРп - РпВРп\\2 (23)

п

"п

для п > тах{к + 1, п0}, где п0 — это номер, начиная с которого справедливо неравенство

\ \ В \\ 2 < ^

Рассматривая сужение оператора А-,]кХ* па 1т Рп и, учитывая равенство (21), получим представление (19), □

А

3. Предварительное преобразование подобия оператора Ь

В этом параграфе мы возвращаемся к исследованию оператора Ь, порожденному бесконечной блочной матрицей В качестве проетранетва Н будет выступать пространство /2(М, Ст), В роли невозмущенного оператора рассмотрим самосопряженный оператор Ь0 : О(Ь0) ( Н —У Н, порожденный якобневой матрицей

/Л О О О ...\

О А2 О О .. О О Аз О ..

с областью определения О(Ь0) = {и £ /2(М, Сп) : Аи £ /2(М, Ст)} и действующий по формуле (Ь0и)п = Апип, п £ N и £ О(Ь0).

Напомним, что собственные значения оператора Ь0 однократны. Как и выше, обозначим через оп спектр матрицы Ап и предположим, что выполняется условие (1), Таким образом, спектр о (Ь0) оператора Ь0 допускает представление вида

о(Ьо) = ипе№п,

где оп = 0, п = ], п,] £ N и каждое из множеств оп состоит изт- элементов. Рассмотрим стандартный базис пространства 12 (М, Ст), в котором оператор Ь0 предА

еп,г = }j=1,

где п £ М, г = 1,... ,т, = (0,0,..., 0)4 £ Ст для у = п,1 — символ транспонирования, = (^м, $2,г,..., $т,г)ь £ Ст и — символ Кропекера, Как и выше, символом Рп, п £ N будем обозначать проектор Рпсса, построенный по

оп

В

ной матрицей

(О вх О о В1 о в2 о ..

О В2 о Вз ..

в

Непосредственные вычисления показывают, что условия (1) - (3), сформулированные во введении, обеспечивают компактность оператора В относительно оператора L0 (более подробно см, [32, Ch.14]). А следовательно, оператор L0 — В имеет дискретный спектр,

В

62(П), то мы не можем применить абстрактную схему, построенную в параграфе 2, В связи с этим сначала необходимо провести предварительное преобразование подобия оператора L0 — В в оператор L0 — В, где В уже принадлежит пространству 62(П),

Замечание 3. Непосредственно из вида матрицы B и того, что оператор J к, определенный в (9), является диагонализирующим оператором,, следует справедливость равенств ,1кВ = О и (Г кВ)ЗкВ = О.

Теперь перейдем к лемме, которая позволит нам провести предварительное преобразование подобия.

Лемма 2. Существует число q Е N такое, что операторы, В,ЗдВ, ГдВ удовлетворяют следующим условиям

(a) ГЯВ Е End Пи \\ГЯВ\|2 < 1;

(b) (Г,В)D(Lo) С D(Lo);

(c) ВГЯВ, (Г,В)^В Е 62(П);

(d) L^r^x — (ГдВ)L0x = Вх — (^В)х, х Е D(L0);

(e) для, любого £ > 0 существует \£ Е p(L0) такое, что \\В(L0 — XSI)-1\\ < е.

Доказательство. Докажем свойство (а). Обозначим через Ь1г величину (Веr,i, еI,s)P(N,Cm), тогда

{0, |г — > 1,/ = г,

Кг, 1 = г + 1, (24)

Ы-1, l = r -1,

где — элемен т матрицы Вг и Ьг~ —элемент матр ицы Вг _1, в, г = 1,... ,т.

Покажем теперь, что ГЯВ является оператором Гильберта-Шмидта, Для этого сначала установим, что Г В принадлежит 62(%). Из условия (2) и формулы (24) следует оценка

те т те т

У, У |(ГВеr,i, еi,s)¿2(n,c™)12 ^ У У 3777^ si

-1 2

,1-1 о dist ( <7r,Or-1)

l,r=1 s,i=1 r=2 s,i=1 4 ' '

те т I Tr 12 те и 2 те lie И 2

+ ^ V^ 1 °si1 = ^ \ \ °r-1 \ \__+ ^ _ \ \ °r \ \

dist2( 7 7 ..) dist2(7 7 .) di

00

dist (ar,ar+i) f=2 dist (ar,ar-i) f=1 dist (ar,ar+i)

^ I I Br I I 2 +| I B 11 2 ^

dist (<7r, 0"r+l)

Таким образом, ГВ e 62(%), Так как то формуле (10) операторы ГЯВ, q Е N, отличаются от оператора Г В па оператор конечного ранга, то ГдВ также являются операторами Гильберта-Шмидта, т. е, ГдВ e S2(%) С EndП. Кроме того, из (10) также следует, что

lim \ \ ГВ\\2 = lim \\ГВ — Р(9)(ГВ)Р(9)\\2 = lim £ \\Рп(ГвВ)Р3\\2 = 0.

max{raj}

^ q+1

Таким образом, с учетом замечания 2, можно выбрать такое достаточно большое q Е N для которого справедливо неравенство 11 ГдВ||2 ^ 1/2 < 1,

Для доказательства свойств (6) и (¿) достаточно повторить рассуждения, проведенные в [24, Лемма 7],

Перейдем к доказательству свойства (с). Используя условие (3) и (24), получаем следующие оценки

т

те т те т

X X 1(БГ Веге 1,э)12(1%с™)12 < X X

I Е К-2^ Ч2

1,г=1 вл=1

ь2(

т _ __т __т

=3 7=\ ^ (<7г ,аг~!)

I V ЪГ+1ЪГ \2 V Ьг-1 Ьт-1 V ьг ьг

те т 1 ¿^ из}1 и ы1 те т ¿^ из}1 и ы ¿^ и3НиЫ

+ V V —_+ УУ

^2(7Г, 7г+1) ¿=2 т г=1 в,г=1 х ' ' '+1' г=2 8,г=1

Н=1__+ Н=1_

dist(7r ,7г-1) dist(7r ,7г+1)

<

<

/ т \ / т \ /т _ \/т _ \

те ™ Е ГС-Т) Е К-Г) те т Е Ю2 Е ю2)

1=3 7=1 ^2(7г,7г-1) ^2(7г,7г+1)

/т _ \ / т \ / т \/т _ \

те ™ Е 1ь:-112)( Е К-1?) те т Е Е Ю2)

2 ^^ уы=1_/ \ь=1_¿_ + 2 ^^ = =1

О • —Л2(7Г ,7Г-1) п л dist2 (7Г,

г=2 8,г=1 \ • 1 ' 1 г=2 8,г=1 4 ' '

те \\вг_2\\2\\Вг- 1У2 || вг+1 \ \ 2 11 вг \ \ 2 + 2 'те \ \ ^-1 \ \ 2 \ \ &г-1 \ \ 2

,' dist ( 7 г, 7Г_1 ) ^-=1 dist (7Г ,7г+1) ^-=2 dist ( 7 г, 7 г_1)

\вг \\2\\вг \\2 г те \\вг \\2\\вг+1 \\2 те \\вг \\2\\вг+1 \\2

+2те \\вг\\ \\вг\\ < с( \\в^\\ \\в^+1\\ + у^\

dist (7Г ,7г+1) dist (7г+2,7г+1) ^(7г ,7г+1)

\ \ вв V \ \ \ \ \ \

¡=1 diSt2(7r ,7г+1).

+ Е ^твР^) < ^

diSt (7Г ,7г+1)/

ВГ В

И ВГдВ е &2(Ю-

Из замечания 3 следует, что (ГЯВ)3ЧВ е &2(Н).

Свойство е) следует го самосопряженности оператора Ьо, компактности оператора В относительно Ь0 и леммы 14,3 книги [32],

□

Следующая лемма посвящена получению дополнительных оценок, которые понадобятся нам при доказательстве основной теоремы в следующем параграфе. Мы приводим эту лемму здесь, поскольку при ее доказательстве используются выкладки, проведенные при проверке свойств а) и с) леммы 2,

Лемма 3. Имеют место следующие оценки:

1/2

п V-1- ^ ) \ \ 2 ' ^п 1 \ \вп-1 \ \ + \ \ вп]

\\Рп(ГдВ)\\2 < \\вп-1\\2 + \\вп\, (27)

\ \ (ГЯВ)Рп\\2 < (¡-^\\вп-1\\2 + \\вп\\2У\ (28)

\ \ Рп(ВГдВ)\\2 < Сс1-1(^\\вп-1\\2\\вп-2\\2 + \\вп-1\\2\\вп-1\\2

1/2

Зп \ \2 \ \ вп+1 \ \2 + \ \ Вп \ \ 2 \ \ вп112

1/2

,

2

| | (ВГдВ)Рп112 ^ С^||Вга_2||2||Вга_1||2 + ||Вп_1||2||Вга_1||2

_ \ 1/2

+ 11 вп 11 2 11 Вп 11 2 + | | Вп+1 | | 2 11 вп 11 2] , (30)

| | Рп(ВГ,В)Рп|12 ^СЧ^11В5п_ 11121|Вп_11|2 + ||Вп||2||В?п||2) /. (31)

Доказательство. Для доказательства оценок (27) и (28) необходимо в (25) в первом случае положить I = п, а во втором г = п. Таким образом, имеем

| | рп(Г.В)| |2 +|Вп| |2

dist (an-i,an) dist (an,an+i) ^ d-2( I I Bn-i I I 2 + II Bn 11 2

I I (rqB)pn\ 12 ]gra-1"2 , + —Iм

dist (<7n,CTn-l) dist (<7n,an+l) ^ d-2( I I Bn-l I I 2 +II Bn 11 ^

Для доказательства оценок (29) и (30) положим в (26) в первом случае I = п, а во втором г = п. Таким образом,

up (Rr т,| 2 < \\Вп\H |gn+l||2 ||Н»-1||2| |gn-l||2

I | pn (Ш gB)\ |2 -Г + 2 . --

dist (iTn+2,^n+l) dist (Un, o-n-l)

+ 2 || Bn11 2 11 Bn11 2 + || Ân-i || 2 11 Bn-2 || 2

+ - _ + J.2^ ,

n

dist ((7n, an+i) dist (7n,7n-l) ^ 2d-2(I I Bn-lI I 2 11 Bn-2I I 2 + \I Bn-lI I 2 11 Bn-lI I

+ | | Bn 11 2 11 Bn 11 2 +| | Bn 11 2 11 Bn+1 | | •

Winr R\p \\2 s | | Bn-2 | | 2 11 Bn-1 | | 2 0 | | Bn-1 \ \ 2 11 Bn-1 | | 2

| \ (B1 qB)Pn\\2 ^ 2(-T + 2 J- ; 2/-Г

diSt (Un,Un-1) diSt (Un,Un-1)

+ 2 \\ Bn \\ 2 \\ Bn \\ 2 + \\ Bn+1 \\ 2 \\ Bn \\ 2

dist2(Un,Un+1) dist2(Un,Un+1 ) ^ 2d\ \ Bn-2 \ \ 2 \\ Bn-1 \ \ 2 +\\ Bn-1 \ \ 2 \\ Bn-1 \ \ 2

+ \ \ Bn \ \ 2 \ \ Bn \ \ 2 +\ \ Bn \ \ 2 \ \ Bn+1 \ \ 2 Полагая в (26) I = n и г = n, получим

\ | Pn(Br,B)Pn\|2 ^f-!« + )

V dist (Un,Un-1 ) dist (Un,Un+1)/ ^ 2d-2( \ \ Bn-1 \ \ 2 \\ Bn-1 \ \ 2 +\\ Bn \\ 2 \\ Bn \\ 2).

□

2

Справедлива следующая теорема (см, [25, Теорема 2], [24, Теорема 9]),

Теорема 5. При выполнении условий леммы, 2 оператор Ь0 — В подобен оператору Ь0 — ЗВ — В, где В = (I + ГВ)-1(ВГВ — (ГВ)ЗВ), причем, имеет место равенство

(Ьо — В)(1 + ГВ) = (1 + ГВ )(Ьо — ЗВ — В).

На основании этой теоремы, а также замечания 3 сформулируем первую теорему о подобии.

Теорема 6. Пусть число д Е N таково, что выполнено условие

1 2

I I ГдВ\\2 ^ -. (32)

Тогда, оператор Ь = Ь0 — В подобен оператору Ь0 — В, где В принадлежаит &2(Н) и имеет вид

В = (I + ГдВ)-1 (ВГдВ). (33)

При этом, справедливо равенство

(Ьо — В)(1 + ГдВ ) = (1 + ГдВ )(Ьо — В).

Из формулы (33), очевидно, следует цепочка равенств

В =( £(—1)'(ГВ У) (ВГдВ) = ВГдВ — (ГдВ)(1 + ГдВ)-1(ВГдВ). (34)

Теорема 6 позволяет нам свести изучение оператора Ь к оператору Ь0 — В, где В уже принадлежит пространству допустимых возмущений &2(Н). Таким образом, для оператора Ь0 — В справедлива общая теория метода подобных операторов, а также построения, сделанные в параграфе 2, Учитывая это, сформулируем вторую теорему о подобии.

Теорема 7. Существует такое число к Е N к > д + 1, что выполнены неравенства (14-) и (32). Тогда, оператор Ь подобен оператору вида, Ь0 — ЗкX*, где X* — решение нелинейного уравнения

X = ВГк X — (ГкХ )(ЗкВ) — (Г* X )Зк (ВГк X) + В (35)

и оператор В определен формулой (34).

4. Основной результат

В этом параграфе мы докажем основную теорему об асимптотических формулах для

Ь

явный вид матричного представления оператора Зк(ВГкВ), поэтому, прежде чем перейти к доказательству, приведем здесь следующее замечание.

Замечание 4. Матричное представление

оператора, Зк (В ГкВ) имеет блочно-диагональный вид и его п-ый блок представляется, как

Т>п Вп—1^0,—

1 + ВпС П1 (36)

где элементы, матриц Сп_ 1 и С,п имеют соответственно вид сП-1 = .„Л .„ и

■> \

Ъ™. _ 1 ~

^ = ,п+1'3_ , при этом — г-ое собственное значение матрицы А,, а Ь0 и Ь, —

г 3 ^

элементы, матриц Вп-1 и Вп.

Определение 3. Для любой ограниченной матрицы А, действующей в Ст, среднее арифметическое ее собственных значений определяется, как

т

А = -

г=1

где Хг — собственные значения матрицы А.

Теорема 8. Существует такое число к Е N для которого спектр оператора, Ь представим в виде

а(Ь) — а(к) и (ип>к+1&п), (37)

где а(к) — конечное множество, а ап — не более чем, т-точечное множество. Каждое из .множеств ап совпадает со спектром сужения оператора, Ь на подпространство 1ш Рп, и для, среднего арифметического собственных значений Хп, п ^ к + 1, множества ап имеет место следующее асимптотическое представление

Ап = Ап - Vп + Рп, (38)

т т

или

1 т 1 т

Хп — / Хп,г / Рп,г + , (39)

т т

г=1 г=1

где последовательность Рп определена, в (43), ^ А^, ^ Г>п и Хп,г, рп,г, г — 1, 2,... ,т — следы, и собственные значения матриц Ап и, Г>п соответственно, а, матрица Г>п определена, в (36).

Доказательство. По теореме 7 оператор Ь подобен оператору Ь0 — ЗкХ*, где X* — решение

Ь

а(Ь) — а(Ьо — ЗкХ*) — а(А(к)) и (ип^к+1а(Ап)) — а(к) и (ип^к+1ап),

где А(к) — сужение оператора Ь0 — ЗкХ* на 1ш Р(к) и Ап — сужение оператора Ь0 — ЗкX* на 1шРп. Так как размерность пространства 1шР(к) конечна, то а(А(к)) — а(к) — конечное множество. Следовательно, имеет место представление (37),

Теперь докажем формулы (38) и (39), По построению трансформаторов Зк и Гк имеем Зк(ГкХ*)ЗкВ — О. Учитывая это тождество и используя формулы (33) и (35), оператор Ь0 — ЗкX* представим в виде

Ь0 — ЗкХ* — Ь0 — Зк(Х* — В + В) — Ь0 — ЗкВ — Зк(Х* — В) — Ьо — Зк (В ГкВ) — Зк (ВГк Х*) + Т,

где оператор Т содержит все остаточные члены оператора В.

Воспользуемся теперь теоремой 4, Так как оператор В принадлежит пространству допустимых возмущений 62(%), то справедлива формула (19) и оценка (20), где роль оператора В играет оператор В.

Вычислим точную оценку в формуле (20), Действуя на (34) справа и слева оператором Рп Зк В — О

ВРп — РпВРп —(ВГкВ)Рп — Рп(В ГкВ)Рп

+ ( Рп(ГкВ) — ГкВ)(1 + ГкВ )-1(В ГкВ )Рп,

РпВ — РпВРп —Рп(ВГкВ) — Рп(В ГкВ)Рп

+ Рп(ГкВ)(1 + ГкВ )-1((В ГкВ )Рп — ВГкВ).

Оценим по норме обе части полученных равенств. Тогда

| I ВРп — РпВРп\\2 < \\(ВГкВ)Рп\\2 + \\Рп(ВГкВ)Рп\\2 (40)

+ \ \ Рп{Г:Щ\г ^Г^Ь \\(ВГкВ)Рп\\2 1 — \ \Г кВ\\2

и

\ \ РпВ - РпВРп\\2 < \\Рп(ВГкВ)\\2 + \\Рп(ВГкВ)Рп\\2 (41)

+ 1 ^¡Г^\\2 (\\(В ГкВ)\ \ 2 + \\(ВГкВ )Рп\\ 2). 1 — \ \ Г кВ\\2

1

2'

получим

Г к В <

С

\ \ В Рп — РпВРп\\2 \\РпВ — РпВРп\\2 < ^ ЦВп^\Вп-Л2 + \\Вп\\2\\Вп+Л

п

+ \ \ Вп-1 \ \2 \ \ Вп-1 \ \2 + \ \ Вп \ \2 \ \ Вп \ \2 + \ \ Вп-1 \ \2 \ \ Вп-2 \ \2 + \ \ Вп+1 \ \2 \ \ Вп \ \ 2

Таким образом, из (23) следует оценка

\ \ Рп(ВТкХ*)Рп\\2 < СРп, (42)

где

Рп = (¡-^ ЦВп^П \Вп-Л2 + \\Вп\\2\\Вп+Л2 + \\Вп-Л2\\Вп-Л2

+ \\ Вп \\2 \\ Вп \\2 + \\Вп-1 \\2 \\ Вп-2 \\2 + \\ Вп+1 \\2 \\ Вп \\ ^ . (43)

Непосредственно из вида оператора ,1к(ВГкВ) (см, формулу (31)) следует, что средние арифметические его собственных значений имеют порядок ¿-1(\\Вп-1Вп-1\\ + \\ВпВп\\), т.е. не входят в остаток, а выделяются отдельным членом в формуле (39),

Так как в конечномерном пространстве спектральный след совпадает с матричным, то среднее арифметическое собственных значений сужения оператора Ь0 — ,1к(ВГкВ) на подпространство 1т Рп ^^^^^^^жтся как ^^ Лп — ^ Vп или, соответственно,

т т

Хп,г — ^п,г. Учитывая теперь оценки (23) и (42), получаем справедливость

1=1' г=1

формул (38) и (39),

" □

5. Примеры

Предположим сначала, что матрицы Ап-, Вп, Вп размерноети 1 х 1, т.е, Ап '■= ап, Вп := Ьп, Вп := сп и матрица J является скалярной бесконечной трехдиагональной матрицей, 1. Следуя работе [14], допустим, что элементы матрицы J имеют вид

ап = п2 + слп + с2п-1 + С3П-2 + 0(п-3),

Ьп = Сп = — д — рт-1 — Р2П-2 + 0(п-3),

где сз,Ру Е = 1,2,3, Ьп = 0. Оператор Ь, порожденный матрицей J, имеет

дискретный спектр. Выпишем асимптотику его собственных значений. Очевидно, что собственные значения оператора Ь0, порожденного матрицей А (см, §3), имеют вид

Ап = п2 + С\п + с2п 1 + с3п 2 + 0(п 3), Для того чтобы непосредственно применить теорему 8, нам необходимо проверить выполнение условий (2) и (3), Очевидно, что ряд

2(д + р1п~1 + р2п~2 + 0(п"3))2

Е-

( Ап+1 — Ап)2

п=1

сходится. Таким образом, выполнено условие (2), Теперь проверим условие (3), Имеют место соотношения:

те и2и2 те 1.2 12 те 12,12

\ ипи п+1__+ ипи п+1 + ° п°п ^

п=1 (Ап+2 — Ап+1)2 п=1 (Ап — Ап+1)2 п=1 (Ап — Ап+1)2

те те 1

^^^ (2п + 1 + С1 - С2^1 (п + 1)-1 + 0(п-3))2 ^ Ш2 <

п=1 4 4 ' 4 п=1

Таким образом, мы можем применить теорему 8, Тогда собственные значения Ап оператора Ь допускают следующее асимптотическое представление

Ап = Ап - Рп + 0(п-3),

ь2 у2

где ап = т—та—\—+ т—^-т- (см, (36)), Подставляя в это выражение исходные значения,

ЛП — 1— ЛП Лп + 1— лп 4 4

получим окончательную асимптотическую формулу

Ап = п2 + С1п + С2п—1 + С3'п—2 + ~~п—2 + 0(п—3)'

Эта формула соответствует результату теоремы 3,1 работы [14],

2. Предположим, что элементы бесконечной трехдиагональной матрицы J удовлетворяют следующим условиям:

a) ап Е К, |ап | ^ то при п ^ то,

b) (|6п| + |Сп— 11)/ап ^ 0 при п ^ то,

c) Ъп = 0, сп = 0 п Е N

тогда оператор Ь, порожденный J, имеет дискретный спектр, причем все собственные значения этого оператора имеют геометрическую кратность, равную 1 (см, [10]), Если дополнительно предположить, что все числа ап, п Е N различны и выполняются условия (2) и (3), а именно, сходятся следующие ряды

те |Ь та|2 + | сп|2

Е I 1 +1Сп\2 < той

' (с„+1— С„)2

ч ,1 "Ста)

п=1

те ,, 1П1, ,П те , ,П1 ,П те

' 1

' -с.

е) у^ 1 Ьп + 1|2 + 1 Сп |2 1 Сп + 1 |2 , 1 ^та |2 1 Сп 12 <

) ^ (Ста + 2 Сп+1)2 (сп+1—Сп)2 (сп + 1—Сп)2 ,

п=1 п=1 п=1

тогда, применяя теорему 8, находим асимптотические формулы для собственных значений Ь

п— 1 п— 1 п п

Ап ап + Pп,

ап—1 ап ап+1 ап

где Рп = Ы (ап+1 - ап)—Ч Е (I Ьп—2+^ |21 &п—1+312 + | Сп— 1+з |2| Сп—2+3 |2)+ Е I сп— з |2| Ьп—3?

\ \ 3=0,2 3=0,1

Отметим, что этот пример позволяет выписать асимптотику собственных значений для некоторых операторов Хилла с тригонометрическим потенциалом, в частности, некоторых операторов Матье (см., например, [21]),

В следующих примерах мы рассматриваем бесконечные блочные трехдиагональные матрицы,

3. Предположим, что собственные значения матриц Лп предетавимы в виде Ап,г = сп,гпа(1 + £п,г), а > 0 сп,г ~ некоторые постоянные, которые не зависят от п и ^ 0 при п ^ то, ^ = 1,''',т- Пусть, далее, Вп = Вп и ||Вп|| = п13(1 + 7п),

уп ^ 0 при п ^ го, Д > 0 Очевидно, что условие (2) справедливо при а > Д + |, а условие (3) при а > 2Д + |, Таким образом, при а > 23 + | выполняются оба условия. При этих значениях параметров а и 3 оператор Ь с областью определения

те

И(Ь) = {и Е I1 (М, Ст) : ^ ||Лпмп||1 < го}, порожденный якобиевой матрицей J, является

п=1

ограниченным снизу, самосопряженным оператором в пространстве /2(М, Ст), Спектр опе-Ь

арифметических \п которых, согласно теореме 8, определяется следующим образом

Лп = —п( т

т £

г=1

Сп,г (1 + £п,%) - 'Лп + Д т

где матрица 'Лп определена в (36), а Дп = 0(п4/3 3а+3).

4- Предположим, что собственные значения матриц Ап представимы в виде Ап,г = па(1 + £п,г), £п^ ^ 0 при п ^ го, г = 1,..., т. Пусть матрицы Вп = В*п являются постоянными матрицами. Тогда условия (2) и (3) выполняются при а > |, При этом Ь

ние средних арифметических Ап которых, согласно теореме 8, определяется следующим образом

Лп = па (1 + ) - —п т

1—а

т т

п 1 п 1 Ы °гЪ

(=1=1 С 1(1 + 'Ъ$1)

+

т т

п п иЫ гЪ

ииъ* (1 + 'Ыл)

г)

+ Дп,

п , п Ы, и гЪ

элементы матриц ВП и Вп, соответственно, ёп,г

Ъ, , Ъ,

бесконечно малые

Ъп,

-1

п Ъ,

п п п, Ъ,

п

в выражениях Ап_м - АпЛ и \п+1^ - Ап^ Дп = 0(п~3а+3).

Следующие два примера посвящены обобщенным якобиевым матрицам. Вначале покажем, что такую матрицу можно представить в виде блочной якобиевой матрицы,

2 т

элементами срр,] Е N ПРИ эт0м °р,з = сз,р-> °р,з = 0, если [р - Ц > т и ср,р+т = 0, т. е, эта матрица имеет 2т + 1 диагональ, некоторые из которых могут быть нулевыми, кроме двух крайних (см., например, [19], [33]), Очевидно, что такую обобщенную якобиевую матрицу можно представить в виде бесконечной блочной трехдиагональной матрицы J с матричными элементами Ап, Вп и В*п размер а т х т, которые имеют вид

(

Ап

С-пт+1,пт

С-пт,пт+1 С-пт+1 ,пт+1

т— 1,пт с(п+1) т— 1,пт+1

^пт,(п+1)т— 1 \ С-пт+1 ,(п+1)т— 1

С(п+1)т— 1,(п+1)т— 1/

п

( Спт,(п+1)т С-пт+1 ,(п+1)т

0

Спт+1,(п+1)т+1

0 0

т— 1,(п+1)т С-(п+1)т— 1,(п+1)т+1 . . . С(п+1)т- 1,(п+2)т-1/

Ь

биевой матрицей, имеет дискретный спектр. Кроме того, все собственные значения Ап,г, г = 1,...,т, п Е М, невозмущенного оператора Ь0 с областью опеределения

те

И(Ь0) = {и Е /2(М, Ст) : ЦЛпип111 < го^, действующего по формуле (Ь0и)п = Апип,

п=1

п Е Ми Е И (Ь0), различны, и матрицы Вп и В*п удовлетворяют условиям (2) и (3), Тогда,

согласно теореме 8, мы можем определить среднее арифметическое собственных значений Ь

5. Допустим, что обобщенная якобиева матрица имеет только три отличные от нуля диагонали (главная и две крайние побочные) и ее элементы удовлетворяют всем условиям,

Ь

определяется по формуле

т—1 т—1, г2

1 X ^ 1 ч ^ / ^пт+г,(п—1)т+г

Сп,т+г

1 т— 1 i т— 1 /

Лп / , С-п,т+г / , (

т ^ т \

п i—п v

^ ^=0 ^ ^=о \^-■(п—1)т,(п—1)т+í+1 С-пт,пт+г+1

с2 \ пт+) ,(п+1)т+г \ р

+ ) + Pп,

С(п+1)т,(п+1)т+г+1 С-пт,пт+г+1 /

где Рп определена в (43),

6. Предположим, что обобщенная якобиева матрица имеет пять ненулевых диагоналей, тогда ее можно представить в виде трехдиагональной блочной якобиевой матрицы с матричными элементами размера 2 х 2, т.е.

_ ( С-2п,2п С-2п,2п+1 |

\С2п+1,2п ^2п+1,2п+1 J '

jg _ ( с2п,2(п+1) 0 \

п \С2п+1,2(п+1) С2п+1,2(п+1)+1 J

Ь

ный такой обобщенной якобиевой матрицей, имеет дискретный спектр. Очевидно, что собственные значения матрицы Лп находятся по формуле

1 2

Лп,г _ ~ ^С-2п,2п + С2п+1,2п+1 ± [(С2п,2п — С2п+1,2п+1)2 + 4С2п,2п+1С2п+1,2п]1/2^

где г = 1, 2' Таким образом, согласно теореме 8, среднее арифметическое собственных

Ь

_ 1 / , \ 1 ^ f С2п,2(п—1)+1 С2п+г,2(п+1)+г \ а

Лп _ "(С2п,2п + С2п+1,2п+1) — " / ^ \ -\--' -\- + Рп

2 2 . _0 \Лп— 1, г+1 — г+1 Лп+1, г+1 — Лп, г+1 J

где @п определена в (43),

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Крейн М.Г. Бесконечные J - матрицы и матричная проблема, моментов // ДАН СССР. Т. 69. вып 3. 1949. С. 125-128.

2. Костюченко А. Г., Мирзоев К. А. Трехчленны,е рекуррентные соотношения с матричными коэффициентами. Вполне неопределенный случай // Матем. заметки. Т. 63. вып 5. 1998. С. 709-716.

3. В. Simon The classical тотent problem as a self-adjoint finite difference operator // Advances in Mathematics. V. 137. 1998. P. 82-203.

4. A.J. Duran, P. Lopez-Rodrigez The matrix moment problem // Margarita Mathematica en memoria de Jose Javier Guadalupe (L. Espanol and J. L. Varona, eds.). Universidad de La Rioja. Logrono. 2001. P. 333-348.

5. Костенко А.С., Маламуд M.M., Натягайло Д.Д. Матричный оператор Шрёдингера, с 5 - взаимодействиями // Матем. заметки. Т. 100. вып 1. 2016. С. 59-77.

6. Мирзоев К.А., Сафонова Т.А. Об индексе дефект,а, векторного оператора Штурма-Лиувилля // Матем. заметки. Т. 99. вып 2. 2016. С. 262-277.

7. Бройтигам И.Н., Мирзоев К.А. О дефектных числах операторов, порожденных якобиевыми матрицами с операторными элементами // Алгебра и анализ. Т. 30. вып 4. 2018. С. 1-26.

8. V. Budvika, М. Malamud, A. Posilicano Nonrelativistic Limit for 2p x 2p-Dirac Operators with Point Interactions on a Discrete Set // Russian Journal of Mathematical Physics. V. 24. N 4. 2017. P. 426-435.

9. Будыка В. С., Маламуд М. \!.. Посиликано А. К спектральной теории одномерных матричных операторов Дирака с точечными матричными взаимодействиями// ДАН. Т. 479. вып 2. 2018. С. 117-125.

10. P. Djakov, В. Mitvagin Simple and double eigenvalues of the Hill operator with a two-term potential // Journal of Approximation Theory. V. 135. 2005. P. 70-104.

11. P.A. Cojuhari, J. Janas Discreteness of the spectrum for some unbounded Jacobi matrices // Acta Sci. Math. (Szeged). V .73. 2007. P. 649-667.

12. P.A. Cojuhari On the spectrum, of a class of block jacobi matrices // Operator theory, Structed Matrices and Dilations. 2007. P. 137 152.

13. S. Kupin, S. Naboko On the instability of the essential spectrum for block Jacobi matrices // S. Constr Approx. V. 48. N 3. 2018. P. 473-500.

14. J. Janas, S. Naboko Infinite Jacobi matrices with unbounded entries: Asymptotics of eigenvalues and the transformation operator approach// SIAM J. Math. Anal. V. 36. N 2. 2004. P. 643-658.

15. A. Boutet de Monvel, S. Naboko, L. Silva The asymptotic behaviour of eigenvalues of modified Jaynes Cummings model // Asymptotic Analysis. V. 47. N 3-4. 2006. P. 291-315.

16. J.Janas, M. Malejki Alternative approaches to asymptotic behavior of eigenvalues of some unbounded Jacobi matrices // Journal of Computational and Applied Mathematics. V. 200. 2007. P. 342-356.

17. M. Malejki Eigenvalues for some complex infinite tridiagonal matrices // Journal of Advances in Mathematics and Computer Science. V. 26. N 5. 2018. P. 1-9.

18. M. Malejki Asymptotics of large eigenvalues for some discrete unbounded Jacobi matrices // Linear Algebra and its Applications. V. 431. 2009. P. 1952-1970.

19. M. Malejki Asymptotic behaviour and approximation of eigenvalues for unbounded block Jacobi matrices // Opuscula Mathematica. V. 30. N 3. 2010. P. 311-330.

20. A. Boutet de Monvel, L. Zielinski Approximation of eigenvalues for unbounded Jacobi matrices using finite submatrices // Cent. Eur. J. Math. V. 12. N 3. 2014. P. 445-463.

21. Y. Ikebe, N. Asai, Y. Mivazaki, D. Cai The eigenvalue problem for infinite complex symmetric tridiagonal matrices with application // Linear Algebra Appl. V. 241-243. 1996. P. 599-618.

22. Баскаков А.Г. Методы абстрактного гармонического анализа в теории возмущений линейных операторов // Сиб. матем. журн. Т. 24. вып 1. 1983. С. 21-39.

23. Баскаков А.Г. Гармонический анализ линейных операторов, Изд. ВГУ. Воронеж. 1987.

24. Баскаков А.Г., Поляков Д.М. Метод подобных операторов в спектральном анализе оператора Хилла с негладким потенциалом // Матем. сб. Т. 208. вып 1. 2017. С. 3-47.

25. Баскаков А.Г., Дербушев А.В., Щербаков А.О. Метод подобных операторов в спектральном анализе несом,отпряженного оператора Дирака, с негладким потенциалом //Изв. РАН. Сер. матем. Т. 75. вып 3. 2011. С. 3-28.

26. Ускова Н.Б. О спектральных свойствах одного дифференциального оператора второго порядка с матричным потенциалом // Дпфферепц. уравнения. Т. 52. вып 5. 2016. С. 579-588.

27. Ускова Н.Б. О спектральных свойствах оператора Штурма-Лиувилля с матричным потенциалом // Уфимск. матем. журн. Т. 7. вып 3. 2015. С. 88-99.

28. Бройтигам И. И., Поляков Д. М. Об асимптотике собственных значений дифференциального оператора четвёртого порядка, с матричным,и коэффициентами // Дпфферепц. уравнения. Т. 54. вып 4. 2018. С. 458-474.

29. Гаркавенко Г. В., Ускова Н. Б. Метод подобных операторов в исследовании спектральных свойств одного класса разностных операторов // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика, выи 3. 2016. С. 101-111.

30. Гаркавенко Г. В., Ускова Н. Б. Асимптотика собственных значений разностного оператора с растущим потенциалом и полугруппы операторов // Математическая физика и компьютерное моделирование. Т. 20. выи 4. 2017. С. 6-17.

31. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М. 1965.

32. P.D. Hislop, I.M. Sigal Introduction to spectral theory: with applications to Schrödinger operators, Springer. V. 113. 1996.

33. Чистяков А. Л. Индексы, дефект,a, Jm матриц и дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами // Матем. сб. Т. 85. выи 4. 1971. С. 474-503.

Ирина Николаевна Бройтигам, Fachhochschule Kiel, Grüner Kamp, 11 , 24783, Osterrönfeld, Germany E-mail: irinadolgih@rambler.ru

Дмитрий Михайлович Поляков, Южный математический институт — филиал Владикавказского научного центра РАН, ул. Маркуса, 22, 362027, г. Владикавказ, Россия E-mail: dmitrypolyakow@mail.ru