АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ДВУМЯ ТОЧКАМИ ПОВОРОТА Текст научной статьи по специальности «Математика»

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ДВУМЯ ТОЧКАМИ

Аннотация. Статья посвящена построению полного разложения решения сингулярно возмущенной двухточечной краевой задачи с двумя особыми точками на границах рассматриваемого отрезка. Решение ищется в виде суммы трех функций, которые представимы асимптотическими рядами. На прямую невозможно построить равномерное асимптотическое разложение, поэтому вводится вспомогательная функция, с помощью которой удается построить асимптотику на всем отрезке включая особые точки.

Ключевые слова: обыкновенное дифференциальное уравнение, сингулярное возмущение, пограничный слои, особая точка, точка поворота.

Abstract: The article is devoted to the construction of a complete expansion of the solution to a singularly perturbed two-point boundary value problem with two singular points on the boundaries of the segment under consideration. The solution is sought in the form of a sum of three functions that can be represented by asymptotic series. It is impossible to construct a uniform asymptotic expansion on a straight line, so an auxiliary function is introduced, with the help of which it is possible to construct an asymptotic expansion on the entire segment, including singular points.

Keywords: ordinary differential equation, singularly perturbed, boundary layer, singular point, turning point.

Постановка задачи. Исследуем двухточечную сингулярно возмущенную краевую

задачу

где в - малый параметр, / е Сш [0,1].

Особенность исследуемой задачи заключается в том, что сингулярно возмущенное уравнение (1) при в^-0 имеет две точки поворота, при х=0 и х=1. Ранее исследованы подобные задачи с одной точкой поворота [1]-[9].

Требуется получить асимптотику решения задачи (1)-(2) на всем отрезке включая особые точки, при стремлении малого параметра к нулю.

Решение задачи. Рассмотрим соответствующее невозмущенное дифференциальное уравнение первого порядка:

ey'' (x) + x( 1 - x)y '(x) - 2y(x) = f(x), 0 < x < 1, y( 0) = 0, y( 1) = 0,

(1) (2)

x( 1 - x)y'0 (x) - 2y0(x) = f(x) •

Интегрируя дифференциальное уравнение первого порядка (3) имеем:

(3)

Jo (x) = ' ^

i „ \2f f- л2

1 - X

Jo (xo )

1 - Xo \ , Xf(s)( 1 - s)

+ I 3-- ds

v X^ i S

V 0 J Xo

Нетрудно заметить, что полученная функция имеет две особые точки х=0 и х=1. То, что и следовало ожидать.

И здесь мы выберем точку хо так чтобы один из этих особых точек была устранимой особой точкой.

Пусть хо=1, тогда имеем:

г

Jo(x) =

X ^ Xf(s)( 1 - s)

1 - X J \ s

ds.

где

Отметим, что у0,у'0 е С[0,1] , но у''0 £ С[0,1] т.е. точка х=0 остается особой точкой. Асимптотическое решение краевой задачи (1)-(2) ищем в виде суммы трех рядов:

у(х) = и (х) + у(т) + щ(ч) (4)

и( х) = и (х) + ец (х) + г2щ (х) +... (5)

v(t) = Vo (х) + Цу (х) + Ц2V2 (х) + ... (6)

2,

щ(ч) = ^о +(ч)+х щ (ч)+... (7)

х = цх, ц = -ч/в , 1 - х = цч •

Подставляя соотношение (3) в уравнение (1) получаем:

ви''(х) + х( 1 - х)и'(х) - 2и(х) = /(х) -И(х), (8)

V''(х) + х у'( х) - 2 у( х) - цх2 у'( х) = И( х), (9)

щ"( ч) -ч щ'( ч) - 2щ( ч) + цч2 щ'( Ч) = 0, (10)

где

Н(х) = Н0(х) + 8 \(х) + 82 Н2(х) +..., (11)

кк(х) - пока неизвестные функций [2]-[10].

Подставляя (4) в (7) и по идее метода малого параметра имеем:

х( 1 - х)и\(х) - 2щ(х) = /(х) -\(х), (11)

х( 1 -х)и'к(х)-2ик(х) = -и"к_(х)-кк(х), к еN (12)

Уравнений (11) и (12) будем интегрировать так чтобы точка х=1 была устранимой:

' г ^

Уо (х) =

X ^ X(f(s) - \ (s))(1~s) ds

V1 - х ) 53

как и в предыдущих работах [2]-[10], неизвестную функцию Ио(х) выберем так чтобы и0 е Сх [ 0,1] .

Аналогично определяются все Ик(х), £=1,2,... так чтобы щ е С'ю [ 0,1 ], к е N. Здесь мы определили все члены рядов (4) и (10).

Перейдем теперь к рассмотрению уравнения (9). Учитывая соотношения (6) и (11)

имеем:

V''о(х) + х^0(х) - 2 Vо(х) = А0(цх),

V "2к-1 (х) + х V'2k-1 (х) - 2 V2k-1 (х) = х ^2к-2 (х), 2к( х) + х ^2к( х) - 2 V2k( х) = К( Цх) + х V'2k-1( х).

Из краевых условий (2) и свойств пограничных функций следует, что: ^(0) = -Щ(0), У2к+1(0) = 0, Ук (т) = 0, к = 0,1,2...

т^ад

Как нам известно, соответствующее однородное уравнение г "(г) + гг '(г) - 2) = 0 имеет два независимых решений:

г

2\ Г _ 2 /-1 , „2Ч-2

Z(t) = t2 +1, z2(t) = (1 + t2)Je 2 (1 + s2)-2ds

удовлетворяющих начальным условиям

Zi(0) = 1, z[ (0) = 0; Z2(0) = A0, z2(0) = 1,

где A0 = Je 2 (1 + s2) 2ds.

ад

Интегрированием по частям получим, что

-t2

'2

или

z2(t) = (1 +12)e 2 [t_1(1 +12)-2 +1-\t_1(1 +12)-2)' +1-\t-\t-41 +12)-2)')' +...], t ^ад

z2(t) = e 2 t~3[1 + щt-2 + a2t+...], t ^ад где ax = -6, a2 = 45, и.т.д.

Поэтому решение задачи

vr,0 (т) + т v'0 (т) - 2 ^(т) = h0 (цт),те [ 0,ад), v (0) = -u0 (0), V0 (т) = 0

т^ад

существует и единственно.

Аналогично определяются остальные члены ряда (6).

Перейдем к определению членов последнего ряда (7). Подставляя ряд (7) в уравнению (10) имеем:

ч'о(ц)-Лчо(ц) - 2ч0(ц) = °> Ле [0,ю), ч"к(ц)-цw'k(ц)-2чк(ц) = -Ц2ч'к-1(Ч)> це [°>т)> к е N. (13)

Аналогично, из краевых условий (2) и свойств пограничных функций следует, что: ^к(0) = -«к(1), ^2к+1(0) = 0, ч (ц) = 0, к = 0,1,2... (14)

Однородное уравнение ч''0( ц) - ц ч'0( ц) - 2 ч0( ц) = 0 имеет независимые решения

ds

w,л) = Лe^272 ,w02(л) = лe^272 Je"s272 ^ .

J s

Поэтому решение задачи

w,,0(Л) -Л w,0(Л) - 2w0(Л) = 0, Ле [0,ад),

w0(0) = -u0(1), w0 (л) = 0,

Л^ад

существует, единственно и представимо в виде:

Л

w (л) = -U (1) + лeл2 72 J e-s2 72ds.

Неоднородное уравнение

z''(ц) - цz'(ц) - 2 z( ц) = f( ц), ле [ 0, ю),

с краевыми условиями z (0) = A, lim z(ц) = 0 тоже имеет единственное решение.

Л^ад

ад

0 s2

2

ад

Таким образом нами определены все члены рядов (5), (6) и (7). Тем самым все слагаемые функций в (4).

Нами доказана теорема

Теорема. Для решения сингулярно возмущенной краевой задачи (1)-(2) на отрезке хе[0,1] при стремлении малого параметра к нулю справедливо разложение

ад ад

j(x) = X еЧ (x) + Z е*/2 V (х) + Щ (л)), е ^ o..

к=0 к=o

ЛИТЕРАТУРА

1. Tursunov D.A. Bekmurza uulu Ybadylla Asymptotic solution of the Robin problem with a regularly singular point // Lobachevskii Journal of Mathematics, 2021, Vol. 42, No. 3, pp. 613620.

2. D.A.Tursunov, K.G.Kozhobekov Asymptotics of solutions of boundary value problems

for the equation £У ' ХР(Х)У я{х)у — I // Eurasian mathematical journal - 2021 Vol. 13, No. 3, pp. 82-91.

3. Бекмурза уулу Ыбадылла, Турсунов Д.А. Асимптотики решения возмущенной задачи с регулярной особой точкой // Вестник ОшГУ. - 2022. - Т. 1. - № 1. - С. 159-166.

4. Kozhobekov K.G. Asymptotics of the Solution to the Boundary-value Problems when Limited Equation Has Singular Point // Lobachevskii Journal of Mathematics, 2020, Vol. 41, No. 1, pp. 96-101.

5. Kozhobekov K.G., Erkebaev U.Z., Tursunov D.A. Asymptotics of the solution to the boundary-value problems when limited equation has singular point // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2020. Т. 41. № 1. С. 96-101.

6. Tursunov D.A. Asymptotics of the сauchy problem solution in the case of instability of a stationary point in the plane of "rapid motions" // Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 2018. № 54. С. 46-57.

7. Tursunov D.A., Orozov M.O. Asymptotics of the solution to the roben problem for a ring with regularly singular boundary // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2020. Т. 41. № 1. С. 89-95.

8. Турсунов Д.А. Асимптотика решения бисингулярно возмущенного эллиптического уравнения. случай особой точки на границе. Известия Томского политехнического университета. 2014. Т. 324. № 2. С. 31-35.

9. Бекмурза уулу Ыбадылла Сингулярно возмущенная задача Дирихле с особой точкой // Вестник ОшГУ. -2024. - № 24. - С. 354-360.

Ф.И.О. автора (полностью) Турсунов Дилмурат Абдиллажанович Организация (место работы) Ошский государственный университет Адрес Кыргызстан, г. Ош, ул. Ленина, 331 Должность Директор ВШМОП ОшГУ Ученая степень, звание д.ф.-м.н., профессор

Название материала (статьи) Асимптотика решения задачи Дирихле для

обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с двумя точками поворота Название секции (направления) Дифференциальные уравнения и математическая

физика

Форма участия (оффлайн или онлайн) оффлайн Контактный телефон +996773299170

Электронная почта dtursunov@oshsu.kg

Ф.И.О. автора (полностью) Бекмурза уулу Ыбадылла Организация (место работы) Ошский государственный университет Адрес Кыргызстан, г. Ош, ул. Ленина, 331 Должность Зав. отд. магистратуры ИМФТИТ ОшГУ Ученая степень, звание -

Название материала (статьи) Асимптотика решения задачи Дирихле для

обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с двумя точками поворота Название секции (направления) Дифференциальные уравнения и математическая

физика

Форма участия (оффлайн или онлайн) онлайн Контактный телефон +996 779 611 401

Электронная почта ybekmurzauulu@oshsu.kg

Ф.И.О. автора (полностью) Шакиров Кылычбек Курбанбекович Организация (место работы) Ошский государственный университет Адрес Кыргызстан, г. Ош, ул. Ленина, 331 Должность Зав. секции "Прикладная информатика" ОшГУ Ученая степень, звание -

Название материала (статьи) Асимптотика решения задачи Дирихле для

обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с двумя точками поворота Название секции (направления) Дифференциальные уравнения и математическая

физика

Форма участия (оффлайн или онлайн) онлайн Контактный телефон +996 772 290 302

Электронная почта kshakirov@oshsu.kg